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作為數學教育任務的數學解題 陜西師范大學數學與信息科學學院 羅增儒 羅新兵 一、對數學解題的基本認識 1、重要性 作為數學教育任務的解題與數學家的解題既有聯系又有區別。美國數學家哈爾莫斯認為：“數學家存在的主要理由就是解問題，數學的真正的組成部分是問題和解”.對于職業數學工作者來說，“題”是研究的對象，“解”是研究的目標，解題是其數學活動的基本形式和主要內容，也是其自身的存在目的和興奮中心。而對數學教學而言，不僅要把“題”作為研究的對象，把“解”作為研究的目標，而且也要把“解題活動”作為對象，把學會“數學地思維”、促進“人的發展”作為目標。解題在數學學習活動中有其不可替代的重要作用：（1)解題是數學學習的核心內容；（2)解題是掌握數學，學會“數學地思維”的基本途徑；（3）解題是評價學習的重要方式。 2、基本問題 （l）作為數學教育的數學解題理論需要回答兩個基本問題：①怎樣解題？②怎樣學會解題？波利亞《怎樣解題》一書直接提出了第①個問題，也在努力回答第②個問題。但我國傳統數學教學既未直接提出這些問題，也未正面回答這些問題，表現為一種默會知識的內隱學習，或有意無意地將其簡單化為“模仿＋練習十數學事實的接受”。 (2)以上兩個基本問題觸及數學教育的3個基本矛盾：一是數學與教育的矛盾。數學教育學應是一門具有數學特征的教育學科，數學是前提，教育是本質；解釋數學解題首先要有數學特點，區別于物理解題、化學解題、語文解題、歷史解題；同時又要體現教育特點，有別于純粹數學形式的運演并應進人心理層面。二是綜合性與獨立性的矛盾。數學教育學應是一門具有綜合性的獨立學科，數學解題廣泛涉及數學教育觀、數學知識、心理活動、思維方法、計算機技術等，表現為多學科的交叉；同時又不是這些相關學科內容的簡單相加，而是有機融合后相對獨立的實體。三是實踐性與理論性的矛盾。數學教育學應是一門具有實踐性的理論學科，解題首先是一種實踐活動。波利亞說：“你想學會游泳，你就必須下水，你想成為解題的能手，你就必須去解題。”弗里德曼也說：“尋找解題不能教會，而只能靠自己學會。”數學教學的最終成果之一，應使學生會解題。但是實踐不能流于盲目或簡單重復，需要理論來做指導。為什么學校里會有這么多的數學后進生？原因可能是多方面的，但與我們對數學解題的思維規律認識不清有關，與解題理論尚未完善或尚未發揮指導作用有關。 (3)長期以來，解題活動存在一些弊端。①用現成的觀點說明現成的例子，或用現成的例子說明現成的觀點；②長期徘徊在一招一式的歸類上，缺少理論上的提高或實質性的突破，有時候，只是解題方法的簡單堆積或解題技巧的神秘出現；③多說“這樣解”，少說或不說“為什么這樣解”；④解題研究多停留在操作層面，未能深人到心理層面；⑤更關注現成、形式化問題的求解，對問題的“提出”和“應用”研究不足。因此，盡管解題有豐富的資料積累（還曾獲imo和iaep的雙料冠軍），而公認具有中國特色的數學解題理論尚待創建。 3、理論建設 （1)要把解題理論建設為數學教育的一個獨立分支，其標志應該是：①有自己獨立的研究對象。數學解題理論的研究對象可以界定為“解題活動”，研究解題活動需要回答的基本問題是：怎樣解題？怎樣學會解題？②有自己獨立的研究方法。一方面要對數學解題實踐進行經驗歸納，在實證基礎上提煉理論；另一方面要對教育心理學做理論演繹，改造為有數學特征的行動指南。數學和心理學應是數學解題理論的兩大支柱，這兩個學科研究方法的綜合，應產生對解題過程進行專業分析的特有方法。③有自己獨立的概念體系和基本原理。解題研究已初步積累有趣、解題、解題過程、解題程序、解題力量、解題方法、解題策略、數學問題解決基本框架等成果，為理論建立奠定了基礎。 (2)建立解題理論對其建設者有較高的要求，基本素質包括：①具備較寬厚的數學知識和較豐富的解題實踐經驗。②具備數學學習論的知識，掌握規范的心理學研究方法和工具，使得解題研究能夠深人到心理層面。