無窮是一個永恒的迷

　 自古希臘時期以來，無窮的概念就引起了哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家的注意，但它的看來是矛盾的性質(zhì)使得對它的理解進(jìn)展十分緩慢。數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯(BC580--BC497)最早用他的著名定理發(fā)現(xiàn)了新型數(shù)——無理數(shù)，或者說某些長度的不可通約性，但為了避免直線無限可分中討厭的無窮概念，而將這一偉大發(fā)現(xiàn)密而不宣。

　　愛利亞學(xué)派的芝諾(BC490--BC430)第一個研究了運動中存在的無窮悖論，他在“二分法”悖論和“阿基里斯”悖論中，以人們對無窮理解的困難批駁直線的無限可分性，進(jìn)而巧妙地證明了運動的不可能性這一明顯不符合客觀事實的結(jié)論。這些悖論從另一方面引起了人們的興趣和注意，加深了人們對運動和無窮概念的理解。

　　柏拉圖學(xué)園的數(shù)學(xué)家歐多克斯(BC408--BC355)為了避免了無窮小的困難，提出用窮竭法求面積，并用以他命名的原理來代替無窮的極限理論，從另一方面給出實現(xiàn)極限過程的方法。亞力山大里亞學(xué)派的大數(shù)學(xué)家歐幾里德在他著名的《幾何原本》第十卷中也系統(tǒng)地提出了此方法以避免無窮小的困難。

　　大哲學(xué)家亞里士多德(BC384--BC322)考慮過無窮的問題，但他從不承認(rèn)一個無窮的集合可以作為一個固定的整體存在，對他來說，這樣的集合只是潛在無窮。

　　一直被認(rèn)為是古代最偉大的科學(xué)家阿基米德(BC287--BC212)也用歸謬法去避免無限小量的概念，盡管他預(yù)見了極微分割的概念。

　　物理學(xué)家伽利略(1564--1642)也與無窮集合做過斗爭，并認(rèn)為它們不可理喻而放棄了。在《兩門新科學(xué)》中他注意到兩個不等長的線段AB與CD上的點可以構(gòu)成一一對應(yīng)，從而可以想象它們含有同樣多的點。他又注意到正整數(shù)可以和它們的平方構(gòu)成一一對應(yīng)，只要把每一個正整數(shù)和它的平方對應(yīng)起來就行了，但這導(dǎo)致無窮大的不同“數(shù)量級”，伽利略認(rèn)為這是不可能的，并認(rèn)為所有無窮大量都一樣，不能比較大小。

　　天文學(xué)家開普勒(1571--1630)在《新測定酒桶體積法》一書中曾引入無窮大與無窮小的概念，以代替窮竭法。盡管人們對這些觀點感到頭痛，然而由于開普勒用日常的語言引入這些觀念，使得它們可以為大家所接受。開普勒采用這些觀點得出了一些前人很難得到的結(jié)果，盡管他的觀點中缺少關(guān)于極限的明確概念，也缺少有效的求和方法。

　　卡佛來利(1598--1647)進(jìn)一步發(fā)展了開普勒的方法，在《新發(fā)展的極微分割幾何》一書的第二部分中，他假定一條線可以看成是無數(shù)點的集合。這本著作盡管有缺點，但還是鼓舞了許多科學(xué)家，使他們能以比較客觀的態(tài)度對待無窮小量的概念，并導(dǎo)致人們開始以更抽象的方式來研究無窮小的問題。

   羅伯佛爾(1600--1675)和帕斯卡(1623--1662)擺脫了卡佛來利的缺點，認(rèn)為一條線不是由點構(gòu)成，而是由無數(shù)根短線構(gòu)成。英國的約翰·華里斯(1616--1703)在《無窮算術(shù)》一書中采用了無窮小量的學(xué)說。

　　無窮小量的研究鼓舞了許多數(shù)學(xué)家去研究圖形求面積的問題。例如，法國的數(shù)學(xué)家費爾瑪(1601--1665)發(fā)現(xiàn)了幾種求積方法，由于考慮無窮小量他得出了確定函數(shù)極大值與極小值的方法，此方法相當(dāng)于令函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，這是無窮小量有效應(yīng)用的一個范例。

　　費爾瑪和笛卡兒(1596--1650)發(fā)明的解析幾何加速了對無窮小量應(yīng)用的研究，進(jìn)而也加速了微積分的成熟，人們已開始用無窮小量來作曲線的切線，這些人有費爾瑪、笛卡兒和巴羅，甚至有人認(rèn)為巴羅是無窮小量分析的第一個發(fā)明人，但只有牛頓使無窮小的分析達(dá)到登峰造極的地步，最終發(fā)明了分析的工具——微積分。

