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這篇文章構(gòu)思于我在西南政法學(xué)院讀大三的1990年，初稿寫作于1992年。期間一個(gè)簡(jiǎn)單改寫版曾以《“我知道怎么一來那種事就可能發(fā)生”》為題，作為王浩先生的《哥德爾》（康宏逹先生譯）的讀后感發(fā)表于《方法》雜志；旁涉人類社會(huì)制度的不完備性或不完美性的擴(kuò)充版也在朋友圈內(nèi)交流過。
今天來看這篇試筆之作，不乏稚嫩和疏漏之處。現(xiàn)在作為獻(xiàn)給北京大學(xué)法學(xué)院百年紀(jì)念而拿出來的理由是，哥德爾不完全性定理(Incompleteness Theorem)與不動(dòng)點(diǎn)定理(Fixed-point Theorem)以及博弈論中的納什均衡(Nash Equilibrium)存在性定理，在我的生命和思考中有著無與倫比的意義。 從小我就被這樣一個(gè)問題所困惑，我們作為個(gè)人在世界中處于什么位置？我所有的行動(dòng)——包括我的思考，為什么是這樣而不是那樣的？我這樣做是被一種力量嚴(yán)格決定著從而身不由己，還是我能“扼住命運(yùn)的咽喉”？我對(duì)這個(gè)問題的思索和理解，本質(zhì)上來源于哥德爾不完全性定理和納什均衡存在性定理，而它們之間又通過據(jù)以提供其存在性的不動(dòng)點(diǎn)定理被巧妙地聯(lián)結(jié)起來。從不完全性定理引出的關(guān)于我們存在于其中的這個(gè)復(fù)雜世界的“物理學(xué)”意義，使我們可以持一種非嚴(yán)格決定論的世界觀，從而為個(gè)人意志和自由選擇提供了最低限度的可能性。在社會(huì)博弈的互動(dòng)(interaction)中，通過納什均衡存在性定理，我們的行為決策被賦予了一種合理性，即它是一種均衡策略行為：在別人都不改變策略的情況下，我的行為是對(duì)他們的可能行為的最優(yōu)理性反應(yīng)，而別人的行為也構(gòu)成對(duì)我和其他人的可能行為的最優(yōu)反應(yīng)；在行為方案與信念系統(tǒng)的相互支持下，這個(gè)均衡的策略組合是一個(gè)自我實(shí)施(self-enforcing)的行動(dòng)方案，或者說是關(guān)于博弈如何進(jìn)行的一個(gè)自我實(shí)現(xiàn)(self-fulfilling)的預(yù)見。當(dāng)然哥德爾定理依然對(duì)這種合理性施加了限制。在中國社會(huì)科學(xué)院經(jīng)濟(jì)研究所的博士后研究報(bào)告《理性、進(jìn)化與均衡：博弈論解概念及其基礎(chǔ)》，是這個(gè)沒有終點(diǎn)的探索過程的一個(gè)局部反映。 至于這些定理背后的哲學(xué)思想反映在人類社會(huì)制度上的種種觀念和拓展，已經(jīng)被孔多塞、哈耶克、波普爾、阿羅、赫爾維茨、豪爾紹尼、羅爾斯、森等大師深刻而細(xì)致地探究。如，投票悖論和阿羅不可能性定理表明在規(guī)范意義上我們未必總是能夠協(xié)調(diào)一致地尋找到合理的社會(huì)目標(biāo)（包括各種所謂民主投票方式）；囚徒困境在實(shí)證意義上指出我們?cè)趯?shí)現(xiàn)社會(huì)最優(yōu)問題上可望而不可及的“坦塔羅斯之痛苦”；既然所有不同層次的制度構(gòu)成的階梯系統(tǒng)的運(yùn)行必須是自我實(shí)施的均衡，那么在多重均衡的可能情形下，自我加強(qiáng)的學(xué)習(xí)調(diào)整機(jī)制就會(huì)使一個(gè)社會(huì)在選擇某種制度的進(jìn)化過程中表現(xiàn)出隨機(jī)性和路徑依賴特征；而全知全能的超級(jí)智慧（譬如中央政府或完備法律）的不存在，則揭示出任何集中、構(gòu)造性的社會(huì)決策都是不可行的，從而為個(gè)人自由在合法性上提供了基本辯護(hù)。這些在題為《博弈、博弈規(guī)則與規(guī)則博弈》的博士學(xué)位論文里有比較詳細(xì)的整理介紹。 我相信，我們對(duì)包括法律、習(xí)俗、慣例等社會(huì)制度的理解，必然要以這三個(gè)基本定理為出發(fā)點(diǎn)。借用人們形容貝多芬最后六首弦樂四重奏的話，在社會(huì)科學(xué)意義上，三大定理是“人類存在經(jīng)驗(yàn)的濃縮”。 引言 悖論是人類思維的難解之謎。當(dāng)公元前六世紀(jì)的克里特哲學(xué)家埃皮曼尼德講“克里特人總是說謊者” 時(shí)，它就已經(jīng)成為困惑人心的理智漩渦了。無獨(dú)有偶，在東方的道家和禪宗那里，悖論式的語言也隨處可見。不過，道禪并不是去刻意消除悖論中的矛盾，卻常常借以表述自己的思想。 因其“冷而嚴(yán)肅的美”（羅素），數(shù)學(xué)被認(rèn)為是嚴(yán)密思維的典范。但本世紀(jì)初在作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)之基礎(chǔ)的集合論中，羅素又使那古老的說謊者悖論 復(fù)活了，引發(fā)第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，由此導(dǎo)致希爾伯特提出其公理化綱領(lǐng)，企圖從數(shù)學(xué)本身證明數(shù)學(xué)的無矛盾性，以“一勞永逸地消除數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)問題”。