三角教學(xué)

關(guān)于“三角函數(shù)”的教學(xué)思考

東莞中學(xué)   陳楚云

新一輪課程改革的基本目標(biāo)是：改革以知識(shí)的積累為取向的課程體系，建立以構(gòu)建學(xué)生身心全面發(fā)展為目標(biāo)的課程體系，具體表現(xiàn)為三個(gè)轉(zhuǎn)變，即從增減知識(shí)點(diǎn)的逐步調(diào)整轉(zhuǎn)變?yōu)橹R(shí)的重新組合，注重能力、情感、態(tài)度和方法的培養(yǎng)，從以知識(shí)的傳授、繼承為教學(xué)重點(diǎn)，轉(zhuǎn)變?yōu)橐詣?chuàng)新能力、實(shí)踐能力的培養(yǎng)為教學(xué)重點(diǎn)，從完成性的評(píng)價(jià)方式轉(zhuǎn)變?yōu)樽⒅剡^(guò)程性、發(fā)展性的評(píng)價(jià)方式。感受、學(xué)習(xí)、研究、領(lǐng)會(huì)課程改革的新理念、新教材、新教法，是教學(xué)工作的需要，也是時(shí)代的要求。下面結(jié)合本人的教學(xué)實(shí)踐談?wù)剬?duì)三角函數(shù)教學(xué)的認(rèn)識(shí)和體會(huì)。

一、三角函數(shù)的地位和作用

三角函數(shù)知識(shí)的發(fā)展最初源于航海中的測(cè)量的需要，其目標(biāo)是通過(guò)解三角形，實(shí)現(xiàn)測(cè)量計(jì)算的目的.三角函數(shù)的基本理論是以相似三角形為基礎(chǔ)建立起來(lái)的，在研究過(guò)程中，又和圓（特別是單位圓）的有關(guān)知識(shí)緊密相聯(lián)。但是，由于角的概念的推廣，三角函數(shù)需要通過(guò)坐標(biāo)系建立起平面上的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使有向線(xiàn)段的數(shù)量比用實(shí)數(shù)來(lái)表示，從而使三角函數(shù)脫離幾何模式用代數(shù)方法來(lái)研究，所以它的表述、推理都是使用代數(shù)的方法，充分表現(xiàn)了形和數(shù)的有機(jī)結(jié)合. 本章所介紹的知識(shí)，既是解決生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題的工具，又是學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)后繼內(nèi)容和高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生將進(jìn)一步了解符號(hào)與變?cè)⒓吓c對(duì)應(yīng)、數(shù)形結(jié)合等基本數(shù)學(xué)思想在研究三角函數(shù)時(shí)所起的作用；在式子和圖形的變化中，學(xué)生將看到分析、探索、化歸、類(lèi)比、平行移動(dòng)、伸長(zhǎng)和縮短這些常用的基本方法時(shí)隱時(shí)現(xiàn)，同時(shí)，學(xué)生在數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等方面得到進(jìn)一步發(fā)展。

二、教材的編寫(xiě)特點(diǎn)

新教材首先創(chuàng)設(shè)了一個(gè)生活情境，讓學(xué)生從日常生活現(xiàn)象中感受數(shù)學(xué)，從而激活學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，然后通過(guò)從具體到抽象、從抽象到具體，從感性認(rèn)識(shí)到理性研究、從自然到必然的過(guò)程呈現(xiàn)充分展示了三角知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程。本章知識(shí)在內(nèi)容編排方面充分體現(xiàn)了課程改革的基本理念：“基礎(chǔ)、可行、夠用”，具有以下特點(diǎn)：第一，本章的知識(shí)是縱向延伸的，包括三大模塊，第一模塊是預(yù)備知識(shí)，包括第一、二、三小節(jié)，第二模塊是三角變換(化簡(jiǎn)、求值、證明)，包括第四、五、六、七、十一小節(jié)，第三模塊是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，包括第八、九、十小節(jié)；第二，刪減了部份無(wú)用的、重復(fù)的、偏難的、記憶性的知識(shí)，降低了對(duì)部份知識(shí)的要求，這主要體現(xiàn)在：對(duì)于任意角的三角函數(shù)，只要求掌握正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義；對(duì)于同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，只要求掌握 ，也就是由原來(lái)平方關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系、商數(shù)關(guān)系共八個(gè)公式精簡(jiǎn)為現(xiàn)在的三個(gè)；對(duì)于誘導(dǎo)公式，只要求掌握 的正弦、余弦、正切以及 、 、 的正弦、余弦，共有11個(gè)，減少了相對(duì)應(yīng)的正切、余切公式以及 ， 的正弦、余弦、正切、余切公式和 的正切、余切公式；對(duì)于兩角和與兩角差的三角函數(shù)，只要求掌握兩角和、兩角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式，雖然課本出現(xiàn)了半角、和差化積以及積化和差的式子，但都是以例題或習(xí)題的形式呈現(xiàn)，不要求記憶；對(duì)于三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，在利用三角函數(shù)線(xiàn)畫(huà)出正統(tǒng)曲線(xiàn)后，不是重復(fù)利用三角函數(shù)線(xiàn)畫(huà)余弦曲線(xiàn)，而是利用余弦函數(shù)與正弦函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，利用平行移動(dòng)(圖象變換)得出了余弦曲線(xiàn)，例學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)與形的結(jié)合，同時(shí)刪減了余切函數(shù)的圖象與性質(zhì)；反三角函數(shù)與三角方程是原教材體系中的選學(xué)內(nèi)容，新教材中只要求在已知三角函數(shù)角時(shí)，會(huì)用反三角函數(shù)的符號(hào)表示，其他內(nèi)容均未列入新教材。另外，新教材還忍痛割?lèi)?ài)舍棄了“萬(wàn)能公式”、“輔助角公式”與“積化和差、和差化積公式”，并把解斜三角形一節(jié)分離出來(lái)放到了平面向量一章中，極大地減輕了學(xué)生記憶負(fù)擔(dān)。值得說(shuō)明的是，新課程對(duì)原有教材的優(yōu)化還體現(xiàn)在增加了適量的閱讀材料，既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又開(kāi)闊了學(xué)生的視野，并增強(qiáng)了學(xué)科之間的聯(lián)系，為學(xué)生提供了一個(gè)自主發(fā)展的空間。第三，整個(gè)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展自然流暢，循序漸進(jìn)，縱向延伸，充分揭示知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。本章三角公式較多，在介紹這些公式時(shí)，除了強(qiáng)調(diào)各自的特點(diǎn)及用途，還指出它們的相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化關(guān)系，既給之以魚(yú)，又授之以漁，條理清晰，層次分明，便于記憶和運(yùn)用，此外，在本章“小結(jié)與復(fù)習(xí)”中，還利用框圖的形式展示了本章知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系、邏輯順序、主從地位，便于學(xué)生從整體上把握教學(xué)內(nèi)容。

