一、實數(shù)完備性：
1. 關于實數(shù)完備性的基本定理
◇確界原理（該教材的理論基礎、最基本定理）（用實數(shù)的無限小數(shù)表示證明）
◇單調有界定理（用確界原理證明）
◇區(qū)間套定理（用單調有界定理證明）
◇有限覆蓋定理（用區(qū)間套定理證明）
◇聚點定理（用區(qū)間套定理證明）
推論：致密性定理
◇柯西收斂準則（用區(qū)間套定理或致密性定理證明）
2. 上極限和下極限
◇有界點列至少有一個聚點，且存在最大聚點與最小聚點（類似聚點定理，用區(qū)間套定理證明）
◇A為{an}上極限<＝> (i)存在N＞0，使得當n＞N時有an＜A+ε；(ii)存在子列{ank}，ank＞A-ε
◇A為{an}上極限<＝>任何α＞A，大于α的項有限個；任何β＜A，大于β的項無限多個
◇上、下極限保不等式性
◇A為{an}上極限<＝>A=limsup{ak} (n→∞, k≥n)
二、極限
1. 收斂數(shù)列的性質：
◇唯一性
◇有界性
◇保號性
◇保不等式性
◇迫斂性
◇四則運算法則
◇數(shù)列{an}收斂<＝>{an}的任何非平凡子列都收斂
2. 數(shù)列極限存在的條件：
◇單調有界定理（用確界原理證明）
◇柯西收斂準則（用區(qū)間套定理或致密性定理證明）
3. 函數(shù)極限的性質
◇唯一性
◇局部有界性
◇局部保號性
◇保不等式性
◇迫斂性
◇四則運算法則
4. 函數(shù)極限存在的條件
◇歸結原則
◇單調有界定理（適用于單側極限）
◇柯西準則（用歸結原則和數(shù)列柯西收斂準則證明）
5. 無窮小量與無窮大量
◇若f與g為等價無窮小量，則lim(f*h)=lim(g*h)，lim(h/f)=lim(h/g)
◇若f為x→x0時的無窮小量（且在空心鄰域內不等于0），則1/f為x→x0時的無窮大量
◇若g為x→x0時的無窮大量，則1/g為x→x0時的無窮小量
三、函數(shù)的連續(xù)性
1. 連續(xù)函數(shù)的性質
◇局部有界性
◇局部保號性
◇四則運算法則
◇若f在x0連續(xù)，g在u0=f(x0)連續(xù)，則g(f(x))在x0連續(xù)
◇有界性定理（適用于閉區(qū)間）（用局部有界性與有限覆蓋定理證明）
◇最大最小值定理（適用于閉區(qū)間）（用有界性定理和確界原理證明）
◇根的存在定理（適用于閉區(qū)間）（用局部保號性和區(qū)間套定理證明）
◇介值性定理（適用于閉區(qū)間）（用根的存在定理證明）
◇一致連續(xù)性定理（用有限覆蓋定理證明）
四、導數(shù)和微分
1. 導數(shù)的概念
◇費馬定理（可導函數(shù)極值的必要條件）（用連續(xù)函數(shù)局部保號性證明）
◇導函數(shù)的介值定理（用最大最小值定理和費馬定理證明）
2. 求導法則
◇四則運算法則
◇反函數(shù)的導數(shù)
◇復合函數(shù)的導數(shù)及其引理
◇參變量函數(shù)的導數(shù)
◇高階導數(shù)
3. 微分
◇可微<＝>可導，且微分AΔx中的A等于導數(shù)（用有限增量公式證明）
◇微分運算法則（由導數(shù)運算法則推出）
◇高階微分
◇一階微分形式的不變性 / 高階微分不具有形式不變性
4. 微分中值定理
◇羅爾中值定理（用連續(xù)函數(shù)最大最小值定理與費馬定理證明）
◇拉格朗日中值定理（用羅爾中值定理證明）
◇導數(shù)極限定理（用拉格朗日中值定理證明）
◇函數(shù)（嚴格）單調遞增（減）的充要條件（用拉格朗日中值定理證明）
◇柯西中值定理（用羅爾中值定理證明）
◇洛必達法則（用柯西中值定理證明）
5. 泰勒公式
◇佩亞諾余項（用洛必達法則證明）
◇拉格朗日余項（泰勒定理）（用柯西中值定理證明）
◇積分型余項（用推廣的定積分分部積分法證明）
◇柯西型余項（對積分型余項使用積分第一中值定理得）
6. 函數(shù)的極值
◇極值的第三充分條件：設f在x0某鄰域內存在n-1階導函數(shù)，在x0處可導，且f(k)(x0)=0 (k=1,2,...,n-1)，f(n)(x0)≠0，則：(i) 當n為偶數(shù)時，f在x0取極值，且當f(n)(x0) ＜0時取極大值，當f(n)(x0) ＞0時取極小值；(ii) 當n為奇數(shù)時，f在x0處不取極值（在x0處用n階泰勒公式（佩亞諾余項）證明，極值第二充分條件可作為其推論）
7. 凸函數(shù)的性質
◇充要條件：對I上的任意三點x1＜x2＜x3，總有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≤(f(x3)-f(x2))/(x3-x2)
◇充要條件：對I上的任意三點x1＜x2＜x3，總有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≤(f(x3)-f(x1))/(x3-x1)≤(f(x3)-f(x2))/(x3-x2)
◇充要條件：f’為I上的增函數(shù)（用上兩條（引理）證）
◇充要條件：對I上的任意兩點x1、x2，f(x2) ≥ f(x1)+f’(x1)(x2- x1)（用拉格朗日中值定理與上一條定理證）