③具有數學教學的實踐經驗，并與學生有經常接觸和直接交流的環境。沒有課堂基礎和學生基礎，解題理論只能是上不著天、下不著地的“空中樓閣”。 二、解題概念的初步界定 1、數學題 （1)數學題（簡稱題）是指數學上要求回答或解釋的題目，需要研究或解決的矛盾。 數學家把結論未知的題目才稱為題，如“哥德巴赫猜想”，而一旦解決了就稱為“定理”（公式），這更多地體現了“需要研究或解決的矛盾”，更多地體現了問題的本質：現有水平與客觀需要的矛盾。 在數學教學中，則把結論已知的題目也稱為題，因為它對學生而言，與數學家所面臨的問題，情景是相似的、性質是相同的，這時候的數學題是指：為實現教學目標而要求師生解答的問題系統。重點在“要求回答或解釋的題目”，包括一個待計算的答案、一個待證明的結論（含定理、公式）、一個待做出的圖形、一個待判斷的命題、一個待建立的概念、一個待解決的實際問題等。其中有課堂上的提問、范例、練習和所解決的概念、定理、公式，有學生的課外作業和測驗試題，有師生共同進行的研究性課題等。 (2）傳統的數學題具有接受性、封閉性和確定性的特征。學生通過對教材的簡單模仿和操作練習，基本就能完成；其結構是常規的，答案確定、條件不多不少，可以按照現成的公式或常規的思路獲得解決，主要目的在于鞏固和變式訓練。有時，題目也有挑戰性，但數量不多、難度不大，這類題目可以稱為“練習題”（exercise）。 作為數學教育口號的“問題解決”，對問題的障礙性和探究性提出了較高的要求。波利亞將問題理解為“有意識地尋求某一適當的行動，以便達到一個被清楚地意識到但又不能立即達到的目的。解決問題是尋找這種活動”。1986年第6屆國際數學教育大會的一份報告指出：“一個（數學）問題是一個對人具有智力挑戰特征的、沒有現成的直接方法、程序或算法的尚未解決的情境。”這類題目可以稱為“問題”（problem）。這里所強調的是，從初始狀態到目標狀態之間的障礙，由現有水平到客觀需要之間的矛盾，正是問題的實質。 2、解題 解題就是“解決問題”，即求出數學題的答案，這個答案在數學上也叫做“解”，所以，解題就是找出題解的活動。小至一個學生算出作業的答案、一個教師講完定理的證明，大至一個數學課題得出肯定或否定的結論、一個數學技術應用于實際構建出適當的模型等，都叫做解題。數學家的解題是一個創造和發現的過程，教學中的解題更多的是一個再創造或再發現的過程，解題教學的基本含義是，通過典型數學題的學習，去探究數學問題解決的基本規律，學會像數學家那樣“數學地思維”。 波利亞在《數學的發現》序言中說：“中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練。”他還有一句膾炙人口的名言：“掌握數學就是意味著善于解題。” 中國是一個解題大國，重視解題教學、擅于變式訓練是中國數學教育的一個特色，已在國際數學輿林匹克競賽（imo）和相關國際比較測試（iaep）中取得舉世矚目的成績。但是，傳統意義上的解題，比較注重結果，強調答案的確定性，偏愛形式化的題目。而現代意義上的“問題解決”，則更注重解決問題的過程、策略以及思維的方法，更注重解決問題過程中情感、態度、價值觀的培養。近年興起的數學情景題、數學應用題、數學開放題等正在改變中國解題教學的環境和格局。 3、解題的一般過程 解題過程是指人們尋找問題答案的活動，它包括從接觸問題到完全解出的所有環節與每一步驟，經過規范化而成為可操作的解題過程就成為解題程序（有宏觀與微觀之分）。 (1)波利亞在“怎樣解題表”中給出了一個宏觀解題程序，分成4步：弄清問題、擬定計劃、實現計劃、回顧。在每一步中都配有許多問句或提示，從而體現出模式識別、聯系轉化、特殊化與一般化、歸納、類比等思維策略的指導，舍恩費爾德又在“知識＋啟發法”之外提出“調節”與“信念”。 (2)國內一些相關研究也對“解題過程”進行了程序化的總結。 文〔9〕認為，解題過程是在解題思想的指導下，運用合理的解題策略（或原則），制訂科學的解題程序，進行解題行動的思維過程；而解題行動主要是指從題目初始狀態到最終狀態的轉化，這種轉化的解題力量是基礎理論與基本方法的運用；作為完整的解題過程還包括解法研究，如解后的回顧、反思以及自始至終的調控等，這是一個最容易被忽視的環節。 