數學和數學家的故事- -
這篇文章在專業數學網站廣為流傳。不過，原來的文章里面充滿了英文人名和數學名詞術語和歷史掌故，還有一些于主題無關的段落。不但使其它專業的人讀起來費勁，就連一般院校的數學系學生讀起來也會感到吃力。 鑒于此，本人決定嘗試一下寫一篇通俗易懂的文章，向廣大網友介紹數學歷史上的牛人牛事，希望借此讓大家了解數學家和數學的豐富多彩的內涵。當然，作者提到的那篇網絡長文的一些或者全部素材可能作為本文的參考資料。不過，本人知道，有些人一提到數學就頭痛，所以也沒有對人氣抱著多大希望 。本文算是東拉西扯信天游的性質，可能介紹一段有趣的故事，也許是一個大家都了解的數學問題，也不知道何時能夠寫完，自己也沒有信心能堅持到底。
一 數學的發源地：古希臘
華人中最杰出的數學家陳省身最近去世了。在彌留之際，他一直在說："送我去希臘。"就像麥加是伊斯蘭的圣地，恒河是佛教徒心中的圣地一樣，數學家和哲學家心中的圣地就是希臘。古希臘群星璀璨，亞里士多德，蘇格拉底，阿基米德這樣的博學而又智慧的大家讓其它民族望塵莫及。有記載第一位哲學家和數學家是泰勒斯，哲學是從泰勒斯開始的，他預言過一次日蝕，所以我們就很幸運地能夠根據這件事實來斷定他的年代；據天文學家說，這次日蝕出現于公元前585年。他第一次證明了在圓上，直徑所對應的圓周角是90度，這也標志這幾何學的誕生和證明的開始。希臘人中能產生那么多哲學家和數學家，幾乎可以肯定的是那里的公民有辯論的自由，他們崇尚邏輯思維而不是崇尚武力。
畢達哥拉斯算是希臘數學家中的一個杰出的人物，他創立的有理數的概念至今對于一些受過高等教育的中國人還是一個難的東西。說它難，其實不難，關鍵是學習知識太功利，徹底搞清這個概念遠遠比背誦一段政治容易。我上【高等數學】課時，幾乎年年有人問我："老師，學習這個有什么用？"希臘的歐幾里德碰到誰問他這個問題，從兜里拿出一個硬幣，告訴仆人："把這個硬幣給他，他問學幾何有什么用，學幾何不能賺錢，讓他拿這個硬幣走吧！"
畢達哥拉斯是歷史上最有趣味而又最難理解的人物之一。不僅關于他的傳說幾乎是一堆難分難解的真理與荒誕的混合，而且即使是在這些傳說的最單純最少爭論的形式里，它們也向我們提供了一種最奇特的心理學。他建立了一種宗教，主要的教義是靈魂的輪回和吃豆子的罪惡性。他的宗教體現為一種宗教團體，這一教團到處取得了對于國家的控制權并建立起一套圣人的統治。但是未經改過自新的人渴望著吃豆子，于是就遲早都反叛起來了。
畢達哥拉斯教派有一些規矩是：
1．禁食豆子。
2．東西落下了，不要揀起來。
3．不要去碰白公雞。
4．不要擘開面包。
5．不要邁過門閂。
6．不要用鐵撥火。
7．不要吃整個的面包。
8．不要招花環。
9．不要坐在斗上。
10．不要吃心。
11．不要在大路上行走。
12．房里不許有燕子。
13．鍋從火上拿下來的時候，不要把鍋的印跡留在灰上，而要把它抹掉。
14．不要在光亮的旁邊照鏡子。
15．當你脫下睡衣的時候，要把它卷起，把身上的印跡摩平。
畢達哥拉斯在代數上的主張是認為數是萬物之源，并且認為一切數都能寫成兩個自然數相除的形式。畢達哥拉斯的在幾何上最偉大的發現，或者是他的及門弟子的最偉大的發現，就是關于直角三角形的命題；即直角兩夾邊的平方的和等于另一邊的平方，即弦的平方。埃及人已經知道三角形的邊長若為3，4，5的話，則必有一個直角。但是第一個給出嚴格證明的卻是畢達哥拉斯，因此這個定理也被冠以他的名字。這個定理在中國被稱作勾股定理，不過至今沒有得到廣泛的承認。
