投資組合管理公式（譯文）
拉爾夫.文斯
Ralph Vince
期貨、期權與股票市場數(shù)學交易方法
PORTFOLIO MANAGEMENT FURMULAS
Mathematical Trading Methods for the Futures, Options, and Stock Markets
前言（Preface）
這是一本關于數(shù)學工具的書。從數(shù)學的觀點來看，這些工具對交易者極為重要。因此，我的觀點是，它們將改變交易者看待市場的方式。
本書的主旨適用于任何一種市場的參與者，盡管其初衷是針對商品期貨市場的交易者。無論讀者參與的是何種市場，他們很可能缺少本書中將討論的一種或多種工具。如我們將要看到的，忽視這些工具中的任何一種都將付出巨大的代價。
第一種工具只是交易選擇，對系統(tǒng)交易者來說就是系統(tǒng)選擇。這是多數(shù)交易者全神貫注的方面，也是大量書籍著力描述的方面。除了對諸多系統(tǒng)問題和系統(tǒng)缺陷闡明糾正措施外，本書的重點不放在交易選擇或系統(tǒng)選擇上。這些問題和缺陷主要在構造交易系統(tǒng)過程中應用計算機進行權衡。
現(xiàn)在，我們來看被忽視的工具，這些工具是正文的核心內容。第一種工具是數(shù)量。本書將向交易者闡明，對于給定的市場給定的系統(tǒng)，何謂適宜于交易的數(shù)量。在本書中，讀者對交易市場的理解將變成為讀者認識到數(shù)量與交易選擇的同等重要。誰都不支配誰。讀者開始認識到，他們在交易中應該控制的并非上次交易的贏或虧，而是是否有正確的數(shù)量。錯誤的數(shù)量是如此眾多的基金經(jīng)理無法戰(zhàn)勝標準普爾500指數(shù)的主要原因之一。指數(shù)不存在收益再投資的問題，而基金經(jīng)理存在這個問題。
在令人滿意的交易選擇工具和適宜的決定數(shù)量工具之后，交易者需要的第三種工具是收益的相關性這一重要概念。這第二種被忽視的工具也稱為多樣化，而且與前兩種工具同樣重要。本書將對多樣化程序進行量化，向讀者闡明的不僅是在何種市場用何種系統(tǒng)進行交易，而且是針對每個市場所交易的正確數(shù)量如何實現(xiàn)多樣化。大多數(shù)交易者只是將多樣化視為一種消除風險的功能，在這種意義上，多樣化被忽視。然而，多樣化的作用遠遠多于只是消除某些與交易有關的風險。如果完全發(fā)揮作用，多樣化可以為改善投資業(yè)績做好準備。如我們將要說明的，選取一個賺錢的市場一個在同一時期虧錢的市場，由這兩個市場復合而成的市場可能會顯出比單一的賺錢的市場具有更大的收益。
在給予交易者的能力以及交易者因忽視這些工具中的一種而受到懲罰這兩個方面，這兩種被忽視的工具（即數(shù)量與收益的相關性）幾乎不為人理解。加上適宜的交易選擇與（或）系統(tǒng)選擇，這些構成了所謂的資金管理（money management）。所有這三種工具對于市場中任何交易的成功都是必需的。本書將用數(shù)學闡明，在市場中不使用所有這三種工具所取得的任何成功都是純粹的偶然事件。
與資金管理工具所提出的相比，讀者也將更多地受到觀念上的影響。向讀者介紹一種觀念----將交易系統(tǒng)所產(chǎn)生的利潤流和虧損流看作一種非穩(wěn)定分布（non-stationary distribution）。這解釋了為什么系統(tǒng)往往運行得忽好忽壞。在自由市場中交易的任何品種的價格也顯示出這一特性，這就是任何一種自由交易品種的圖表似乎顯示出隨機產(chǎn)生價格的期間以及某種強非隨機因素確定出現(xiàn)的期間（比如鎖定連續(xù)的10天）的原因。我希望這種非穩(wěn)定分布的觀念在與眾不同更富有成效這方面給讀者以啟發(fā)，而不只是將其視為進出交易的更好方式。
最后，讀者將習慣于將預期大幅降低作為應用本書中所解釋的技術工具保持帳戶長期增長的一部分。不幸的是，如果交易者是以數(shù)學最優(yōu)化的方式管理帳戶，預期的大幅降低就是生活中的一種現(xiàn)實。與大多數(shù)交易者不同，本書的讀者會在心理上做好這些預期降低的準備，在它們作為程序的一部分出現(xiàn)時識別出它們。讀者會注意到每種成功的交易程序都必須涵蓋一定的時段，其間該程序的交易者會很容易被誘使中止交易。如果該程序令人滿意，那么，中止交易就不是明智的選擇。作為對本書中這一主題的應對結果，我希望在多數(shù)交易者很容易被誘使認輸時，讀者們不會認輸。留有余地比認輸需要更多的技巧。
俄亥俄州，查格林瀑布
1990年6月
R.文斯
導言：關于本書
以前，你已經(jīng)在市場中進行過交易。你相信自己擁有了某種贏利之道。現(xiàn)在呢？
本書將改變你看待市場交易的方式。你可能對資金管理或風險回報有一些先入之見。本書中提出的某些主題可能會有啟發(fā)性，某些可能會比較單調，另外一些的含義可能會有一定難度。不管你如何看待這些主題，它們對于發(fā)揮你的贏利之道的作用都是至關重要的。本書將從數(shù)學的觀點向你闡明如此這般的原因所在。
本書關注的是在有利不確定性（favorable uncertainty）環(huán)境中的最優(yōu)幾何增長問題。所謂有利不確定性環(huán)境，換句話說，即事件集合有利的單個獨立事件的風險環(huán)境。這表示存在著運用這種事實的寬頻譜，即使它出現(xiàn)在交易市場相當狹窄的區(qū)域內。
本書中描述的許多數(shù)學知識也適用于其他的幾何增長函數(shù)，比如：
· 細胞生長或體力增加
· 因廣告引致的銷售增長
· 放射性物質的衰變
· 藥品的半衰期
· 化學反應的變化
· 物體的冷卻
· 人類、動物、植物、細菌或病毒數(shù)量的增長，或者傳染病通過上述群體的擴散。
這張清單還可以不斷延續(xù)下去。
不過，本書只涉及資本增長的幾何函數(shù)。我們研究有關的數(shù)學并提出關于其他評判標準的增長最大化法則。在市場參與者的詞匯中，這被稱為“資金管理”，但是要記住：我們只是在給這種事實的運用頻譜蒙上一層銀色。
許多投身于市場的人對于資金管理有著錯誤的觀念。幸運的是，在這一點上存在著正確的數(shù)學觀念。本書提出了正確的數(shù)學觀念，使你不會象其他眾多的交易者和基金經(jīng)理一樣，迷失在同一片無知的海洋中。
書中所提出的許多觀念來源并成熟于我為期貨行業(yè)中人編程的實踐之中。在1988年的年中，我為某個交易者設計的計算機程序出現(xiàn)了令人困擾的異常現(xiàn)象。后來，一個星期五的下午，我獲悉我的程序顯示在這一期間它一直在贏利，而應用該計算機程序管理的帳戶卻沒有贏利。令人困擾的是計算機程序沒有絲毫的差錯，而且我們采納了所有它給出的交易信號。我搞不懂了。在那天剩下的時間里，我的思緒無法擺脫這個問題。
那個星期六的早晨，我醒來時終于領悟了解釋真實發(fā)生情況的所有各種觀點和公式。那些觀點的痕跡最終成文于本書。我努力去做的是為交易者或基金經(jīng)理描繪一幅完整統(tǒng)一的畫面，使他們知曉為了將來取得數(shù)學意義上的最佳業(yè)績應如何管理自己的帳戶。因此，你在本書中所讀到的大多數(shù)內容并不新穎；更確切地說，為了創(chuàng)作這幅完整的畫面需要把空間填滿。本書的目的也非取代討論這一主題或類似主題的其他書籍，相反，是為之增磚添瓦，并提出新的相關主題。