但1931年哥德爾不完全性定理的證明卻又使之破產(chǎn)。 哥德爾定理是元數(shù)學(xué)——證明論的最重要成果，即，從元理論的角度看，如果一個(gè)其公理集是遞歸集并能產(chǎn)生自然數(shù)論的形式系統(tǒng)是一致的 ，那么它是不完全的，它不能揭示它的一個(gè)模型 ——自然數(shù)集中的全部真命題，并且也不能證明其自身的無矛盾性 。 任何理論首先要能夠描述世界。如果我們把“從元理論的角度看”作為一個(gè)原則，考察相對(duì)于一定的描述理論的世界是如何存在的。那么，在這個(gè)認(rèn)識(shí)論向本體論的回歸中，哥德爾定理為人類劃定了一條“對(duì)于不可說的東西必須沉默”的界限。因?yàn)楦绲聽柖ɡ怼绕涫撬牟豢膳卸}本身就建立在悖論邊緣卻又沒有落入悖論，它只是斷定了一種不可判定——在一定理論框架之內(nèi)的不可說。那么，在悖論邊緣是一幅怎樣的世界圖景呢？ 隨機(jī)性與對(duì)稱破缺：不可判定性與非嚴(yán)格決定論 伽利略有句名言，宇宙這部書，上帝是用數(shù)學(xué)語言來寫的。鑒于數(shù)學(xué)在人們心目中的地位，在當(dāng)時(shí)這無異于說，宇宙間的天地萬物都是被嚴(yán)格決定的，上帝的光輝里沒有隨機(jī)性的地盤。出生于伽利略去世那年的牛頓以其《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》幾乎實(shí)現(xiàn)了先輩之夢(mèng)——雖然上帝除了“第一推動(dòng)力”之外便無事可干。在原理的序言里牛頓寫道：“全部哲學(xué)的任務(wù)看起來就在于這一點(diǎn)從——種種運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象來研究各種自然力，再從這些力來表征其他現(xiàn)象；我愿我們能用同樣推理方法，從機(jī)械原則導(dǎo)出其余的自然現(xiàn)象。” 后經(jīng)歐拉、達(dá)朗貝爾、拉格朗日和拉普拉斯等人在學(xué)術(shù)上的推波助瀾，一個(gè)像鐘表一樣精確的嚴(yán)格決定論的世界圖景出現(xiàn)了，它由拉普拉斯在《概率論》引言中生動(dòng)地描述：“讓我們想象有個(gè)精靈，它知道在一定時(shí)刻的自然界里一切的作用力和組成這個(gè)世界的一切東西的位置；讓我們又假定，這個(gè)精靈能夠用數(shù)學(xué)分析來處理這些數(shù)據(jù)。由此，它能夠得到這樣的結(jié)果：把宇宙中最大物體的運(yùn)動(dòng)和最輕原子的運(yùn)動(dòng)都包括在同一個(gè)公式里。對(duì)于這個(gè)精靈來說，沒有不確定的東西。過去和未來都會(huì)呈現(xiàn)在它的眼前?！薄? 決定論與非決定也是本世紀(jì)著名的愛因斯坦與玻爾科學(xué)論戰(zhàn)的焦點(diǎn)。他們之間的分歧典型地表現(xiàn)在愛因斯坦給玻恩的一封信中：“你相信擲骰子的上帝，我卻信仰客觀存在的世界中的完備定律和秩序?！? 這個(gè)嚴(yán)格決定論的框架是建立在精靈的全知全能基礎(chǔ)上的。但后面我們希望表明的是，如果我們承認(rèn)哥德爾定理的效力，那么全知全能的精靈與希爾伯特綱領(lǐng)都是人類的坦塔羅斯痛苦 ——可望而不可及。其實(shí)，拉普拉斯本人就指出：“人在追求真理中的一切努力，目的是要愈來愈接近那個(gè)精靈，但是人仍然是永遠(yuǎn)無限地遠(yuǎn)離著它?！? 必須指出，從元理論的角度看，所謂決定與非決定都是相對(duì)于一定的描述（刻畫）世界的理論框架而言，因此判斷上帝是否擲骰子應(yīng)該結(jié)合判斷工具作出。只要我們刻畫世界的理論工具是不完全的，那么就不能消除我們觀察并存在在其中的世界的不確定性和隨機(jī)性；易言之，正因?yàn)闆]有全知全能的上帝，所以我們才說上帝也擲骰子。 世界的整個(gè)存在狀態(tài)可被解釋為一組真命題，由一種相當(dāng)豐富的語言（甚至可以用世界自身的存在或其否定作語言）所表述。一個(gè)理論框架試圖以其定理集囊括所有真命題，它的公理和推演規(guī)則對(duì)定理集的演繹決定關(guān)系相當(dāng)于世界存在的時(shí)間序列中嚴(yán)格的因果決定關(guān)系。這些真命題構(gòu)成一個(gè)一致的邏輯上相容的體系，也就是說，世界的存在本身是沒有矛盾的，矛盾只有可能出現(xiàn)于刻畫世界的理論中 。但是哥德爾定理給我們的啟發(fā)是，此理論 如果是沒有矛盾的，則它是不完全的，必然有一個(gè)真命題是不可判定的，也就是說不能用這個(gè)理論的公理和推演規(guī)則演繹出來。我們必須要求理論是沒有矛盾的，因?yàn)橐粋€(gè)不一致的理論可從推出任何命題（包括假命題），已失去理論正確描述世界的意義。如此，則理論的不完全是不可避免的。