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第二講
新課程理念下“空間與圖形”的教學(xué)研討
主講人：
張 丹：北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系
孫京紅：北京市海淀區(qū)教師進修學(xué)校數(shù)學(xué)教研員
孫雪林：北京大學(xué)附屬小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)主任
王雪峰：北京大學(xué)附屬小學(xué)數(shù)學(xué)教師
慈 艷：北京中關(guān)村第四小學(xué)數(shù)學(xué)教師
第二場 觀點分享
經(jīng)過上面對一些案例及問題的研討，我想很多老師都有了自己的思考。那么，下面，我們對有關(guān)空間與圖形的教學(xué)提出自己的想法，主要分圖形的認識、圖形與位置、圖形與變換以及圖形的測量，最后是空間觀念，與大家展開一個進一步的交流。需要強調(diào)的是，這些觀點是這個項目組集體討論的結(jié)果，是有著我們自己的思考的。當然，肯定還有一些不成熟的地方，但求能引起大家更多的討論。
一、圖形的認識
在這部分中，有兩個內(nèi)容跟大家交流，一個是圖形的認識整個內(nèi)容呈現(xiàn)的線索；第二就是提出一些教學(xué)上的建議。
1．內(nèi)容呈現(xiàn)的主要線索
（1）從立體到平面再到立體
為什么新課程提倡先認識立體，再認識平面，反過來再去認識立體：
◆首先從孩子的認知規(guī)律這個角度進行考慮，在孩子的現(xiàn)實生活當中，他們首先接觸到的應(yīng)該是立體的，比如說他們的鉛筆盒，比如說他們每天看到的黑板、桌椅這些都是立體的。而平面圖形是附著在立體上的。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自然要遵循孩子的認知規(guī)律，體現(xiàn)從整體到局部再到整體的過程。
◆再有從立體到平面再到立體，如果我們再把它細化，應(yīng)該是從立體到平面到基本元素，之后再到平面、再到立體，而前后的兩個平面，兩個立體是有著區(qū)別的。開始學(xué)生們是從直觀上來認識立體圖形和平面圖形的，而后來則要嘗試把握這些平面圖形和立體圖形的特征。
舉一個例子，就像我們?nèi)タ匆粋€人，你首先是對他一個整體的認識，然后你才會去關(guān)注這個人的眉毛、鼻子、眼睛；反過來當你關(guān)注了眉毛、鼻子、眼睛以后，你再去整體認識這個人，你就會有一個更新的認識。
◆還有一個原因，新課程強調(diào)空間觀念，空間觀念其中有一個重要的方面：就是三維和二維的轉(zhuǎn)化，即從立體轉(zhuǎn)換到平面，反過來由平面再轉(zhuǎn)換到立體。對于這一點，當然可以通過觀察物體這樣的素材來體現(xiàn)，但是在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，也可以體現(xiàn)這樣一個過程：從立體圖形中找到平面圖形，從平面圖形中去還原立體圖形。
我們再去回顧一下前面討論過的第一個案例，就是一年級直觀認識平面圖形的兩個教學(xué)過程。根據(jù)上面的討論，過程1給了學(xué)生比較充分地操作和探索空間，使學(xué)生感受從立體到平面的過程，從這一點來說，過程1還是非常有價值的。
（2）從生活中抽象出圖形到應(yīng)用于生活
第二個線索就是從生活中抽象出圖形，然后學(xué)習(xí)了圖形及其特征以后，再應(yīng)用于生活的過程。我們再去回顧一下前面討論過的第一個案例的過程2，就體現(xiàn)了這一過程，這一點也是非常具有價值的。有的老師可能會說，你們到底喜歡過程1啊，還是喜歡過程2，其實，這個沒有什么定論，關(guān)鍵是這節(jié)課教師所確定的目標是什么。有的老師認為兩個過程都很好，那么就需要單元備課的思想，這兩個過程不是一節(jié)課就能完成的。
還想強調(diào)的是，現(xiàn)在老師都比較重視從生活中抽象出圖形的過程，但是反過來將圖形及其特征應(yīng)用到生活中去，教師似乎挖掘的比較少。這就需要教師們和學(xué)生們共同思考，學(xué)習(xí)了長方形、正方形、三角形等的特征以后，在生活中能不能運用這些特征。舉一個中學(xué)的例子，希望能給大家一些啟發(fā)。
[案例][1]當一個建筑工人為一個修理廠建造長方體底座時，要判斷底座表面的形狀是否為長方形形。你能為他設(shè)計一種判斷的方法嗎？如果他只有一圈皮尺，能否完成這個任務(wù)？
當學(xué)生在嘗試解決這個實際問題時，他們需要將所學(xué)的有關(guān)圖形特征充分利用起來，這不僅促進了對這些特征的理解，并且發(fā)展了學(xué)生解決問題的能力。學(xué)生可以探索出不同的方法。在只有皮尺的情況下，可以量出底座表面所有邊長及對角線的長度，由此進行判斷（如圖1）；也可以量出底座表面的某些長度，再利用勾股定理的逆定理來判斷直角（如圖2)
  當然上面的例子不能應(yīng)用在小學(xué)，只是提供一個例子希望教師們重視應(yīng)用圖形特征的過程。
（3）從直觀辨認到探索特征（邊、角、對稱性……）
第三條線索就要從直觀辨認到探索特征。比如一年級直觀辨認長方形等平面圖形，到一定年級后，需要繼續(xù)探索這些圖形的特征。圖形的特征既包括邊的特征、角的特征，另外就是圖形的對稱性的特征。圖形的對稱性是非常重要的，這一點可能以前沒有受到重視。舉一個例子，對于長方形的特征，我們不僅要探索它的邊是否相等、角是否為直角，還應(yīng)關(guān)注長方形的軸對稱性。
這里向大家介紹已經(jīng)得到比較廣泛公認的，荷蘭范·希爾夫婦的幾何思維水平，當然這個研究主要針對的是平面圖形的認識：
水平1：直觀化
水平2：描述/分析
水平3：抽象/關(guān)聯(lián)
水平4：演繹/形式化推理
水平5：嚴密/元數(shù)學(xué)
從這幾個水平可以看出，按照范·希爾夫婦的理論，學(xué)生通過思維水平的進步，從一個直觀化水平不斷地提高到描述、分析、抽象和演繹等復(fù)雜水平。這實際上也說明了從直觀辨認到探索特征是符合兒童的認知規(guī)律的。
進一步，小學(xué)階段對于平面圖形的學(xué)習(xí)，顯然主要是上面的第一、二、三水平，而第四、五水平呢，應(yīng)該是初中、高中，甚至大學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)達到的。我們前面也提過這樣的一個問題，就小學(xué)幾何和中學(xué)幾何，它們之間還是有不同的。雖然到了中學(xué)還要學(xué)三角形內(nèi)角和，還要學(xué)三角形兩邊之和大于第三邊，包括基本圖形的基本特征都要重新學(xué)，但是那時候呢就需要從一些公認的前提出發(fā)去證明它們。而學(xué)生對于三角形內(nèi)角和為180度等特征的一個直觀認識，或者對其證明過程的直觀積淀，就需要在小學(xué)的時候完成。比如，對于三角形內(nèi)角和，小學(xué)階段學(xué)生把角撕下拼在一起，或者折一下，這些為中學(xué)的添輔助線奠定了直觀經(jīng)驗。所以，老師們千萬不要認為，學(xué)習(xí)一個重要知識一下子就可以學(xué)完，或者說小學(xué)管小學(xué)的、中學(xué)管中學(xué)的，而需要以一個整體的觀點看所教學(xué)的內(nèi)容。有關(guān)范·希爾夫婦的幾何思維水平和教學(xué)階段，感興趣的老師可以進一步參看拓展資源1。