我無意寫一本關于這一主題的書。實際情況是，由于我對這一主題的數(shù)學進行了研究，我最終得出的答案無法在五分鐘的談話中完全解釋清楚。而且，答案的性質使然，最終導致一本書的形成（因為答案依次建構在彼此之上）。所以，你瞧，本書就是我一開始以為是計算機程序中一個簡單缺陷（bug）的自然發(fā)展的必然結果。
在大多數(shù)人聽到“資金管理”這一詞語時，他們會認為你所指的是消除或降低消耗。但那不是本書中的含義。通常，你要承受巨大的消耗使你能夠在市場中最有效地運用你的資金。
這里提出的觀念不會保證你賺錢。它們不是能夠空手套白狼的萬無一失的公式。相反，這里提出的觀念將從數(shù)學上向你闡明，如何在你具有優(yōu)勢的給定條件下使?jié)撛诨貓?-潛在風險比率最優(yōu)化。發(fā)現(xiàn)你的優(yōu)勢是你自己的職責。本書假定你已經(jīng)能夠在市場中賺錢。本書還假定你已經(jīng)在有利不確定性環(huán)境中進行操作。
定量化在此（THE QUANTS ARE HERE）
如今，對市場的計算機化分析已經(jīng)使我們達到將所有的擺動指標、均線、交易系統(tǒng)、以及交易市場其他的數(shù)字分析技術打入冷宮的程度。在擁有所有這些計算機化的最優(yōu)化和模擬之后，我們發(fā)現(xiàn)圣杯（the Holy Grail）仍在躲避著我們。
加入定量化，現(xiàn)今的策略博弈冠軍為質量控制賦予新的定義：“在其上加一個數(shù)字。”如果你能夠給某個事物上加上一個數(shù)字，那么你至少對這種程序有一定的理解。對市場定量化的態(tài)度是將風險管理策略作為交易市場基礎的一種理解。
定量化是現(xiàn)今市場分析的趨勢，是一種數(shù)學的而不是魔術的方法，是一種以計算機為特征而不是以年長的“高僧”的直覺為特征的方法。本書可歸為定量化方法一類，但它還既不是這種方法的開端，也不是這種方法的終了。
不要將風險管理策略的標題混淆為必然意味著低風險。通常，恰恰其對立面才是真實的。這里所描述的方法涉及到潛在收益-潛在虧損比率的最大化；通常，潛在虧損可能高得使人感覺不舒服。
一般來說，這與大多數(shù)人的風險厭惡水平相悖。例如，使用本書中所討論工具的交易者可能會發(fā)現(xiàn)他們的最佳交易水平應該比現(xiàn)在多進行一倍的交易。這可能比他們所能承受的風險更大；因此，他們保持與目前同樣數(shù)量的交易。這樣做，他們僅有最佳數(shù)量交易時一半的風險。然而，他們沒有另一半的潛在收益；他們所有的不足潛在收益的一半。
最后，本書中所描述的方法符合漸進線優(yōu)勢，這意味著潛在收益-潛在虧損比率在長期意義上的最大化。換句話說，所得出的結論一般帶有某種事物重復無窮數(shù)次的限定性條件。
你在本書中找不到的內容
書中所選取的素材沒有復雜的，盡管一開始可能需要動動腦筋才能完全領會。每一章節(jié)以教科書的格式建構在前一章節(jié)的基礎上。因而，你必須按照給出的順序一次一個章節(jié)循序漸進。
我力求盡可能地簡明中肯。我力求找到折衷辦法，給出復雜現(xiàn)象的完整解釋而不至寫成專題論文。作為結果，某些“進一步的引申”尚未得到完整的證明。這種情況發(fā)生在以下兩種原因同時出現(xiàn)時：
1、 我們尚未得到我們認為的對現(xiàn)象的完全理解。
2、 即使對這一現(xiàn)象描繪一幅不完整（而且，結果可能是不正確）的畫面，也會需要一篇冗長、復雜而且通常是專業(yè)性的論文。
這里正好有一個這種情況的例子。我們頻繁地使用統(tǒng)計學中所稱的“正態(tài)概率分布”。我們可以使用基于這種分布的統(tǒng)計工具。我們經(jīng)常將這些工具用于期貨價格，然而，期貨價格并不服從正態(tài)概率分布。一些人認為期貨價格服從穩(wěn)定的paredian分布系列，一些人認為期貨價格服從學生分布（the Student’s Distribution），等等。我們可以證明價格不服從學生分布，因為學生分布是對稱的，而期貨價格的分布則不是。另一方面，穩(wěn)定的paredian系列根本就幾乎無法理解。我們可以研究它幾乎無法理解的原因，我們可以研究其他類型的分布；由此，我們可以研究許多種推理的途徑。然而，這樣做是沒有意義的，因為我們還沒有找到這些問題的確切答案，討論也將變得冗長而復雜。但是，這并不意味著這些不是素材及重要的問題。它們只是屬于其他的書，而不是這本書。
基于類似的理由，我們也將不涉及某些相關的概念，諸如對于市場的非線性和混沌理論的研究、資金管理的專家系統(tǒng)，等等。這并非是因為這些主題不值得過多地討論，而是因為這些內容（包括其他）更適合單獨作為整個一本書的主題。
另一個你在本書中找不到的是用來表示變量的希臘字母。謝天謝地！1970年代，在我成長的過程中我學會了用FORTRAN語言編程。此后，計算機鍵盤上就沒有希臘字母了。今天沒有，希望今后永遠不會有。希臘字母于清晰的數(shù)學表達式?jīng)]有絲毫的幫助，因此，適得其反。
章節(jié)順序
第一章，我們研究隨機過程與賭博理論。這里的目的是為以定量的方法研究交易系統(tǒng)打下基礎。第二章研究交易系統(tǒng)，以及如何使交易系統(tǒng)將來可靠地運行。第三章建構在前兩章所闡述內容的基礎上，研究收益再投資的特性。正是在這一章中，我們開始討論幾何增長概念。
第四章是整本書的核心；在這里，最優(yōu)f被引入。最優(yōu)f是一種可能由任意概率分布的離散結果流產(chǎn)生最大幾何增長的技術（假定離散結果的加總是贏利的）。假定我們用一只溫度計測量洛杉磯市區(qū)的溫度。溫度在全天中的變化是連續(xù)的，但是，我們只是每小時記錄一次溫度。那些每小時的讀數(shù)就是我們所稱的離散讀數(shù)。它們是單獨的小“信息包”，通常自另外的連續(xù)函數(shù)采樣。由某個交易系統(tǒng)產(chǎn)生的交易也是離散的（盡管它們并非來自連續(xù)函數(shù)），就象輪盤賭游戲的結果一樣。
第五章是關于破產(chǎn)風險計算的。第六章闡述如何將各個最優(yōu)f組合為最優(yōu)多樣化。本章對最優(yōu)系統(tǒng)以及用最優(yōu)系統(tǒng)交易的市場進行量化。接下來，第七章討論一些零碎的內容以及相關的結語。最后是一個附錄，包括本書中的許多等式、運行一些有趣任務的計算機編碼、以及一些隨時可以運行的程序。
熟視無睹（THE OBVIOUS USUALLY GOES UNNOTICED）
當你學完這本書時，書中提出的所有概念應該看上去都是明擺著的。正因為是明擺著的，你可能會納悶：為什么你在交易中過多強調交易選擇而沒有充分強調這些“資金管理”概念？從數(shù)學的觀點你將會看到，這些概念必定是一個合理的交易程序的核心。
有一個交易者沒有給予這些技術適當權重的原因。大多數(shù)人可能從未看到數(shù)學上的明顯事實。例如，在美國以及假定除英國以外的其他各個地方，如果一輛車想要左轉彎，轉彎車輛就必須避讓迎面駛來的車輛。
現(xiàn)在，我們來考察一下這種情況。轉彎車輛以及在同一車道上轉彎車輛后面的每輛車必須等待迎面車道上所有其他車輛通過。從數(shù)學上來看，目前情況下左轉組織結構的“車輛等待單位”大約等于A乘以B，其中，A為左轉車輛及其后面的所有車輛，B為迎面車道上車輛的數(shù)目。
