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整除是指整數(shù)a除以自然數(shù)b除得的商正好是整數(shù)而余數(shù)是零．我們就說a能被b整除（或說b能整除a），記作b|a，讀作“b整除a”或“a能被b整除”．它與除盡既有區(qū)別又有聯(lián)系．除盡是指數(shù)a除以數(shù)b（b≠0）所得的商是整數(shù)或有限小數(shù)而余數(shù)是零時(shí)，我們就說a能被b除盡（或說b能除盡a）．因此整除與除盡的區(qū)別是，整除只有當(dāng)被除數(shù)、除數(shù)以及商都是整數(shù)，而余數(shù)是零．除盡并不局限于整數(shù)范圍內(nèi)，被除數(shù)、除數(shù)以及商可以是整數(shù)，也可以是有限小數(shù)，只要余數(shù)是零就可以了．它們之間的聯(lián)系就是整除是除盡的特殊情況．
整除的一些性質(zhì)為： （1）如果a與b都能被c整除，那么a+b與a-b也能被c整除． （2）如果a能被b整除，c是任意整數(shù)，那么積ac也能被b整除． （3）如果a同時(shí)被b與c整除，并且b與c互質(zhì)，那么a一定能被積bc整除．反過來也成立． 下面我們討論能被2，5，3，9，4，25，8，125，11，7，13等數(shù)整除的數(shù)的特征． 1．能被2或5整除的數(shù)的特征是：如果這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)能被2或5整除，那么這個(gè)數(shù)就能被2或5整除．也就是說： 一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0、2、4、6、8時(shí)，這個(gè)數(shù)一定能被2整除． 一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0、5時(shí)，這個(gè)數(shù)一定能被5整除． 例如 要判斷18762，9685，8760這三個(gè)數(shù)能否被2或5整除，根據(jù)這三個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字的特點(diǎn)，很快可以判斷出，2|18762，2不能整除9685，2|8760；5不能整除18762，5|9685，5|8760． 2．能被3或9整除的數(shù)的特征是：如果這個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和能被3或9整除，這個(gè)數(shù)就能被3或9整除． 例如 要判斷47322能否被9整除，由于 47322=40000+7000+300+20+2 =4×（9999＋1）+7×（999+1）+3×（99＋1）+2×（9+1）＋2 =4×9999+7×999+3×99+2×9+4+7+3+2+2 =9×（4×1111+7×111+3×11+2×1）+（4+7+3+2+2） 9一定能整除9×（4×1111+7×111+2×11+2×1），所以要判斷9能否整除47322，只要看9能否整除4+7+3+2+2=18，因?yàn)?/font>9|18，所以9|47322．可以看到4+7+3+2+2恰好是這個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和．類似的方法我們還可以判斷出3|47322． 3．能被4或25整除的數(shù)的特征是：如果這個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被4或25整除，這個(gè)數(shù)就能被4或25整除． 例如 要判斷63950能否被4或25整除，由于 63950=639×100+50，100=4×25，所以100能被4或25整除，根據(jù)整除的性質(zhì)，639×100能被4或25整除，要判斷63950能否被4或25整除，只要看50能否被4或25整除，因?yàn)?/font>4不能整除50，25|50，所以4不能整除63950，25|63950．可以看出50恰好是63950的末兩位數(shù)． 4．能被8或125整除的數(shù)的數(shù)的特征是：如果這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被8或125整除，這個(gè)數(shù)就能被8或125整除． 例如 要判斷4986576能否被8整除，由于4986576=4986×1000＋576，1000=8×125，所以8|1000，根據(jù)整除的性質(zhì)，8|4986000，要判斷8能否整除4986576，只要看8能否整除576，因?yàn)?/font>8|576，所以8|4986576．可以看出576恰好是4986576的末三位數(shù)． 