文〔10〕給出了一個解題的動態流程，面對一個問題，我們首先審題，進行模式識別。如果有現成的模式，則直接給出解答，如果沒有現成的模式，則運用解題策略，考慮階梯問題（或輔助問題），有效就得出解答，無效再次回到審題。無論由何種情況得出解答，最后都有檢驗的步驟。 從信息論的觀點探討解題思維過程，可以從一個初中的例子得出說明。 定理等腰三角形的兩個底角相等。 已知：如圖1，在△ABC中，AB＝AC。求證： 分析 欲證兩角相等，根據所學知識，我們可以設想它們為全等三角形的對應角（全等法應用），再根據等腰三角形的特征，又可以將等腰三角形拿起來、作一個空中翻轉，使其與原來的位置重合（這正是全等形的定義， AB=AC（己知）， AC=AB（已知）， （或BC=CB）（公共邊）， 得 從而 從書寫順序看，這個定理的證明過程可以分成3步（解題過程的結構分析）： ①根據題意畫出圖形，根據圖形寫出己知、求證。這是認識自己所面臨的問題并對問題進行心理表征的過程。 ②尋找解題思路，溝通已知與求證的聯系。這調動了全等三角形的知識，數形結合地運用了直覺思維（空中翻轉、圖形重合、角重合）。這實際上是應用解題策略，并進行資源的提取與分配的過程。 ③給出證明。用到了三角形全等的判定定理與性質定理，這是一個嚴格的推理論證過程。 這個分析表明，數學解題有形象思維、直覺思維和邏輯思維的綜合作用。 從信息論的觀點分析此定理的證明過程，則是兩個維度上相關信息的有效組合，即從理解題意中捕捉有用的信息，從記憶網絡中提取有關的信息，并把這兩組信息組成一個和諧的邏輯結構（如圖2所示）。 可見，數學解題的思維過程是一個“三位一體”的工作： （1)有用捕捉。即通過觀察從理解題意中捕捉有用的信息，主要是弄清條件是什么？結論是什么？各有幾個？如何建立條件與結論之間的邏輯聯系？由圖2可見，通過理解題意找出了3條信息，一條是符號信息ab=ac，由題目直接告訴我們；另兩條是由圖形顯示出來的：兩個三角形（ (2)有關提取。即在“有用捕捉”的刺激下，通過聯想而從解題者頭腦中提取出解題依據與解題方法。由圖2可見，從記憶網絡中檢索出了3條信息：等式的對稱性，全等三角形的判別定理，全等三角形的性質定理。良好的認知構結和機智的策略選擇是連續提取、不斷捕捉的基礎。 (3)有效組合。將上述兩組信息資源，加工配置成一個和諧的邏輯結構。邏輯思維能力是有效組合的基礎。本例中6條信息的組織，詳細過程如圖2，簡潔過程為“證明”的書寫。其基本要求應能說服自己、說服朋友、說服論敵 4、解題方法 這里說的解題方法，是指中學階段用于解答數學題的方法。此處將其分為3類，即具有創立學科功能的方法，體現一般思維規律的方法，具體進行論證演算的方法。 （1)具有創立學科功能的方法。如公理化方法、模型化方法、結構化方法，以及集合論方法、極限方法、坐標方法、向量方法等。在具體解題中，具有統率全局的作用。 (2)體現一般思維規律的方法。如觀察、試驗、比較、分類、猜想、類比、聯想、歸納、演繹、分析、綜合等。在具體解題中，有通理通法、適應面廣的特征，常用于解題思路的探求。 (3)具體進行論證演算的方法、這又可以依其適應面分為兩個層次，第一層次是適應面較廣的求解方法，如消元法、換元法、降次法、待定系數法、反證法、同一法、數學歸納法（及遞推法）、坐標法、三角法、數形結合法、構造法、配方法等；第二層次是適應面較窄的求解技巧，如因式分解法以及因式分解中的“裂項法”，函數作圖中的“描點法”，以及三角函數作圖中的“五點法”，幾何證明中的“截長補短法”“補形法”，數列求和中的“拆項相消法”等。 僅僅是不等式的證明，我們就可以列舉出一長串的解法或技巧：比較法、放縮法、綜合法、分析法（及遞推法）、反證法、基本不等式法、疊加法、連乘法、數學歸納法、判別式法、求極值法、配方法、輔助函數法、構造法、微分法等，而微分法又可以有求極值、確定單調性、中值定理、凹凸性質等形式。 