現(xiàn)在，我們研究一下左轉車輛得到行車權時會發(fā)生什么情況（我們只考慮雙車道道路的情況，紅燈一亮我們即刻起程，該左轉車輛為紅燈亮后駛出的第一輛車。另假定左轉車輛的轉向燈一直亮著！）。現(xiàn)在，如果左轉車輛被允許在迎面駛來的車輛之前轉彎，車輛等待單位的等式大約為1乘以B，其中，B為迎面車道上車輛的數(shù)目。
假如迎面車道上有5輛車，左轉車道上有5輛車（包括左轉車輛）。在目前的情況下，車輛的凈等待單位為25個車輛單位。在另一種情況下，等待單位為其1/5，即5個單位。顯然，第二種情況將大大加快交通流量。車輛越多，加快的流量就越大，因為這是一個指數(shù)函數(shù)。
這種觀點以前曾向你說明過嗎？問題在于存在著以前你所不了解的、切實可行的、合情合理的、更好的行事方式。
給初學者的書（A BOOK FOR BEGINNERS）
交易者開始學習本書時還需要具備在交易市場中贏利的技術。對此，我最后可能要說，這不是一本給初學者的書。但我的愿望是，當你學完這本書時，你會發(fā)現(xiàn)它物有所值。
本書中所用的慣用法（COVENTIONS USED IN THIS BOOK）
我已盡量在全書中最低限度地保留數(shù)學符號，即使全篇充滿了數(shù)學等式。而且，我已盡量使符號在全書中保持一致。作為結果，除法（分數(shù)）幾乎都用斜線（/）表示。這比除法用其他方式表示更加“鍵盤化”。大多數(shù)計算機語言用這種方式表示除法。
同樣地，乘法都用星號（*）表示。這樣做有四個原因。首先，同樣是因為大多數(shù)計算機語言用這種方式表示乘法運算。其次，使用星號，我們不會將乘法運算符X與命名為X的變量相混淆。使用星號的第三個原因是與乘法的另一種表示方式---圓點進行對比，這是因為并不是所有鍵盤上都有圓點，而且圓點通常不象星號一樣為人普遍地接受。第四個也是最后一個原因，另一種不使用運算符的做法也可能會混淆，見以下例子的說明：
AB=C
我們要問這是否表示：
A*B=C
或者，這里引入了一個獨立于變量A和變量B的新變量AB？
在全書中，求冪運算用凸起的加字符（^）表示。例如，式10^3表示10的3次冪，或1000。根式只是分數(shù)冪。因此，1000的立方根表示為1000^(1/3)，顯然，該式等于10。求冪應該有一個運算符，而不只是一個冪的上角標。因此，我們的符號更加一致。當我們求一個數(shù)的根時還可以得到進一步的一致性。將加字符用作運算符，我們用與數(shù)學運算有關的方式表示求一個數(shù)的根，即一個數(shù)自乘分數(shù)次冪（實際上，當一個數(shù)大于1時，運算結果小于原數(shù)）。
但是，以這種方式表示求冪運算的主要原因在于，許多讀者會想要對書中出現(xiàn)的很多內容進行編程。使用這種求冪格式，會使編程更快捷、更容易，而且更不容易出錯。
用這種方式表示求冪運算，我們也廢止了根號的使用。這樣做，我們使求冪運算更加“鍵盤化”，并且使得用數(shù)學優(yōu)先律分析公式更加容易。此外，隨著計算機的同步發(fā)展，以這種方式表示求冪運算已成為一種趨勢。（在這里，我并不是試圖證明一種趨勢，而是順應一種業(yè)已形成且能提高我們的理解力的趨勢。）
我們往往認為我們的數(shù)字和數(shù)學符號是不變的、普遍接受的。相反，它們非常容易變化。試想，十進制直到11世紀才傳入歐洲，但是沒有被欣然接受，因為它無法表示分數(shù)。直到1617年，小數(shù)點才被約翰.納皮耶引入。在15世紀，符號p和m被用于表示加法和減法。對我們所看到的符號+和-的最早使用是在1481年。只是到最近幾個世紀，數(shù)學符號才形成普遍接受的形式。例如，17世紀，德國數(shù)學家萊布尼茨用類似翻轉過來的小寫字母u的符號表示乘法。笛卡兒用看上去象小寫字母o和c“背靠背”連接起來的符號表示等號。是笛卡兒偶然地引入了方根號，而我們在這里試圖用^(1/2)來取代它。在用字母M表示之前，早期的羅馬人用我們現(xiàn)在用來表示無窮大的符號來表示數(shù)字1000。1713年，伯努利開始用這個符號表示無窮大，從此，這種用法就被人們接受。
數(shù)學符號的演化大多發(fā)生在最近幾個世紀。隨著計算機的出現(xiàn)，這種演化的速度現(xiàn)在成倍地提高。因此，我們可以在本書中發(fā)揚傳統(tǒng)，更用凸起的加字符表示求冪運算，因為數(shù)學符號的傳統(tǒng)幾乎不是靜止不變的！
我非常好奇地發(fā)現(xiàn)，普遍接受的數(shù)學符號距今只有100年！我想象著我們的后代將使用某種類型的多進制體系而不是我們所用的原始單一的十進制體系。或許，他們用這樣一種體系能夠更好地表示無理數(shù)以及我們今天難以表達的數(shù)字概念。
許多我們想當然的慣用法將被更好的用法取代。例如，當你站在北極時，你的周圍都是南方！你從北極朝任何方向邁出的第一步都是朝南的。那是因為我們的經(jīng)度緯度體系用的是極坐標。極坐標試圖強行使二維體系（在飛機上繪制地圖）與一個三維物體（即，地球）的表面相吻合。顯然，這樣做是愚蠢的，無法令人滿意的。我們應有更好的體系用來確切地描述三維物體表面上的各個點。
遠在哥倫布發(fā)現(xiàn)美洲之前，除了幾個傻瓜以外，每個人都知道地球是圓的。你還能怎樣解釋返航的船只在地平線上消失的事實？問題在于更好的體系并沒有進入日常所用，這只是因為在人們盡力使用新體系之前，時間已經(jīng)流逝。這也是本書盡量用這種方式表示數(shù)學運算的部分原因。我們的愿望是使運算更清晰，等式更容易用數(shù)學優(yōu)先律進行分析（而且，結果是更容易從書中搬到計算機鍵盤上）。
假定讀者至少具備起碼的代數(shù)知識和基本的統(tǒng)計學知識（或者至少曾經(jīng)具備）。這時候，值得復習的一部分內容是數(shù)學優(yōu)先律。本書從頭到尾會有大量的等式。很多讀者不能充分理解等式，除非對所有的要點加以注釋（否則，他們會覺得作者的表達不明確，使讀者對等式產(chǎn)生歧義）。舉例說明這個問題，來看：
1+2*3
某些人可能認為這個式子表示(1+2)*3，等于9。但那是不對的。正確的答案是1+(2*3)或7。
再來看等式：
-6+
上式等價于-6+49，或43。而非：
該式等于1。根據(jù)數(shù)學優(yōu)先律你應知道這點，優(yōu)先律規(guī)定除非加括號與此相反（括號只能用于與數(shù)學優(yōu)先律相反的等式運算），你應按照以下方式進行等式運算：
1. 首先運算所有的求冪（包括根號）。
2. 其次運算所有的單項減法。
3. 第三運算所有的乘法和除法。
4. 第四運算所有的加法和減法。
5. 如果存在同等優(yōu)先，則從左至右進行運算。
單項減法只是表示僅有一個運算域的減號。通常，減法有2個運算域：
運算域-運算域
單項減法與此相對，僅有一個運算域：
-運算域
準確地說，單項減法表示“一個負數(shù)”。如果你不理解數(shù)學優(yōu)先律，現(xiàn)在就學習，不然對于本書中的等式你會有麻煩。