　　牛頓(1642--1727)在《流數(shù)術(shù)》一書中改變了變量是由無窮小元素組成的看法，而是從運動學(xué)的觀點來研究問題，這也許是運動中無窮小分析的起源。他說：“這里，流數(shù)術(shù)賴以建立的主要原理，乃是源自理論力學(xué)中的一個非常簡單的原理。這就是數(shù)學(xué)量，特別是外延量，都可以看作是由連續(xù)軌道運動產(chǎn)生的，而且所有不管什么量，都可以認(rèn)為是在同樣方式下產(chǎn)生的，至少經(jīng)過類比和調(diào)整之后可以如此。因此，在產(chǎn)生這些具有固定的可確定的關(guān)系的量時，其相對速度會有所增減，因而如何去求它們也就可以作為一個問題提出。這里，本人是據(jù)另一個同樣清楚的原理來解決這個問題的，這就是假定一個量可以無限分割，或者可以（至少在理論上說）使之連續(xù)減小，直至它完全消失，達(dá)到了可以稱之為零量的程度，或者說它們是無限的小，比任何一個指定的量都小。”這里，牛頓認(rèn)為線的畫出是由于點的連續(xù)運動，他把一個產(chǎn)生中的量稱之為流量，其生長率叫流量的流數(shù)，一個無限小的時間間隔叫瞬，在這無限小時間間隔內(nèi)流量增加的無窮小部分叫流量的瞬。于是牛頓成功地建立起無窮小的分析數(shù)學(xué)——微積分。

　　盡管牛頓利用無窮小建立了他的新理論，他卻從未對此心安理得。他曾在一本著作《曲線求積法》中試圖消除所有關(guān)于無窮小的痕跡，從而建立起他的沒有無窮小的微積分。正如他寫道：“現(xiàn)在照這樣用有限量來制定一種分析學(xué)，并研究這些有限量在新生成漸近于零的情況下的基本比和最終比，是與古代的幾何學(xué)一致的……我還樂意指出，在流數(shù)術(shù)中沒有必要把無窮小的數(shù)學(xué)引入幾何學(xué)中來。”但他又寫道：“有人反對說，趨近于零的量的最終比是不存在的，因為在這些量還沒有趨近于零的時候，比值并不是最終的；而當(dāng)它們等于零的時候，又什么都沒有了。……但回答是不難的……，這里有一個極限，它是在運動終了時所能達(dá)到但不能超越的速度。”這說明他已經(jīng)注意到無窮極限的概念，但牛頓不能明確定義他的比，他并沒有把他的微積分建立在穩(wěn)固的基礎(chǔ)上。

　　當(dāng)然，與牛頓同時代的萊布尼茲(1646--1716)獨立地發(fā)現(xiàn)了微積分理論，并且他又是現(xiàn)代微積分通用符號的創(chuàng)始者，但是他和牛頓一樣對他理論中的無窮小量解釋不清，甚至比牛頓更不注意嚴(yán)格的邏輯性和嚴(yán)密性。牛頓和萊布尼茲誰也沒有把無窮小這個基本概念弄明白，即怎樣越過從有限到無窮小量的鴻溝。另外，盡管萊布尼茲經(jīng)常否定絕對無窮，但在一些場合卻指出實無窮和絕對無窮的重要區(qū)別，這給后來的康托以極大的啟示。

　　第一個試圖給予微積分中的無窮小分析以嚴(yán)密性的是十八世紀(jì)第一流的數(shù)學(xué)家拉格朗日(1736--1813)，他拋棄了牛頓的極限說，而從泰勒的定理出發(fā)，決定只用代數(shù)方法，但由于對級數(shù)的收斂性注意不夠，他的探索沒有成功。

　　波爾查諾(1781--1848)第一個把f(x)的導(dǎo)數(shù)定義為當(dāng)Δx經(jīng)由負(fù)值和正值趨于零時，比[f(x+Δx)-f(x)]/Δx無限接近地趨向的量f'(x)，他強調(diào)f'(x)不是兩個零之商，也不是兩個消失的量的比，而是前面指出的比所趨近的一個數(shù)。波爾查諾在他的《無窮悖論》一書中顯示了他是第一個采取積極步驟的人，他維護(hù)了實無窮集合的存在，并且強調(diào)了兩個集合等價的概念，這就是后來叫做兩個集合元素之間的一一對應(yīng)關(guān)系，這個等價的概念適用于有限集合，也適用于無限集合。他注意到無窮集合中部分或子集可以等價于整體的情況，并且堅持這個事實必須接受，對于無窮集合同樣可以指定一個數(shù)叫超限數(shù)，使不同的無窮集合有不同的超限數(shù)，但他認(rèn)為對于超限數(shù)無需計算，所以不用深入研究它們。波爾查諾對于無窮的研究，其哲學(xué)意義比數(shù)學(xué)意義更多，雖然他沒有充分弄清后來稱之為集合的勢或基數(shù)的概念，但他給后來康托的超窮集合論奠定了基礎(chǔ)。

