談談工科學生如何學習數(shù)學

不少工科學生特別是工科研究生對數(shù)學基礎不足感到壓力。確實，缺乏數(shù)學的幫助會使得學生們的研究缺乏思路和工具，缺乏捕捉問題的敏感性，缺乏抽取問題本質的 能力，缺乏處理問題的技巧和方法。我們許多碩士生、博士生的研究論文缺乏創(chuàng)新性，數(shù)學基礎差是一個重要原因。這個講座談談工科學生如何學習數(shù)學的問題，希望對有愿望提高數(shù)學能力的同學有所幫助。我本人是電子信息領域中的一個研究者，不是數(shù)學家，這里講的希望能貼近工科學生的需要。作數(shù)學工作的同仁可以從這里了解到工科研究者對數(shù)學的一部分理解以及對數(shù)學家們的期望。

 

 

 

（一）讓興趣引導我們接近數(shù)學

 

有愿望學習數(shù)學，而數(shù)學內(nèi)容常常不那么有趣。確實沒有多少人能堅持做那些令人發(fā)困的勞作。然而，有人談到過這樣的經(jīng)驗：對數(shù)學的興趣需要發(fā)掘、引導和培養(yǎng)。我對此很為認同。有多種方法可能增加你對數(shù)學的興趣，當然沒有一種辦法可以減輕你需要付出的努力。

 

多做數(shù)學題是提高數(shù)學能力和興趣的有效方法。不少成功的研究者都介紹過這個經(jīng)驗。如果你正在學習數(shù)學，如果你發(fā)現(xiàn)一道道看似困難的問題能逐漸被你解答，就表明你已經(jīng)進入了良好狀態(tài)。這是一個好的開端，會有克服者的喜悅，會不斷發(fā)現(xiàn)你自己的數(shù)學才能，有繼續(xù)進展的興趣和勁頭。如果你已經(jīng)進入了研究工作，如果你 不時抽出一點時間做一點數(shù)學趣題，對保持和提高你的數(shù)學思維活力一定有所幫助。

 

不少學生提出過這樣的問題：是不是必須先準備了深入寬廣的數(shù)學基礎才適合于進入研究工作？確實，我不知道有哪個非數(shù)學專業(yè)的研究者是那樣做的。而且認為那不是一個切合實際的方法。不過，準備在工科專業(yè)領域內(nèi)做深入研究的學生們應當花一點時間讀一點最基礎的數(shù)學。除了工科大學已經(jīng)教過的高等數(shù)學等課程外，可以讀一點實分析和近世代數(shù)的入門知識。了解一點關于集合、測度、連續(xù)統(tǒng)、Lebesgue積分，以及初等數(shù)論、群這些基本概念。學習這些基本知識不需要太多的時間，而對進一步學習數(shù)學理論很有必要。對于更深入廣泛的數(shù)學知識，不妨先采用“瀏覽學習法”：試著讀一讀，不太懂不要緊，但要求快一些，多一些?！盀g覽學習法”的目的是了解數(shù)學涉及的各個方面，為將來深入學習提供線索。不要小看那些似懂非 懂的線索。如果你積累了較豐富的線索，它們會擴展你的思路，在需要的時候引導你較快地了解必須深入準備的基礎。缺乏線索，腦子里要么一片空白，要么產(chǎn)生一 些不切實際的空想，自然難以作研究工作。

 

結合專業(yè)研究的需要來學習深入的數(shù)學理論是一個許多研究者都很認可的方法。事實上，對專業(yè)研究題目深入思考可能激發(fā)起對數(shù)學的高度興趣甚至產(chǎn)生出創(chuàng)新性成果。愛因斯坦的研究經(jīng)歷是人們知道的。在愛因斯坦研究廣義相對論的早期，并非數(shù)學基礎十分豐厚。在他的同學格羅斯曼的幫助下，了解了黎曼幾何和張量分析。愛因斯坦在深入研究中感覺到，這種數(shù)學工具簡直是為他發(fā)展廣義相對論而準備的。他的工作不僅使廣義相對論發(fā)展到成熟，而且推動了黎曼幾何更加突飛猛進地進步。

 

絕非只是在物理等基礎研究領域能夠提出挑戰(zhàn)性問題和發(fā)現(xiàn)數(shù)學的應用。在應用科學包括工程學科領域內(nèi)，處處都有挑戰(zhàn)性問題。當你試圖解決某個實際問題的時候， 你總會感到手頭的數(shù)學不夠用。盡管現(xiàn)代數(shù)學已經(jīng)取得了十分豐富的成果，而物理世界太復雜太豐富了，當今數(shù)學能夠描述和處理的問題還僅僅是一個很小的集合，而工科研究者手頭的數(shù)學恐怕會更少。