你將在書中再三遇到“市場系統(tǒng)”這一術語。市場系統(tǒng)是指關于特定市場的特定交易系統(tǒng)。與關于債券的系統(tǒng)B或關于白銀的系統(tǒng)A相比，關于債券的系統(tǒng)A是一個不同的系統(tǒng)。另請注意：本書正是在這方面對金字塔式加倉進行討論。那將使問題得到簡化。我們將討論一旦進行交易就不做金字塔式加倉的系統(tǒng)，而“金字塔式加倉”定義為給已在進行中的交易增加更多的合約。這樣簡化應該有助于理解。即使不增加金字塔式加倉的內容，我們提出的概念也是復雜的。這并不是說我們完全忽視了金字塔式加倉。相反，一旦交易已在進行，期貨研究員應將增加合約作為開倉系統(tǒng)之外的獨立系統(tǒng)對待。這樣做，我們可以對于不同的系統(tǒng)對蘋果和蘋果進行比較，也可以對于不同的系統(tǒng)對開倉和加倉（金字塔式）進行比較。當我們在第四章中討論最優(yōu)f時，你會學到作為你的開倉系統(tǒng)的給定市場系統(tǒng)的最優(yōu)交易合約數(shù)。將開倉系統(tǒng)與金字塔式加倉系統(tǒng)分為獨立的系統(tǒng)，你還能夠確切地知道金字塔式加倉的合約數(shù)。
通常，書中提出的概念會以下注的方式表述，或者以賭博術語表述。賭博和投機之間主要的區(qū)別在于，賭博創(chuàng)造風險（由此，在大多數(shù)社會中，賭博在道德上被認為是錯誤的），而投機則是將業(yè)已存在的風險轉嫁給別的投機者。關于賭博的參考資料和例子都被用來以盡可能清晰的方式說明有關的問題。通常，用賭博說明問題比用交易說明問題更容易理解，因為用賭博說明問題往往更為簡潔。不過，這并不是一本關于賭博的書。
在本書中，某些句子、短語或段落用斜體字表示。這些斜體部分并非只是加重語氣。當一個概念是公理或原理時，它就會用斜體表示。因此，你在閱讀中要確信你總是能夠完全理解斜體字的內容。
第一章 隨機過程與賭博理論
向空中拋一枚硬幣。這一瞬間，你便體驗到自然界最令人著迷的悖論之一----隨機過程。當硬幣在空中的時候，我們不能確定它落地后是正面還是反面朝上。然而，經(jīng)過多次拋擲，我們就能合理地預測結果。
盡管足夠奇怪，但是，關于隨機過程存在著大量的誤解和誤導。我們的祖先試圖解釋隨機過程，而在這樣的嘗試中，他們創(chuàng)造了我們今天所說的迷信。除了概率和統(tǒng)計課上學到的一點皮毛之外，大多數(shù)人從未在學校學過一點有關隨機過程的知識。隨機過程幾乎一直被錯誤地理解，這有什么好奇怪的嗎？
因此，我們就從這里開始討論。
在討論隨機過程時，我們會給出一些公理。這些公理中的第一條就是：隨機過程中一個獨立事件的結果無法被預測。然而，我們可以將可能的結果簡化為概率陳述。
皮埃爾.西蒙.拉普拉斯（Pierre Simone Laplace，1749-1827）將一個事件的概率定義為事件可能的發(fā)生方式的數(shù)目與事件總的可能數(shù)目的比率。因此，當我們擲一枚硬幣時，得到反面的概率為1（一枚硬幣反面的數(shù)目）除以2（可能事件的數(shù)目），概率為0.5。在我們擲硬幣的例子中，我們不知道結果是正面還是反面，但是，我們確切地知道結果為正面的概率為0.5，結果為反面的概率為0.5。因此，概率陳述就是一個位于0（所考慮的事件問題根本沒有機會發(fā)生）和1（事件確定會發(fā)生）之間的數(shù)字。
通常，你要將概率陳述轉換為機率，反之亦然。這兩個概念是可以互換的，因為機率表示概率，而概率也表示機率。現(xiàn)在，我們給出這些轉換。當機率已知時，機率轉換為概率的公式為：
概率=（正機率/（正機率+逆機率））
例如，如果一匹賽馬的機率為4比1（4：1），則，這匹馬獲勝的概率（如機率所暗含的）即為：
概率=（1/（1+4））
=（1/5）
=0.2
因此，一匹4：1的賽馬也可以被說成有0.2的獲勝概率。如果機率為5比2（5：2）結果又如何？在這種情況下，概率為：
概率=（2/（2+5））
=（2/7）
=0.2857142857
從概率轉換為機率的公式為：
機率（逆，比一）=（1/概率）-1
因此，對于我們擲硬幣的例子，當出現(xiàn)正面的概率為0.5時，出現(xiàn)正面的機率如下式給出：
機率=（1/0.5）-1
=2-1
=1
這個公式給你的總是機率“比一（to one）”。在這個例子中，我們可以說成出現(xiàn)正面的機率為1比1。
我們前面的例子又是怎樣的情況？在那個例子中，我們將5：2的機率轉換為0.2857142857的概率。我們來將概率陳述轉換回機率，看看能否做到。
機率=（1/0.2857142857）-1
=3.5-1
=2.5
這里，我們可以說成這種情況下的機率為2.5比1，與說成機率為5比2是一樣的。因此，當某個人說到機率時，他也就是在說概率陳述。
大多數(shù)人不會處理概率陳述的不確定性；這只是因為他們沒有很好地理解概率陳述。我們生活在一個精密科學的世界中，而人類的天性是相信自己無法理解那些只能簡化為概率陳述的事件。在量子物理學問世之前，物理學的王國似乎是穩(wěn)固的。我們有方程式用來說明我們觀察到的大多數(shù)過程。這些方程式是真實的，可以證明的。它們反復出現(xiàn)，在事件發(fā)生之前結果就能夠精確地計算出來。隨著量子物理學的問世，一切突然到此為止，精密科學僅僅能夠將物理現(xiàn)象簡化為概率陳述。可以理解，這使許多人感到不安。
我并非是在支持價格運動的隨機漫步觀念，也不是在要求你們接受市場是隨機的觀念。無論如何，這不是我的目的。象量子物理學一樣，市場中是否存在隨機性是一種情感化的觀念。到這一階段，讓我們把注意力只集中于隨機過程，因為這與某種我們確信是隨機的事物有關，比如擲硬幣或賭場的賭博。如此，我們首先可以理解隨機過程，然后可以研究其應用。隨機過程是否適用于其他領域（比如市場），是一個可以稍后提出的問題。
從邏輯上來講，有個問題必然會出現(xiàn)：“隨機序列何時開始何時終結？”隨機序列實際上沒有終結。即使你離開牌桌，二十一點牌戲仍在繼續(xù)。當你在賭場中從一桌換到另一桌時，我們可以說隨機過程一直跟隨著你。如果某天你離開了牌桌，隨機過程可能會中斷，但是，你一回來它就繼續(xù)下去。因此，當我們談到事件X的隨機過程的長度時，我們是為了研究隨機過程而主觀地挑選某些有限的長度。
獨立試驗過程VS條件試驗過程（INDEPENDENT VERSUS DEPENDENT TRIALS PROCESSES）
我們可將隨機過程分為兩種類型。第一種是那些一個事件到下一個事件的概率陳述固定不變的事件。我們將這些稱為獨立試驗過程或放回抽樣。擲硬幣就是這種隨機過程的一個例子。不管前一次拋擲的結果如何，每次拋擲的概率都是50/50。即使前5次拋硬幣都出現(xiàn)正面，再拋一次硬幣出現(xiàn)正面的概率并不受影響，仍然是0.5。
在另一種隨機過程中，事件的概率陳述必然受到前一事件結果的影響，自然，一個事件到下一個事件的概率陳述不是固定不變的。這種類型的事件被稱為條件試驗過程或不放回抽樣（sampling without replacement）。二十一點牌戲就是這種隨機過程的一個例子。一旦出過一張牌，這副牌的組成在抽下一張牌時就與抽上一張牌時不同。假定一副新牌已經(jīng)洗過并拿走一張牌，比方說，拿走的是方塊A。在拿走這張牌之前，抽出一張A的概率是4/52或0.07692307692。既然已經(jīng)從這副牌中抽出一張A而且不放回，那么，下一次抽出一張A的概率就是3/51或0.5882352941。