對(duì)任何理論而言，世界的存在狀態(tài)中至少有一個(gè)是其所不能刻畫的，這就意味著未來不可能由過去和現(xiàn)在的狀態(tài)及演化規(guī)律（相當(dāng)于理論框架的公理）所完全嚴(yán)格地決定。 因而，宇宙也不是一部計(jì)算機(jī)，一旦借上帝之手開動(dòng)，就會(huì)按固定的算法程序輸出其存在狀態(tài)。圖靈以其關(guān)于圖靈機(jī)的研究從另一個(gè)也許是更廣泛的角度揭示了不完全性問題。圖靈機(jī)在本質(zhì)上可代替任何機(jī)械計(jì)算裝置，但功能再強(qiáng)大的圖靈機(jī)也面臨著停機(jī)不可解問題，這同樣表明了嚴(yán)格決定論的本質(zhì)上不可避免的局限性。 當(dāng)然，正象哥德爾定理并非否認(rèn)，邏輯上可能存在一個(gè)一致且完全的數(shù)論形式系統(tǒng)，我們也可以承認(rèn)存在一個(gè)象拉普拉斯精靈一樣的把過去、現(xiàn)在和未來納入同一框架的描述世界的完備模式。前者的存在要求把系統(tǒng)中所有為真的公式作為公理（哥德爾定理意味著這個(gè)過程不是能行可實(shí)現(xiàn)的），而后者也就要求拉氏精靈必須沿著時(shí)間之矢把世界的存在演化過程中的所有狀態(tài)都記錄下來才行。但是，顯而易見，這就失去了談?wù)撘蚬麤Q定關(guān)系的必要和可能。因?yàn)?，我們的任何描述世界的理論模式只能從可判定的遞歸公理集（在這里，即使是一個(gè)無限的遞歸公理集也因其是遞歸的而表現(xiàn)為可判定的）和推演規(guī)則出發(fā)。 公理集可以是一個(gè)遞歸可枚舉集而非遞歸集，而遞歸可枚舉集是由一遞歸函數(shù)嚴(yán)格決定的。但是原則上，如果我們能區(qū)分過去、現(xiàn)在和未來，那么我們必須能區(qū)別出非公理集合，從而公理集應(yīng)當(dāng)是遞歸集。因此，說一個(gè)把所有真命題納為公理的系統(tǒng)便等于幾乎什么也沒說，也不存在一個(gè)確定有效的方法來構(gòu)造實(shí)現(xiàn)它（即所謂能行性不可補(bǔ)足）。我們不知道與原始系統(tǒng)相獨(dú)立的一個(gè)命題或其否定中的哪一個(gè)可作為公理，除非存在先驗(yàn)判斷，而此先驗(yàn)判斷可能是武斷的。在此意義上，數(shù)論形式系統(tǒng)是本質(zhì)上不可完全的，把不可判定命題納為公理后還會(huì)產(chǎn)生新的不可判定命題，這個(gè)過程永遠(yuǎn)沒有結(jié)束的時(shí)候。當(dāng)然，哥德爾本人認(rèn)為正是他的柏拉圖主義或客觀主義使他發(fā)現(xiàn)了完全性定理的證明，“我的客觀主義的數(shù)學(xué)和元數(shù)學(xué)一般概念，特別是關(guān)于超窮思維的客觀主義的觀念，對(duì)于我的其他邏輯工作也是根本的” 。 彭羅斯認(rèn)為，“這個(gè)世界很可能是決定性的，但同時(shí)卻是不可計(jì)算的” ?！凹词刮磥砜梢员滑F(xiàn)在所決定，它也不能從現(xiàn)在被計(jì)算出來”。換言之，在他看來可計(jì)算性概念比決定性更強(qiáng)。彭氏提出的證據(jù)是存在“決定論的但不可計(jì)算的波動(dòng)方程”。波動(dòng)方程的解作為一個(gè)不可計(jì)算的函數(shù)本身是決定性的，這類似于在邏輯中存在非遞歸的遞歸可枚舉集，后者由一函數(shù)生成。不可計(jì)算函數(shù)的存在，表明有些嚴(yán)格決定論過程是不可計(jì)算的。但我們似乎有理由相信，函數(shù)相對(duì)于特定環(huán)境才有意義。，彭氏的討論已經(jīng)隱含地把討論的問題放進(jìn)一個(gè)背景里了，這個(gè)背景是我們從元理論的立場(chǎng)上強(qiáng)加的。換種說法，如前述拉氏精靈沿著時(shí)間之矢把世界的存在演化過程中的所有狀態(tài)都記錄下來，這是一種事后觀點(diǎn)。 在此，我們也看到了邏輯公理系統(tǒng)與自組織系統(tǒng)的契合之處——對(duì)稱破缺。不可判定命題的存在表明系統(tǒng)可以在此命題及其否定兩個(gè)不同方向上加以擴(kuò)展，因而存在兩個(gè)模型（自然數(shù)集對(duì)數(shù)論形式系統(tǒng)而言不過是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型，在此模型中不可判定命題為真。同樣，還存在另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型）。而這兩個(gè)擴(kuò)展方向是本質(zhì)上對(duì)稱的，它們獨(dú)立于原來的公理系統(tǒng)，原來的公理系統(tǒng)不能確定選擇哪一個(gè)。與此相對(duì)應(yīng)，在自組織系統(tǒng)的進(jìn)化過程中，當(dāng)控制參量越過一定域值，新的有序結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生在本質(zhì)上都是隨機(jī)的，面對(duì)著兩個(gè)原則上相同的進(jìn)化方向，系統(tǒng)的具體選擇表現(xiàn)為一種對(duì)稱破缺 。按照李政道先生的說法，“所有的對(duì)稱性都是基于某些基本量不可觀測(cè)的假設(shè)” 。