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2007年09月21日
作者：韓際清 田明泉 來源：中國教育新聞網－中國教育報
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數學教學應抓住“通性通法”能力培養
——四省區高考數學試卷的對比與對高中數學教學的啟示
海南、寧夏卷承前啟后，凸顯課改亮點
承前啟后，實現平穩過渡。作為教育部考試中心命制的新課程卷，第一個明顯的特點是試卷結構不變，仍然保持12個選擇題，每小題5分，共60分；4道填空題，每小題4分，共16分；6道解答題，共74分。
海南、寧夏卷的第二個特點是考查的主干內容變化不大。許多傳統的主干內容，如函數與導數、數列、三角函數、立體幾何和解析幾何等在試卷中仍占有較大比例。如文科第3題是根據三角函數解析式判斷其圖像形狀；第6題是等比數列與拋物線的基本性質；第7題是解析幾何拋物線定義；第9題是三角函數的基本變換；第11題是立體幾何組合體的體積；第13題是解析幾何雙曲線的離心率計算；第14題是函數的奇偶性；第16題是等差數列的基本性質；第17題是正余弦定理的應用；第18題是立體幾何的線面位置關系；第19題是利用導數研究函數的性質；第21題是解析幾何與向量的綜合應用等。另外，理科第12題是由1982年美國佛羅里達州的一道中學數學競賽題改編而來，此題曾轟動一時。高考選用這個典型題目，重點考查學生的空間想象能力和等積變換的方法。這些題目所包含的知識與方法撐起試卷的骨架，學生熟悉，容易得到基本分。
五個體現，凸顯課改亮點。新課程高考除了關注平穩過渡以外，還要確保新課改理念的適度體現。第一個體現是設置了系列4的選做題，第22題作為系列4的選做題，理科是三選二、文科是二選一，每小題10分。選做題難度適中，置于卷尾，減少對考生正常答卷的影響，為如何考查系列4的專題以及考查的形式和難度，提供了樣板。
第二個體現是新增內容占有較大比例。如文科的第2題和理科第1題是簡易邏輯用語；文理第5題是程序框圖；文理第8題是利用三視圖求幾何體體積；文科第12題和理科第11題是統計中的標準差，可以估算也可以使用計算器；文理第15題是復數的簡單運算；文科第20題是古典概型與幾何概型；理科第20題是幾何概型與二項分布等。在保證平穩過渡的同時，盡力展示課標中的新內容。
第三個體現是考試要求的變化。如文科第19題利用導數研究函數的性質，已不再局限于多項式函數，而是擴展到對數函數求導，考試要求明顯提高。同時，我們還可以發現文理科的解析幾何部分的考試要求明顯降低了。
第四個體現是試卷中設置了相應的探究性和研究性問題。如文科第18題中第2小題是一個立體幾何結論開放的探究題；文理科第19題中第2小題和第21題分別是一個解析幾何條件開放的探究題，主要考查學生的探究意識和能力。再如文理科第17題是應用正余弦定理，解決和三角測量有關的研究性學習內容。
第五個體現是允許考生使用函數計算器。新課改在教學內容上的兩個重大變化就是設置了選修系列和增加了大量現代教育技術與課程整合的內容，體現了新課程的選擇性和現代意識。高考中允許考生使用計算器，對新課程的推進和中學教學改革會產生深遠的影響。
可以看出，全國卷在反映課標理念方面效果明顯，并有效地控制了難度，實現了新課程高考的平穩過渡。不足的是創新性的題型和題目幾乎沒有，并且文科卷第19題考查的復合函數求導，超出了“2007年全國新課程標準數學（文科）考試大綱”的要求。
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廣東卷體現“少考算、多考思”的命題思路
壓縮總量，增加思維時間。從全國三套新課程試卷來比較，無論是試卷結構，還是試題的組成上，廣東卷都散發著強烈的改革創新氣息。如試卷結構采用理科選擇題8道、填空題6道、解答題6道，共20題；文科選擇題10道、填空題4道、解答題6道，共20題。與全國卷和山東卷相比，廣東卷減少了選擇題數量，壓縮了總的題量，增加了學生的思考時間，體現了“少考算，多考想”的命題思路。