有些人認為，上面這樣的條件試驗過程實際上并非隨機事件。盡管如此，為了我們討論問題，我們假定它們是隨機事件----因為事件的結果仍然無法預先知道。最好的做法就是把結果簡化為概率陳述。設法將獨立試驗過程和條件試驗過程之間的區(qū)別考慮為僅僅在于，根據(jù)前面的結果，一個事件到下一個事件的概率陳述是固定的（獨立試驗）還是可變的（條件試驗）。實際上，這是它們之間唯一的區(qū)別。
任何事件都可以簡化為概率陳述。從數(shù)學的觀點來看，結果可以在事實之前知道的事件與隨機事件的區(qū)別僅僅在于其概率陳述等于1。例如，假定從一副52張的牌中拿走51張牌，而且你知道拿走的是哪些牌。因此，你知道剩下的那張牌是什么的概率為1（確定性）。現(xiàn)在，我們要討論獨立試驗過程，尤其是簡單的拋擲硬幣。
數(shù)學期望（MATHEMATICAL EXPECTATION）
在這個問題上，我們需要理解數(shù)學期望的概念。數(shù)學期望有時也稱為游戲者勝出（對游戲者來說期望為正）或莊家占優(yōu)（對游戲者來說期望為負）。
數(shù)學期望=（1+A）*P-1
其中，P=贏的概率
A=可能贏得的金額/可能輸?shù)舻慕痤~
因此，如果你正要拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面你會贏得2美元，但出現(xiàn)反面你會輸?shù)?美元，每拋一次的數(shù)學期望為：
數(shù)學期望=（1+2）*0.5-1
=3*0.5-1
=1.5-1
=0.5
換句話說，每拋一次硬幣你預期平均贏得50美分。
這個剛剛描述的公式給出了有兩種可能結果的事件的數(shù)學期望。有兩種以上可能結果的條件下又當如何？下面的公式將給出結果為無限可能情況下的數(shù)學期望。它也能給出只有兩種可能結果的事件（比如剛才描述的2對1拋硬幣）的數(shù)學期望。因此，這個公式是優(yōu)先的。
數(shù)學期望=
其中，P=贏或輸?shù)母怕?
A=贏或輸?shù)慕痤~
N=可能結果的數(shù)目
數(shù)學期望的計算是將每種可能的贏或輸?shù)慕痤~分別與贏或輸?shù)母怕氏喑耍缓髮Τ朔e求和。
現(xiàn)在，我們來看在更復雜的新公式中2對1擲硬幣的數(shù)學期望：
數(shù)學期望=（0.5*2）+（0.5*（-1））
=1+（-0.5）
=0.5
當然，在這個例子中，你的數(shù)學期望是每拋一次平均贏得50美分。
假定你在玩一種游戲，你必須猜中三個不同數(shù)字中的一個。每個數(shù)字出現(xiàn)的概率相同（0.33），但是，如果你猜中其中一個數(shù)字，你會輸?shù)?美元，如果你猜中另一個數(shù)字，你會輸?shù)?美元，如果你猜中正確的數(shù)字，你會贏得3美元。這種給定情況的數(shù)學期望（ME）為：
ME=（0.33*（-1））+（0.33*（-2））+（0.33*3）
=-0.33-0.66+0.99
=0
考慮對輪盤賭中的一個數(shù)字下注，你的數(shù)學期望為：
ME=（（1/38）*35）+（（37/38）*（-1））
=（0.02631578947*35）+（0.9736842105*（-1））
=（0.9210526315）+（-0.9736842105）
=-0.05263157903
如果你對輪盤賭（American double-zero，美國加倍-零式輪盤賭）中一個數(shù)字下注1美元，每轉一次你預期平均輸?shù)?.26美分。如果你下注5美元，每轉一次你預期平均輸?shù)?6.3美分。注意：盡管以數(shù)量表示的不同的下注數(shù)量具有不同數(shù)學期望，但是，以數(shù)量的百分數(shù)表示的下注數(shù)量的數(shù)學期望總是相同的。
游戲者對一系列下注的數(shù)學期望是單個下注的數(shù)學期望之和。因此，如果你在輪盤賭中對一個數(shù)字賭1美元，然后，對一個數(shù)字賭10美元，然后，對一個數(shù)字賭5美元，那么，你的總期望為：
ME=（-0.0526*1）+（-0.0526*10）+（-0.0526*5）
=-0.0526-0.526-0.263
=-0.8416
因此，你預期平均輸?shù)?4.16美分。
這個原理解釋了為什么在贏或輸?shù)慕痤~已知時（假定為獨立試驗過程），試圖改變下注規(guī)模的系統(tǒng)是注定要失敗的。負期望賭注的總和總是負的期望！
實值序列、可能結果及正態(tài)分布（EXACT SEQUENCES，POSSIBLE OUTCOMES，AND THE NORMAL DISTRIBUTION）
我們已經(jīng)看到，拋一枚硬幣給出兩種可能結果（正面或反面）的概率陳述。我們的數(shù)學期望是這些可能結果的總和。現(xiàn)在，我們拋兩枚硬幣。可能結果如下表：
硬幣一 硬幣二 概率
正 正 0.25
正 反 0.25
反 正 0.25
反 反 0.25
這也可以表示為有25%的機會得到兩個正面，25%的機會得到兩個反面，50%的機會得到一個正面一個反面。以表格形式表示為：
組合 概率
二正零反 0.25 *
一正一反 0.50 **
零正二反 0.25 *
右邊的星號說明可以有多少種不同的組合方式。例如，在上面拋兩枚硬幣時，一正一反有兩個星號，因為有兩種不同的方式可以得到這種組合。硬幣A可以為正面硬幣B可以為反面，或者與此相反，硬幣A為反面，硬幣B為正面。表格中星號的總數(shù)就是在拋那么多硬幣（兩枚）時，你可以得到的不同組合的總數(shù)。
如果拋三枚硬幣，我們會有：
組合 概率
三正零反 0.125 *
兩正一反 0.375 ***
一正兩反 0.375 ***
零正三反 0.125 *
對于四枚硬幣：
組合 概率
四正零反 0.0625 *
三正一反 0.25 ****
二正二反 0.375 *******
一正三反 0.25 ****
零正四反 0.0625 *
對于六枚硬幣：
組合 概率
六正零反 0.0156 *
五正一反 0.0937 ******
四正二反 0.2344 ***************
三正三反 0.3125 ********************
二正四反 0.2344 ***************
一正五反 0.0937 ******
零正六反 0.0156 *
這里要注意：如果我們把星號作為縱軸繪制成曲線，我們就得出大家熟悉的鐘形曲線，也稱為正態(tài)分布或高斯分布（見圖1-1）。
圖1-1 正態(tài)概率函數(shù)
最后，對于十枚硬幣：
組合 概率
十正零反 0.001 *
九正一反 0.01 **********
八正二反 0.044 *****（45種不同方式）
七正三反 0.117 *****（120種不同方式）
六正四反 0.205 *****（210種不同方式）
五正五反 0.246 *****（252種不同方式）
四正六反 0.205 *****（210種不同方式）
三正七反 0.117 *****（120種不同方式）
二正八反 0.044 *****（45種不同方式）
一正九反 0.01 **********
零正十反 0.001 *