然而不幸，畢達哥拉斯的定理立刻引到了不可公約數(無理數)的發現，這似乎否定了他的全部哲學。他的一個學生用畢達哥拉斯定理證明了：當正方形的邊長是1時，對角線長度不能用任何兩個整數相除來表示，也就是說不是有理數。這剛好否定了畢達哥拉斯關于數的存在都是有理的（rational）的想法，這個學生的發現導致了他的喪命：被教眾拋進了大海。這次事件被稱作數學歷史上的第一次危機，它否定了一切數都是有理數的結論。直到18－19世紀，關于微積分嚴格性的討論才對第一次數學危機給出了解答。
二 不懂幾何者不許入內和阿基米德的裸奔
現在中學生學習的平面幾何，都是來源于兩千多年前的一本奇書：《幾何原本》，它是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽杰作，是當時整個希臘數學方法和數學思想的結晶，其內容和形式對幾何學本身和數學的發展有著不可估量的影響。自它問世之日起，在長達二千多年的時間里一直盛行不衰。它歷經翻譯和修訂的次數更是不勝枚舉，自1482年第一個印刷本出版以來，至今已有一千多種不同的版本。除了《圣經》之外，沒有任何著作，其研究、使用和傳播之廣泛，能夠與《幾何原本》相比。但《幾何原本》卻有著超越民族、種族、宗教信仰、文化意識方面的影響，是《圣經》所無法比擬的。《幾何原本》的希臘原始抄本現在已經流失了，它的所有現代版本都是以希臘評注家泰奧恩編寫的修訂本為依據的。《幾何原本》的泰奧恩修訂本分13卷，總共有465個命題，其內容是闡述平面幾何、立體幾何及算術理論的系統化知識。
《幾何原本》對于數學的影響是不可估量的，它是人類歷史上第一次采用公理化的體系來討論數學。就是先假定一些命題是不加證明而認可的，所有的定理和結論都是建立在這些公理的邏輯演繹之上。至今中學生所學的平面幾何和立體幾何都沒有超出《幾何原本》的范圍，因此可以說這是對人類思想影響最遠的數學書。現代數學的公理化方法都是來源于歐幾里德的這本書《幾何原本》。
古人學習幾何更是困難，據說當學到‘一個等腰三角形的兩個底角相等'這個定理時，好多人就無論怎樣都學不會了，因此這個定理又叫‘驢子的梯子'，指它難住了一大批人。直到現在，平面幾何的一些知識或者立體幾何的一些定理仍然難住了一大批人，大概學習數學需要一些天賦吧。因此當國王多祿米向歐幾里德討教學習幾何的捷徑時，歐幾里德告訴他："在幾何里面，沒有為國王提供的捷徑。"
在數學上，古希臘人提出"三大問題"：三等分任意角；倍立方，求作一立方體，使其體積是已知立方體的二倍；化圓為方，求作一正方形，使其面積等于一已知圓。這些問題的難處，是作圖只許用直尺(沒有刻度的尺)和圓規。這類問題直到近代群論的出現，才得以得到解決，這三個問題都是不可解的。
阿基米德就是學習《幾何原本》的學生中最杰出的一位。他11歲便離開家鄉到當時希臘文化中心的亞歷山大城去學習《幾何原本》，按輩份他應該是歐幾里德的徒孫。他在數學和物理上所創造的奇跡使他成為人類歷史上最杰出的科學家。一個著名的故事是：敘拉古的亥厄洛國王委托金匠造一頂純金的皇冠，但是懷疑里面被摻了銀子，當然不可能通過把皇冠割開來檢驗這個王冠，于是便請阿基米德鑒定一下。一次當他洗澡時正在冥思苦想，這時水漫溢到盆外，于是悟得不同質料的物體，雖然重量相同，但因體積不同，排去的水也必不相等。根據這一道理，就可以判斷皇冠是否摻假。阿基米德高興得跳起來，赤身奔回家中，口中大呼："尤里卡！尤里卡！"（我發現了），于是便開始在大街上裸奔起來了，一直跑到家里。