 

從自己從事的工程學科研究中抽取數(shù)學問題是我對工科學生的一個建議。不必苦苦尋求那些被媒體追捧的“明珠”，除非你確實有準備和興趣。你在工程學科中的已有基礎是值得珍視的。這些基礎有可能幫助你抽取出很有意義的理論和數(shù)學問題。而發(fā)現(xiàn)這些問題，除了靈感以外，最靠得住的恐怕是對專業(yè)工作的專注、勤奮而開放的思考和數(shù)學基礎。

 

工科學生可以發(fā)揮自己在形象思維方面的長處去理解數(shù)學。如果這樣，你或許會發(fā)現(xiàn)數(shù)學中的若干知識不僅有趣，而且有用。這里說一說幾個常見的例子。

 

―― 正交性。這是布滿了數(shù)學和物理書籍的基本知識。為什么正交函數(shù)會如此廣泛地受到重視？從數(shù)學的角度看到的是基，用它來描述函數(shù)空間中任何一個元具有唯一性和可逆性；可以聯(lián)系映射的定義域和值域，從而研究解乃至求得解。從應用的角度看到的是一種基本工具或方法，可以使得例如函數(shù)變換、函數(shù)逼近、數(shù)據(jù)壓縮、數(shù)學物理問題的求解等問題變得容易處理和易于理解。與正交性相聯(lián)系的自然是非正交性。非正交性也很有用。例如用非正交基（標架）表示信號可以靈活地具有某些特別的性質。這種表示帶有一定冗余，但有一定抗損能力。

 

描述空間正交性最基本的數(shù)學原理是什么？合理的回答應該是Cauchy－Riemann方程。由此才有保角變換、Laplace方程、調和函數(shù)、Poisson方程等等?？臻g正交性對數(shù)學物理問題的研究者太有用了。有了這個直觀概念，就容易理解和猜測例如流體力學、引力場、電磁場等等領域中邊值問題的解的形式。例 如波導中特別是在不規(guī)則波導中電磁波存在的模式、模式變化這些問題可以根據(jù)正交性來猜測和解釋，因為電場分量必定垂直于波導壁，而磁場分量必須平行于波導 壁。

 

―― 無源性。討論無源性的數(shù)學家不多，但對于物理和工程，無源性非常重要?？臻g無源性隱含在解析函數(shù)的Cauchy積分定理中。事實上，例如用有限元方法處理大型力學計算問題時人們觀察到，求解方程的矩陣一般是主對角優(yōu)勢的，這和求解一個無源電阻網(wǎng)絡時觀察到的現(xiàn)象相一致。其內(nèi)因就是無源性，它保證了解的數(shù)值穩(wěn)定性和迭代求解方法的快速收斂。在電路理論中證實，一類特別的解析函數(shù)稱為正實函數(shù)作為驅動阻抗，是無源網(wǎng)絡可綜合的充分必要條件。進而，無源而且無損的網(wǎng)絡在電子工程設計上非常有用。因為例如無源無損濾波器的特性隨元件參數(shù)變化的敏感度底，適合于工業(yè)生產(chǎn)?，F(xiàn)代數(shù)字濾波器包括通信濾波器組的理論和設計都要應用和發(fā)展這些概念。

 

―― 最大熵和最小熵。熵是熱物理學中最先引入的概念，用它表示能量在系統(tǒng)中分布的均勻程度，同時也表示熱和溫度的關系。一個系統(tǒng)達到了熱平衡，或達到了能量的均勻分布，則系統(tǒng)的熵達到最大。在通信領域中熵被用來作為信息的度量，表示平均信息量。如果熵最大，表明信源的不確定性最大，被傳送的信號寄載的信息自然就最多。在信息處理、信號估計，包括圖像處理應用中，熵的概念被借用來表示對解的先驗限制：最大熵限制表示解在數(shù)值分布上應該有一定的均勻性或平滑性；而最 小熵限制表示解應該很不平滑，如同若干孤立點那樣。這兩種情況在應用中都可能出現(xiàn)。例如在若干反演問題中（如信號重建、復原、去噪、估計等），為了抑制噪聲，可以將最大熵作為對解的附加限制。在另外的情況下，例如希望的解是點狀的星云，或者是如同若干孤立噪聲那樣的巖層反射序列，或者是只含一個非零元的理想信道，對這些情況就可以附加最小熵限制。注意我們這里使用的“概念被借用”說法。其實這是研究中的常用方法。如果你的視野廣些，積累多些，就有可借用的機會。

 