注意：隨著硬幣數(shù)的增加，全部得到正面或全部得到反面的概率將減小。當我們用兩枚硬幣時，全部得到正面或全部得到反面的概率為0.25。三枚硬幣的概率為0.125，四枚硬幣的概率為0.0625；六枚硬幣為0.0156，十枚硬幣為0.001。
（注）實際上，在純粹的統(tǒng)計學意義上，拋硬幣并不服從正態(tài)概率函數(shù)，而是屬于一種所謂的二項分布（亦稱為伯努利分布或拋硬幣分布）。然而，隨著N的增大，二項分布的極限接近于正態(tài)分布（條件是相關概率不趨向于0或1）。這是因為正態(tài)分布是自右至左連續(xù)的，而二項分布則不是連續(xù)的，而且，正態(tài)分布總是對稱的，而二項分布則不一定是對稱的。因為我們處理的是拋有限枚硬幣，試圖使之對于拋硬幣具有普遍的代表性，加之概率總是等于0.5，故此，我們可將拋硬幣分布作為正態(tài)分布處理。需要進一步指出的是，如果事件發(fā)生N次的概率與對立事件發(fā)生N次的概率均大于0.5，正態(tài)分布可以被用作二項分布的近似。在我們拋硬幣的例子中，因為事件的概率為0.5（對于正面或反面），且對立事件的概率為0.5，則，只要我們處理的是N大于等于11的情況，我們就可以用正態(tài)分布作為二項分布的近似。
可能結果與標準差（POSSIBLE OUTCOMES AND STANDARD DEVIATIONS）
把一枚硬幣拋四次共計有16種可能的實值序列：
1. 正 正 正 正
2. 正 正 正 反
3. 正 正 反 正
4. 正 正 反 反
5. 正 反 正 正
6. 正 反 正 反
7. 正 反 反 正
8. 正 反 反 反
9. 反 正 正 正
10. 反 正 正 反
11. 反 正 反 正
12. 反 正 反 反
13. 反 反 正 正
14. 反 反 正 反
15. 反 反 反 正
16. 反 反 反 反
術語“實值序列”在這里表示一個隨機過程的實際結果。給定條件下所有可能的實值序列的集合被稱為樣本空間。注意：上面所描述的拋四枚硬幣可以是一次拋所有四枚硬幣，或者是一枚硬幣拋四次（即，它可以是一個時間序列）。
審視一下實值序列“反-正-正-反”和序列“正-正-反-反”，我們會發(fā)現(xiàn)其結果對于單調下注者（即，對每一種場合下一個單位的賭注）可能一樣的。不過，對于非單調下注者，這兩個實值序列的最終結果可能會大不相同。對于單調下注者，拋四枚硬幣的序列僅有5種可能的結果：
4正
3正1反
2正2反
1正3反
4反
正如我們已看到的，拋四枚硬幣有16種可能的實值序列。這一事實可能會涉及到非單調下注者。我們將非單調下注者稱為“系統(tǒng)”游戲者，因為那是他們最可能的行為----基于某些他們認為自己已解決的方案進行變量下注。
如果你拋一枚硬幣4次，你當然只能看到16種可能的實值序列中的一種。如果你再拋4次，你會看到另一種實值序列（盡管你有1/16=0.0625的概率能夠看到同一種實值序列）。如果你前往一個游戲桌觀看連續(xù)拋4次硬幣，你將只看到16種實值序列中的一種。你也會看到5種可能的最終結果中的一種。每個實值序列具有相等的發(fā)生概率，即0.0625。但是，每個最終結果并不具有相等的發(fā)生概率：
最終結果 概率
4正 0.0625
3正1反 0.25
2正2反 0.375
1正3反 0.25
4反 0.0625
大多數(shù)人不理解實值序列與最終結果之間的區(qū)別，結果是得出錯誤的結論，認為實值序列與最終結果是同一回事。這是一種可能會帶來大量麻煩的共有的誤解。是最終結果（而非實值序列）服從鐘形曲線----即正態(tài)分布，一種特殊類型的概率分布。所有概率分布一個有趣的特性就是統(tǒng)計學上所稱的標準差。
對于簡單的二項游戲的正態(tài)概率分布（比如我們這里所用的拋硬幣的最終結果），標準差（SD）為：
SD=N*(((P*(1-P))/N)^(1/2))
其中，P=事件的概率（例如，出現(xiàn)正面的結果）。
N=試驗次數(shù)。
對于拋10枚硬幣的情況（即，N=10）：
SD=10*(((0.5*(1-0.5))/10)^(1/2))
=10*(((0.5*0.5)/10)^(1/2))
=10*((0.25/10)^(1/2))
=10*(0.025^(1/2))
=10*0.158113883
=1.58113883
某種分布的中線為這種分布的峰值。在拋硬幣的例子中，峰值位于正面和反面的平均數(shù)處。因此，對于拋10枚硬幣的序列，中線將位于5個正面5個反面處。對于正態(tài)概率分布，大約有68.26%的事件位于自中線±1個標準差區(qū)域內，有95.45%的事件位于自中線±2個標準差區(qū)域內，有99.73%的事件位于自中線±3個標準差區(qū)域內（見圖1-2）。繼續(xù)我們的拋10枚硬幣的話題，1個標準差大約等于1.58。因此，我們可以說，拋10枚硬幣有68%的機會我們可以預期由3.42（5-1.58）至6.58（5+1.58）組成的最終結果為正面（或反面）。因此，如果我們得到7個正面（或反面），我們將位于預期結果的1個標準差之外（預期結果為5個正面或5個反面）。
圖1-2 正態(tài)概率函數(shù)：中心線及其兩側兩個標準差
這里還有一個有趣的現(xiàn)象。注意：在我們拋硬幣的例子中，隨著拋硬幣次數(shù)的增加，均等得到正面反面的概率在減小。對于兩枚硬幣，得到正1反1的概率為0.5。對于4枚硬幣，得到50%的正面50%的反面的概率降至0.375。對于6枚硬幣為0.3125，對于10枚硬幣為0.246。因此我們可以說，隨著事件數(shù)的增加，最終結果實際等于預期值的概率在減小。
數(shù)學期望是我們預期平均每次下注所贏得或輸?shù)舻慕Y果。然而，它并沒有解釋兩次下注之間的波動。在我們拋硬幣的例子中，我們知道拋一枚硬幣出現(xiàn)正面或反面的概率為50/50。我們預期經(jīng)過N次試驗，大約有（1/2）*N拋擲將出現(xiàn)正面，（1/2）*N拋擲將出現(xiàn)反面。假定我們輸時會輸?shù)糈A時所贏得的相同數(shù)量，我們可以說，不管N有多大，我們的數(shù)學期望均為0。
我們也知道，大約有68%的機會我們將位于期望值的±1個標準差之內。對于10次試驗（N=10），這表示我們的標準差為1.58。對于100次（N=100）試驗，這表示我們的標準差的 大小為5。對于1000次（N=1000）試驗，標準差大約為15.81。對于10000次（N=10000）試驗，標準差為50。
N（試驗次數(shù)） Std Dev（標準差） Std Dev/N（%）
10 1.58 15.8%
100 5 5.0%
1000 15.81 1.581%
10000 50 0.5%
注意：隨著N的增加，標準差也增加。這意味著與通常的信念相反，你賭得越久，你就離自己的期望值（以單位贏利或虧損表示）越遠。不過，隨著N的增加，標準差與N的百分比在減小。這意味著你賭得越久，你就越接近于你的期望值與全部行為（N）的百分比。這是“平均法則”正確的數(shù)學形式。換句話說，如果你進行長期的連續(xù)下注N，這里，T等于你的總贏利或總虧損，E等于你的期望贏利或期望虧損，則，隨著N的增大，T/N趨近于E/N。另外，E和T之間的差異隨著N的增大而增大。
在圖1-3中，我們將觀察到拋60枚硬幣游戲中的隨機過程。你也將在這張圖中看到±1及±2個標準差的曲線。注意：不論如何彎曲，它們都會繼續(xù)向外延伸。這服從我們剛剛談及的平均法則。