他在數學上的發現創造更是數不勝數，阿基米德螺線，拋物線上的弓形求面積方法含有現代積分思想，求圓的面積，球的表面積和體積的公式，圓周率的求法和誤差估計，等等，直到現在，全世界活著的人中，至少還有百分之六十的人數學知識比不上兩千年前的阿基米德。
阿基米德的死也具有傳奇色彩，甚至可以編成一部精彩的電影。公元前212年，羅馬軍隊攻入敘拉古，并闖入阿基米德的住宅，他們看見一位老人在地上埋頭作幾何圖形，士兵們將沙盤踩壞。阿基米德怒斥士兵："不要弄壞我的圖！"士兵拔出短劍，刺死了這位曠世絕倫的大科學家，阿基米德竟死在愚蠢無知的羅馬士兵手里。還有一個版本是他死前說的話是："讓我做完最后一道題。"
關于阿基米德在數學史上的地位，美國的數學史學家E.T.貝爾在《數學人物》上是這樣評價阿基米德的："任何一張開列有史以來三位最偉大的數學家的名單之中，必定會包括阿基米德，而另外兩們通常是牛頓和高斯。不過以他們的宏偉業績和所處的時代背景來比較，或拿他們影響當代和后世的深邃久遠來比較，還應首推阿基米德。"
三 牛頓時代就有馬甲
從古希臘數學到近代微積分的產生，中間經歷了漫長的停滯不前的年代。期間，各國都產生了一些杰出數學家和一些成果，但是這些成果都是零星的非本質的。期間中國最引以自豪的數學家是祖沖之，他計算出圓周率到小數點后7位。
在十七世紀中葉以后，數學知識的火山似乎在一夜之間爆發了。其中以微積分為代表的變量數學徹底改變了人們的數學思想和方法，解決了物理上提出的大量問題，并且給出了用傳統方法想都不敢想的問題的解法。在微積分發現的優先權的爭執上，英國數學家和大陸數學家產生了嚴重糾紛。牛頓于是用了好多編造的名字來‘證明'萊布尼茨的知識不是原創而是抄襲牛頓的。其言辭之尖刻、辱罵之惡毒令人難以想像。萊布尼茨死后，牛頓還津津樂道的向別人講述怎樣用馬甲使萊布尼茨傷透了心，并沾沾自喜。
這個時代，法國的貝努力（Bernoulli）家族是一個數學家族，三代出現了十多位杰出的數學家。 這個家族人的脾氣都不太好，最奇怪的他們是開始都不是從事數學，可是到后來全部迷上了數學。父親因為兒子得了數學大獎，嫉妒之下竟然一腳從窗戶把兒子踹到了室外。
1696年，約翰.貝努力（ John Bernoulli）在《教師學報》的雜志上面提出最速降線問題，公開針對他的哥哥雅克比.貝努力（Jacobi.Bernoulli）,這兩個人在學術讓一直相互不忿，據說當年約翰求懸鏈線的方程，熬了一夜就搞定了，雅克比做了一年還認為懸鏈線應該是拋物線，實在是很沒面子。那個雜志是萊布尼茨主辦的，影響很大，歐洲的所有杰出數學家都嘗試這來做這個問題。到最后，Jhon收的了5份答案，有他自己的，萊布尼茨的,還有一個羅必達侯爵的 ，然后是他哥哥Jacobi的，最后一份是蓋著英國郵戳匿名的。
這個問題陳述起來很簡單，就是平面上有兩個點A，B，這兩個點連線既不是水平也不是垂直，試尋找連接這兩個點的曲線，使得靠自身重力的一個小球能用最快時間從這點滑到那點（摩擦阻力不計）。