5、解題策略 注重解題策略的研究已經構成中國解題教學的一個特色，它可以看成是對波利亞現代啟發性解題策略研究的繼承與發展， （1)策略是指導行動的方針（戰略性的），同時也是增強效果、提高效率的藝術，它區別于具體的途徑或方式（戰術性的）。數學解題的策略是為了實現解題目標而采取的方針。解題策略的思維基礎是邏輯思維、形象思維、直覺思維的共同作用，離開邏輯是不行的，單靠邏輯是不夠的。 文〔9〕提出了10個解題策略：模式識別、映射化歸、差異分析、分合并用、進退互化、正反相輔、動靜轉化、數形結合、有效增設、以美啟真；文〔10〕提出了8個解題策略：枚舉法、模式識別、問題轉化、中途點、以退求進、推進到一般、從整體看問題、正難則反；文〔11〕提出了10個解題策略：以簡馭繁、進退互用、數形遷移、化生為熟、正難則反、倒順相通、動靜轉換、分合相輔、引參求變、以美啟真，并且認為數學思維策略的研究就是數學解題策略的研究；文〔12〕對解題策略進行了理論分析。 (2)解題策略介于具體的求解方法與抽象的解題思想之間，是思想轉化為操作的橋梁作為方法，一方面它是用來具體指導解題的方法，另一方面它又是運用解題方法的方法、尋找解題方法的方法、創造解題方法的方法。 如果把解題策略理解為選擇與組合的一系列規則，那么這些規則應該具有迅速找到較優解題操作的基本功能，能夠減少嘗試或失敗的次數，能夠節省探索的時間和縮短解題的長度，體現出選擇的機智和組合的藝術。 6、學會解題 學會解題通常需要經歷4個階段。 （1)簡單模仿。即模仿著教師或教科書的示范去解決一些識記性的問題。這是一個通過被模仿者的行為，獲得相應的表象，從而產生類似的過程。這里已有體驗性的初步理解。 (2)變式練習。即在簡單模仿的基礎上邁出主動實踐的一步，主要表現為做數量足夠、形式變化的習題，本質是進行操作性活動與初步應用。其作用首先是通過變換方式或添加次數而增強效果、鞏固記憶、熟練技能（使之達到自動化反應的程度）；其次是通過必要的實踐來積累理解所需要的操作數量、活動強度和經驗體會。學習數學不能單靠模仿和練習，但缺少這兩步又是不行的。沒有親身體驗、沒有足夠的過程、沒有過硬的雙基，數學理解就被架空了。模仿和變式練習應是學生獲得本質領悟的基礎或必要前提。但對解題學習來說，更重要的是跨越這兩步而產生理解。 (3)自發領悟。即在模仿與練習的基礎上產生理解。指當事者在解題實踐中領悟到知識的深層結構，表現為豁然開朗、恍然大悟，但這種領悟常常是直覺的，“只可意會、不可言傳”。因而，這是一個潛意識與顯意識交錯，由“雙基”升華為能力的過程，也是各人自己去體會“解題思路的探求”“解題能力的提高”“解題策略的形成”，從而獲得能力的自身性增長與實質性提高過程。這一階段中會存在高原現象。 (4)自覺分析。這是一個理解從自發到自覺、從被動到主動、從感性到理性、從內隱到外顯的飛躍階段，表現為解題思路的主動設計、知識資源的理性分配、解題策略的自覺調控。盡快進人這個階段的一個基本途徑是對解題過程進行自覺的分析（元認知開發），弄清問題的知識基礎、邏輯結構、信息流程，弄清題解中用到哪些知識、哪些方法，這些知識和方法又是怎樣組成一個和諧的邏輯結構的。這是一個通過已知學未知通過分析“怎樣解題”而領悟“怎樣學會解題”的過程。 參考文獻 〔1〕halmos p. r.數學的心臟.數學通報，1982.4 〔2〕波利亞.怎樣解題.閻育蘇譯.北京：科學出版社，1982 〔3〕波利亞.數學的發現.歐陽絳譯.北京：科學出版社，1982 〔4〕弗里德曼.怎樣學會解數學題.陳淑敏，嚴世超譯.哈爾濱：黑龍江科學技術出版社，1981 〔5〕聶必凱，汪秉彝，呂傳漢.關于數學問題提出的若干思考.數學教育學報2003.2 〔6〕夏小剛，汪秉彝，數學情境的創設與數學問題的提出.數學教育學報，2003.1 〔7〕何小亞.解決數學問題的心理過程分析.數學教育學報，2004.3 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