    ―― 距離和相似性。距離這個概念在數(shù)學中太重要了，它是定義度量空間的第一要素。有了距離，才好討論度量空間中元和元之間的相互關系，才好討論按距離的收斂性。有多種距離的具體形式適合于研究不同的數(shù)學問題。典型的例子有用函數(shù)差值上界定義的距離（一致收斂距離）和按函數(shù)差值平方積分定義的距離（均方收斂距離）。典型地，許多問題需要通過最優(yōu)化一個泛函指標來表達，這個指標就是距離。工科研究者十分關注距離的一個直觀含義：函數(shù)的相似性度量。自然地，用距離描述的相似性是很窄的一類相似性。即使是這樣，它的應用已經(jīng)遍及物理和工程的許多領域。與電子信息領域相關的應用例子有信號（圖像）重建、恢復、估計等等。兩個隨機變量的在統(tǒng)計上是否相關或獨立，或者它們的統(tǒng)計特性是否相似，為檢驗這些問題在統(tǒng)計學中引入了Kullback-Leibler型距離和Bhattacharyya距離（或稱為差離度，divergence）。這些距離不滿足三角不等式，稱為廣義距離。它們在統(tǒng)計模式分析、目標識別和分類、圖像分割和配準等方面已經(jīng)有重要應用。在工程研究中你可以利用手頭掌握的數(shù)學不等式，定義新的距離或廣義距離，它或許有某種特別的性質。

 

    人感知物理世界，哪些事和物按什么方式和度量彼此相似，這可能是最富魅力的科學問題之一。相似這個概念既直觀又抽象甚至神秘。例如繪畫家可以將一個人的形象 用寫實畫、印象畫、線描畫、甚至各種形態(tài)的漫畫表現(xiàn)出來，我們可以認識他，并認為和照片上的他是同一個人。問題是如何從數(shù)學上定義這些圖畫中人的相似性？

 

如果你細心思考，數(shù)學中處處都可以發(fā)現(xiàn)很有趣的問題，這些問題可以在物理和工程中找到應用背景。

 

物理和工程學科中包含大量的數(shù)學。有的工科學習者對數(shù)學表達不經(jīng)意，甚至厭煩，這種心態(tài)會妨礙知識的獲得。如果你愿意花一點時間去讀懂一些重要的數(shù)學表達，你會發(fā)現(xiàn)不僅在認識的深度上會大大不同，而且會引出樂趣甚至創(chuàng)新性的認識。這里不妨舉一個大家熟悉的例子。卷積的表達式為：

 

y(t)=∫abx(t-τ)h(τ)dτ。

 

我們的教科書中總是這樣解說的：在每個時間點t，將x(τ) 翻轉為x(-τ)，再平移為x(t-τ)，與h(τ)乘積的結果，求面積，就得到卷積的結果。這個解說是沒錯的，并且因為x(τ)要被翻轉，成為“卷積”這個稱呼的來源。但問題是，這個解釋符合物理事實嗎？或者說在物理上的一個卷積過程，要求一個物理量在時間上（或空間上）必須被翻轉嗎？這顯然不是事實！現(xiàn)在的問題出在哪里？問題出在剛才的解說僅僅是一個數(shù)學解說。另一種解說就沒有這樣的困難：將x(t)平移一個時間量τ成為x(t-τ)，乘在τ處的函數(shù)值h(τ)，取遍定義h(τ)的所有τ， 將乘積累積起來，就得到卷積的結果。后一種解釋其實是最老的解釋：疊加原理。正是按照這種解釋，可以構造出用物理硬件實施卷積計算的卷積器?！胺D”這個概念應該說造成了某些負面后果。例如，考慮兩個外形不同的多邊形（你不妨在紙上畫一個任意的三角形和一個任意的四邊形，假定圖形內(nèi)數(shù)值是1，圖形外是0），這兩個圖形卷積后，結果是什么外形？你可以試圖通過上面的兩種解釋從概念上得到結果。你會發(fā)現(xiàn)，從“翻轉”解釋出發(fā)會使你頭痛，而從后一種解釋得到結果就很直觀和容易。不要小看了這里的問題，它聯(lián)系著某些深入的數(shù)學：代數(shù)幾何、多項式代數(shù)和分配函數(shù)理論。

 

另一個簡單例子是矩陣的奇異值分解（SVD）。這種方法常常用于圖像的特征描述、分類和識別。人們將圖像離散化為數(shù)值數(shù)組，將數(shù)組作為矩陣，計算它的若干個顯著的奇異值，作為描述圖像特征的一組特征量。這樣做合理嗎？或者說，若干個顯著奇異值能描述圖像灰度分布特征嗎？回答卻是否定的。事實上，你需要仔細解讀一下SVD的數(shù)學表達式。注意每對奇異向量的乘積uiviT是一個可分圖像。SVD表達式表明，用若干個可分圖像按奇異值進行強度加權后疊加在一起，可以逼近原圖像。因此，除了幾個顯著奇異值外，如何描述幾個顯著的可分圖像的特征是你可以發(fā)展的工作。