如果系統(tǒng)原來的歷史根本不能區(qū)分這兩種選擇，也就不能必然地決定其中的任何一個(gè)。選擇哪一條演化途徑，完全取決于隨機(jī)性。但演化途徑一旦確定，那么在控制參量不變的情況下，系統(tǒng)是沿著決定論的軌道發(fā)展的。這正如一旦確定了一個(gè)公理系統(tǒng)的公理和推演規(guī)則，其定理集就被嚴(yán)格決定了。 這樣，我們也就可以更好地理解方興未艾的混沌研究了。以一維迭代 為例，當(dāng)k達(dá)到臨界值（約大于3.5699）時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出混沌特性時(shí)，整個(gè)過程雖然是嚴(yán)格決定論的機(jī)制，但是對(duì)初值的測(cè)定卻不可能是絕對(duì)精確的， 初值的微小變化都會(huì)引起整個(gè)過程的大相徑庭。因此混沌理論主要意義在于揭示出，復(fù)雜的現(xiàn)象往往可以用簡(jiǎn)單的規(guī)律來把握 。當(dāng)然它也同樣表明，只要對(duì)世界的描述手段——理論或測(cè)量工具不能達(dá)到一種終極的完備，這個(gè)世界就必然要表現(xiàn)出隨機(jī)性、偶然性 。 斯賓諾莎曾以不容置疑的口氣寫道：“其所以說一物是偶然的，除了表示我們的知識(shí)有了缺陷外，實(shí)在沒有別的原因?！?但是籠統(tǒng)地把偶然性歸因于知識(shí)的缺陷，隱含著這樣一種看法，即理論和知識(shí)的不足可以經(jīng)改進(jìn)彌補(bǔ)而消除隨機(jī)性。好比擲骰子，只要能針對(duì)每次投擲精確地搞清楚各種相關(guān)因素，就可以精確的確定是哪個(gè)面朝上，而代替統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上每個(gè)面的六分之一概率。針對(duì)這種說法，彭加勒指出：“偶然性并非是我們給我們的無知所取的名字?！?我們需強(qiáng)調(diào)的是理論本質(zhì)上的不可判定，不僅僅是理論的缺陷問題，它恰恰反映了理論背后的世界的一種本質(zhì)屬性。 在承認(rèn)任何對(duì)世界的描述理論的不完全性基礎(chǔ)上，決定論與隨機(jī)性之間便不是必然對(duì)立的。仍以一維迭代 為例。我們知道，在控制參數(shù)k大于約3.5699的取值范圍內(nèi)，這個(gè)迭代過程呈混沌態(tài)：從一定的初值出發(fā)，可得到一個(gè)不重復(fù)的數(shù)字序列。因?yàn)檎麄€(gè)過程是嚴(yán)格決定論的，因此這個(gè)數(shù)字序列只是“表面上”呈隨機(jī)性。 由前式可得， 。為了于前述進(jìn)化過程中選擇的隨機(jī)性相比較，我們把它寫成 。我們規(guī)定在迭代過程中，高低取值的選擇以拋硬幣決定（如正面向上取高值，反面向上取低值），那么這也會(huì)得到一個(gè)不重復(fù)數(shù)字序列，但它是完全隨機(jī)的。 由不同的初值選定，可分別得到兩類無數(shù)的不重復(fù)數(shù)字序列。對(duì)比會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們是鏡像對(duì)稱的。把后者的最后一個(gè)數(shù)字作為前者的第一個(gè)數(shù)便得到同樣一個(gè)數(shù)列 。 這給人一個(gè)戲劇性的啟發(fā)，不是現(xiàn)在嚴(yán)格地決定將來，反到是將來決定現(xiàn)在，現(xiàn)在決定了過去的狀態(tài)。因?yàn)檫^去作為一種存在已經(jīng)被嚴(yán)格決定了 ，它決定將來（或現(xiàn)在）不過在于為將來提供了一個(gè)時(shí)間序列的選擇空間，而作出哪種選擇卻不能由它決定。也正因?yàn)殛P(guān)于將來的可能的選擇空間是由過去決定的，由將來向過去的追溯才表現(xiàn)為一個(gè)邏輯上的決定過程。 由此，時(shí)間的不可逆性，單向性也就成為當(dāng)然的。同熱力學(xué)第二定律所揭示的熵增加的時(shí)間箭頭相仿，在世界的存在過程中，時(shí)間的方向被描述為一個(gè)隨著隨機(jī)性選擇的發(fā)生，可能性不斷轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)性因而也就不斷減少的方向，而對(duì)包括過去在內(nèi)的整個(gè)過程而言，也就呈現(xiàn)出一幅復(fù)雜性不斷增加的世界圖景。這里，還有另外一種不完全性。在時(shí)間序列中，每個(gè)階段世界的具體存在是確定不移的，但存在的可能性卻不是唯一的。當(dāng)然實(shí)在只是一種可能性的實(shí)現(xiàn)，不可能兩種可能同時(shí)轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)。所以，我們的世界不過是不可數(shù)個(gè)可能的世界（也是埃弗雷特所講的多重世界）之一。這種不完全性類似于數(shù)理邏輯中的斯科林奇論 ：公理系統(tǒng)在一個(gè)可數(shù)模型中為真，但它的一個(gè)定理卻講存在不可數(shù)集。