據說當年牛頓已經從科學第一線退了下來，攬到了皇家造幣廠廠長的肥缺。勞累了一天以后，回家在壁爐前看到了貝努力的題，，熬夜到凌晨4點，就搞定了。貝努力看到這個匿名送來的答案，說道："我看到了獅子露出來了利爪。"在這么多解答當中，約翰的應該是最漂亮的，類比了費馬光學原理作了出來，用光學一下做了出來。但是從影響來說，弟弟的做法真正體現了變分思想。 這個思想是把每條曲線看作一個變量，進而在每條曲線上所用時間便是曲線的函數，這就是泛函。類似于微積分求最大最小值的辦法，把微積分推廣到一般函數空間去，這就是【變分法】。不過變分法真正成為一門理論還要屬于約翰的弟子歐拉和法國的拉格朗日。
貝努力一家在歐洲享有盛譽，有一個傳說，講的是丹尼爾.貝努力（Daniel Bernoulli，他是約翰.貝努力的兒子）有一次正在做穿越全歐洲的旅行，他與一個陌生人聊天，他很謙虛的自我介紹："我是丹尼爾 .貝努力。"那個人當時就怒了，說："我是還是伊薩克.牛頓呢。"從此之后在很多的場合丹尼爾都深情的回憶起這一次經歷，把他當作他曾經聽過的最衷心的贊揚。
牛頓去世后，有人寫詩贊美他：
宇宙和自然的規律隱藏在黑夜里
神說：讓牛頓降生吧
于是一切都成了光明。
貝努力家族對數學最大的貢獻還不是在數學本身，而是發現了歐拉。
四 數學英雄歐拉（Euler）
要問在歷史上這些數學家中我最佩服誰，那肯定是歐拉。
歐拉小學就被開除了，因為他問的問題太多，給老師太多的難堪。有人說歐拉是先會算術后會說話的，高斯也是這樣，高斯一歲時就能發現父親賬本上計算的錯誤，不過這肯定是傳說。但是歐拉很小就知道等周原理：在周長固定的所有圖形，面積最大的一定是圓。
大名鼎鼎的約翰.貝努力是歐拉父親的朋友，第一次見到六歲的歐拉就被歐拉問住了："我知道一個數6，它有因數1，2，3，6，加起來是6的2倍；還有一個數28，有因數1，2，4，7，14，28，加起來也是28的2倍，還有多少這樣的數？"這類數叫做完全數，還是歐拉，最終給出了偶數完全數的表達式，那是后來的事情了。對于奇數的情形，誰要是能正確證明有或者沒有，現在肯定能拿到數學最高獎。歐拉17歲獲得了瑞士巴賽爾大學的碩士學位，歐拉太專注數學，以至于貝努力不得不規定，吃飯時間不許看書。他19歲時被俄羅斯卡德琳娜女王邀請到彼得堡科學院從事研究。
歐拉解決的問題實在太多了，解決問題過程中創造出的方法不知開創了多少個數學分支。歐拉因為解決著名的七橋問題開創了拓撲學，歌德巴赫猜想是因為歌德巴赫和歐拉的通信而出名的。任何一個正整數都一定能寫成不超過四個平方數之和是歐拉最早證明的，這可是將近兩千年無人解決的問題。數論，幾何，力學，天體力學，到處留下歐拉的足跡。現代數學的符號和表達式，如三角，指數，e，i，π 等等，都是歐拉創立的。歷史上第一本流行的微積分教科書也是歐拉寫的。后來所有的微積分教科書，或者是抄襲歐拉的，或者是抄襲抄襲歐拉的。
歐拉研究數學，就像人在呼吸，鳥在飛翔一樣自由和自在。
歐拉早就發現了‘變分法'可是當他發現法國人拉格朗日也有這類思想時，就把自己的藏起來不發表，把出名的機會留給年輕人。
歐拉由于看書過多，年輕時就瞎了一只眼睛，到59歲時，他的左眼也逐漸失明了。正當他搶在完全失明前搶救資料時，一場大火燒毀了他的一切資料。
歐拉大部分工作是在失明以后完成的，包括四平方定理。
歐拉的兩個學生因為計算一個無窮級數答案不一樣發生爭執，失明的歐拉用心算找出了小數點后第50位的錯誤，結果證明這兩個學生都算錯了。這就是歐拉。
五 業余高手（1）