（4）從直線到圓
在這個過程中，會有一些思想方法上的變化，到了圖形的測量中再詳細闡述。
（5）基本上是從靜態(tài)到動態(tài)
對于圖形的認識，不僅僅是從靜態(tài)的角度去認識它，還可以從動態(tài)的角度去豐富對它的認識，這是跟過去相比比較加強的。
比如對角的認識，曾經(jīng)有一個老師舉過學(xué)生的一個常見錯誤：低年級學(xué)生老有一種混淆，認為角的大小與畫出的角的兩條邊的長短有關(guān)。其實，這對于低年級學(xué)生也是正常的，如果從靜態(tài)上去觀察一個角，孩子比較容易關(guān)注它的明顯因素——兩條邊，而相對不是那么明顯的“角的張口的大小”，學(xué)生不容易觀察到。如果這時候呢，教師鼓勵學(xué)生動態(tài)地去認識角，比如利用活動角不斷張開，學(xué)生會慢慢關(guān)注角的張口，
事實上，利用圖形的運動（變換）來認識圖形，是一個將靜態(tài)認識與動態(tài)認識相結(jié)合的途徑。關(guān)于這一點，我們將在圖形的變換中再提及。
2．教學(xué)的主要建議
（1）重視圖形分類的價值
圖形分類不僅僅在數(shù)學(xué)中是非常重要的，而且通過分類活動，學(xué)生可以不斷體會圖形的特征。因此，在圖形的認識的教學(xué)中，教師應(yīng)重視圖形分類的價值。
以前，教師往往會在圖形學(xué)習(xí)完以后，在復(fù)習(xí)整理階段進行圖形分類的活動，當然這還是非常重要的。實際上，在圖形性質(zhì)探索的初始階段，也可以安排圖形分類的活動，鼓勵學(xué)生在嘗試對圖形進行分類的過程中去關(guān)注圖形的邊、角等的特征。對此，我們的一位老師作了有益的嘗試，感興趣的老師請參見拓展資源2。
下面再提供一個低年級滲透圖形分類的教學(xué)案例：
準備下面的一些物品或類似的東西：一個橘子、一條肥皂、一罐牛奶、一頂生日帽、一個楔子。引導(dǎo)學(xué)生借助操作思考下面的問題：
哪些東西可以滑動，哪些東西可以滾動？
哪些是平的，哪些是曲的？
哪些有直的邊？哪些有曲的邊？
哪些面是方形的？
哪些面是三角的？
哪些面是圓的？
哪些有點或角？哪些沒有？
總結(jié)一下，教學(xué)中，教師可以從以下幾個方面引導(dǎo)學(xué)生對圖形進行分類：
第一，將圖形分成平面的和立體的；
第二，將平面圖形分成直的和曲的；
第三，將多邊形按照邊、角等圖形的特征進行分類。
（2）重視在運動中認識圖形
特別希望老師們能鼓勵學(xué)生把靜態(tài)和動態(tài)結(jié)合起來，鼓勵學(xué)生在運動變化中，去觀察認識圖形及其特征。老師們也有這個感覺，有的圖形按照標準位置放，學(xué)生們就能認出來，換一個角度學(xué)生就不認識了。教學(xué)中，教師就可以將圖形轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、移一移、翻一翻，使圖形動起來，幫助學(xué)生認識圖形變化中不變的特征。這部分內(nèi)容還將在圖形與變換中進一步涉及。
（3）重視從復(fù)雜圖形中辨別基本圖形
鼓勵學(xué)生能夠從復(fù)雜圖形中辨別一些基本圖形，發(fā)展識圖能力。比如對于長方體直觀圖中長寬高的辨認，學(xué)生往往存在著困難，這里有一個教師的好的做法。他首先畫一個長方體的直觀圖，然后問學(xué)生說：擦掉一條邊，你們能不能把這個長方體還原。逐步的擦去長方體的某些邊，只剩下了這個長方體的長寬高時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不能再擦了，再擦就還原不回原來的長方體了。于是，在這個過程當中，學(xué)生不但感受了長方體的特征，同時加深理解了長寬高。
（4）恰當?shù)倪\用標準圖形和變式圖形
對于這一點，老師們都有了很好的做法，這里就不贅述了。
（5）重視觀察、操作、想象、推理、表達之間的結(jié)合
在圖形的認識和圖形特征的探索過程中，學(xué)生必然要從事多種活動，這也是小學(xué)幾何跟中學(xué)幾何學(xué)習(xí)的一個區(qū)別。這些活動呢，既包括學(xué)生的觀察活動，也包括學(xué)生的操作活動，比如撕、剪、拼、折、畫，還包括學(xué)生的想象活動。當然，還包括一些非常簡單的推理，以及對圖形及其特征的表達。教學(xué)中非常重要的一點，是能將觀察、操作、想象、推理、表達進行有機的結(jié)合，既認識到它們各自的價值，又能在一些活動中把它們結(jié)合起來。我們來舉個例子，比如說對于長方形特征的探索，教師可以首先鼓勵學(xué)生觀察，提出一些猜想：它的兩個對邊相等……。在此基礎(chǔ)上，教師可以鼓勵學(xué)生運用操作對猜想進行驗證。最后，教師還可以鼓勵學(xué)生用自己的語言表達出長方形的特征。
這里需要強調(diào)的是學(xué)生動手操作的重要性。學(xué)生通過折疊、剪拼、畫圖、測量、建造模型、分類等活動，對圖形的多方面性質(zhì)有了親身感受，這不僅為正式地學(xué)習(xí)圖形的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)，同時積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展了空間觀念。親身實踐遠比只是看一下要獲得遠遠多的對圖形的“洞察”。總結(jié)一下，操作的價值主要體現(xiàn)在以下幾個方面：第一，操作是探索圖形性質(zhì)的有效手段。第二，操作可以對通過觀察等得到的猜想進行驗證。第三，操作可以加深對圖形及其性質(zhì)的理解。比如將長方形對折，發(fā)現(xiàn)長方形對邊相等，實際上學(xué)生也進一步體會長方形的軸對稱性；又如，畫的活動非常有助于學(xué)生在頭腦中建立圖形的表象。
在動手操作中，也不要忽視推理的價值。雖然小學(xué)階段不要求學(xué)生進行嚴格的證明，但是不代表孩子沒有推理的意識。而且推理還能夠幫助我們解決操作中出現(xiàn)的誤差。比如前面討論過的“兩邊之和大于第三邊”教學(xué)中，由于操作中的誤差，造成了當兩邊之和等于第三邊時，學(xué)生“拼出”了三角形。面對這一情況，最好的解決方法是借助一些推理。其實，學(xué)生也有這個意識，比如有的學(xué)生說得非常的形象：4+5=9，9與9都平行（重合）了，拼不成了。有的學(xué)生可能會根據(jù)“兩點之間線段最短”來說明等于的時候是拼不成的（三角形三邊關(guān)系的課堂實錄見拓展資源3）。關(guān)于這個問題，我曾經(jīng)請教過王尚志教授，他是一個數(shù)學(xué)專業(yè)工作者，也是課程標準的制訂者，他就提到了“兩點之間線段最短”，這實際上也是一個非常重要的公理，進一步，他提供了一個如何教學(xué)“兩邊之和大于第三邊”的思路，供大家思考：首先通過具體情境使學(xué)生認識到“兩點之間線段最短”，然后畫出兩個點，兩點之間畫一條線段和若干條折線。實際上，折線與兩點之間的線段就形成了一個一個的三角形。接著鼓勵學(xué)生思考，如果把它們看成一個一個的三角形的話，你能發(fā)現(xiàn)什么，即“兩邊之和大于第三邊”。