同理可以判斷這個(gè)數(shù)不能被125整除． 5．能被11整除的數(shù)的特征是：如果這個(gè)數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和的差（大減小）能被11整除，這個(gè)數(shù)就能被11整除． 奇數(shù)位是指從個(gè)位起的第1、3、5…位，其余數(shù)位是偶數(shù)位． 例如 要判斷64251能否被11整除，由于 64251=6×104＋4×103+2×102+5×10+1 =6×（9999+1）+4×（1000+1-1）+2×（99+1）+5×（10+1-1）+1 =6×（11×909+1）+4×（11×91-1）+2×（11×9+1）+5×（11-1）+1 =[11×（6×909+4×91+2×9+5）]+[（6+2+1）-（4＋5）] 上式第一個(gè)中括號(hào)內(nèi)的數(shù)能被11整除，要判斷64251能否被11整除，只要（6＋2＋1）-（4＋5）=0能被11整除，因?yàn)?/font>11|0，所以11|64251，而（6＋2+1）-（4+5）恰好是64251的奇數(shù)位上的三個(gè)數(shù)減去偶數(shù)位上的兩個(gè)數(shù)字． 6．能被7、11、13整除的數(shù)的特征是：如果這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)所組成的數(shù)的差（大減小）能被7、11、13整除，這個(gè)數(shù)就能被7、11、13整除． 例如 要判斷1096823能否被7、11、13整除，由于7×11×13=1001，所以7|1001，11|1001，13|1001 1096823=1096×1000+823 =1096×（1001-1）+823 =1096×1001-（1096-823） 因?yàn)?/font>1096×1001能被7、11、13整除，要判斷1096823能否被7、11、13整除，只要判斷1096-823=273能否被7、11、13整除，由于7|273，13|273，11不能整除273，所以7|1096823，13|1096823，11不能整除1096823，而1096-823恰好是1096823的末三位以前的數(shù)所組成的四位數(shù)減去1096823的末三位數(shù)所組成的數(shù)． 下面舉例說明整除的性質(zhì)及數(shù)的整除特征的應(yīng)用． 例1 在□內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使 （1）34□□能同時(shí)被2、3、4、5、9整除； （2）7□36□能被24整除； （3）□1996□□能同時(shí)被8、9、25整除． 分析：（1）題目要求34□□能同時(shí)被2、3、4、5、9整除，因?yàn)槟鼙?/font>4整除的數(shù)一定能被2整除，能被9整除的數(shù)一定能被3整除，所以34□□只要能被4、9、5整除，就一定能被2、3、4、5、9整除．先考慮能被5整除的條件．個(gè)位是0或5，再考慮能被4整除的條件，由于4不能整除34□5，所以個(gè)位必須是0，最后考慮能被9整除的條件，34□0的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和是9的倍數(shù)，3+4+□+0=7+□，這時(shí)十位數(shù)字只能是2，問題得以解決． （2）題目要求7□36□能被24整除，24=3×8，而3與8互質(zhì)，根據(jù)整除的性質(zhì)，考慮被24整除，只要分別考慮被3、8整除就行了．先考慮被8整除的條件，7□36□的末三位數(shù)所組成的數(shù)36□能被8整除，所以個(gè)位數(shù)字只能是0或8，當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，由于要求7□360能被3整除，所以7+□+3+6+0=16+□能被3整除，這樣千位數(shù)字只能是2或5或8；當(dāng)個(gè)位數(shù)字為8時(shí)，由于要求7□368能被3整除，所以7+□+3+6+8=24+□能被3整除，這樣千位數(shù)字只能是0或3或6或9． （3）題目要求□1996□□能同時(shí)被8、9、25整除，首先考慮能被25整除的條件，□1996□□的末兩位數(shù)能被25整除，末兩位數(shù)只能是00，25，50，75．其次考慮能被8整除的條件，□1996□□的末三位數(shù)字組成的數(shù)能被8整除，但600，625，650，675這四個(gè)數(shù)中，只有600這個(gè)數(shù)能被8整除．最后□199600這個(gè)數(shù)能被9整除，其各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和□+1+9+9+9+6+0=25+□能被9整除，所以第七位數(shù)字是2． 