在當今日益專業話的分工下，無論是競技項目還是專業領域，業余愛好者也許永遠達不到專業人員的水平。就拿圍棋為例，每年中國的專業vs業余最高對抗賽，盡管專業棋手讓兩個子，可是業余棋手還是幾乎全軍覆沒,象棋領域也大概如此。不過韓國圍棋高手劉昌赫曾經是業余棋手，但最后達到了專業超一流棋手的水平。象棋全國冠軍陶漢明曾經是業余棋手起家，曾經取得過全國亞軍的金波也是業余棋手。不過這些只是極端個別的例子。
在數學發展起步時期，業余數學家取得了驕人的成績。依我看，費爾馬（Femart）應該是自古以來沒有與之相比的，估計今后也不會有超越他的業余數學家了。費馬(1601年～1665年)是一位具有傳奇色彩的業余數學家，他最初學習法律并以當律師謀生，后來成為議會議員，數學只不過是他的業余愛好，只能利用閑暇來研究。雖然年近30才認真注意數學，但費馬對數論和微積分做出了第一流的貢獻。費馬提出了光線沿最快的路徑行進的原理，進而揭示了隱藏在光的折射定律后面的自然界的秘密，原來只有服從折射定律，才能保證光線從一點到達另一點用的時間最短。費馬在數論上為我們留下了大量的定理和猜想，其中相當一部分未給出證明。挑選這些‘定理'中最有趣的兩個給大家介紹一下。
費爾馬猜測，形如 2^(2^n)+1（這里符號‘^'表示冪，如4^2=16）的數都是素數，這類數成為費爾馬數。對于n＝0，1，2，3，4，經過驗證果然如此。不過對于n＝5，歐拉用心算得出：2^(2^5)+1=2^32+1=641×6700417，不是素數。有趣的對于其它的n，至今沒發現一個費爾馬數是素數。
下面說說著名的‘費馬大定理'：那是費馬去世后，人們整理他留下的筆記發現的。費馬熱衷于不定方程的研究。我想能夠堅持讀本文的讀者應該都知道勾股定理，并知道3^2+4^2=5^2，5^2＋12^2＝13^2，等等，這類數叫做勾股數（國際上叫畢達哥拉斯數），這類數究竟是怎樣構造出來的，古希臘時期已經給出了完整的答案：如果x是偶數，且x和y沒有公因數，那么必然有有一奇一偶兩個正整數a，b，使得：x＝2ab，y＝a^2-b^2，z=a^2+b^2，其中a和b沒有公因數。費爾馬在閱讀一本書叫做【丟番圖方程】里面關于勾股數這部分時，在旁邊寫到：把一個整數的立方寫成兩個整數的立方之和，把一個整數的四次方寫成兩個整數的四次方之和，等等，都是不可能的。我已經找到了絕妙的證明，可惜這本數旁邊的空白處太少了，我寫不下來。
費爾馬這個沒有寫下來的證明，天曉得到底存在還是不存在，可是他的這段話是坑了不少人。歐拉和高斯試圖證明這個定理，最后都失敗了。一戰之前，曾經有個德國人懸賞十萬馬克給第一個證明費爾馬大定理的人，一時許多業余高手都投入到這場獎金的爭奪中，但是沒有一個證明是正確的。一戰以后，德國馬克貶值，這筆獎金化作一堆廢紙。有人問大數學家希爾伯特（Hilbert）為什么不試試證明這個定理，他說："這是只下金蛋的鵝，我為什么要殺掉它呢？"（意思是說這個定理能引誘好多人從事數學研究，不證明它更好。）