還想在這里強調(diào)的是，教師還要注意鼓勵學(xué)生在操作中積極思考，否則缺乏思考的盲目操作會造成操作的無效性。為了說明問題，下面介紹一個老師設(shè)計的三角形內(nèi)角和的練習(xí)活動：
老師撕了4個不同的三角形,分別為等邊三角形、等腰三角形、直角三角形和不等邊三角形，得到了12個角，分別為60度、20度、80度、110度、40度、90度、60度、50度、70度、60度、50度、30度。這四個三角形每個角分別是多少度？
在解決這個問題的過程中，學(xué)生不僅要應(yīng)用“三角形內(nèi)角和是180度”的結(jié)論，并且學(xué)生要思考從何下手比較合適。
（6）注重圖形之間的聯(lián)系
教師還應(yīng)重視在圖形及其性質(zhì)之間建立聯(lián)系。學(xué)生學(xué)習(xí)的時候是分散的，這就需要老師以適當?shù)男问桨逊稚⒌膬?nèi)容串起來。下面的兩張表是周玉仁教授提供的有關(guān)圖形性質(zhì)的兩個表：
表1
表2
上面的第一個表是大家比較熟悉的，第二個表是從另外一個角度揭示圖形之間的聯(lián)系，大家不妨將兩個表都呈現(xiàn)給孩子，使學(xué)生不斷體會圖形之間的聯(lián)系。
二、圖形與位置
1．介紹兩種確定位置方法的數(shù)學(xué)原理
目前，教材中有兩種確定位置的方法，它們實際上分別對應(yīng)了中學(xué)要學(xué)習(xí)的平面直角坐標系和極坐標系，它們都是平面上確定位置的方法。
 如上圖，平面直角坐標系有一個坐標原點O，然后是橫軸、縱軸。在這樣的情況下，一個點對應(yīng)著橫坐標和縱坐標，如圖中的P（2，2）。我們常說的幾行幾列就是直角坐標。極坐標系，首先也有一個原點O，然后是極軸。對于點P，就用OP的長度（極徑）及OP相對于極軸的角度（極角）來刻畫，如P（3，600）。我們常說的距離方向就是極坐標。兩種刻畫位置的方法，既有不同點，又有一些相同點：都要有原點；都要用兩個要素來刻畫，這兩個要素可以是兩個長度，也可以是一個長度、一個角度。為什么會有不同種確定位置的方式呢，我想更多是由于實際應(yīng)用的緣故。可能在有些地方用直角坐標刻畫位置會更方便一些，有些地方用極坐來刻畫會更好。記得看過一個有趣的例子，在海上如何刻畫船只的位置，有一個方法是用相鄰兩個了望臺觀察到的船只的角度，就是從這個了望臺看船只可能是30度，從那邊呢可能是60度，這兩條弧線有個交點，就是船只的位置。
有了上面的學(xué)習(xí)，我們再來看看前面提到的學(xué)生前測中的做法，你會發(fā)現(xiàn)學(xué)生的做法都是很有道理的。我們來分析一下學(xué)生的幾種做法：雖然做法（1）、（2）是用文字刻畫位置，（3）、（4）是用圖來刻畫位置，但4種做法都對應(yīng)著直角坐標的思想，它們都表明學(xué)生已經(jīng)意識到需要用兩個要素來刻畫平面上的位置。進一步，做法（2）和做法（4）還標明了參照物，當然參照物不同刻畫的結(jié)果就不同。而做法（5）則對應(yīng)了極坐標的初步思想。所以，老師們可以看到，學(xué)生們在沒學(xué)之前都有了非常好的原始經(jīng)驗，關(guān)鍵我們老師如何去利用。我想，一個好的做法應(yīng)該強調(diào)建立聯(lián)系，建立學(xué)生原始想法和數(shù)學(xué)方法之間的一種聯(lián)系。教學(xué)中，可以先把同一做法內(nèi)部的不同表示形式建立聯(lián)系，比如說都用文字表述的方式，我們來比一比有什么相同的地方，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)盡管有說排的、列的、組的……，但都是用兩個因素來刻畫位置，如果再說明以誰為參照物，位置就確定下來了。然后，就是在所有的方法之間建立聯(lián)系，比如數(shù)和形之間的對應(yīng)。最后，再引申到數(shù)學(xué)上確定位置的方法。
2．學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的價值
前面已經(jīng)提到過，有的老師提出對于確定位置的內(nèi)容，科學(xué)課、社會課都有，為什么數(shù)學(xué)課還要學(xué)習(xí)。對于這個問題的回答，我們不妨首先看一下對孫曉天老師的采訪。孫曉天老師是我們國家義務(wù)教育課程標準的負責(zé)人之一，同時也是小學(xué)數(shù)學(xué)實驗教材評審組的組長。他長期關(guān)注中小學(xué)數(shù)學(xué)課程，他的發(fā)言會對我們有不少啟發(fā)。
孫老師的采訪：關(guān)于位置和定位的問題，確實很多課里邊都有，生活課里邊有，講自然，講地理的時候肯定也有，但教育沒有很明確的界限，說生活課里邊講了東南西北，數(shù)學(xué)里邊就不能講了，我想數(shù)學(xué)自然有數(shù)學(xué)的角度。第一學(xué)段的內(nèi)容，還是帶有生活的味道，但是如果僅僅告訴常識我們就打住了，這個確實可以不在數(shù)學(xué)里講了。在數(shù)學(xué)里邊，常識是定位的起點，下面就一定要表示，這馬上就變成數(shù)學(xué)的內(nèi)容了。數(shù)學(xué)有好幾種辦法，一個是可以用直角坐標，另外一個可以用方向、距離，這些別的學(xué)科沒有。另外，位置定位的問題，是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的一個重要載體，我僅僅告訴你在中關(guān)村南大街第二個路口左側(cè)的紅綠燈底下，你怎么就能找到我呢，實際你腦子里在過濾一個地圖，是在模擬你怎么往那邊走，這個過程就是一個空間想象的過程，這個就是一種能力，而生活課的教學(xué)、自然課的教學(xué)是不管這個能力的。小學(xué)的教育無疑要為初中、高中的教育做準備，學(xué)生以后要學(xué)習(xí)坐標系，坐標系肯定是數(shù)學(xué)的內(nèi)容了，現(xiàn)在我們講的確定位置，實際就是坐標系的萌芽，現(xiàn)在我們一點一點的積淀，到真正的笛卡兒坐標系出現(xiàn)的時候，就變成一個順理成章的過程了。那隨著以后，我們還要有極坐標系，還有其他形形色色的坐標系，那么所有這些坐標系，其實都是建立在我們小學(xué)關(guān)于方向，關(guān)于位置認識的基礎(chǔ)之上的，而這個責(zé)任，生活和自然課或者說其他的課程，完全承載不起來。實際上，如果把確定位置看成一個起點的話，就是科學(xué)課里邊講了，數(shù)學(xué)該講也還要講，所以一方面是可以重復(fù)的，另一方面，數(shù)學(xué)是有自己的認知和教學(xué)的體系的。我想至少不要認為，別人講了我就不用講了。你去聽聽別人怎么講，你再看看你講的這個和別人一樣不一樣，就會認識到這個事情的重要。我想確定位置是這樣，類似像平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱，這樣一些跟變換有關(guān)的內(nèi)容，也是如此。美術(shù)課這幾樣玩的最花哨，但角度不一樣，我們現(xiàn)在是從直觀的角度，我們的目的是以后逐漸地要把它抽象起來，要把它形式地表示出來。和美術(shù)等其他課程之間的相通，恰恰說明了數(shù)學(xué)的作用，其實無論多少漂亮的圖形，歸根到底都是數(shù)學(xué)里邊的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱組合出來的，其實讓學(xué)生認識到這一點，完全是積極的。在小學(xué)階段，關(guān)于這幾個對象的認識，都是從直觀的角度，都是從把握空間的高度，大家認識到這一點，就不會產(chǎn)生重復(fù)啦，多余啦，太難啦等疑問了。
