關于函數解釋

百度關于函數解釋一：

函數
在數學領域，函數是一種關系，這種關系使一個集合里的每一個元素對應到另一個（可能相同的）集合里的唯一元素
（這只是一元函數f（x）＝y的情況，請按英文原文把普遍定義給出，謝謝）。
----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.
應變量，函數一個與他量有關聯的變量，這一量中的任何一值都能在他量中找到對應的固定值。
----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.
函數兩組元素一一對應的規則，第一組中的每個元素在第二組中只有唯一的對應量。

函數的概念對于數學和數量學的每一個分支來說都是最基礎的。

函數概念的發展
1.早期函數概念——幾何觀念下的函數
十七世紀伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《兩門新科學》一書中，幾乎全部包含函數或稱為變量關系的這一概念，用文字和比例的語言表達函數的關系。1673年前后笛卡爾(Descartes，法，1596－1650)在他的解析幾何中，已注意到一個變量對另一個變量的依賴關系，但因當時尚未意識到要提煉函數概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函數的一般意義，大部分函數是被當作曲線來研究的。
1673年，萊布尼茲首次使用“function” （函數）表示“冪”，后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用 “流量”來表示變量間的關系。

2.十八世紀函數概念——代數觀念下的函數
1718年約翰•貝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667－1748)在萊布尼茲函數概念的基礎上對函數概念進行了定義：“由任一變量和常數的任一形式所構成的量。”他的意思是凡變量x和常量構成的式子都叫做x的函數，并強調函數要用公式來表示。
1755，歐拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函數定義為“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數。”
18世紀中葉歐拉(L．Euler，瑞，1707－1783)給出了定義：“一個變量的函數是由這個變量和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式。”他把約翰•貝努利給出的函數定義稱為解析函數，并進一步把它區分為代數函數和超越函數，還考慮了“隨意函數”。不難看出，歐拉給出的函數定義比約翰•貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。

3.十九世紀函數概念——對應關系下的函數
1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 從定義變量起給出了定義：“在某些變數間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變量，其他各變數叫做函數。”同時指出對函數來說不一定要有解析表達式。不過他仍然認為函數關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限。
1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859) 突破了這一局限，認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他拓廣了函數概念，指出：“對于在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那么y叫做x的函數。”這個定義避免了函數定義中對依賴關系的描述，以清晰的方式被所有數學家接受。這就是人們常說的經典函數定義。
等到康托(Cantor，德，1845－1918)創立的集合論在數學中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數定義，通過集合概念把函數的對應關系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了“變量是數”的極限，變量可以是數，也可以是其它對象。

4.現代函數概念——集合論下的函數
1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合論綱要》中用不明確的概念“序偶”來定義函數，其避開了意義不明確的“變量”、“對應”概念。庫拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來定義“序偶”使豪斯道夫的定義很嚴謹了。
1930 年新的現代函數定義為“若對集合M的任意元素x，總有集合Ｎ確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。”


術語函數，映射，對應，變換通常都有同一個意思。
但函數只表示數與數之間的對應關系，映射還可表示點與點之間，圖形之間等的對應關系。可以說函數包含于映射。

百度關于函數解釋二：

什么叫函數？

在數學領域，函數是一種關系，這種關系使一個集合里的每一個元素對應到另一個（可能相同的）集合里的唯一元素。
  ----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.
  自變量，函數一個與他量有關聯的變量，這一量中的任何一值都能在他量中找到對應的固定值。
  ----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.
  函數兩組元素一一對應的規則，第一組中的每個元素在第二組中只有唯一的對應量。
  函數的概念對于數學和數量學的每一個分支來說都是最基礎的。
  ～‖函數的定義： 設x和y是兩個變量，D是實數集的某個子集，若對于D中的每個值x，變量y按照一定的法則有一個確定的值y與之對應，稱變量y為變量x的函數，記作 y=f(x).
  數集D稱為函數的定義域，由函數對應法則或實際問題的要求來確定。相應的函數值的全體稱為函數的值域，對應法則和定義域是函數的兩個要素。
  functions
  數學中的一種對應關系，是從非空集合A到實數集B的對應。簡單地說，甲隨著乙變，甲就是乙的函數 。精確地說，設X是一個非空集合，Y是非空數集 ，f是個對應法則 ， 若對X中的每個x，按對應法則f，使Y中存在唯一的一個元素y與之對應 ， 就稱對應法則f是X上的一個函數，記作y＝f（x），稱X為函數f（x）的定義域，集合{y|y=f（x），x∈X}為其值域（值域是Y的子集），x叫做自變量，y叫做因變量，習慣上也說y是x的函數。
  若先定義映射的概念，可以簡單定義函數為：定義在非空數集之間的映射稱為函數。
  例1：y＝sinx X＝〔0，2π〕，Y＝〔－1，1〕 ，它給出了一個函數關系。當然 ，把Y改為Y1＝（a，b） ，a＜b為任意實數，仍然是一個函數關系。
  其深度y與一岸邊點 O到測量點的距離 x 之間的對應關系呈曲線，這代表一個函數，定義域為〔0，b〕。以上3例展示了函數的三種表示法：公式法 ， 表格法和圖 像法。
  一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量X與Y，并且對于X的每一個確定的值，Y都有為一得值與其對應，那么我們就說X是自變量，Y是X的函數。如果當X=A時Y=B，那么B叫做當自變量的值為A時的函數值。
  復合函數<IMG src="http://t10.baidu.com/it/u=937021061,4081051841&fm=0&gp=28.jpg" name=pn0>
  有3個變量，y是u的函數，y＝ψ（u），u是x的函數，u＝f（x），往往能形成鏈：y通過中間變量u構成了x的函數：
  x→u→y，這要看定義域：設ψ的定義域為U 。 f的值域為U，當U*ÍU時，稱f與ψ 構成一個復合函數 ， 例如 y＝lgsinx，x∈（0，π）。此時sinx＞0 ，lgsinx有意義 。但如若規定x∈（－π，0），此時sinx＜0 ，lgsinx無意義 ，就成不了復合函數。