這個定理折磨了數學家整整三百年，直到1993年，一個叫懷爾斯的數學家用難以置信的方法給出了證明。1980年懷爾斯在劍橋大學取得博士學位后來到了美國普林斯頓大學，并成為這所大學的教授。從1986年開始，這家伙七年時間沒有發表任何論文，要是在中國他什么經費和津貼都別指望了。1993年6月23日，牛頓研究所舉行了20世紀最重要的一次數學講座。兩百名數學家聆聽了這一演講，但他們之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希臘字母和代數式所表達的意思。演講者就是是安德魯·懷爾斯。懷爾斯回憶起演講最后時刻的情景："雖然新聞界已經刮起有關演講的風聲，很幸運他們沒有來聽演講。但是聽眾中有人拍攝了演講結束時的鏡頭，研究所所長肯定事先就準備了一瓶香檳酒。當我宣讀證明時，會場上保持著特別莊重的寂靜，當我寫完費馬大定理的證明時，我說：‘我想我就在這里結束'，會場上爆發出一陣持久的鼓掌聲。"因為他證明了這個大定理。不過說點題外的話，后來又發現他的證明有漏洞，又折磨了他一段時間，到1994年9月，他把所有的漏洞都堵上了。這個證明后來經過精練，已經縮短到130多頁，最初的證明有400多頁。懷爾斯一下子成了傳媒的寵兒和明星，這是數學家少有的拋頭露臉的機會，大概是費爾馬大定理的內容通俗易懂而證明卻持續了300多年吧。
懷爾斯的故事告訴我們：中國目前高校搞急功近利的唯文章數量評價水平的作法，肯定不會出現重大的研究成果。
六 業余高手（b）
提起業余數學家或者數學研究者，每次都使我肅然起敬。在中國，出于對數學中歌德巴赫猜想的興趣而愛好數學的有一大批人，筆者有幸在互聯網和生活中遇見到其中的幾個。記得以前看到電視節目【東方時空】百姓故事欄目例介紹了一個業余研究歌德巴赫猜想的一位老先生，自己靠蒸饅頭賣錢度日，卻把大部分收入用在了歌德巴赫猜想上。雖然研究數學不用什么花銷，可是購買資料請教問題要外出吧，要有路費和旅途上的費用吧。這些研究歌德巴赫猜想的人有共同的特點，幾乎都宣稱自己證明出來了，可是卻無法發表在公開出版的學術刊物上，或者被別人挑出錯誤可是自己還不能理解。在一些論壇上，經常看到有關歌德巴赫猜想的證明，有的看起來還很巧妙。比如我看到一個證明就用到了集合論中很深奧的‘良序公理'，這個公理和‘選擇公理'等價。他巧妙的構造一系列集合，可惜他錯誤的理解了良序公理中‘任何集合都能被良序'，而一廂情愿的認為良序就是一類集合的包含。這些人抱著‘一夜成名'的心態的畢竟是少數，多數是出于對數學的熱愛，卻由于各種原因，沒有機會走上專職研究數學的道路。
德國數學家外爾斯特拉斯（Weierstrass：1815--1897）也算業余高手，后來走上了職業數學家的道路。他開始是學習法律和財經，一度在在中學任教。這大概是中學數學教師中最杰出的一位了。德國是一個多出哲學家的國度，德國人又以嚴格認真見長，外爾斯特拉斯也是一樣，他的品性最能體現德國人對待真理的態度了。他最大的貢獻是在微積分嚴格化上作出了杰出的貢獻。
微積分在創立初期，理論上還不夠嚴密性，無窮小變成了神秘和隨心所欲被理解的量。因此1734年，英國哲學家、大主教貝克萊發表了文章《向一個不信神的數學家的進言》，矛頭指向微積分的基礎--無窮小的問題，提出了所謂貝克萊悖論。他指出："牛頓在求x^n的導數時，采取了先給x以增量０，應用二項式（x+0）^n，從中減去x^n以求得增量，并除以０以求出x^n的增量與x的增量之比，然后又讓０消逝，這樣得出增量的最終比。這里牛頓做了違反矛盾律的手續──先設x有增量，又令增量為零，也即假設x沒有增量。"他認為無窮小dx既等于零又不等于零，召之即來，揮之即去，這是荒謬，）"是消失了的量的鬼魂......能消化得了二階、三階流數的人，是不會因吞食了神學論點就嘔吐的。"無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論。導致了數學史上的第二次數學危機。