設置應用、探究和研究性問題。根據新課標、新考綱的要求，樹立“三維目標”，培養學生的應用意識，鼓勵和倡導開展探究性和研究性學習。廣東試卷增加了對探究能力的考查，并且在試題的結構方面大膽創新，減少和淡化死記硬背的知識，加強應用性、探究性和研究性學習的考查，如文科第5題是利用圖表來描述客車的運行情況，考查學生觀察圖表、數據分析的能力和應用意識；第7題是運用統計中的直方圖和程序框圖統計學生的身高，考查學生收集、分析和整理數據的能力，利用程序框圖簡約地表示解決問題的算法過程，把兩個知識點巧妙地結合在一起；第8題是和取球有關的概率問題；第10題是有關配貨的實際問題，此題本身不需要多少數學知識，只要具備一定的生活常識就可以理解和解答；第18題是探求某工廠提高產量與降低能耗兩個變量之間線性回歸方程的應用問題。今年廣東文理科第18題的第2小題和第19題分別設置了一個解析幾何條件開放的探究性問題，讓學生自己根據已知條件，分析、探究結論是否成立，考查學生數學探究的方法和能力。
這些實際問題、探究問題，學生熟悉、背景公平、難度適中。在考查數學的應用意識、探究意識的同時，也體現了對數學“三維目標”的考查，對于正常開展研究性學習活動的學校和參加研究性學習的學生是非常有利的。
突出新課標新要求。如理科第12題是分別計算由一個凸多面體的頂點可以確定直線和異面直線的條數和對數的問題，考查學生的歸納推理能力，這屬于課標及考綱的新增內容。另外，按照課標和考綱的要求，文科立體幾何部分，縮減了考試范圍，降低了考試要求，但是突出了對考生識圖和畫圖能力的考查。文科第17題是立體幾何解答題，要求根據某幾何體已畫出的俯視圖，以及用文字描述的正視圖（或稱主視圖）和側視圖（或稱左視圖）的圖形形狀，求該幾何體的體積與側面積。此題很好地反映了課標和考綱的這個變化，同時在問題的敘述中也兼顧了不同版本的教材對同一個概念的不同定義，不偏向任何一種教材，符合新課程“一標多本”的變化。
抓住本質，彰顯學科特色。數學學習從某種意義上說就是數學語言的學習。數學語言包括符號語言、圖形語言和文字語言，數學問題需要用數學語言來描述和理解。今年廣東卷除了全面的考查學生的高中數學知識和方法之外，設計了大量的圖表信息題，考查學生的數學圖形語言。同時，也命制了許多應用問題，考查學生文字語言和其他數學語言之間的理解和轉化能力，數學符號語言的理解和應用能力、抽象思維能力，要求考生具備較高的數學素養。當然，在中學階段的數學學習要結合中學生的年齡特點以及生理和心理發展實際，按照課程標準和考試說明的要求，達到一定的考查目標。但是，在新課標和新考綱中，數列的遞推關系已不作要求，因此，廣東文科第20題和理科第21題考查數列遞推關系的設計值得商榷。
山東卷平穩中求創新
保持穩定，考查主干知識。今年山東數學試卷努力實現2007年度高考平穩過渡，在穩定的基礎上有所創新，基本上延續了前兩年山東高考數學自主命題的風格，試卷長度、題型比例保持不變。全卷共22題，其中選擇題12道，共60分；填空題4道，共16分；解答題6道，共74分，全卷合計150分。
今年山東數學試卷重點考查中學數學的主干知識和方法，側重于中學數學的基礎知識和基本方法的考查，如函數與導數、數列、三角函數、立體幾何與解析幾何等均占有較大分數。全卷沒有偏題、怪題，學生比較容易上手。特別是選擇題和填空題，運算量小、整體難度不大，重點考查中學數學的“雙基”和通性通法。例如理科第1題是復數的基本運算；第4題是奇函數與冪函數的基本性質；第5題是三角函數的基本變換；第6題是常見的幾個抽象函數與對應的初等函數的性質；第11題是向量的基本運算；第13題是關于解析幾何中拋物線的定義；第14題是線性規劃；第15題是直線與圓的位置關系；第17題是數列的基本性質與數列的錯項求和；第19題是立體幾何直棱柱中的線面位置關系與求二面角問題；第20題是有關三角函數的應用問題等。包括理科第21題和文科第22題雖然是壓軸題，但仍然是老大綱和新課標中的重要典型內容“直線與橢圓的位置關系問題”，主要考查解析幾何的思想方法以及學生運用解析法處理幾何問題的能力，考查函數與方程的思想方法。由于從知識到方法學生都比較熟悉，得分率較高，其中文理科難度系數分別達到0.42和0.51。