圖1-3 隨機過程：拋60枚硬幣的結果，中線兩側各有1個及2個標準差
莊家優(yōu)勢（THE HOUSE ADVANTAGE）
現(xiàn)在，我們來看涉及莊家優(yōu)勢時會發(fā)生什么情況。我們仍然要談到拋硬幣的例子。上一次，我們看到拋60枚硬幣的對等或“公平”的游戲。現(xiàn)在，我們來看在莊家具有5%優(yōu)勢時會發(fā)生什么情況。這樣一種游戲的例子是拋一枚硬幣，當我們贏時可以贏得1.00美元，輸時會輸?shù)?.00美元。
圖1-4顯示了與我們前面所看到的一樣的拋60枚硬幣的游戲，唯一區(qū)別是這里涉及5%的莊家優(yōu)勢。注意：在這種情況下，輸光是難免的----因為上面的標準差開始向下彎曲（最終穿過下面的0軸）。
我們來看一下繼續(xù)參與數(shù)學期望為負的游戲時會發(fā)生什么情況。
N（次數(shù)） Std Dec（標準差） 期望 ±1個標準差
10 1.580 -0.5 +1.08至-2.08
100 5 -5 0至-10
1,000 15.81 -50 -34.19至-65.81
10,000 50 -500 -450至-550
100,000 158.11 -5000 -4842至-5158
1,000,000 500 -50000 -49500至-50500
在這里，統(tǒng)計學中的各態(tài)歷經(jīng)原理（the principle of ergodicity）在起作用。一個人來到賭場連續(xù)100萬次下注1美元或者100萬人每人同時下注1美元沒什么關系。數(shù)字是一樣的。在賭場開始虧錢之前，100萬次下注將偏離數(shù)學期望100多個標準差！這里起作用的是平均法則。按照同樣的考慮，如果你在莊家優(yōu)勢為5%的游戲中100萬次下注1美元，你同樣不可能賺錢。許多賭場游戲具有超過5%的莊家優(yōu)勢，象大多數(shù)體育賭注一樣。交易市場是一個零和游戲。然而，交易市場涉及到傭金、費用以及最低價降低（floor slippage）等形式的少量資金消耗。通常，這些成本可能會超過5%。
下面，我們來看拋100枚游戲具有或不具有5%莊家優(yōu)勢的統(tǒng)計數(shù)字：
自中心的標準差 50/50的公平游戲 5%莊家優(yōu)勢的游戲
+3 +15 +10
+2 +10 +5
+1 +5 0
0 0 -5
-1 -5 -10
-2 -10 -15
-3 -15 -20
如我們可以看到的，對于3個標準差的情況，我們有99.73%的機會可以預期在一場公平游戲中贏或輸在+15與-15個單位之間。在莊家優(yōu)勢為5%時可以預期，100次試驗結束，我們的最后結果在+10與-20個單位之間。對于2個標準差的情況，我們有95%的機會可以預期在一場公平游戲中贏或輸在±10之內。在莊家優(yōu)勢為5%的情況下，該數(shù)字為+5至-15個單位。對于1個標準差的情況，我們有68%的概率可以預期最后結果，我們在一場公平游戲中贏或輸多達5個單位。然而，在莊家具有5%優(yōu)勢的情況下，我們可以預期最后結果在什么都贏不到與輸?shù)?0個單位之間！注意：在莊家優(yōu)勢為5%的情況下，在100次試驗之后并非不可能賺錢，但是你必須比整整1個標準差做得更好。你會驚訝地獲悉，在正態(tài)分布中，比整整1個標準差做得更好的概率只有0.1587！
注意：在前面的例子中，自中線0個標準差（即，位于中線上）時，所輸?shù)慕痤~就等于莊家優(yōu)勢。對于50/50的公平游戲，所輸?shù)慕痤~等于0。你可能會預期不贏不輸。在莊家優(yōu)勢為5%的游戲中，在0個標準差時，你預期輸?shù)?%（即每100次試驗輸?shù)?個單位）。因此，我們可以認為，在涉及獨立過程的單調下注的情況下，你將以莊家占優(yōu)勢的比率輸錢。
莊家優(yōu)勢（THE HOUSE ADVANTAGE）
現(xiàn)在，我們來看涉及莊家優(yōu)勢時會發(fā)生什么情況。我們仍然要提到拋硬幣的例子。上一次，我們看到了拋60枚硬幣的對等的或“公平的”游戲。現(xiàn)在，我們來看莊家具有5%的優(yōu)勢時會發(fā)生什么情況。這種游戲的一個例子就是拋一枚硬幣，我們贏時贏得1.00美元，輸時輸?shù)?.00美元。
圖1-4 莊家優(yōu)勢為5%時拋60枚硬幣的結果
圖1-4顯示了與我們前面所看到的拋60枚硬幣相同的游戲，唯一的區(qū)別是這里涉及到5%的莊家優(yōu)勢。隨著上面的標準差開始向下彎曲（最后穿越至零軸以下），請注意這種情況下輸光是如何難以避免的。
我們來看繼續(xù)參與數(shù)學期望為負的游戲時會發(fā)生什么情況。
N（次數(shù)） Std Dec（標準差） 期望 ±1個標準差
10 1.580 -0.5 +1.08至-2.08
100 5 -5 0至-10
1000 15.81 -50 -34.19至-65.81
10000 50 -500 -450至-550
100000 158.11 -5000 -4842至-5158
1000000 500 -50000 -49500至-50500
這里，統(tǒng)計學中的各態(tài)歷經(jīng)原理（the principle of ergodicity）在起作用。無所謂是一個人到賭場連續(xù)100萬次下注1美元還是100萬人到賭場每人同時下注1美元。數(shù)字是相同的。對于100萬賭注的情況，在賭場開始輸錢之前，你已經(jīng)偏離期望值100多個標準差！這里是平均法則在起作用。基于同樣的理由，如果你打算在莊家優(yōu)勢為5%的游戲中100萬次下注1美元，你同樣不可能贏錢。許多賭場游戲就象大多數(shù)體育賭注一樣，具有超過5%的莊家優(yōu)勢。交易市場是一種零和游戲。然而，交易市場涉及到少量的傭金、費用以及最低價降低（floor slippage）等形式的資金消耗。通常，這些成本可能會超過5%。
自中心的標準差 50/50公平的游戲 5%莊家優(yōu)勢的游戲
+3 +15 +10
+2 +10 +5
+1 +5 0
0 0 -5
-1 -5 -10
-2 -10 -15
-3 -15 -20
如我們能看到的，對于3個標準差的情況，在公平游戲中，我們可以預期99.73%的機會結果是我們贏輸在±15個單位之間。在莊家優(yōu)勢為5%時，我們可以預期100次試驗結束，我們的最后結果將在+10與-20個單位之間。對于2個標準差的情況，在公平游戲中，我們可以預期有95%的機會結果是我們贏輸在±10個單位之間。在莊家優(yōu)勢為5%時，這一結果在+5與-15個單位之間。對于1個標準差的情況，在公平游戲中，我們有68%的概率可以預期最后結果是我們贏輸多達5個單位。然而，在莊家具有5%優(yōu)勢的游戲中，我們可以預期最后結果在什么都贏不到與輸?shù)?0個單位之間！注意：在莊家優(yōu)勢為5%時，100次試驗之后并非不可能贏錢，但是你必須要比整一個標準差做得更好才行。你會吃驚地得知，在正態(tài)分布中，你比整一個標準差做得更好的概率僅為0.1587！
