百度_數(shù)學吧_連載之一

zhs 2007-08-16

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人類從學會計數(shù)開始就一直和自然數(shù)打交道了，后來由于實踐的需要，數(shù)的概念進一步擴充，自然數(shù)被叫做正整數(shù)，而把它們的相反數(shù)叫做負整數(shù)，介于正整數(shù)和負整數(shù)中間的中性數(shù)叫做0。它們和起來叫做整數(shù)。

    對于整數(shù)可以施行加、減、乘、除四種運算，叫做四則運算。其中加法、減法和乘法這三種運算，在整數(shù)范圍內(nèi)可以毫無阻礙地進行。也就是說，任意兩個或兩個以上的整數(shù)相加、相減、相乘的時候，它們的和、差、積仍然是一個整數(shù)。但整數(shù)之間的除法在整數(shù)范圍內(nèi)并不一定能夠無阻礙地進行。

    人們在對整數(shù)進行運算的應用和研究中，逐步熟悉了整數(shù)的特性。比如，整數(shù)可分為兩大類—奇數(shù)和偶數(shù)（通常被稱為單數(shù)、雙數(shù)）等。利用整數(shù)的一些基本性質，可以進一步探索許多有趣和復雜的數(shù)學規(guī)律，正是這些特性的魅力，吸引了古往今來許多的數(shù)學家不斷地研究和探索。

    數(shù)論這門學科最初是從研究整數(shù)開始的，所以叫做整數(shù)論。后來整數(shù)論又進一步發(fā)展，就叫做數(shù)論了。確切的說，數(shù)論就是一門研究整數(shù)性質的學科。

數(shù)論的發(fā)展簡況

    自古以來，數(shù)學家對于整數(shù)性質的研究一直十分重視，但是直到十九世紀，這些研究成果還只是孤立地記載在各個時期的算術著作中，也就是說還沒有形成完整統(tǒng)一的學科。

    自我國古代，許多著名的數(shù)學著作中都關于數(shù)論內(nèi)容的論述，比如求最大公約數(shù)、勾股數(shù)組、某些不定方程整數(shù)解的問題等等。在國外，古希臘時代的數(shù)學家對于數(shù)論中一個最基本的問題——整除性問題就有系統(tǒng)的研究，關于質數(shù)、和數(shù)、約數(shù)、倍數(shù)等一系列概念也已經(jīng)被提出來應用了。后來的各個時代的數(shù)學家也都對整數(shù)性質的研究做出過重大的貢獻，使數(shù)論的基本理論逐步得到完善。

    在整數(shù)性質的研究中，人們發(fā)現(xiàn)質數(shù)是構成正整數(shù)的基本“材料”，要深入研究整數(shù)的性質就必須研究質數(shù)的性質。因此關于質數(shù)性質的有關問題，一直受到數(shù)學家的關注。

    到了十八世紀末，歷代數(shù)學家積累的關于整數(shù)性質零散的知識已經(jīng)十分豐富了，把它們整理加工成為一門系統(tǒng)的學科的條件已經(jīng)完全成熟了。德國數(shù)學家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術探討》，1800年寄給了法國科學院，但是法國科學院拒絕了高斯的這部杰作，高斯只好在1801年自己發(fā)表了這部著作。這部書開始了現(xiàn)代數(shù)論的新紀元。

    在《算術探討》中，高斯把過去研究整數(shù)性質所用的符號標準化了，把當時現(xiàn)存的定理系統(tǒng)化并進行了推廣，把要研究的問題和意志的方法進行了分類，還引進了新的方法。

數(shù)論的基本內(nèi)容

    數(shù)論形成了一門獨立的學科后，隨著數(shù)學其他分支的發(fā)展，研究數(shù)論的方法也在不斷發(fā)展。如果按照研究方法來說，可以分成初等數(shù)論、解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論和幾何數(shù)論四個部分。

    初等數(shù)論是數(shù)論中不求助于其他數(shù)學學科的幫助，只依靠初等的方法來研究整數(shù)性質的分支。比如中國古代有名的“中國剩余定理”，就是初等數(shù)論中很重要的內(nèi)容。