 

從物理和工程上解釋數(shù)學是工科研究者的優(yōu)勢，不要忘記了這一點。我們還可以舉一個抽象一點的例子。同倫是數(shù)學中的一個概念。一個拓撲流形或函數(shù)如果能夠通過連續(xù)變形變成另一個拓撲流形或函數(shù)，我們就說這兩個拓撲流形或函數(shù)彼此同倫。同倫論是數(shù)學中一個重要研究領域，并且與Riemann幾何的研究密切關聯(lián)。僅僅是同倫這個概念對工程就很有用。在大規(guī)模集成電路（VLSI）設計中需要通過電路仿真，檢查設計出的電路是不是符合設計要求。一個基本的檢查是要計算各個晶體管在加電后的工作點（電壓和電流）。晶體管特性是非線性的，數(shù)量多，相互直流互連。直接處理這樣的非線性電路問題很困難，并且可能是多解的。電路仿真程序SPICE的研究者提出了一種“源步法”，就是利用了同倫的思想。讓電源電壓從0開始，連續(xù)小步地逐步升到額定值，計算隨之逐步迭代進行。這樣在每一步，都是解一個線性化的電路問題，并且計算過程符合加電的實際物理過程。這種處理大型非線性計算問題的方法應該不限于電路計算的應用。

 

不同應用領域可以有關于數(shù)學概念和表達的不同解讀，其實這正是數(shù)學的奧妙之處。解讀數(shù)學需要耐性。如果你想把握它，就花一點時間去解讀它。

 

 

 

（二）努力尋求數(shù)學概念的淺近解釋 

 

    工科學生有形象思維的強勢，但在抽象思維方面常常處于弱勢。實際上，學生們進入學習多少都有這樣的特點。好的教育工作者會注意這個特點。例如前蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥羅夫建議講解數(shù)學時要能用其他科學領域的例子來吸引學生，增進理解，培養(yǎng)理論聯(lián)系實際的能力。并且要求以清楚的解釋和廣博的知識來吸引學生進行思維運動?？聽柲缌_夫的學生、數(shù)學家Arnold更是強烈地呼吁數(shù)學教育必須結合物理，充分利用幾何直觀，反對數(shù)學教育的非幾何化和脫離物理。事實上，用物理和工程例子將數(shù)學概念形象化和具體化，達到淺近易懂，是數(shù)學家對學生（不只是工科學生）的最重要幫助。在50年代莫斯科大學組織了一批頂級的數(shù)學家寫了數(shù)學普及名著“數(shù)學――它的內(nèi)容、方法和意義”。直到現(xiàn)在，世界范圍內(nèi)的科學工作者中許多人都曾經(jīng)或正在從該書獲得入門知識。

 

    許多學者都承認一個事實：高深理論的原始概念其實是簡單的。只是不少“專著”直接從高深理論開始，忽略了對基礎背景的介紹，學生接受起來就覺得抽象難懂。工科學生要想真正掌握數(shù)學理論，還不得不尋求一個具體化的或形象化理解，最好有一個物理的或工程的例子。如果得不到老師的指導，你就得準備多花一點功夫。有一些方法可以供參考。其一是盡量利用百科全書那樣的工具，包括Wikipedia的網(wǎng)絡百科，它常?？梢詭椭惚M可能淺近地理解基本知識。其二是多參閱幾本講述同一個理論的書或涉及該理論的文章，從中發(fā)現(xiàn)你可以理解的內(nèi)容。如果一時難以 找到很切合的參考，可以暫時放一放，不必鉆牛角尖。常常，你在工程學科中的研究積累會幫助你開拓思路，甚至找到領悟的靈感。

 

    工科學生有必要增強自信。某些數(shù)學概念內(nèi)涵的神秘性其實只是我們自己的感覺而已。當然，抽象和嚴格是數(shù)學科學性的精髓。但這并不妨礙可以將數(shù)學概念和物理或幾何直觀聯(lián)系起來。我們這里解說一兩個例子，如有謬誤請專家不吝賜教。

 

     ―― 緊集（Compact set），閉區(qū)間或有界閉集概念的拓廣?！坝邢蘧S閉區(qū)間”是一個易懂、易用的概念。它有一個很直觀的性質，就是它在每個維上有下確界和上確界。此外，孤立點也很特別，不需要考慮它的任何“近鄰”。引入“緊集”的主要動因是為了擴展有限維閉區(qū)間的概念，使得可以包含無窮維空間的點集，或者是由一類函數(shù)組成的集合。緊集的機巧定義就達到了這個目的。

 