聽完了上面的一段采訪，我覺得有兩點很有啟發(fā)。
第一，數(shù)學(xué)跟其他學(xué)科，在學(xué)習(xí)圖形與位置上的不同，就是數(shù)學(xué)的表達。你在其他的學(xué)科也會學(xué)習(xí)確定位置，但是要把它用數(shù)學(xué)的語言表達下來，就需要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)了。另外，數(shù)學(xué)還要思考背后的道理是什么，為什么用數(shù)對就能刻劃平面上點的位置。實際上就牽涉到對維數(shù)的一種認識。教師可以設(shè)計一些活動，使學(xué)生體會到，如果在一條直線上確定位置，比如說在小組一排中確定位置，告訴我從哪開始數(shù)，只要1個數(shù)就可以了；那么在平面上就要用2個數(shù)，即數(shù)對。比如電影院里，上面有一層、下面有一層，就要用3個數(shù)來刻畫了。當然，確定位置的內(nèi)容也是發(fā)展學(xué)生空間觀念的良好素材。
第二，千萬不要認為，一個內(nèi)容在某些學(xué)科學(xué)過就不用再學(xué)了，關(guān)鍵是找尋各個學(xué)科對一個內(nèi)容的不同的刻畫角度，這樣就便于學(xué)生養(yǎng)成從多種角度來觀察事物的習(xí)慣。
3．教學(xué)建議
（1）重視探索如何確定位置的過程
對于這部分內(nèi)容的教學(xué)，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生在具體的情境中，探索如何來描述物體或圖形的位置，探索刻畫位置需要哪些要素。看下面的一個教學(xué)中的例子，教師在學(xué)生學(xué)習(xí)確定位置之前，設(shè)置了豐富的情境：
說一說劇院、教室是如何確定觀眾和學(xué)生的位置的。
城區(qū)的地圖經(jīng)常有小方格在上面，以便于我們確定位置，如汽車站在（E，7）小方格里。
在地圖上確定某地的位置需要知道它的經(jīng)度和緯度。
在此基礎(chǔ)上，教師介紹了17世紀一個叫笛卡爾的法國人用同樣的想法來確定點的位置，以及直角坐標確定位置的方法。
這個案例提供了豐富的情境，針對這些現(xiàn)實問題的討論，學(xué)生將感受確定位置在生活中的重要性，體會數(shù)學(xué)對確定位置的作用，并抽象出不同確定位置方式的共同特征。
（2）注重從具體情境中抽象出坐標的過程
教學(xué)中還應(yīng)重視從具體情境中抽象出坐標的過程。前一陣也聽到過這樣的一節(jié)課，老師就比較重視這一過程。教學(xué)最開始呈現(xiàn)的是一個教室的場景，確定教室里一個同學(xué)的位置；然后，教師利用課件將每個同學(xué)抽象成點；接著在點上套上方格，就體現(xiàn)了一個抽象的過程。
（3）淡化非本質(zhì)的對“行列”的討論
最后想要的一點是，在教學(xué)中不要在一些非本質(zhì)的內(nèi)容上下太大的功夫，比如行和列，有的老師說橫為行，有的老師說豎為行，還有的老師用組等名稱，對于這些，千萬不要糾纏，實際上就是一個規(guī)定，有了規(guī)定以后大家表達起來就統(tǒng)一了。建議老師，不妨在教學(xué)的開始就把這些“障礙“掃清，向?qū)W生說明為了交流方便，統(tǒng)一把這一行當成第一行……這個當成第一列……評價中更不能用這些去考學(xué)生。
三、圖形與變換
1. 平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的要素
對于這部分內(nèi)容，小學(xué)生通過操作活動直觀感受到，平移就是沿著一定的方向移動了一定的距離；旋轉(zhuǎn)就是繞一個點轉(zhuǎn)動一定的角度，我覺得對于小學(xué)生就夠了。但是作為老師，這樣還是不行的，
在圖形的變換中有一個非常重要的變換呢，就是全等變換，或者叫做合同變換。如果圖形經(jīng)過變換后與原來的圖形是重合的，也就是圖形的形狀、大小不發(fā)生變化，那么這個圖形的變換就叫做全等變換，它本質(zhì)上是兩點之間的距離不發(fā)生變化，換句話說在原來的圖形中，任意兩點的距離假設(shè)是l的話，經(jīng)過變換后的兩點之間的距離仍是l，所以全等變換是一個保距變換，保距離的一種變換，距離保持了以后，自然圖形的形狀、大小，都可以證明仍然是保持的。
全等變換有幾種方式，其實可以直觀地想一想，兩個圖形是完全一樣的，要由這個圖形運動得到那個圖形，可以通過怎樣的運動。首先可以是平移，平移到一定位置上，或者說對于三角形有一個頂點能夠重合了，這時候無非有兩種情況：一種情況是兩個三角形的三個頂點的順序是一致的，這時需要經(jīng)過旋轉(zhuǎn)兩個圖形就重合了；還有一種情況是頂點的順序相反，這時需要經(jīng)過反射（翻折）兩個圖形就重合了。上面的變換就是我們所說的平移變換、旋轉(zhuǎn)變換和反射變換，它們是三種基本的全等變換。反射變換有的老師把它叫做軸對稱變換，實際上一個圖形經(jīng)過反射變換后得到另一個圖形，這兩個圖形是成軸對稱的。
具體的什么叫平移，什么叫旋轉(zhuǎn)，什么叫反射，我們不給出數(shù)學(xué)上嚴格的定義，而是直觀地給予解釋，并指出這些變換的基本要素。
如果原圖形中任意一個點到新圖形中相對應(yīng)點的連線方向相同，長度也相等，這樣的全等變換稱為平移變換，簡稱平移。也就是說，平移的基本特征是，圖形平移前后“每一點與它對應(yīng)點之間的連線互相平行并且相等”。顯然，確定平移變換需要兩個要素：一是方向，二是距離。
 如上圖，旋轉(zhuǎn)的基本特征是圖形旋轉(zhuǎn)前后“對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，并且各組對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角都等于旋轉(zhuǎn)的角度”。顯然，確定旋轉(zhuǎn)變換需要兩個要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角(有方向)。
如果連接新圖形與原圖形中每一組對應(yīng)點的線段都和同一條直線垂直且被該直線平分，這樣的全等變換稱為反射變換。垂直平分對稱點所連線段的直線叫做對稱軸。也就是說，反射變換的基本特征是“連接任意一組對應(yīng)點的線段都被對稱軸垂直平分”。顯然，確定反射變換的關(guān)鍵在于找到對稱軸。