　　康托(1845--1918)于二十九歲時在《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了關(guān)于無窮集合理論的第一篇革命性文章，他稱集合為一些確定的不同東西的總體，這些東西人們能意識到，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個總體。他說，那些認(rèn)為只有潛無窮集合的人是錯的，并且駁斥了數(shù)學(xué)家們和哲學(xué)家們反對實無窮集合的早期論點。對康托來說，如果一個集合能和它的部分構(gòu)成一一對應(yīng)，它就是無窮的，他說：“正象每個特例所表明的那樣，我們可以從更一般的角度引出這樣的結(jié)論：所有反對實無窮可能性的所謂證明都是站不住腳的，他們一開始就期望無窮數(shù)具有有窮數(shù)的所有特性，或者甚至把有窮數(shù)的性質(zhì)強加到無窮數(shù)上。與此相反，如果我們能以任何方式理解無窮數(shù)的話，倒是由于它們構(gòu)成了全新的一個數(shù)類，它們的性質(zhì)完全依賴于事物本身的性質(zhì)，這是研究的對象，而并不從屬于我們的主觀臆想和偏見。”

　　康托認(rèn)為必須不含任何武斷和偏見地去研究實無窮，他確信用抽象的數(shù)學(xué)語言及具體的物理語言所表明的物質(zhì)的性質(zhì)都確證了超窮數(shù)的存在性。在他看來，正象有窮數(shù)借助有窮多個對象的真實集合獲得了客觀存在性一樣，對超窮數(shù)也可以引出同樣的結(jié)論，因為它們也是從無窮多個對象的真實集合中抽象出來的，具體地說，超窮數(shù)的實在性在物理世界中的物質(zhì)、空間及具體對象的無窮性中有著自然的反映，從而我們應(yīng)該肯定超窮數(shù)的客觀實在性?？低羞€從另一個角度論證超窮數(shù)的客觀存在性，利用有窮主義承認(rèn)的論斷“對任意大數(shù)N，都存在一個數(shù)n>N"，他指出，這實際上就假設(shè)了所有這樣的n的存在，它們構(gòu)成了可稱之為超窮的一個完成了的總體。

　　康托后來把超窮數(shù)看成是借助于抽象從實無窮集合的存在中自然地產(chǎn)生出來的，他指出，超窮數(shù)與有窮無理數(shù)是同舟共濟的，兩者的基本性質(zhì)是相似的，因為前者和后者一樣也是實無窮的確定表達(dá)形式。但是，由于康托強調(diào)新數(shù)內(nèi)在的和觀念上的相容性這一形式主義觀點，他明確地表達(dá)了對無窮小理論的反對，因為他認(rèn)為小于任意小的有窮數(shù)的非線性零數(shù)是不存在的。

　　總之，康托認(rèn)為無論就有窮數(shù)和無窮數(shù)而言，在本質(zhì)上都可以從兩種角度去進(jìn)行分析：一是所謂的內(nèi)在的真實性，或固有的真實性，即是指在思想中可明確定義，從而與思維的其他成分可明確區(qū)分的真實性；二是所謂的外部的真實性，即是指其在物理世界的對象中和過程中的具體體現(xiàn)。

　　康托提出他的超窮集合論后，許多人都提出了不同的反對意見，而且他自己也發(fā)現(xiàn)了他建立的超窮集合論中所出現(xiàn)的令人不愉快的悖論，這一切都導(dǎo)致了二十世紀(jì)初期關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的深入研究和理解。人們以各自不同的方法來避免或解決這些討厭的困難，而困難的根源又正是在于無窮集合和無限過程中所用到的無窮。于是在數(shù)學(xué)家中分化出幾大派別，以Zermelo為首的公理化學(xué)派認(rèn)為公理化可以澄清悖論；以Frege、Russell和Whitehead為首的邏輯派認(rèn)為數(shù)學(xué)可以從邏輯推導(dǎo)出來；以Kronecker、Brouwer為首的直觀派更相信直觀和構(gòu)造性的證明；以Hilbert為首的形式派主張邏輯必須和數(shù)學(xué)同時加以研究，數(shù)學(xué)本身就是一堆形式系統(tǒng)，數(shù)學(xué)中研究的對象就是符號本身，符號就是本質(zhì)，它們并不代表理想的物理對象。這些學(xué)派對無窮的看法是不同的，公理化學(xué)派承認(rèn)無窮集合的存在，并且提出了著名的引起廣泛爭議的選擇公理。不久，哥德爾的不完全性定理產(chǎn)生了新的實質(zhì)性進(jìn)展，此定理的一個含義是不僅數(shù)學(xué)的全部，甚至是任何一個有意義的分支也不能用一個公理系統(tǒng)概括起來，因為任何這樣的公理系統(tǒng)都是不完備的。可以說哥德爾的結(jié)果給了公理化方法一個致命的打擊，因為他指出了公理化方法令人震驚的缺陷。

　　羅賓遜(Robinson)于二十世紀(jì)六十年代提出了一種稱為非標(biāo)準(zhǔn)分析的理論，在這一理論中無窮小被定義為一個數(shù)[注]，它大于零，小于任何正數(shù)。盡管羅賓遜的理論沒有得到更多新的結(jié)果，但它無疑加深了我們對無窮小的認(rèn)識。

　　關(guān)于無窮人們還一直在探索，這些探索將大大加深我們對無窮的理解，也將加深我們對運動本身的理解。

　　[注]     泊松(1781--1840)在此之前已提出小于任何給定的無論多小的正數(shù)的非零正數(shù)是存在的。