    緊集最有用的性質是它的有界性和可分性。這里，一個集合可分，是指存在著一個可數(shù)集合在該集中稠密。在有限維空間中，緊集的充分必要條件是有界和閉性。同時，在Hausdorff 空間中，緊集都是閉的。這含蓋了分析中常用的空間，如所有的距離空間，拓撲群，和拓撲流形。在非Hausdorff空間可以構造出例子表明緊集的閉性不一定成立。

 

緊集的例子如：有限維閉區(qū)間；Rn中的有限個孤立點；含極限點在內(nèi)的孤立有界點列集合；所有一致有界并等度連續(xù)的函數(shù)集合。在一維上的“緊支集”可以是指一個閉區(qū)間，也可以指實軸上一組有限個離散柵點。

 

Hausdorff空間是指符合分離公理的拓撲空間：如果集合中有兩個元不相等，則它們必定有不同的鄰域。細細思考一下你會發(fā)現(xiàn)，分離公理事實上是序列收斂性論證的基本依據(jù)：按鄰域收斂，并且收斂有唯一性。

 

    ―― 拓撲（Topology），集合元素之間相互接觸或連接的關系。

 

基本的拓撲學研究幾何形體在連續(xù)變形下保持不變的性質，例如連通性。典型的問題有哥尼斯堡七橋問題，四色問題，布線平面化問題等等。

 

既然拓撲是指集合元素的接觸或連接關系，它顯然是更一般的幾何性質，而不限于常規(guī)的Euclid幾何性質。例如，電路拓撲圖上兩個節(jié)點之間有支路相連，這可以與物理連接關系一致，但與物理元件的實際空間位置不必一致。

 

當集合元素在某個連續(xù)域中取值時，就需要將問題放到“拓撲空間”中去研究。在拓撲空間中，常規(guī)的距離定義不一定有意義，而點列的收斂可以通過“充分小鄰域”和“覆蓋”這樣的概念來定義和論證。一般拓撲學使用公理化方法研究連續(xù)性問題，概念變得更加抽象，并一直與微分幾何、抽象代數(shù)等學科并行發(fā)展。

 

網(wǎng) 絡拓撲，是指網(wǎng)絡的基本元素“頂點”和“邊”的連接關系。例如用頂點來表示一個國家，兩個頂點之間有邊相連，表示兩個國家接壤。關于網(wǎng)絡拓撲的學科分支通 常稱為圖論。用圖論方法研究的典型數(shù)學問題有一大類組合優(yōu)化問題，最優(yōu)布線問題，流圖分析，邏輯分析，交通流和數(shù)據(jù)流分析等等。

 

雖然拓撲是幾何形體在連續(xù)變形下不變的性質，但在應用中發(fā)現(xiàn)限制形體（結構）的拓撲不變可能得不到最優(yōu)解。于是希望，如果有必要，能夠通過連續(xù)演化實現(xiàn)拓撲 結構的改變。這一般地還是一個未解決問題，但也有解決得好的例子。例如希望將二維平面上的單連通區(qū)域連續(xù)地演化出多連通區(qū)域或多個單連通區(qū)域，直接在二維平面上不大好辦。但如果擴充到三維，構造一個三維函數(shù)，并使用水平截集獲得二維區(qū)域，就能容易地解決。這個方法已經(jīng)成功地用于圖像的活動圍道分割等處理算 法。

 

―― 流形（Manifold），受一定約束的某個（一維或多維）變量所有可能狀態(tài)的集合。在數(shù)學文獻中，流形有一個抽象的定義：流形是一類拓撲空間，其中每個點都有鄰域，而這種鄰域與Rn中的單位開球在拓撲上是同胚的。

 

流形的含義十分廣泛，并且可以定義各種各樣的流形?？臻g是流形。然而流形可以是某種“可彎曲”的空間（通常將Euclid空間視為“平直”的空間）。3維空間中的球面是流形的一個例子，而球面上任何一條經(jīng)線或緯線是一個子流形?；谇蛎娼⒌膸缀螌W與Euclid幾何學是不同的。

 

在物理上流形這個概念有一個重要應用，用它來表現(xiàn)某個受約束的物理量的全局行為。例如，機器臂可達的所有極限位置。在模式識別問題中（如人臉識別），描述單個個體不同形態(tài)的一系列N維特征量樣本構成N維空間中的一個流形上。不同個體有不同的流形。這些流形構成了進行模式識別的基礎。從這個例子可以看出，即使你關注的流形不一定能夠被解析地表達出來，它也為你提供了一個處理問題的明晰概念。

 

微分流形或平滑流形是指可在其上實施微分運算的流形。

 