但這并不構(gòu)成矛盾，恰如一個(gè)理論體系中的一個(gè)真命題講這個(gè)理論是不完全的，并不能必然地導(dǎo)致理論的不一致。 因數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性而被清除出去的隨機(jī)性、偶然性，又因數(shù)學(xué)的不完全性從后門跑回來了，但卻被嵌入一個(gè)邏輯上自洽的隨機(jī)過程（如馬爾科夫過程）中。決定論與隨機(jī)性的沖突讓位于不完全性并因不完全性而消融。因而展現(xiàn)在我們面前的世界圖景是非嚴(yán)格決定論的，用普里戈金的話來說，“偉大的宇宙教科書的最后一章還沒有寫出來呢 （19）。” 相關(guān)性：不完全性與隨機(jī)性之源 我們的行文好像不是在悖論邊緣，而是離悖論很遠(yuǎn)了。其實(shí)，“正如王浩所表明的，迄今已知的每一個(gè)語義悖論都可以轉(zhuǎn)換成一個(gè)不完全性證明?！?所有的悖論都是以自我相關(guān)的形式出現(xiàn)的，雖然并不是所有的理論不完全性都表現(xiàn)為自我相關(guān)。但這種自我相關(guān)卻是理論不完全性的本質(zhì)根源。哥德爾正是受說謊者悖論和理查德悖論的啟發(fā)而構(gòu)造了一個(gè)意指自己不可證的公式從而證明了數(shù)論形式系統(tǒng)的不完全性。 對(duì)照一下哥德爾曾證明過的謂詞邏輯的完全性是很有意義的。數(shù)論形式系統(tǒng)可以認(rèn)為是謂詞邏輯基礎(chǔ)上的擴(kuò)充。但為什么后者是完全的，而前者卻本質(zhì)上不可完全呢？答案即在于，數(shù)論形式系統(tǒng)的語言豐富到可以構(gòu)造出具有元理論性質(zhì)的句子（命題），使其自身在一定程度上成為自身的元理論，作為描述者的理論參與了被刻畫對(duì)象并構(gòu)成其不可分割的一部分。在此意義上，如果我們撇開完全性在數(shù)理邏輯中的特有內(nèi)涵，那么謂詞邏輯更是不完全的，因?yàn)橛幸粋€(gè)更大的包含其在內(nèi)的邏輯空間它沒涉及到。 哥德爾本人曾很詳細(xì)地談到其證明思想：“我們可以注意到一個(gè)形式系統(tǒng)的公式在形式上都表現(xiàn)為基本符號(hào)（變量、邏輯常項(xiàng)或中斷符號(hào)）的一個(gè)有限序列。而且人們?nèi)菀拙_地去指明基本符號(hào)的哪些有限序列是有意義的公式和哪些不是有意義的公式。類似地，從形式的觀點(diǎn)看，所謂證明實(shí)際上就是公式的一個(gè)有限序列。對(duì)于元數(shù)學(xué)來說，究竟用什么來作為基本符號(hào)當(dāng)然是沒有什么關(guān)系的。我們不妨就用自然數(shù)來作為基本符號(hào)。如此一個(gè)公式就是一個(gè)自然數(shù)的有限序列，而一個(gè)證明便是一個(gè)有限的自然數(shù)序列的有限序列。據(jù)此，元數(shù)學(xué)的概念（命題）也就變成了關(guān)于自然數(shù)或它們的序列的基本概念（命題），從而即可（至少是部分地）在（對(duì)象）系統(tǒng)本身的符號(hào)中得到表示，特別是人們可以證明‘公式’、‘證明’‘可證公式’等都可在對(duì)象系統(tǒng)中加以定義。” 通過哥德爾配數(shù)法的運(yùn)用和對(duì)遞歸函數(shù)的研究，這是完全可以做到的。（與此類似，對(duì)世界的描述也以一定方式表現(xiàn)為構(gòu)成世界的一部分，從而可在一定程度上用其語言來處理。）既然對(duì)一個(gè)系統(tǒng)的解釋又可以映射在系統(tǒng)內(nèi)，那么根據(jù)遞歸定理（不動(dòng)點(diǎn)定理） 的思想，這種描述者與被描述者的參與必然會(huì)造成自我相關(guān)命題的出現(xiàn)，使這個(gè)命題既是一個(gè)被描述的對(duì)象，又是一個(gè)用以刻畫自身的符號(hào)。 自我相關(guān)并不必然造成悖論，如“我這句話是真話”就沒有矛盾，它可以為真，也可以為假。而說謊者悖論“我這句話是假話”則既不能為真也不能為假。如果我們把它們看作一理論的語言所表述的命題中的兩個(gè)，那么從元理論的角度看，兩者也都表明了它們?cè)诶碚撝械牟豢勺C性（塔式基的真理論中，說謊者悖論在元語言中判定為假 。塔式基證明了一種語言不能在對(duì)此語言中的“真”加以定義，否則會(huì)出現(xiàn)說謊者悖論，證明直接利用了哥德爾不完全性定理的思想。），故而顯示了理論的不完全性。其它語義悖論也可作如是觀。把“真實(shí)性”代以“可證性”，就會(huì)出現(xiàn)哥德爾定理中的不可判定命題，它斷定了自身在數(shù)論形式系統(tǒng)中的不可證性。利用這個(gè)結(jié)果進(jìn)而可以證明，數(shù)論形式系統(tǒng)如果是無矛盾的，那么它的無矛盾性也可轉(zhuǎn)化在系統(tǒng)中可表達(dá)的命題，但這個(gè)也不能被證明，這又是數(shù)論形式系統(tǒng)及一切類似系統(tǒng)不完全性的必然表現(xiàn)。 完全性可看作對(duì)整體世界的確定性描述。但當(dāng)把描述者和被描述者作為一個(gè)整體來考察時(shí)，描述者卻不能對(duì)這個(gè)包括自身在內(nèi)的整體做完整地把握，原因也正在于描述者對(duì)被描述者的參與，對(duì)世界的描述直接構(gòu)成世界的一部分。