注意：在前面的例子中自中線0個標準差（即，中線本身）處，你輸?shù)舻慕痤~就等于莊家優(yōu)勢。對于50/50的公平游戲，這一結果等于0。你預期不贏不輸。在莊家具有5%優(yōu)勢的游戲中，在自中線0個標準差處，你預期將輸?shù)?%（即，每100次試驗5個單位）。因此，你可以說，在涉及獨立過程的單調下注情況下，你將以莊家優(yōu)勢的比率輸錢。
小于零的數(shù)學期望意味著災難（MATHEMATICAL EXPECTATION LESS THAN ZERO SPELLS DISASTER）！
這帶給我們另一條公理，可以表述如下：在負期望游戲中，任何資金管理方案都不會使你成為贏家。如果你繼續(xù)下注，不管你用什么方式管理自己的資金，幾乎可以肯定你將成為輸家，不論你一開始有多少賭注，你都會輸光你全部的賭注。
這聽上去似乎發(fā)人深思。負的數(shù)學期望（不管是負多少）已造成家庭破裂、自殺和謀殺，以及所有其他各種出乎賭徒們意料的結果。我希望你能夠認識到，對負的期望下注是怎樣一種令人難以置信的虧錢買賣，因為，即使是很小的一個負期望最終都會使你輸?shù)裘恳环皱X。從數(shù)學的觀點來看，所有試圖比這種過程更聰明的嘗試都是徒勞的。不要將這一觀點與是否涉及非獨立或獨立試驗過程相混淆；這毫無關系。如果你的賭注總和是負的期望，你就是在做虧錢的買賣。
舉個例子，你參與一個你具有1/10注優(yōu)勢的非獨立試驗過程，那么，你必須在你具有優(yōu)勢的賭注下足夠多的注，才能使所有這10注之和為正的期望。如果你預期在10注中有9注平均輸10分錢，但是你期望在你知道自己具有優(yōu)勢的1/10注上贏10分錢，那么你必須在你知道自己具有優(yōu)勢的賭注上下注超過9次之多，僅僅是正好出現(xiàn)一個凈期望。如果你下的注比上面所說的少，你就仍處在負期望的情形中，而且，如果你繼續(xù)賭下去的話，幾乎可以肯定你會徹底輸光。
許多人錯誤地認為，參與一個負期望的游戲將輸?shù)舯惧X相對于負期望的一定百分比。例如，當大多數(shù)人得知輪盤賭的數(shù)學期望為5.26%時，他們似乎認為這意味著，他們到賭場玩輪盤賭可以預期平均輸?shù)糇约嘿€注的5.26%。這是一種危險的誤解。事實是，他們可以預期輸?shù)糇约喝炕顒樱╰otal action）的5.26%，而不是自己全部賭注的5.26%。假定他們帶500美元去玩輪盤賭。如果他們每次20美元下500注，他們的全部活動就是10000美元，他們可以預期輸?shù)?.26%或者526美元，這超過了他們的全部賭注。
唯一聰明的做法就是當你具有正的期望時才下注。如我們將在后面一章中看到的，并不象負期望就是虧錢買賣一樣，正期望就是輕而易舉的賺錢買賣。你必須下注明確的數(shù)量，這個問題將詳盡地討論。但是，目前我們解決只在正期望市場條件下下注的問題。
至于賭場的賭博，你唯一可以發(fā)現(xiàn)正期望的情形是你必須在二十一點牌戲中記住牌，然后，你必須是一位出色的牌手，而且你必須正確地下注。可以找到很多有關二十一點牌戲的好書，因此，對二十一點牌戲我們這里就不再贅述。
巴卡拉牌戲（BACCARAT）
如果你想去賭場賭博，卻又不想學會正確地玩二十一點，那么，在所有別的賭場游戲中，巴卡拉牌戲具有最小的負期望。換句話說，你會以較低的比率輸錢。下面是巴卡拉牌戲中的概率：
45.842%的時間銀行家贏。
44.683%的時間游戲者贏。
9.547%的時間出現(xiàn)平局。
因為，平局被視為巴卡拉牌戲中一個PUSH（沒有資金換手，凈效果與這把牌沒有玩一樣），平局去除時概率就變成：
50.68%的時間銀行家贏。
49.32%的時間游戲者贏。
現(xiàn)在我們來看數(shù)學期望。對于游戲者一方：
ME=(0.4932*1)+((1-0.4932)*(-1))
=(0.4932*1)+(0.5068)*(-1)
=0.4932-0.5068
=-0.0136
換句話說，莊家對游戲者的優(yōu)勢為1.36%。
現(xiàn)在，對于銀行家一方，記住只在銀行家一方贏錢時才加收5%的傭金，數(shù)學期望為：
ME=(0.5068*0.95)+((1-0.5068)*(-1))
=(0.5068*0.95)+(0.4932*(-1))
=0.48146-0.4932
=-0.01174
換句話說，一旦在銀行家贏錢時加收5%的傭金，莊家就具有1.174%的優(yōu)勢。
如你所看到的，對游戲者下注毫無意義，因為游戲者的負期望比銀行家的負期望還要糟：
游戲者的優(yōu)勢 -0.0136
銀行家的優(yōu)勢 -0.01174
銀行家相對游戲者的優(yōu)勢 0.00186
換句話說，經(jīng)過大約538手（1/0.00186），銀行家將領先游戲者1個單位。如果再玩更多手，這一優(yōu)勢將更加明確。
這并不表示銀行家具有正期望----銀行家不具有正期望。銀行家和游戲者都具有負期望，但是銀行家沒有游戲者的負值大。如果每一手你都對銀行家下注一個單位，你可以預期大約每85手（1/0.01174）輸?shù)粢粋€單位；而如果每一手你都對游戲者下注一個單位，你預期每74手（1/0.0136）輸?shù)粢粋€單位。你會以較緩慢的比率、但不一定是較緩慢的速度輸錢。大多數(shù)巴卡拉牌桌都有25美元的最低賭注。如果每一手你對銀行家下注一個單位，經(jīng)過85手你可以預期失去25美元。
我們來比較一下巴卡拉牌戲中的下注與輪盤賭中對紅球/黑球的下注。在輪盤賭中，你的數(shù)學期望為-0.0526，但最低下注規(guī)模為2美元。經(jīng)過85次旋轉，你預期失去大約9美元（2*85*0.0526）。正如你可以看到的，數(shù)學期望也是全部賭注金額（即，全部操作）的函數(shù)。如同我們在巴卡拉牌戲中所做的，每次旋轉我們都對紅色輪盤（或黑色輪盤）下注25美元，與巴卡拉牌戲中的期望損失25美元相比，經(jīng)過85次旋轉我們預期失去112美元。
數(shù)字游戲（NUMBERS）
最后，我們來看一下數(shù)字游戲中有關的概率。如果巴卡拉牌戲是富人的游戲，數(shù)字游戲就是窮人的游戲。數(shù)字游戲中的概率絕對令人感到凄慘。這里有一種游戲，游戲者可以在0-999之間任選一個3位數(shù)，并且下注1美元賭這個數(shù)字會被選中。被選中作為當天數(shù)字的數(shù)字通常：（1）無法被操縱；（2）可以廣為宣傳。舉個例子，取股票市場日成交量后5位數(shù)字的前3位數(shù)字。如果游戲者輸了，他下注的1美元就輸?shù)袅恕Ｈ绻螒蛘吲銮哨A了，回報就是700美元，他就得到699美元的凈利潤。數(shù)字游戲的數(shù)學期望為：
ME=(699*(1/1000))+((-1)*(1-(1/1000)))
=(699*(0.001))+((-1)*(1-0.001))
=0.699+(-0.999)
=-0.3
換句話說，你的數(shù)學期望是所操作的每一美元輸?shù)?0美分。這遠比包括科諾（Keno）在內的任何賭場游戲都更加不利。與輪盤賭這樣的概率不利的游戲相比，數(shù)字游戲的數(shù)學期望的不利程度幾乎為其6倍。以數(shù)學期望來表示，唯一比這種情況更加不利的賭博是大部分的足球彩票以及許多種聯(lián)邦彩票。
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