想象在曲面微分流形上有兩個十分靠近的點，它們之間的坐標差為{dxi}，其Euclid距離就是dL=(∑dxi2)1/2。然而，從一點只能沿流形的測地線到另一點，沿測地線的距離ds會大于Euclid距離。于是將ds定義為ds=(∑gijdxidxj2)1/2。其中(gij)是一個沿流形表面逐點定義的對稱正定矩陣，稱為Riemann度量，用來描述對距離元的校正。定義了Riemann度量的微分流形稱為Riemann流形。

 

    在信息處理技術中可以將概率分布模型p(y|x;θ)全體視為參數(shù)空間θ中的一個Riemann流形。當參數(shù)θ變成θ+Δθ時，p(y|x;θ)和p(y|x;θ+Δθ)之間的Kullback -Leibler距離正好等于(ΔθTGΔθ)，這里G是Fisher信息矩陣。由此可見，G正好是這種Riemann流形的Riemann度量。發(fā)展這些概念可以建立起概率模型參數(shù)估計的新方法，用于例如盲源分離、盲辨識、神經(jīng)網(wǎng)絡學習算法等等。由于流形有直觀的幾何解釋，這種數(shù)學概念和方法又稱為信息幾何。

 

以上所解說的幾個數(shù)學概念僅僅希望起到拋磚引玉的作用。更多的入門知識顯然不是這樣的講座適合介紹的，應該期望得到數(shù)學家門的幫助。我們希望工科學生消除數(shù)學的神秘感?？聽柲缌_夫說，應該把泛函分析方法當作日常工具來應用。雖然我們一下子作不到，只要不忘記有機會就用它，你會發(fā)現(xiàn)，你論文的學術水準會有所提高，得到的評價會有所不同。另一方面，數(shù)學研究者了解物理和工程需求是有益的。事實上，把數(shù)學概念講得淺顯易懂，這需要對物理和工程的了解，一定能夠擴展數(shù)學研究者的思路。

 

 

 

（三）應用需求是數(shù)學產(chǎn)生的源泉和發(fā)展的源動力

 

我們需要更多地幫助工科學生增強學習數(shù)學的興趣和進行深入研究的信心。在我國的媒體上對“數(shù)學明珠”有過度的宣傳，對學生們的影響是復雜的，對工科學生造成的負面影響多于正面影響。許多工科學生和工科研究者覺得自己的工作和數(shù)學的距離愈來愈遠，甚至認為自己的工作只是一些工程性的工作，難于和理論研究結合起來。一些研究生痛苦于定不下一個適當?shù)难芯款}目，這種情況在我國的科研單位和大學不算少見。出現(xiàn)這種情況的原因是多方面的。從文化方面來看，重理輕工的觀念和習俗，影響一部分工科學生，放松了對應用科學前景的追求。這種情況在我國相當嚴重，值得引起關注。

 

工程學科中是不是難于提出有創(chuàng)新性的研究題目呢？近代科技發(fā)展的歷史已經(jīng)明確回答了這個問題。雖然計算機斷層成像技術有早先的理論鋪墊，被承認和授予諾貝爾 獎的還是它的實現(xiàn)技術。晶體管的發(fā)明更是物理和工藝實現(xiàn)技術結合的產(chǎn)物。當今的科技創(chuàng)新，其主要支撐點是技術創(chuàng)新――方法、工藝、條件和工具的創(chuàng)新。工科 研究者不必自慚形穢。你所處的應用需求環(huán)境和工作條件是值得珍視的。只要注意了積累功底（理論的和實踐的），你一定會不斷提高捕捉問題的敏感性，增強抽取問題本質的能力，就很有可能發(fā)現(xiàn)值得探索的問題。

 

數(shù)學是從應用需求產(chǎn)生的。這句話講的不只是歷史，還是現(xiàn)實。

 

一個例子是泛函分析，它的出現(xiàn)得益于運動變分問題（J.阿達馬）和力學積分方程（阿貝爾、Fredholm）的研究。推動這門數(shù)學全面進步的有J. von Neumann 的工作，是他首先將Hilbert譜理論和量子力學完美結合起來。Sobolev將泛函分析方法用于數(shù)學物理方程的研究和求解。在Sobolev空 間中引入弱導數(shù)和廣義解這些概念，為大型求解計算問題的分段近似處理提供了理論基礎。與此密切關聯(lián)的有限元方法可以說是數(shù)學和工程結合的典范。其應用領域 包括結構力學、流體力學、空氣動力學、計算電磁學、氣象科學等各個學科。多領域的應用需求又反過來推動了計算數(shù)學理論和方法的完善和發(fā)展，這不僅僅限于有限元方法。

 