有關(guān)三種變換的進一步闡述見拓展資源4。
反過來再來看前頭舉過的三個例子，比如說摩天輪轉(zhuǎn)動這個例子，看起來又像平移，又像旋轉(zhuǎn)。實際上，這個例子不是一個好例子。為什么這么說呢，就是因為它過于復(fù)雜了，說不清楚的東西太多了。比如說如果把人抽象成一個點的話，似乎能夠看成繞著摩天輪中心的旋轉(zhuǎn)運動。但是，在數(shù)學(xué)中單純的討論一個點的運動沒有多大意義，實際上變換是平面上每個點都做同樣的運動。如果把人抽象成一個三角形、或者一個長方形，你又發(fā)現(xiàn)它不是一個旋轉(zhuǎn)了。有的文章是這么認為的，如果靜態(tài)地看運動前和運動后的圖形，人的運動可以看成能夠通過平移得到，但是也不能簡單的說就是一個平移，所以這個問題太復(fù)雜了，我們不建議讓學(xué)生去討論這個問題。又如，窗簾拉動這件事，也是很麻煩的。如果只看窗簾的一個邊，確實是在平移；但是要把窗簾看成一個整體，又可以把它看成一種伸縮的變化。所以這些例子都不是好的例子。在學(xué)習(xí)的開始，教師應(yīng)該鼓勵學(xué)生從具體情境中去理解三種變換，但是這時候選擇的例子要簡潔一些，并且說清楚關(guān)注的是什么。當學(xué)生有了經(jīng)驗以后，可以盡快的進入到圖形的變換的討論中。
2．學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的價值
學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的價值主要有兩方面：第一，現(xiàn)實生活中存在著大量的圖形的變換的現(xiàn)象，我們當然希望提供給學(xué)生一種數(shù)學(xué)的眼光，去認識和把握這些現(xiàn)象。第二，需要特別強調(diào)的是，變換對刻畫圖形的價值。現(xiàn)在很多幾何主要研究的就是變換下的不變量。比如小學(xué)主要接觸的是全等變換，研究的是在全等變換下不變的東西，這時我們把能夠重合的圖形看成是一樣的。
3．教學(xué)建議
(1)重視操作活動，體會變換的特征
第一個建議就是要重視操作活動來體會變換的特征。特別在這部分內(nèi)容，學(xué)生還有一些困難，比如學(xué)生在方格紙上進行平移的時候，在找平移距離的時候，不是找平移前后兩個對應(yīng)點之間的距離，而是中間空白那一段的距離。要克服這個困難呢，最重要的還是要操作。有的老師還反映，學(xué)生在旋轉(zhuǎn)過程中，對確定旋轉(zhuǎn)角度感覺很困難，我覺得也是要鼓勵學(xué)生去操作。比如，有的老師在教學(xué)中就這樣處理，甭管是什么圖形，都套在一個正方形或一個圓上，運動時等于在變換正方形和圓。
當然，操作還應(yīng)該與適當?shù)南胂笙嘟Y(jié)合。低年級可以先操作然后再去回想變換的過程，到了高年級可以先去想象，然后再去操作，然后再回想。
（2）明確教學(xué)要求
在教學(xué)時，教師還應(yīng)該明確教學(xué)要求，特別是作圖要求。這里再明確一下，首先小學(xué)階段的作圖是在方格紙上。另外，對于平移的作圖，只要求做水平方向、豎直方向的平移；對于旋轉(zhuǎn)來說，就是作圖形旋轉(zhuǎn)90度后的圖形。這些基本要求老師要把握住。
（3）從變換的角度欣賞圖形、設(shè)計圖案
學(xué)習(xí)圖形與變換內(nèi)容的一個重要目的是使學(xué)生運用數(shù)學(xué)的眼光看待現(xiàn)實世界，因此，教學(xué)中應(yīng)鼓勵學(xué)生從變換的角度欣賞圖形，設(shè)計圖案。例如，在生活中隨處可見的美麗圖案，學(xué)生在觀察這些圖案時，將發(fā)現(xiàn)其中包含的熟悉的圖形；將運用數(shù)學(xué)的眼光分析圖案的組成，如是否運用了變換；將欣賞這些各具特色的圖案，發(fā)現(xiàn)其中蘊涵的對稱美、和諧美、簡明美；將以此為啟發(fā)，發(fā)揮自己的個性和創(chuàng)造力，親自動手設(shè)計圖案以靈活運用所學(xué)知識和技能，并從中體會創(chuàng)造的樂趣與艱辛。
老師們可能會說，現(xiàn)在從一年級就開始欣賞圖案，到六年級還在欣賞圖案，有沒有什么不同呢。教師應(yīng)認識到欣賞圖案的活動的主要目的，還是發(fā)展學(xué)生的空間觀念，促使學(xué)生對圖形進一步的認識。等到學(xué)習(xí)了變換以后，學(xué)生就可以從變換的角度來欣賞圖案，分析一個基本圖形發(fā)生了怎樣的一個變換之后，形成了這么美妙的一個圖案。
(4)重視從變換角度認識圖形
首先，回到前面討論過的平行四邊形是否為軸對稱的這個話題，確實在那節(jié)課中，孩子總是覺得平行四邊形這么完滿，應(yīng)該是對稱的。實際上，平行四邊形是中心對稱的，就是沿中心旋轉(zhuǎn)180度以后能夠重合。而軸對稱呢，實際上是通過反射以后能夠重合的，所以對稱本身跟變換是不能夠分開的。這樣，我們就需要對一些基本圖形的對稱性進行梳理。比如正三角形，是軸對稱的，但不是中心對稱，但是它是另外一種旋轉(zhuǎn)對稱，就是可以旋轉(zhuǎn)120度、240度能夠重合的。所以說是否對稱，實際上就是變換以后能不能重合。平行四邊形是否為軸對稱的案例片段及基本圖形的對稱性見拓展資源5。
需要強調(diào)的是，在認識圖形的教學(xué)過程中，也要重視變換。比如有的老師在認識圓的過程中，除了讓學(xué)生去折，體會軸對稱，還鼓勵學(xué)生去旋轉(zhuǎn)。把兩個一樣大小的圓重合在一起沿圓心釘住，旋轉(zhuǎn)上面的圓，總是和下面的圓重合的，這實際上就是旋轉(zhuǎn)對稱的一個想法。圓是關(guān)于任意一個角度都是旋轉(zhuǎn)對稱的，所以圓是個最完滿的圖形，它有無數(shù)多條對稱軸，它關(guān)于任何一個角度都是旋轉(zhuǎn)對稱的。教學(xué)中不必介紹旋轉(zhuǎn)對稱、中心對稱這樣的詞，但是可以設(shè)計一些活動，使學(xué)生從運動的角度認識圖形。這個圖形是跟那個圖形不一樣，可能是在邊角上，比如說圓老師們會強調(diào)它是由曲線圍成的，還可能是在對稱性上，比如圓的廣泛的對稱性是圓的一個非常基本的特征。
再介紹一位初中教師的經(jīng)驗，我覺得對小學(xué)老師也會有啟發(fā)。初中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何困難的一個原因呢，學(xué)生找不到復(fù)雜圖形中的基本圖形。比如要證明兩個三角形全等，首先你得找到兩個三角形，尤其圖形復(fù)雜了以后，這就是個不小的困難。這位老師就特別舍得在圖形的運動上下功夫，每次接手初一的時候，總是要花兩節(jié)課，就是給學(xué)生一個基本圖形，比如三角形、長方形，鼓勵學(xué)生把這個基本圖形進行平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱，觀察運動后會得到什么樣的圖形。另外，他把以后將要出現(xiàn)的例題中的復(fù)雜圖形全都擺出來，鼓勵學(xué)生進行觀察，復(fù)雜圖形中某個圖形，可以通過哪個圖形得到，培養(yǎng)學(xué)生這種對圖形的直觀感覺。
