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試卷說明：AT 表示矩陣A的轉置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，｜A｜表示方陣A的行列式。
一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分） 在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。 1．設A是3階方陣，且｜A｜＝－1，則｜2A｜＝（?。?nbsp; A．－8 B．－2 C．2 D．8 2．設矩陣A＝ ，則A－1＝（ ） A． B． C． D． 3．設A是n階方陣，｜A｜＝0，則下列結論中錯誤的是（?。?nbsp; A．秩（A） B．A有兩行元素成比例 C．A的n個列向量線性相關 D．A有一個行向量是其余n-1個行向量的線性組合 4．若向量組α1，α2，…，αs的秩為r(r A．多于r個向量的部分組必線性相關 B．多于r個向量的部分組必線性無關 C．少于r個向量的部分組必線性相關 D．少于r個向量的部分組必線性無關 5．若α1，α2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個不同解，則Ax=b必有一個解是（ ） A．α1＋α2 B．α1－α2 C．α1－2α2 D．2α1－α2 6．若齊次線性方程組 的基礎解系含有兩個解向量，則t＝（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．設A，B均為n階矩陣，且秩（A）＝秩（B），則必有（?。?nbsp; A．A與B相似 B．A與B等價 C．A與B合同 D．｜A｜＝｜B｜ 8．設3階矩陣A的三個特征值是1，0，－2，相應的特征向量依次為 ， ， ， 令P＝ ，則P－1AP＝（?。?nbsp; A． B． C． D． 9．設λ0是可逆矩陣A的一個特征值，則2A－1必有一個特征值是（?。?nbsp; A． λ0 B． C．2λ0 D． 10．二次型f(x1,x2,x3,x4)= 的秩為（?。?nbsp; A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分） 請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。 11．設D＝ ，Aij表示D中（i,j）元素（i,j=1，2，3，4）的代數余子式，則 A21＋A22＋A23＋A24＝______________________. 12． ＝______________________. 13．若A，B均為3階矩陣，且｜A｜＝2，B＝－3E，則｜AB｜＝_____________________. 14．若向量組α1＝（1，0，0），α2＝（2，t,4）,α3=(0,0,6)線性相關，則t=_____________. 15．設矩陣A＝ ，其中aibi≠0(i=1,2,3).則秩（A）＝_______________. 16．設A是n階矩陣，秩（A） 17．設A為n階矩陣，若齊次線性方程組Ax=0只有零解，則非齊次線性方程組Ax=b的解的個數為_____________________. 18．已知n階方陣A與B相似，且B2＝E.則A2＋B2＝_____________________. 19．設A為n階矩陣，若行列式｜5E－A｜＝0，則A必有一特征值為__________________. 20．二次型 的規范形是_____________________. 三、計算題（本大題共6小題，每小題8分，共48分） 21．計算行列式 的值. 22．設A＝ ，B＝ ，矩陣X滿足方程AX＝BT，求X. 23．求下列向量組的秩和一個最大線性無關組. α1＝ ，α2＝ ，α3＝ ，α4＝ ，α5＝ ， 24．確定λ，μ的值，使線性方程組 有解. 25．已知向量α1＝(－1，1，1)T，α2＝(1，0，1)T，求一單位向量α3，使α3與α1，α2都正交. 26．用正交變換化二次型 為標準形，并寫出所用的正交變換. 四、證明題（本大題共2小題，每小題6分，共12分） 27．設A是n階方陣，｜A｜≠0，證明｜A*｜=｜A｜n-1. 28．已知n階方陣A的各行元素之和均為a，證明向量x=(1，1，…，1)T為A的一個特征向量，并求相應的特征值. |
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