并且哥德爾定理還表明，從元理論的角度看，描述者所不能描述的也構(gòu)成其描述對(duì)象的一部分，因?yàn)檫@是能用它的語言來表達(dá)的，不可判定命題即是例子。這也說明了語言較于理論的豐富性（作為哥德爾定理的推廣，由索洛莫諾夫、察廷和柯爾莫哥洛夫 發(fā)展起來的隨機(jī)串理論對(duì)一個(gè)理論的證明能力作了更嚴(yán)重的限制 ）。而且，自我相關(guān)命題的不可避免代表了極限情況下理論本質(zhì)上的不完全性 ?？梢哉f，這個(gè)世界的復(fù)雜性是任何理論都不能完全把握的，雖然我們可以有哥德爾定理及其推廣表明這個(gè)事實(shí)本身。在理論不斷擴(kuò)展的無窮過程中它永遠(yuǎn)不能取得一個(gè)像上帝或拉普拉斯精靈一樣的絕對(duì)元理論地位。而即使是拉普拉斯精靈也不能把自身可實(shí)現(xiàn)（形式化）地包含于內(nèi)，正如上帝不能造出一個(gè)它不能戰(zhàn)勝的對(duì)手。換言之，絕對(duì)元理論地位不存在。 與數(shù)學(xué)中的哥德爾定理相對(duì)應(yīng)，在量子力學(xué)領(lǐng)域我們可看到另一種不完全性 ——測(cè)不準(zhǔn)原理。對(duì)愛因斯坦來說，量子力學(xué)“不能使我滿意的，是它對(duì)于那個(gè)在我看來是全部物理學(xué)綱領(lǐng)性目標(biāo)的態(tài)度。這個(gè)目標(biāo)就是：要對(duì)任何（單個(gè)的）實(shí)在狀態(tài)（假定它是不依賴于任何觀察或者證實(shí)的動(dòng)作而存在的）作完備的描述?！?但是，海森堡指出：“關(guān)于‘實(shí)際事物’的任何知識(shí)——根據(jù)量子論的定律在其——真正的本質(zhì)上都是不完備的知識(shí)。” 我們知道量子力學(xué)的最終結(jié)果是對(duì)包括實(shí)驗(yàn)裝置在內(nèi)的整個(gè)系統(tǒng)的描述，“寫出的幾率函數(shù)是代表進(jìn)行測(cè)量時(shí)實(shí)驗(yàn)狀況的”，“這種幾率函數(shù)代表兩種東西的混合物，一部分是事實(shí)，另一部分是我們對(duì)事實(shí)的知識(shí)。” 所以，像后來波姆等人所主張的隱變量理論如果也不能避免量子力學(xué)的這種相關(guān)性，那它只能是空中樓閣，至少它無法經(jīng)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)證實(shí)。 在此基礎(chǔ)之上，如果承認(rèn)“物理學(xué)涉及的是關(guān)于自然我們能說些什么”，那么玻爾的互補(bǔ)原理就是對(duì)量子力學(xué)不完全性的一種合理解釋 。這樣一個(gè)整體參與的世界里，如玻爾所說，在生活的戲劇中，我們既是觀眾，又是演員。并且，首先是演員，其次才是觀眾。作為演員的世界可謂以其自身為最好的描述，作為觀眾的任何一種理論框架是無法把包括自己的世界完全裝進(jìn)去的。因而世界的存在表現(xiàn)出開放性，理論也正因?yàn)闃?gòu)成了一個(gè)封閉的模式而表現(xiàn)為不完備。相對(duì)于任何理論的封閉模式，世界表現(xiàn)為不斷突破原來結(jié)構(gòu)而不斷增加復(fù)雜性的生成過程。新的結(jié)構(gòu)以其自身的存在證明其在時(shí)間序列中的邏輯相容性，并“刻畫”了其存在的合理性，恰如不可判定命題以說明自身的不可證性而真實(shí)、獨(dú)立地存在于自然數(shù)集的命題中。 無限的層次 世界的這種開放性、生成性 ，使我們對(duì)無限的理解也增添了新的內(nèi)容。 本世紀(jì)初數(shù)理邏輯三大流派之爭(zhēng)的一個(gè)焦點(diǎn)就是無限。遙承柏拉圖的康托爾、羅素、希爾伯特等實(shí)無限論者認(rèn)為，可以把無限作為一種完成物，一種實(shí)在的存在來處理；而肇始于亞里士多德的克羅內(nèi)克、布勞維爾、外爾等潛無限論者認(rèn)為無限“永遠(yuǎn)停留于創(chuàng)造（生成）的狀態(tài)之中，而絕不是一個(gè)存在于自身之中的事物的封閉領(lǐng)域（外爾）。” 超越實(shí)無限與潛無限之爭(zhēng)而代之以無限的層次性，是可以實(shí)現(xiàn)雙方陣營之間的（綏靖）的。其實(shí)，實(shí)無限論者康托爾證明實(shí)數(shù)系不可數(shù)的工作就對(duì)無限作了可數(shù)與不可數(shù)的劃分。 利用對(duì)角線方法，康托爾證明，對(duì)任何一個(gè)可數(shù)的無限實(shí)數(shù)集合，總可以通過對(duì)對(duì)角線元素的否定構(gòu)造出一個(gè)不屬于它的實(shí)數(shù)來，把這個(gè)實(shí)數(shù)加到原來集合中，又可以構(gòu)造出新的不能包括的實(shí)數(shù)。哥德爾定理中不可判定命題也是用對(duì)角線方法作出的。并且，湯姆遜的工作表明，幾乎所有悖論都建立在對(duì)角線方法上。 