四、圖形的測量
1. 在具體情境中，注重對所測量的量的實際意義的理解
教學(xué)中應(yīng)重視結(jié)合一些具體的情境，使學(xué)生對所要測量的量（比如周長、面積）的實際意義加以體會，這一點是非常重要的。
回顧前面討論過的學(xué)生對周長和面積的混淆，這種混淆學(xué)生光通過記公式，是解決不了了的。包括前面介紹的有關(guān)周長認識的兩節(jié)課例，我們更傾向于第一位老師的一個做法，就是為學(xué)生設(shè)計大量操作感知的活動，學(xué)生在這些活動中，對周長有了比較充分的認識，以后再進入了面積的學(xué)習(xí)之后，周長與面積的混淆可能會少一些。
進一步我們思考，為什么學(xué)生容易將周長和面積混淆，可能有如下的原因：第一，學(xué)生往往是周長和面積一起看到啊，嚴格的說是圖形的邊線和圖形的面是一起看到的。所以，有的老師在這方面做了比較好的嘗試，就是用線將圖形繞了一周之后，將線拉直，讓學(xué)生真正的看到，這條線的長度就是這個圖形的周長。第二，在一般情況下，周長和面積兩者是統(tǒng)一的，最典型的例子就是圓，圓周長大了，它的面積也大了。對于形狀不是非常特殊的長方形來說，一般情況下，也都是周長大一點，它的面積也大一點。所以學(xué)生就感覺到，兩者都差不多。第三，老師們往往非常強調(diào)公式，特別強調(diào)面積公式，是長乘寬呢，還是底乘高呢。因為周長從某種意義上沒有什么公式，就是把各邊加在一起，所以你也沒學(xué)過三角形周長公式、平行四邊形周長公式。所以，學(xué)生就對面積公式記得比較清楚，看見相鄰兩邊的數(shù)據(jù)就想作乘，所以學(xué)生就覺得所有平行四邊形的面積都是6乘10。因此，教學(xué)中不要過早的引入到計算，而應(yīng)讓學(xué)生對周長和面積有了一定認識以后再尋找公式。另外，一般教材在長正方形那個學(xué)完之后，直到圓才又一次出現(xiàn)周長。教師不妨在講中間那些平面圖形，如三角形、平行四邊形時，除了關(guān)注圖形的面積，也有意識地讓學(xué)生求一求周長，將二者加以區(qū)分。教師還可以設(shè)計一些實際問題，鼓勵學(xué)生根據(jù)實際問題及對周長和面積的理解，選擇是用周長還是用面積來解決實際問題。
2．體會度量的“含義”：要有單位，單位要統(tǒng)一，用單位去量，滿足一些性質(zhì)。
教師可以設(shè)計一些活動，使學(xué)生體會到度量的含義。實際上，度量的一個基本想法是，首先它要有一個單位，當然這個單位要統(tǒng)一；然后用單位去量，蘊涵了比的思想；在量的過程中，要滿足一定的性質(zhì)，比如經(jīng)常說的可加性：量這一段是1厘米，那一段是2厘米，加在一起就是3厘米。當然，這些想法教師不可能也不必去講，只能通過一些活動使學(xué)生加以體會。
3．體會測量單位的實際意義
學(xué)生還需要通過實際活動建立對測量單位實際意義的體驗。比如生活中哪些物體的長度大約是1米，哪些物體表面的面積大約是1平方米，哪些物體的體積大約是1立方米。
新課程以來，在這方面教師已經(jīng)做了很多有益的嘗試。這里就不贅述了。
4．重視估測
在測量的學(xué)習(xí)中，應(yīng)始終重視估測的重要性。估測有助于兒童理解測量的特征和過程，并獲得對測量單位大小的認識。學(xué)生在估測方面的能力只有通過實踐才能發(fā)展，他們將在實際問題中發(fā)展估測的策略，積累根據(jù)問題確定精確度的經(jīng)驗。
例如，學(xué)生可以嘗試用不同的方法估測教室地面的面積。他們可能會利用步測的方法估計教室的長與寬，再利用公式進行計算；可能首先估計一塊地磚的面積，再數(shù)一數(shù)一共有多少塊地磚；可能分別估計講臺、每套桌椅、空地等的面積，再將結(jié)果相加。不同策略之間的交流，將加深學(xué)生對量及其單位實際意義的理解，發(fā)展學(xué)生靈活運用知識解決實際問題的能力。
5．探索面積、體積等公式
掌握規(guī)則圖形的面積和體積公式，仍然是圖形測量內(nèi)容的重要方面，但教學(xué)不能將主要精力放在套用公式進行計算上，以至于將這部分內(nèi)容簡單地處理為計算問題。實際上，對于規(guī)則圖形面積和體積公式的探索和應(yīng)用，不僅有利于學(xué)生解決實際問題，并且對于學(xué)生認識圖形的特征和圖形間的相互關(guān)系，體會重要的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展空間觀念也是大有好處的。
回顧上面提到的圓的面積的例子，仔細分析學(xué)生們的不同想法，不難發(fā)現(xiàn)它們不僅有趣，而且都蘊涵了重要的數(shù)學(xué)思想。什么思想呢？就是老師們經(jīng)常說的一句話：現(xiàn)在進入到曲邊形的學(xué)習(xí)，在思想方法上是一個新的轉(zhuǎn)變。那么，到底是什么轉(zhuǎn)變？也就是我們怎么來處理曲線圖形的測量，無非要將它轉(zhuǎn)化為直線。但是要用直的代替曲的話，就需要細分很多段，這樣用直的代替曲的誤差就不會太大。這就是為什么教材上設(shè)計“切蛋糕”的活動，而且切了8個以后，還要再切16個，切32個，也就是極限的思想。
我們再來看學(xué)生的想法。第一個想法，無論學(xué)生用圓內(nèi)接正四邊形，還是圓外切正四邊形，都是想要用直的代替曲的，當然由于太具有挑戰(zhàn)性了，學(xué)生感到了困難。其實，教師可以引導(dǎo)這個學(xué)生思考一下剩下的這四個曲邊形像什么圖形，像不像三角形，能不能用三角形去代替它？還剩下類似三角形的能不能再用一個小的三角形來代替。如果，把所有的圓上的這些點連在一起，就是一些正多邊形，正八邊形、正十六邊形。這實際上就是劉徽的割圓術(shù)。其實，學(xué)生的想法跟教材的想法也是一致的。教材不也在割圓嗎？無非是為了讓學(xué)生更好地體會，教材把圓割成小扇形后，將這些小扇形重新進行了拼擺。利用學(xué)生的方法也能夠推導(dǎo)出圓的公式。第二個想法是畫方格。學(xué)生這種想法應(yīng)該來自于最初求面積度量的學(xué)習(xí)，就是要數(shù)面積單位的個數(shù)。這種想法應(yīng)該是最原始的，但同時也應(yīng)該是有價值的想法。如果小方格再細分，與圓的面積就會越接近。學(xué)生的這個思想，既有對面積度量的一種本質(zhì)認識，同時也提供了以直代曲的一種思想。當然這個方法，在小學(xué)階段是沒有辦法得到圓的面積公式的
綜上所述，雖然評價考試中很難考察探索過程，但是除了考試，還有更重要的。比如在以上過程中數(shù)學(xué)思想的蘊伏，比如探索的精神和探索的意識，這些對學(xué)生的一生都是非常有幫助的。（《圓的面積》的教學(xué)思考和教學(xué)設(shè)計見拓展資源6和拓展資源7）。
五、空間觀念