外爾斯特拉斯和法國的一些數學家一道，使得微積分無懈可擊。
外耳斯特拉斯還告訴我們，直觀有時是靠不住甚至是完全錯誤的。從前人們直觀上一直認為連續曲線肯定是光滑的，或者大多數點都是光滑的。用在函數上，就是一直認為連續函數是可導的，或者在多數點是可導的。可是外爾斯特拉斯卻舉出一個反例，在每一個點都連續，卻有在任何點都不可導。他舉出這個函數是畫不出圖像的，當時作為一個中學教師，的確令數學家們大跌了眼鏡。
1851年，大數學家高斯最得意的弟子黎曼，在博士論文中提出了一個原理：狄利赫來（Dirichlet）原理，利用這個‘原理'，可以美妙的解決變分中提出的一系列問題，并且在數學物理上有著廣泛的應用。按照微積分理論，狄利赫來原理應該算是理所當然成立的。可是外爾斯特拉斯卻說："不加證明的使用狄利赫來原理，是不嚴格的。"黎曼也是很謙虛的，便回應到："您說的對，不過這個原理肯定是正確的，很快我就會證明出來。"但是黎曼直到去世也沒有證明出來，又是這個中學教師，舉出了一個反例，徹底推翻了狄利赫來原理。于是黎曼博士論文中的一切結果都是值得懷疑的了。因此數學家卡爾.諾依曼嘆息道："如此美妙而又有廣泛應用前景的原理，已經永遠從我們視野中消失了。"
1899年，曠世奇才希爾伯特（Hilbert）用了不到6頁紙，通過附加一個條件，就消除了黎曼理論的缺陷，從而挽救了這個原理。更神奇的是，還挽救了黎曼的名聲，因為用這個改造的原理發現黎曼所得的其它結果又都是正確的了。
這真是群星閃耀的年代，是數學家自由飛翔的年代。可惜一去不復返了。
七 天妒英才
下面要說到兩個英年早逝的數學家，伽羅瓦和阿貝爾，不過要先從一個故事說起。
凡是受過初中教育的人都知道，任何一個一元二次方程都可以用求根公式求出它的解，這大概是很久就有的公式了。其中根和系數的關系被稱作韋達定理，有著廣泛的應用。然而三次方程和四次方程甚至更高階方程的求解公式一直不被人們所知。在文藝復興時期，有個叫塔塔利亞的業余數學家首先得到了這個公式，不過他秘而不宣，這是當時搞研究的人的一個傳統。可是，這個消息還是在尋求公式的一些業余數學家之間流傳著。
有一個叫卡當的業余研究者找到了塔塔利亞，懇求得到塔塔利亞的真傳。這個卡當在賭博上也不是一般的賭徒，是他在賭博中提出了概率的思想，他還熱衷于煉金術，星象學。塔塔利亞肯定被卡當打動了，也許卡當常跪不起，也許甜言蜜語，總之塔塔利亞告訴了他自己知道的一些公式。卡當學到手求解公式后就離開了塔塔利亞，甚至把對塔塔利亞許下的諾言拋到了九霄云外，寫出了一本術，名字叫做‘大術'，介紹了三次方程四次方程的求解方法。于是卡當聲名雀起，因為他在書中宣稱這些公式是他自己發現的。
兩個人的爭執開始了，解決爭端的方法很簡單，來一場決斗：兩人各自給對方出20道題，看誰先解出來。塔塔利亞大獲全勝，卡當一道題都沒有解出來，因為塔塔利亞教他時留了一招，沒有把公式的一般情況告訴卡當。這大概是人類歷史上的第一場數學競賽，參賽這只有兩個人，這個故事發生在四百多年前。不過至今這些公式還被稱作卡當公式，而塔塔利亞連名字都沒有留下來，塔塔利亞只是一個外號，意大利語意思是‘結結巴巴的人'的意思。