如自然之無限不可等同于實(shí)數(shù)之無限所表明的，對(duì)角線方法的實(shí)質(zhì)在于揭示了無限的層次性，一個(gè)高層次者（相當(dāng)于潛無限）與低層次者（相當(dāng)于已完成的實(shí)無限）有本質(zhì)的區(qū)別，后者永遠(yuǎn)不能趨進(jìn)或代替前者，借布勞維爾“存在必須被構(gòu)造”的話，有些存在是不可能僅僅通過構(gòu)造的方法把握住的。因而希爾伯特綱領(lǐng)的堂吉訶德色彩不在于對(duì)無限可認(rèn)識(shí)性的堅(jiān)持上，倒在于它過于宏偉了，欲在一個(gè)完整的框架內(nèi)超越無限的這種層次性。懷特海說得好，“有限本質(zhì)上涉及一個(gè)無限的背景”，而任何理論模式都因其封閉性本質(zhì)上是有限的（低層次的實(shí)無限也是如此）。當(dāng)然“無限本來是無意義的和無價(jià)值的，它靠具體化為有限實(shí)體而獲得意義和價(jià)值。” 哥德爾定理不過是宣告了以終極意義和價(jià)值的尋求是一座注定不可建成的“巴別塔”。 因此，理論進(jìn)步的標(biāo)尺即在于，在一定的簡(jiǎn)潔性之上，描述范圍的擴(kuò)大與描述細(xì)節(jié)的更精致，就像相對(duì)論力學(xué)取代牛頓力學(xué)而把后者作為一種特例包括進(jìn)來，雖然新理論依然不能避免希臘神話中那個(gè)不停地推石頭上山的西緒福斯的命運(yùn)。 結(jié)語 但這不應(yīng)成為悲觀論調(diào)的借口。固然，哥德爾定理指出我們?nèi)魏蚊枋鍪澜绲睦碚摰牟煌耆?；在世界不可逆的無限發(fā)展進(jìn)程中，隨機(jī)性、偶然性使人感到撲朔迷離，無所適從。但是，我們也應(yīng)看到，人類作為一種自由的存在，除了奠基于世界的可認(rèn)識(shí)性之上，隨機(jī)性是另一塊不可缺少的基石。只有隨機(jī)性才可能賦以人類在一個(gè)整體參與世界中的選擇主體地位 。在一個(gè)鐵的規(guī)律決定的世界里，如果連對(duì)規(guī)律的認(rèn)識(shí)以及所謂利用規(guī)律改造世界的選擇都是被預(yù)先安排了的，自由只是一種奢想——連奢想本身也是不可更改的命運(yùn)的一部分。既然一個(gè)人為惡為善都是他身不由己的，要求他為善而不作惡有什么意義呢？判他有罪并加以懲罰的理由也只好說這是審判官也身不由己的行為了。甚至，我們談?wù)撟杂蛇@種行為本身，譬如我這會(huì)兒寫下這行字，都是一部龐大的鐘表一樣的機(jī)器使我作為上面的一個(gè)零件而不得不干的。所謂自由實(shí)際上成了我們的一種幻覺。故此，在康德的視野里，為了“解決”這種沖突，人和自然界被人為的割裂開來，隨機(jī)性在自然中是清除對(duì)象，而“自由因”則莫名其妙地留給了人以樹立其理性的崇高 。 今天，該是重建人和自然聯(lián)盟的時(shí)代了 ，統(tǒng)一的紐帶——非嚴(yán)格決定論不是出于證明人類自由的臆想，它本身就根植于世界，深埋在任何關(guān)于世界的描述理論的不完全性中——哥德爾定理是它最好的注解。 【注釋】標(biāo)準(zhǔn)的說謊者悖論為“我正在說的這句話是假的”。 羅素悖論是：一個(gè)由所有不屬于自身的集合所組成的集合是否屬于自身？顯然，不管肯定或否定的回答都會(huì)引向其反面。 在哥德爾原來的論文中是更強(qiáng)的“ （奧米加）一致性”，后來羅塞爾將其減弱到“一致性”。 模型中的解釋的意義：我們把數(shù)論形式系統(tǒng)中的可推演定理解釋為（賦予其意義于）自然數(shù)集中的真命題。而在通俗的語言上，是用理論作為現(xiàn)象的“解釋”（描述）。后文的討論中，我們?nèi)∧Ｐ驼摰挠梅ǎ覀冋J(rèn)為理論中的命題被解釋為現(xiàn)象。 后來甘欽用更強(qiáng)的超窮歸納證明了自然數(shù)論的一致性，但不完全性定理依然成立。 轉(zhuǎn)引自貝爾納《歷史上的科學(xué)》中文版P276，科學(xué)出版社1959年出版。 引自弗蘭克《科學(xué)的哲學(xué)》中文版P282，許良英譯，上海人民出版社1985年出版。 《愛因斯坦文集》第一卷P415，許良英、范岱年等譯，商務(wù)印書館出版。 引自弗蘭克《科學(xué)的哲學(xué)》中文版P282，許良英譯，上海人民出版社1985年出版。 此處的矛盾是邏輯意義上的，不同于辯證法中的“矛盾”，但后者也不應(yīng)違背矛盾律。 理論應(yīng)能展開自然數(shù)論似乎是不容置疑的?？肆_內(nèi)克有句名言：上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余都是人造的。 Wang Hao (1974): From mathematics to philosophy, p9。 彭羅斯《皇帝新腦》P195，湖南科技出版社1995年，吳忠超譯。 數(shù)學(xué)中已發(fā)展出分歧理論來處理它。 李政道《對(duì)稱、不對(duì)稱和粒子世界》中文本P4，科學(xué)出版社1991年出版，吳元芳譯。 混沌理論的代表人物之一福特有句論斷：“混沌是哥德爾定理的孩子”。 在《科學(xué)》季刊43卷4期P269，郝柏林先生以“有限性”概念表述了同樣觀點(diǎn)。 斯賓諾莎《論理學(xué)》中譯本P30，商務(wù)印書館1958年版。 