近20～30年間在信息技術領域中出現(xiàn)了幾次重要的研究熱潮。這些熱潮活躍于信息技術領域，但吸引了大量的數(shù)學研究者共同參與。典型的有：關于人工神經(jīng)網(wǎng)絡的研究；關于小波理論的研究；關于高階統(tǒng)計的研究；關于Markov隨機場的研究；關于偏微分方程法用于圖像處理的研究等等。當這些熱潮出現(xiàn)的時候，不僅僅是信息技術類刊物，還包括數(shù)學刊物都大量報道研究進展。人們可以從美國應用數(shù)學協(xié)會（Society for Industrial and Applied Mathematics，SIAM）出版的十幾種刊物了解到相關的動態(tài)。數(shù)學家們需要應用背景的支持，需要從應用需求中尋找靈感。而大量研究結果表明，他們這樣作是成功的。從事應用包括工程的研究者應該意識到自己所處的有利環(huán)境，問題是你需要提高對科學問題的敏感度。

 

為了讓工科學生了解如何提出和處理問題，這里不妨介紹幾個例子。這雖然算不上重大成果，但或許有用，學生們或許可以從中找到某些可借鑒的思路。

 

 

 

例子1。 兩個或多個多項式的最大公因子（GCD）問題。

 

這是一個很經(jīng)典的問題，但一直解決得不好。數(shù)學家們建議了Euclid輾轉除法、結式法等多種方法，似都不好用。例如MATLAB中有計算GCD的程序（m－文件），但一般不可用。嚴重的問題是，數(shù)學家提供的方法中，多項式的系數(shù)不容許有一點點誤差。而在工程中我們需要這樣的方法：如果兩個多項式有數(shù)值上準確的GCD，方法應該給出準確的GCD；如果兩個多項式的系數(shù)在數(shù)值上有誤差，方法應該給出GCD的一個合理估計。由于一維信號反卷積問題的需要，迫使我們考慮這個經(jīng)典問題。

 

因為多項式乘積等價于系數(shù)數(shù)組的卷積，而離散卷積可以表達為矩陣向量積。利用這些工程上熟悉的工具，將多項式代數(shù)轉換為矩陣代數(shù)來處理，立即可以得到GCD階次和矩陣秩的關系，從而估計GCD的階。最后GCD的決定可以通過解一個確定性代數(shù)方程獲得，也可以用最小二乘方法獲得。這樣的方法可以處理的多項式階次相當高（例如達到500階以上），并且結果不敏感于多項式系數(shù)的變化，因此新方法可以用于工程。

 

 

 

例子2。 二變量多項式的可分解性。

 

這是代數(shù)幾何中關心的基本問題之一。德國數(shù)學家F.G.M. Eisenstein的一個重要成果是提出了關于多項式不可分解（或稱不可約）的判別方法。其實質是指出了一種特別的二維支持域，稱為Eisenstein支持域，定義其上的二變量多項式，無論系數(shù)取何值，都是不可約的。這是一個十九世紀的工作。直到上世紀80年代，由于反卷積和相位恢復問題的研究和應用需求，才重新喚起了人們的注意。我們注意到，Eisenstein支持域只是一種很特別的支持域，在實際物理問題中缺乏可用性。于是提出了判別一個任意的二維支持域是不是強制其上定義的二變量多項式不可約的問題。這個問題要求將Eisenstein的特例推廣到一般。

 

我們不是沿數(shù)學家過去的思路。重新審視一下分配函數(shù)論中關于兩個（非負）分配函數(shù)卷積造成的支持域關系。這個關系表達為C＝A＋B，其中A和B是兩個卷積因子的支持域，C是結果的支持域，符號“＋”表示集合加。這個看似簡單的表達式解釋起來并不簡單，問題來源于關于卷積運算需要“翻轉”一個因子的思維定式。我們拋棄了這個思維定式，按疊加原理解釋卷積，得出了支持域可嵌入性的認識：A和B是C的兩個互補可嵌入因子。這樣，A和B外形的每個線元都完全并正好地保留在C的外形上。這樣，C如果可分解為C＝A+B，它的外形線元集合就必能夠劃分成兩個集合，每個分別能構成一個封閉圖形。否則，C就是不可分解的。演繹這個結果可以進一步得出若干判據(jù)，從幾何直觀上就能夠判斷一個支持域是不是強制不可約的，包括判斷Eisenstein支持域。這樣就大大擴充了關于多項式不可約判別的理論和方法，并且能夠用于工程實踐。

 

 

 

例子3。 多變量非線性函數(shù)全局最優(yōu)化。

 

這是一個多學科關注的問題。簡單表述如下：設f(x)是一個非負函數(shù)，找一個最小化子x0，使得f(x)在x0處達到全局最小值。關于這類全局優(yōu)化問題典型地有以下幾種方法。（1）基于梯度下降的方法。該類方法容易找到局部極小值，缺乏有效的機制逃出局部極值區(qū)。（2）采用模擬退火、演化規(guī)劃一類隨機搜索的方法。該類方法缺乏收斂機制，即使搜索到全局最小值附近，新的搜索可以跳開很遠。（3）區(qū)間代數(shù)搜索方法。在搜索策略上有規(guī)律性，但仍然缺乏收斂機制。如果搜索正確，結果誤差由最終的區(qū)間長度決定。