◇Jensen不等式（用數(shù)學歸納法證）
五、積分
1. 不定積分法
◇換元積分法（用復合函數(shù)求導法驗證）
◇分部積分法（由乘積求導法推出）
2. 可積性理論
◇可積必有界
◇上和是所有積分和的上確界，下和是所有積分和的下確界
◇T’為T添加p個新分點后的分割，則S(T) ≥S(T’) ≥S(T)-(M-m)p||T||，s(T) ≤s(T’) ≤s(T)+(M-m)p||T||
◇達布定理：limS(T)=S，lims(T)=s (||T||→0)（用上一條性質證明）
◇可積第一充要條件：S=s（用達布定理證明）
◇可積第二充要條件（可積準則）：S(T)-s(T) ＜ε，即∑ωΔx＜ε（用可積第一充要條件證明）
◇可積第三充要條件：任可正數(shù)ε、η，T中ω≥ε的區(qū)間總長∑Δx＜η（用可積第二充要條件證明）
◇閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)可積（用可積準則證明）
◇閉區(qū)間上有限間斷點的函數(shù)可積（用可積準則證明）
◇閉區(qū)間上單調函數(shù)可積（用可積準則證明）
3. 定積分性質
◇牛頓—萊布尼茨公式（用拉格朗日中值定理證明）
◇線性性質
◇f、g可積則fg可積（用可積準則證明）
◇積分區(qū)間可加性（用可積準則證明）
◇保號性
推論：積分不等式性
◇f可積則|f|也可積，且|∫fdx|＜∫|f|dx（用絕對值不等式與可積準則證明）
◇積分第一中值定理（用連續(xù)函數(shù)最大最小值定理和介值性定理證明）
◇推廣的積分第一中值定理（用連續(xù)函數(shù)最大最小值定理和介值性定理證明）
◇變限積分在[a,b]上連續(xù)（用積分區(qū)間可加性和可積必有界證明）
◇原函數(shù)存在定理（微積分學基本定理）（用積分第一中值定理證明）
◇積分第二中值定理（用變限積分連續(xù)、連續(xù)函數(shù)最大最小值定理、介值性定理、積分區(qū)間可加性、可積準則證明）
推論：[a, b]上f可積，g單調，則存在ξ使∫f(x)g(x)dx=g(a) ∫aξf(x)dx+g(b) ∫ξbf(x)dx
◇換元積分法、分部積分法（類似不定積分，由微分法逆得）
4. 定積分的應用
◇平面圖形的面積A=∫|f(x)|dx=∫|y(t)x’(t)|dt
◇由平行截面面積求體積V=∫A(x)dx
◇平面曲線的弧長s=∫ (x’2(t)+y’2(t))^(1/2)dt（用拉格朗日中值定理證明）
◇平面曲線的曲率K=|x’y’’-x’’y’|/(x’2+y’2)^(3/2)（由弧微分推得）
◇旋轉曲面的面積S=2π∫y(t)(x’2(t)+y’2(t))^(1/2)dt
5. 反常積分
◇無窮積分收斂的充要條件：任給正數(shù)ε，存在G，只要a, b＞G，|∫abf(x)dx|＜ε（即柯西準則）
◇無窮積分線性性質
◇無窮積分區(qū)間可加性
◇無窮積分收斂的充要條件：任給正數(shù)ε，存在G，只要u＞G，|∫u∞f(x)dx|＜ε（由區(qū)間可加結合收斂定義證明）
◇|f|收斂則f也可積，且|∫a∞fdx|＜∫a∞|f|dx（用柯西收斂準則、定積分絕對值不等式、極限保不等式性證明）
◇無窮積分比較法則（用單調有界定理證明）
推論：(i) |f(x)| ≤1/xp且p＞1時，∫a∞|f(x)|dx 收斂；(ii) |f(x)| ≥1/xp且p≤1時，∫a∞|f(x)|dx 發(fā)散
◇若f和g都在[a,u]上可積，g(x) ＞0，且lim|f(x)|/g(x)=c，則(i)0＜c＜+∞時，∫a∞g(x)dx與∫a∞|f(x)|dx 同斂態(tài)；(ii)c=0時，∫a∞g(x)dx收斂時∫a∞|f(x)|dx必收斂；(iii) ∫a∞g(x)dx發(fā)散時∫a∞|f(x)|dx必發(fā)散（用比較法則證明）
推論：limxp|f(x)|=c，(i)p＞1，0≤c＜+∞時，∫a∞|f(x)|dx 收斂；(ii)p≤1，0＜c≤+∞時，∫a∞|f(x)|dx發(fā)散
◇狄里克雷判別法（用積分第二中值定理和柯西收斂準則證明）
◇阿貝爾判別法（用積分第二中值定理或狄里克雷判別法證明）
◇瑕積分收斂柯西準則（類似無窮積分）
◇瑕積分線性性質（類似無窮積分）
◇瑕積分區(qū)間可加性（類似無窮積分）
◇瑕積分絕對值不等式（類似無窮積分）
◇瑕積分比較法則及推論（類似無窮積分）
◇瑕積分比較法則極限形式及推論（類似無窮積分）
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注：
1. 該整理是由包晨風根據(jù)華東師大數(shù)學系編的《數(shù)學分析（上冊）》完成的
2. 斜體字為證明方法提示（并不唯一，只是個人覺得較方便的方法），無斜體字的均可由定義證出
3. 該整理不包括任何定義，部分定理的敘述從簡，并不嚴謹
4. 該整理的編排順序與教材不同，除了泰勒公式的積分型余項和柯西型余項，其余定理或性質的證明所需的前置定理均可在前文中找到
5. 請大家多指教