彭加勒《科學(xué)與方法》中譯本《科學(xué)的價(jià)值》P388，光明日?qǐng)?bào)出版社。 參見盧侃等編譯《混沌動(dòng)力學(xué)》P340，上海翻譯出版公司1990年版。其實(shí)，這也沒什么奇怪之處，二者之間的鏡像對(duì)稱關(guān)系已由兩個(gè)迭代式之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系所決定。 作為一種實(shí)在它是不可更改的，對(duì)過去的不同理解是另外一回事，哥德爾曾指出愛因斯坦的相對(duì)論中有可能出現(xiàn)“向過去的自己開槍”的怪事，考慮到下文提到的時(shí)間單向性，過去依然不會(huì)被改變。 參見克林《元數(shù)學(xué)導(dǎo)論》下冊(cè)中譯本P472，科學(xué)出版社，莫紹揆譯。 轉(zhuǎn)引自《世界科學(xué)》1991年12期P3。 莫斯托夫斯基《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究三十年》P15，華中工學(xué)院出版社，郭世銘等譯。實(shí)際上哥德爾本人就曾指出“任何認(rèn)識(shí)論悖論都可以用來做一存在不可判定命題的相仿證明”。 轉(zhuǎn)引自徐利治《數(shù)學(xué)方法論選講》P148，149，華中工學(xué)院出版社1982年版。 參見《元數(shù)學(xué)導(dǎo)論》下冊(cè)第十二章，尤其P394的討論?？刹迦氲囊痪湓捠牵f歸定理與布勞維爾不動(dòng)點(diǎn)定理等的相似之處對(duì)理解關(guān)于離散和連續(xù)的關(guān)系也極有啟發(fā)。 參見三聯(lián)書店涂紀(jì)亮編《語言哲學(xué)名著選》P254。 柯氏作為二十世紀(jì)最有造詣的俄羅斯數(shù)學(xué)家，早期的經(jīng)典貢獻(xiàn)是概率論公理化，中期是以KAM定理為代表的動(dòng)力系統(tǒng)理論，二者一在隨機(jī)性，一在決定論，后期的這個(gè)算法信息論（算法復(fù)雜性理論）的貢獻(xiàn)在他看來統(tǒng)一了隨機(jī)性與決定論。 參見《今日數(shù)學(xué)》中譯本P296－300，上海科學(xué)技術(shù)出版社1982年，馬繼芳譯。 我們?cè)跂|西方文化中都可發(fā)現(xiàn)理論的自我相關(guān)的影子?！罢J(rèn)識(shí)你自己”是古希臘特爾斐神廟上的一句銘言。而蘇格拉底以“我知道自己什么也不知道”（柏拉圖《蘇格拉底的申辯》P57，商務(wù)印書館1983年版，嚴(yán)群譯）表現(xiàn)了倫理哲人的睿智，笛卡爾則以“我思故我在”從另一側(cè)面為其理論找到了“堅(jiān)實(shí)”的出發(fā)點(diǎn)（《西方哲學(xué)原著選讀》P368，商務(wù)印書館1982年版）。最后，哥德爾以不完全性定理給“認(rèn)識(shí)你自己”作了不利的終身判決。東方的禪宗又以其特有的形式表達(dá)了對(duì)這種不完備的直觀理解，如有名的禪語“不可說”、“才開口便錯(cuò)”。當(dāng)我們欲以對(duì)世界作一總體把握時(shí)，我們的開口說話——對(duì)世界描述本身就是世界的組成部分。參與并改變了世界的存在狀態(tài)，在原來的狀態(tài)中至少又加上了一個(gè)“說話”。所以在總體意義上不可能對(duì)世界作全面完整地把握的。莊周則以“人生也有涯，而知也無涯”的喟嘆表達(dá)了同樣的思想。不過須強(qiáng)調(diào)的是，以老莊佛禪為代表的東方思想常以“超邏輯”自傲，但任何理論都不應(yīng)違背邏輯上的一致性去追求一種空幻的“完備性”。 許良英等編譯《愛因斯坦論文集》第一卷P366，商務(wù)印書館出版。 海森伯《物理學(xué)與哲學(xué)》中文本P15，商務(wù)印書館1981年版，范岱年譯。 《物理學(xué)與哲學(xué)》P92。 吳大猷先生指出，這種不完全性以及由此引出的非嚴(yán)格決定論（隨機(jī)性）由量子力學(xué)形式體系的預(yù)設(shè)所蘊(yùn)涵。 或者如禪宗所言存在的“活潑性”。 引自徐利治《數(shù)學(xué)方法論選講》P162。 參見夏基松、鄭毓信《西方數(shù)學(xué)哲學(xué)》P162－167，人民出版社1984年版。 懷特海《數(shù)學(xué)與善》，載《數(shù)學(xué)哲學(xué)譯文集》P347，知識(shí)出版社1986年版，林夏水主編。 愛因斯坦有云，“我所真正感興趣的是，上帝是否能以不同的方式來創(chuàng)造世界；也就是說，必要的邏輯簡(jiǎn)單性是否為自由選擇留下任何余地。” 康德從“先天綜合命題如何可能”這樣一種元理論思考展開其哲學(xué)體系。雖然“二律背反”已經(jīng)涉及理論不完全性，但因圉于牛頓力學(xué)和歐氏幾何的影響（當(dāng)時(shí)的時(shí)代流行看法），其自然哲學(xué)思想也帶上了嚴(yán)格決定論色彩。 參見普里戈金等《從混沌到有序》之“序：人與自然的新對(duì)話”，上海譯文出版社1987年版P26，曾慶宏、沈小峰譯。
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