    解析數(shù)論是使用數(shù)學分析作為工具來解決數(shù)論問題的分支。數(shù)學分析是以函數(shù)作為研究對象的、在極限概念的基礎上建立起來的數(shù)學學科。用數(shù)學分析來解決數(shù)論問題是由歐拉奠基的，俄國數(shù)學家車比雪夫等也對它的發(fā)展做出過貢獻。解析數(shù)論是解決數(shù)論中艱深問題的強有力的工具。比如，對于“質數(shù)有無限多個”這個命題，歐拉給出了解析方法的證明，其中利用了數(shù)學分析中有關無窮級數(shù)的若干知識。二十世紀三十年代，蘇聯(lián)數(shù)學家維諾格拉多夫創(chuàng)造性的提出了“三角和方法”，這個方法對于解決某些數(shù)論難題有著重要的作用。我國數(shù)學家陳景潤在解決“哥德巴赫猜想”問題中也使用的是解析數(shù)論的方法。

    代數(shù)數(shù)論是把整數(shù)的概念推廣到代數(shù)整數(shù)的一個分支。數(shù)學家把整數(shù)概念推廣到一般代數(shù)數(shù)域上去，相應地也建立了素整數(shù)、可除性等概念。

    幾何數(shù)論是由德國數(shù)學家、物理學家閔可夫斯基等人開創(chuàng)和奠基的。幾何數(shù)論研究的基本對象是“空間格網(wǎng)”。什么是空間格網(wǎng)呢？在給定的直角坐標系上，坐標全是整數(shù)的點，叫做整點；全部整點構成的組就叫做空間格網(wǎng)。空間格網(wǎng)對幾何學和結晶學有著重大的意義。由于幾何數(shù)論涉及的問題比較復雜，必須具有相當?shù)臄?shù)學基礎才能深入研究。

    數(shù)論是一門高度抽象的數(shù)學學科，長期以來，它的發(fā)展處于純理論的研究狀態(tài)，它對數(shù)學理論的發(fā)展起到了積極的作用。但對于大多數(shù)人來講并不清楚它的實際意義。

    由于近代計算機科學和應用數(shù)學的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應用。比如在計算方法、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果；又文獻報道，現(xiàn)在有些國家應用“孫子定理”來進行測距，用原根和指數(shù)來計算離散傅立葉變換等。此外，數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應用。特別是現(xiàn)在由于計算機的發(fā)展，用離散量的計算去逼近連續(xù)量而達到所要求的精度已成為可能。

    數(shù)論在數(shù)學中的地位是獨特的，高斯曾經(jīng)說過“數(shù)學是科學的皇后，數(shù)論是數(shù)學中的皇冠”。因此，數(shù)學家都喜歡把數(shù)論中一些懸而未決的疑難問題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵人們?nèi)ァ罢　薄Ｏ旅婧喴谐鰩最w“明珠”：費爾馬大定理、孿生素數(shù)問題、哥德巴赫猜想、圓內(nèi)整點問題、完全數(shù)問題……

    在我國近代，數(shù)論也是發(fā)展最早的數(shù)學分支之一。從二十世紀三十年代開始，在解析數(shù)論、刁藩都方程、一致分布等方面都有過重要的貢獻，出現(xiàn)了華羅庚、閔嗣鶴、柯召等第一流的數(shù)論專家。其中華羅庚教授在三角和估值、堆砌素數(shù)論方面的研究是享有盛名的。1949年以后，數(shù)論的研究的得到了更大的發(fā)展。特別是在“篩法”和“哥德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界領先的優(yōu)秀成績。

    特別是陳景潤在1966年證明“哥德巴赫猜想”的“一個大偶數(shù)可以表示為一個素數(shù)和一個不超過兩個素數(shù)的乘積之和”以后，在國際數(shù)學引起了強烈的反響，盛贊陳景潤的論文是解析數(shù)學的名作，是篩法的光輝頂點。至今，這仍是“哥德巴赫猜想”的最好結果。