最后呢，我們從整體結(jié)構(gòu)上來對空間與圖形進行思考。新課程強調(diào)從多種角度來認識圖形，認識空間，也就是幾何絕對不等同于有關(guān)圖形的計算，它是對空間和圖形的刻畫和把握。如果要刻畫一個圖形，需要刻畫它的特征，所以要學(xué)習(xí)圖形的認識；需要刻畫它的大小，所以要學(xué)習(xí)圖形的測量；需要刻畫它的位置，這個正方形跟那個正方形形狀和大小是一樣的，但是一個在這個地方，另一個在那個地方，那就要刻畫它們的位置，所以要學(xué)習(xí)圖形與位置；需要刻畫它的運動，所以要學(xué)習(xí)圖形的變換。進一步，這些刻畫圖形的不同角度，在幾何學(xué)中都是有很大的發(fā)展的，包括坐標幾何學(xué)，包括變換。結(jié)構(gòu)的變化不是對過去課程的一個簡單否定，而是在過去的基礎(chǔ)上，使得學(xué)生能夠從多種角度，多元多維地來認識圖形，這點在小學(xué)階段是非常重要的。
1．空間觀念的體現(xiàn)
對于什么是空間觀念，空間觀念體現(xiàn)在哪些方面，首先，我們還是看看不同人的看法。
孫曉天：小學(xué)數(shù)學(xué)提出空間觀念這樣一個概念，具有創(chuàng)新意義，是有相當大的積極意義。為什么這么說呢？小學(xué)的空間觀念著眼的是空間，我想它主要是解決了兩個問題。一個是怎么把握空間。這空間觀念說白了就是三維和二維空間之間的相互關(guān)系，你的這個把握能力怎么樣。在小學(xué)幾何里面，無論是哪一套教材都體現(xiàn)的比較充分，類似于由展開圖去想象它的實際圖形，這個實際圖形和它的展開圖進行對位，以及通過描述所做的一些判斷，像類似這樣的題材在教材里非常多，我覺得這個都是幫助學(xué)生建立空間觀念的教學(xué)內(nèi)容。另外一個是空間推理。小學(xué)幾何我覺得第一次有了推理，而這個推理呢又不是邏輯推理，這個是跟想象、跟直觀、跟空間想象有關(guān)的推理。像類似這樣的內(nèi)容呢，在我們教材里面處理的也都是比較豐富的。這部分內(nèi)容的教育價值，我想不用多說，這個無論是從教師培訓(xùn)哪，還是從專家講座里啊，其實都說的很清楚了，就是空間觀念對位于創(chuàng)新意識的形成。
王尚志：我們不能忽視另外一個方面，那么就是幾何是通過圖形的方式展示出來的，它不僅幫助我們?nèi)チ私鈭D形的性質(zhì)和圖形性質(zhì)之間的邏輯關(guān)系，還幫助我們建立起一種幾何直觀，即用圖來說話。我想希爾伯特在他一本非常重要的書《幾何直觀》里非常清晰的描述，幾何學(xué)的這方面的一個基本定位，就是要培養(yǎng)學(xué)生會用圖形來描述問題，來刻畫問題。那么幫助學(xué)生學(xué)會通過圖形，來發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，幫助學(xué)生能夠用圖形來描述我們得到的結(jié)果，我想這些絕對在數(shù)學(xué)中是非常重要的。我還希望強調(diào)的是，這樣一種幾何直觀的能力，不僅在幾何學(xué)中是重要的，在我們算術(shù)的學(xué)習(xí)中，在代數(shù)的學(xué)習(xí)中，在其他任何一個數(shù)學(xué)分支的學(xué)習(xí)和研究中，都是很重要的。
周玉仁：空間觀念可以看成物體和圖形的形狀、大小、位置、關(guān)系等在人腦中的表象。在課程標準中，對空間觀念也進行了刻畫。標準中提到，空間觀念主要表現(xiàn)在：
能由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化；
能根據(jù)條件做出立體模型或畫出圖形；
能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本圖形；
能描述實物或幾何圖形的運動和變化；
能采用適當?shù)姆绞矫枋鑫矬w間的位置關(guān)系；
能運用圖形形象地描述問題，利用直觀來進行思考。
具體分析，有這么幾個角度：第一，就是轉(zhuǎn)化，這個轉(zhuǎn)化既包括二維和三維的轉(zhuǎn)化，也包括現(xiàn)實生活與抽象圖形之間的轉(zhuǎn)化過程。孫曉天老師特別強調(diào)了二維和三維空間的轉(zhuǎn)化，是發(fā)展學(xué)生空間觀念的一個非常好的途徑。
對于二維和三維空間的轉(zhuǎn)化，標準專門設(shè)置了視圖與投影的內(nèi)容。這部分內(nèi)容的主要目的是通過觀察、操作、想象、推理等活動，實現(xiàn)基本幾何體與其三視圖與展開圖的相互轉(zhuǎn)化：即當我們面對一個幾何體或?qū)嵨飼r，能想象出它所對應(yīng)的平面圖形（如三視圖、展開圖）；反過來，當我們看到某個三視圖、展開圖時，能想象出它所對應(yīng)的幾何體或?qū)嵨锏男螤睢４藭r，我們就可以理解，為什么要設(shè)計觀察物體這樣的活動了。有的老師可能會說，小學(xué)三視圖的畫法跟數(shù)學(xué)中三視圖畫法是不一樣的，確實是有些差別。但我覺得在小學(xué)階段，只要為學(xué)生奠定豐富的經(jīng)驗，沒有本質(zhì)上的錯誤就可以了。有的老師還說，明明從側(cè)面看它是凹凸不平的，看的感覺是立體的東西，為什么要畫成平面的。從數(shù)學(xué)上講，視圖實際上是平行投影，就相當于一束平行光線照在物體上后投射在墻上的影子。有的教材還出現(xiàn)了視角，那就相當一個點光源照在物體上。在教學(xué)上，教師可以利用投影儀，在投影儀上一看就是一個平面的。
第二，就是制作，或者畫出來。有了圖形以后，怎么去把它表達出來，無論是制作模型還是畫出來。第三，就是分析。從復(fù)雜圖形中去分解基本圖形，在分析的過程中去體會圖形的特征。第四，就是想象。既包括描述和想象物體或圖形的運動變化，也包括描述或想象物體或圖形的位置關(guān)系。第五，特別重要的一條，也是王尚志老師特別強調(diào)的一條，就是圖形直觀的作用。
2．發(fā)展空間觀念的價值
發(fā)展學(xué)生的空間觀念，主要有兩方面的價值：一方面，就是生活中解決問題的需要。在生活中、在所從事的職業(yè)中，可能真的需要有一定的空間觀念。這就使人想起了前面采訪的一位生物學(xué)研究者，他就提到了兩維和三維的轉(zhuǎn)化在他工作中的重要作用。另一方面，就是圖和幾何直觀的作用。像王尚志老師提到的，用圖來啟發(fā)創(chuàng)造，啟發(fā)思考。記得一位財會人員開始想象不到圖形和空間觀念在工作中有什么用，后來他也提到用圖可以將幾部分的關(guān)系直觀地表示出來，實際上也說明了幾何直觀的價值。
我們再看看國際上一些偉大的數(shù)學(xué)教育家、數(shù)學(xué)家，他們的看法：
弗賴登塔爾：幾何就是把握空間……那是兒童生活、呼吸和運動的空間。為了更好地在這個空間里生活、呼吸和運動，兒童必須學(xué)習(xí)了解、探究和征服空間。
陳省身：幾何學(xué)將是21世紀數(shù)學(xué)研究的前沿陣地之一。
姜伯駒：幾何學(xué)正在迎來一個新的高潮。
阿蒂亞：幾何是數(shù)學(xué)中這樣的一個部分，其中視覺思維占主導(dǎo)地位。……幾何直覺仍是增進數(shù)學(xué)理解力的很有效的途徑，而且它可以使人增加勇氣，提高修養(yǎng)。
龐加萊：我們是通過邏輯去證明，但我們是通過直觀去創(chuàng)造。