降低難度，減輕學生負擔。今年數學文理科試卷難度設計比較恰當，較去年明顯降低。從抽樣數據來看，普通理科12道選擇題全部屬于容易題，全卷容易題分值接近60%；文科12道選擇題的容易題數量也占83%以上。今年全省抽樣文理科平均分比去年分別高出約17分和16分，從貫徹執行新課改精神，減輕學生、教師和中學升學壓力以及有利于高校招生的角度來看，適當地降低試題難度是一種切實可行的辦法。
山東卷略感不足的是整份試卷“穩定有余，創新不足”，課標新增內容、探究性和創新性試題與其他兩套試卷相比占分值太少，應用題人為編造的痕跡過強，理科第20題三角應用題給出的數據帶根號等。
對高中數學教學的建議
整體來看，三套試卷都對高中數學主干內容進行了重點考查，并注意把握適當的難度，且占有較大的分數比例。三套試卷不同程度地體現了新課標的基本理念和要求，反映了新課程高考命題的取向，體現“高考支持課程改革”的命題思路。這也為我們的高中數學教學提供了思路。
堅持課改，把握課標。試卷中新課標新增教學內容占有較大比例。廣東卷和海南、寧夏的解答題中，都至少有一道大題是新課標增加的內容。對選修系列4內容的考查，難度適中，文理科有所區別。由此可以明確地傳遞一個信息：新課標規定的課程，無論是必修還是選修、包括研究性學習課程，都要開齊上好。教學中，要改變“深挖教材、吃透教材”的傳統做法，把注意力集中到課標和考綱上來，把教材作為輔助教學的一種素材。認真學習新課標（包括考試說明），特別是對變化的內容和要求更要細心地研討，根據新課標的變化，調整和改變自己的教學理念、教學目標和教學方法。
打好基礎，落實“雙基”。試題的框架主體都是考查數學的基礎知識和通性通法，如函數的單調性、奇偶性、周期性、零點、圖像性質及變換；三角函數的基本性質與圖像；向量的基本運算；圓錐曲線的基本概念、性質及應用；數列的基本性質及應用；空間圖形的識別及線面的位置關系（包括面積、體積和理科的夾角和距離）；古典概型的方法；統計的基本方法（包括散點圖、直方圖、回歸直線方程）等。當然，“雙基”也是與時俱進的。新的“雙基”內容應該包括：一是和“圖”有關的內容，如三視圖、統計圖、程序框圖、函數的圖象性質及變換、空間線面位置關系、平面直線與圓錐曲線的位置關系、數形結合的思想方法等；二是與“函數”有關的內容，如函數的性質及圍繞研究函數性質的相關知識和方法、函數與方程的思想方法、特殊與一般的思想方法、轉化與化歸的思想方法；三是數據的收集、整理、分析和應用，如統計與概率、線性規劃等相關的應用問題。
抓住通法，培養能力。重視中學數學的通性通法，倡導舉一反三、一題多解和多題一解，努力培養學生的“六種能力、一個意識”，即運算求解能力、數據處理能力、空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、實踐能力和創新意識。能力的分類和要求與以前有所不同，必然要反映在命題中。特別應注意新增加的“數據處理能力”和“實踐能力和創新意識”。另外，“推理論證能力”有別于先前四大能力之一的“邏輯思維能力”，邏輯思維能力注重演繹推理，而“合情推理”也應引起我們的足夠重視，它可以有效地培養學生的創新意識，這正是我國現階段所大力倡導的。
重視語言，提高素養。無論學生將來從事何種工作，經過基礎教育階段的數學學習，具備初步的數學語言理解、轉化和表達能力是非常重要的。這是一個人具備一定的數學素養的基本標志，也是新課標的要求。因此，在日常教學中要重視對學生口頭和書面表述（包括作圖）能力的培養，以求達到數學語言運用的準確性、完整性和流暢性。
（本文作者及單位：韓際清山東省教研室教研員；田明泉山東師范大學附中數學組）
《中國教育報》2007年9月21日第5版
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