歷史就像一條河流，沉到河里的往往是金子，浮在河面上的往往是水草和馬糞。
三次四次方程求根公式得到了以后，人們尋求五次和五次以上方程的求解公式。可是歐拉高斯等杰出數學家都沒有找到求解公式，成了當時數學的難題。有兩個青年匆匆的來到了這個世界，又匆匆的離開了，也許他們來到人世的目的就是為了給我們一些驚訝和慨嘆。
尼爾斯·亨利克·阿貝爾(N.H.Abel)1802年8月5日出生在挪威一個名叫芬德的小村莊。阿貝爾幸運的碰到了一個有數學頭腦卻無多大數學成果的老師，老師很快發現他的數學才能，使得他很早就接觸到了微積分。在中學的最后一年，阿貝爾開始試圖解決困擾了數學界幾百年的五次方程問題。在19歲那年，他證明了一般五次方程求解公式不存在，就是說，不能用方程系數和開根號的有限多次運算來表示方程的根。阿貝爾認為這結果很重要，便自掏腰包在當地的印刷館印刷他的論文。因為貧窮，為了減少印刷費，他把結果緊縮成只有六頁的小冊子。阿貝爾滿懷信心地把這小冊子寄給國內外的一些數學家，包括數學王子的高斯，希望能得到一些反應。可惜他的文章太簡潔了，沒有人能看懂。高斯收到這小冊子時覺得不可能用這么短的篇幅證明這個世界著名的問題―――連他還沒法子解決的問題。他看都沒看一眼，就把它扔在書堆里了。阿貝爾的另一篇論文是他在歐洲旅行時通過別人轉交給大數學家柯西（Cauchy）手里，柯西連看都沒看就扔到紙簍里。
阿貝爾饑寒交迫的回到了挪威，還欠了一身債，最后在絕望中死去，年僅27歲。他活著最大的理想是在大學里當一個講師，可是到死都沒有實現。看看現在大學里教授成堆，博士成群，可是這個群體再也沒有瘋瘋癲癲的學者，沒有目光深邃的思想者，沒有瘋狂的怪癖人物了。
伽羅瓦(Evariste Galois)1811年10月25日生于巴黎附近的一個小城。1829年他兩次投考巴黎綜合工科學校，卻因思想激進，兩次被拒絕錄取，最后只好進入高等師范學校學習。1829年5月，17歲的他寫出了關于五次方程的代數解法的論文，論文中首次引入"群"的概念。他把論文寄給經由柯西，請他交給法蘭西科學院審查。柯西對此根本不屑一顧，把這個中學生的文章給弄丟了。1830年2月伽羅瓦再次將他的研究成果寫成一篇詳細的論文，寄給科學院秘書傅立葉，不料當年5月傅立葉病死，伽羅瓦的文稿再次被丟失。1831年伽羅瓦第三次將論文送交法國科學院。泊松院士看了4個月，最后在論文上批道："完全無法理解"。可惜這些大數學家的傲慢和自大，使得伽羅瓦的理論被埋沒了將近50年。
伽羅瓦因為政治激進，被陰謀的政客們用一件小事慫恿和一個軍官決斗。在決斗前一個晚上，他急切地寫著他的遺言。想在死亡來臨之前盡快把他的思想中那些有意義的東西寫出來。他不時中斷，在紙邊空白處寫上"我沒有時間，我沒有時間。"接著伽羅瓦又寫下一個潦草的大綱。他在天亮之前那最后幾個小時寫出的東西，一勞永逸地給一個折磨了數學家幾個世紀的難題題找到了真正的答案，開創了數學上的一個重要的分支―――群論。
伽羅瓦在決斗中被打成重傷，死在家里，年僅21歲。
盡管阿貝爾和伽羅瓦創造的群論是純粹的抽象代數，可是卻在后來量子力學中得到了很好的運用。利用對稱群理論，人們能夠事先預測晶體的種類，群論還會出現在意想不到的地方。比如玩魔方，就可以利用群論的知識。
數學啊，你是如此的具有魅力，如此讓人癡迷。
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