3．培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念
（1）為學(xué)生提供多種素材
空間觀念的培養(yǎng)，絕對不能僅僅依靠長方形、正方形等所謂的基本圖形，它就需要教師提供多種的素材和多樣的活動。素材中有二維的，還有三維的；圖形中有直的，還有曲邊形；對圖形既可以包括測量上的把握時，也包括一些特征的把握，也包括我們所說的變換上的把握，坐標上的把握，也包括像莫比烏斯帶那樣拓撲性質(zhì)的把握。當然，并不是說教學(xué)中要講這些名詞，關(guān)鍵是設(shè)計豐富的活動鼓勵學(xué)生去體會，從而建立經(jīng)驗。換句話說你把這門打開了，他就有可能發(fā)展，如果你這門永遠打不開，或打的很窄，學(xué)生發(fā)展的空間就很小。
（2）要重視觀察、操作、想象、推理、表達的結(jié)合
我想這一點是非常重要的。空間觀念絕對不是多摸摸就能培養(yǎng)出來的，還要鼓勵學(xué)生思考為什么要去摸？什么東西要有意識要多摸一些？也就是除了操作，還有觀察、想象、推理、表達，它們之間的結(jié)合無疑是非常重要的。
（3）根據(jù)學(xué)生實際發(fā)展空間觀念
根據(jù)學(xué)生的實際來發(fā)展空間觀念，這里既包括從學(xué)生熟悉的事物入手，還包括老師們一定要重視幫助學(xué)生克服困難。比如，前面有的老師提到了側(cè)面觀察學(xué)生比較困難，確實有一位北京的老師，她做了一個她班學(xué)生大面積的調(diào)研，發(fā)現(xiàn)學(xué)生正面觀察沒有太大問題，側(cè)面觀察問題比較大。進一步，她反思了自己的教學(xué)，發(fā)現(xiàn)一節(jié)課就是讓學(xué)生正面看完、側(cè)面看，花的時間挺多，學(xué)生也特忙，但是仍然這個困難沒解決。后來，他又堅持思考怎么來幫助學(xué)生克服側(cè)面觀察的難題，想出了一些辦法。第一，他發(fā)現(xiàn)學(xué)生為什么側(cè)面觀察比較困難呢？一個原因是，一般咱們上課給學(xué)生觀察的物體都比較小，而學(xué)生又不太懂得什么叫做正對著一個面去觀察，結(jié)果學(xué)生一觀察三個面他全看到了，所以就影響了他的判斷。后來，這位老師就有一個措施，就是從觀察大的物體開始。他們班的教室里面有一個大柜子，他就組織學(xué)生去觀察，從正面看。再從側(cè)面看。學(xué)生再到一定年齡的時候，她就指導(dǎo)學(xué)生去觀察小的物體了。第二，學(xué)生不會利用明顯因素。他就鼓勵學(xué)生帶著思考去觀察，先猜一猜有些不明顯特征與明顯特征的位置關(guān)系，再去觀察、驗證，然后再調(diào)整。當然，這位老師還有意識的在側(cè)面觀察中加大了時間。所以，無論如何觀察都是一種有目的，有計劃的，有思維參與的一種活動，不是簡單的看一看的活動。（《如何有效地培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力》一文見拓展資源8）。
（4）圖形的認識、圖形的變換、圖形的位置、圖形的測量對培養(yǎng)學(xué)生空間觀念都有著重要價值，應(yīng)將四部分有機結(jié)合
不要把空間觀念的發(fā)展孤立起來，有的老師認為好像只是觀察物體等特定內(nèi)容在培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。實際上，圖形的認識、圖形與變換、圖形與位置、圖形的測量，都對培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念有著重要的價值，在教學(xué)中應(yīng)該進行有機整合。比如，我們可以把圖形與變換與圖形的認識結(jié)合在一起。
（5）要把握幾何學(xué)習(xí)的階段發(fā)展，明確小學(xué)階段的學(xué)習(xí)任務(wù)，主要是直觀上、整體上認識圖形和空間，多裝一些具體的東西在學(xué)生頭腦中。
（6）要時刻把握幾何直觀的培養(yǎng)，要有圖形意識
圖形的意識、幾何直觀的培養(yǎng)，不僅僅是在幾何教學(xué)中，在其他內(nèi)容的教學(xué)中，也應(yīng)是重要的任務(wù)。比如在數(shù)的學(xué)習(xí)中，王尚志老師特別強調(diào)了兩個模型，一個是數(shù)直線（數(shù)軸），一個是方格。講加減法的時候就可以利用數(shù)軸，加法就是順著數(shù)軸的正方向數(shù)，減法就是順著數(shù)軸的反方向數(shù)。又如，統(tǒng)計中的統(tǒng)計圖，數(shù)據(jù)的變化用文字描述了半天也不一定清楚，畫個圖它就非常的直觀。再如，現(xiàn)在小學(xué)都比較重視滲透一些變化的內(nèi)容，類似正比例、反比例等，如果結(jié)合圖來認識變化，就非常有助于學(xué)生理解。
最后，對評價考試做一個簡單的回應(yīng)。對于老師來說，上好一節(jié)課是非常重要的，創(chuàng)造一些好的題目和好的評價形式也是非常重要的，所以在這里呼吁大家共同努力。除了前面介紹的幾個題目以外，下面的題目也是我們收集的來自老師們的一些題目，供大家參考。
說出你能想到的關(guān)于下圖中兩個圖形之間相同和不同的地方。
 這個題目實際上考察了一個綜合把握圖形的能力。如果從特征的角度來說，這兩個圖形沒有什么不同；如果從變換的角度來說，在旋轉(zhuǎn)變換下，這兩個圖形可以看成是完全相同的，換句話說能夠通過旋轉(zhuǎn)，由一個圖形得到另一個圖形。那么不同的地方呢，顯然就是它們在空間中的位置是不一樣的。如果再把這個題目變一變，兩個圖形的大小可以不一樣，就是將測量也用在其中。
如圖，向同學(xué)交流”箏形“的特征。
 這個題目實際上考察的是對圖形特征的概括和描述。有的學(xué)生可能發(fā)現(xiàn)兩個鄰邊分別相等，它是一個軸對稱的圖形。有的同學(xué)想到要與正方形區(qū)分，因此進一步說明它的四條邊不相等。有的同學(xué)可能會描述道，只要畫一個一般的三角形，將這個三角形沿一條邊反射，就能得到一個“箏形”。
將一張紙對折兩次，然后剪下來如圖所示的圖形，請畫出將其完全展開后圖形。
 這道題是TIMSS國際測試中的題目。它既是對軸對稱的一種考察，也是對空間觀念的一個考察。
 這道題挺有意思的，它將度量、維數(shù)和空間觀念結(jié)合在一起了。
這一專題的研討馬上要結(jié)束了，我們提出了的想法和建議確實是經(jīng)過思考的，但也并不是完全的成熟，只是希望能拋磚引玉，引來您更好的思考。同時，這次研討，你們的想法對我們的啟發(fā)也是非常大的。我想我們的目標，就是共同發(fā)現(xiàn)問題，共同尋找經(jīng)驗，共同克服困難，最終使我們的學(xué)生在空間與圖形這個領(lǐng)域中能夠得到盡可能多的受益。
參考文獻：
[1]改編自《美國學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評價標準》第133頁，全美數(shù)學(xué)教師理事會著，人民教育出版社譯，人民教育出版社，1994。
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