 

我們希望尋找一種方法，能將隨機或規(guī)則搜索與梯度下降結合起來，達到這樣的效果：從任何一個點出發(fā)，只用很少的搜索步就能夠判斷，往下的搜索是否值得繼續(xù)， 也就是判斷當前的搜索是不是處在一個局部極小值的盆中。由此決定是不是要選擇新的起始點。如果能夠找到有效地提供這種判斷的機制，函數(shù)全局優(yōu)化的算法應該非常有效。這可能嗎？

 

假定f(x)是優(yōu)化目標函數(shù)，構造一個“輔助價格函數(shù)”g(x)=f(x)/(▽fT▽f+C)，其中C> 0, 是一個可調整的常數(shù),▽f是函數(shù)f(x)的梯度。能證明函數(shù)g(x)具有以下性質：它與f(x)具有相同的全局極小值；對于給定的C，f(x)在C決定的一個電平以上的全部極小值點都變成g(x)的極大值點，而f(x)在該電平下的極小值處g(x)也是極小值。因此算法可以這樣來構造：使用隨機搜索法，從任何一點出發(fā)用梯度法往下搜索f(x)的極小值。在搜索中同時觀察g(x)的變化。如果發(fā)現(xiàn)g(x)不減，立即改用新的搜索起始點。當重新起始搜索的次數(shù)達到一個指定次數(shù)N以后，根據(jù)迄今已搜索到的f(x)最小的極小值fmini，對C進行修正。當上述過程重新進行時，f(x)的電平高于fmini的全部極小值點都映射成g(x)的極大值點。在將來的聯(lián)合搜索中，就大大減輕了計算工作量。計算表明，如果搜索落到了f(x)的局部極小值附近的區(qū)域內(nèi)，利用g(x)，通常只要2到3步迭代就會跳出到新的起始。這樣，新方法具有梯度方法快速、準確的優(yōu)點，同時避免了停在局部極值點的困難。用這種方法試驗了我們收集到的若干典型困難例子，認為是目前最有效的方法。

 

方法有潛在的應用前景。在許多情況下，我們不清楚f(x)的具體表達式。例如用幾種材料組分合成新材料，使新材料達到某種品質。只要這種希望的品質能夠定量地被測量，以上方法就可能應用。事實上，只要f(x)能夠被測量獲得，▽f就能夠在數(shù)值上獲得，于是方法就可以實施。

 

 

 

以上是我們在處理工程技術研究中獲得的部分結果。我們體會到，物理和工程學科中的研究能夠幫助我們從不同的角度和思路去思考問題，能夠擴展數(shù)學問題的解決和應用。

 

 

 

（四）幾句忠告

 

現(xiàn)代科技發(fā)展已經(jīng)將科技、經(jīng)濟、國力聯(lián)系在一起。任何一個專業(yè)門類都有成千上萬的人參與。重大科技創(chuàng)新的背后都有許多前人的基礎性工作。有志的青年科技工作者和研究生需要不斷積累知識，拓寬知識領域，樹立團隊工作觀念和合作精神，同時勤于獨立思考。在科學研究中特別忌諱盲從，包括盲從“權威”、盲從大流。積 累知識和勤于思考應該說是科技工作者的基本功，這需要堅持。特別是剛畢業(yè)的碩士生、博士生，能夠在2、3年后成為世界知名科學家當然再好不過，只是這樣的成功者太少。對每個研究者，只要堅持了積累知識和勤于思考的基本功，總會有回報的。

 

如何選擇科研方向和研究題目是青年科技工作者常常感到困惑的問題。從手頭的項目作深作精開始，或許你會發(fā)現(xiàn)，你現(xiàn)在正處于手頭項目的優(yōu)勢環(huán)境中，而你獲得的 任何實際進步可能都包含著很有意義的創(chuàng)新。當然另一方面，聰明的研究者決不會在小問題上鉆牛角尖，而會時時關注科技發(fā)展的全景，時時發(fā)現(xiàn)自己能夠開拓的新路子。同時需注意，基礎理論研究是重要的，而基礎方法、條件和工具的研究同樣重要。

 

如果你剛剛進入研究，不妨擬定一個自己的五年計劃和目標，包括數(shù)學、理論的擴充和實際技能的學習兩個方面。這個講座只講了如何學習數(shù)學的問題，希望不會造成誤導。利用一切聯(lián)系實際的機會學習和積累實際技能，是一個必須補充的建議。