解：（1）因?yàn)?/font>34□□能同時(shí)被2、3、4、5、9整除，因此只要34□□能同時(shí)被4、5、9整除．由于34□□能被5整除，所以個(gè)位數(shù)字只能是0或5，又因?yàn)?/font>4不能整除34□5，所以個(gè)位必須是0，又34□0能被9整除，3+4+□+0=7+□能被9整除，所以十位數(shù)字只能是2． 3420能同時(shí)被2、3、4、5、9整除． （2）因?yàn)?/font>24=3×8，3與8互質(zhì)，7□36□被8整除的條件是，7□36□的末三位數(shù)所組成的數(shù)36□能被8整除，所以個(gè)位數(shù)字只能是0或8；當(dāng)個(gè)位數(shù)字是0時(shí)，7□360能被3整除，7+□+3+6+0=16+□能被3整除，所以千位數(shù)字只能是2或5或8；當(dāng)個(gè)位數(shù)字是8時(shí)，7□368能被3整除，7+□+3+6+8=24+□能被3整除，所以千位數(shù)字只能是0或3或6或9． 所以所求的數(shù)為72360，75360，78360，70368，73368，76368，79368． （3）因?yàn)椤?/font>1996□□能被25整除，□1996□□的末兩位數(shù)能被25整除，這樣末兩位數(shù)只能是00，25，50，75；又因?yàn)椤?/font>1996□□能被8整除，但□1996□□的末三位數(shù)600，625，650，675這四個(gè)數(shù)中，只有600能被8整除；而□199600又能被9整除，□+1+9+9+6+0+0=25+□能被9整除，所在第七位數(shù)字只能是2． 所以2199600能同時(shí)被8、9、25整除． 例2 把915連續(xù)寫多少次，所組成的數(shù)就能被9整除，并且這個(gè)數(shù)最小． 分析：要求這個(gè)數(shù)能被9整除，而9+1+5=15顯然不能被9整除，但3×15能被9整除，因此只要把915連續(xù)寫3次，所組成的數(shù)就能被9整除，并且這個(gè)數(shù)最小． 解：因?yàn)?/font>9+1+5=15，15不能被9整除，而3×15能被9整除，所以只要把915連續(xù)寫3次，即915915915必能被9整除，且這個(gè)數(shù)最小． 例3 希希買了九支鉛筆，兩支圓珠筆，三個(gè)練習(xí)本和五塊橡皮．她看到圓珠筆每支3角9分，橡皮每塊6分，其余她沒注意．售貨員要她付3元8角，希希馬上說：“阿姨你算錯(cuò)了．”請(qǐng)問售貨員的帳算錯(cuò)了沒有？為什么？ 分析：根據(jù)圓珠筆與橡皮的單價(jià)，可以算出圓珠筆、橡皮共需39×2+6×5=108（分），而3元8角即380分減去108分等于272分，這272分是買九支鉛筆、三個(gè)練習(xí)本的價(jià)格，這9與3正好是3的倍數(shù)，也就是說九支鉛筆與三個(gè)練習(xí)本的總價(jià)錢應(yīng)是3的倍數(shù)（無論它們各自的單價(jià)是多少），而272不是3的倍數(shù)，顯然是售貨員把賬算錯(cuò)了． 解：兩支圓珠筆和五塊橡皮的總錢數(shù) 39×2+6×5=108（分） 3元8角即380分，380-108=272（分）應(yīng)是九支鉛筆與三個(gè)練習(xí)本付的總價(jià)錢，因?yàn)榫胖сU筆與三個(gè)練習(xí)本的總價(jià)錢必是3的倍數(shù)，而272不是3的倍數(shù)，所以售貨員把賬給算錯(cuò)了． 例4 三個(gè)數(shù)分別是346，734，983，請(qǐng)?jiān)賹懸粋€(gè)比996大的三位數(shù)，使這四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是一個(gè)整數(shù)． 分析：要使這四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是一個(gè)整數(shù)，說明這四個(gè)數(shù)的和必是4的倍數(shù)．因?yàn)?/font>346+734+983=2063，被4除余3，比996大的三位數(shù)只有997被4除余1，這時(shí)2063+997=3060必能被4整除． 解：因?yàn)?/font>346+734+983=2063，被4除余3，比996大的三位數(shù)只有997被4除余1，且2063+997必能被4整除，所以第四個(gè)數(shù)為997． 例5 一個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位數(shù)字分別是8、a、
樣問題比較容易解決了．
數(shù)是819． |
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除．這