三、教學(xué)中值得注意的幾個(gè)問(wèn)題

1．準(zhǔn)確把握好本章的教學(xué)要求

教師是課堂教學(xué)活動(dòng)的“組織者、指導(dǎo)者、合作者”，教師導(dǎo)向不明或?qū)蚴д`都會(huì)直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，因此，教師準(zhǔn)確把握教學(xué)目標(biāo)、重點(diǎn)難點(diǎn)、教學(xué)關(guān)鍵極為重要。首先要正確對(duì)待“增減內(nèi)容”，該放棄的就要放棄，該控制的就要控制，該安排就要安排，如“萬(wàn)能公式”、“輔助角公式”等就要放棄，如“和差化積、積化和差”等就要點(diǎn)到為止，而新增的閱讀材料等就一定要安排，既要給指導(dǎo)，又要給時(shí)間，甚至還可以指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合所學(xué)三角函數(shù)知識(shí)開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)；其次要重視基礎(chǔ)知識(shí)的基本技能的教學(xué)，這是學(xué)生健康有序發(fā)展的前提，不要過(guò)早地涉足“高考”進(jìn)行綜合性訓(xùn)練從而加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān). 事實(shí)上，本章的內(nèi)容已經(jīng)明顯降低了要求，公式?jīng)]有以前那么多了，教學(xué)中不要把以前的公式又一個(gè)不留地灌輸給學(xué)生，這明顯與現(xiàn)實(shí)的教學(xué)要求不符合。學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷深化的過(guò)程。作為在高一學(xué)習(xí)的這一章，應(yīng)致力于打好基礎(chǔ)，即使進(jìn)行綜合訓(xùn)練也應(yīng)該是初步的，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中通過(guò)對(duì)本章內(nèi)容的不斷應(yīng)用來(lái)獲得鞏固和提高，最后在高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)時(shí)，通過(guò)知識(shí)的梳理和進(jìn)一步的綜合訓(xùn)練使對(duì)本章內(nèi)容的掌握上升到一個(gè)升的檔次。為此，教學(xué)中應(yīng)注意一些容易膨脹的地方。例如，教學(xué)要求提到，能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及恒等式證明，教學(xué)中，對(duì)這部分不要過(guò)多的展開(kāi)。

2．把課堂還給學(xué)生，給學(xué)生充分的學(xué)習(xí)自主權(quán)

    現(xiàn)代教育理論認(rèn)為，課堂教學(xué)的過(guò)程是以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體、教材為主線(xiàn)的動(dòng)態(tài)的研究、學(xué)習(xí)、繼承和發(fā)展知識(shí)的過(guò)程。三角函數(shù)教材的編寫(xiě)，很好地體現(xiàn)了這一教育理念。例如，在二倍角的正統(tǒng)、余弦、正切一節(jié)中，教材打破了原有的完整、規(guī)范地給出公式的模式，點(diǎn)拔、引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)演繹推理發(fā)現(xiàn)公式，并完成完形填空。這一做法，意在幫助學(xué)生感受、體驗(yàn)概念公理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程、法則，性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，公式、定理的推導(dǎo)過(guò)程以及問(wèn)題，結(jié)論的探索、深化過(guò)程，充分體現(xiàn)了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的合作伙伴. 為此，教學(xué)中，教師要善于適當(dāng)?shù)貏?chuàng)設(shè)教學(xué)情境，善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的困難，善于點(diǎn)拔和引導(dǎo)，給學(xué)生足夠的時(shí)間動(dòng)腦想、動(dòng)口講、動(dòng)手做，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，體會(huì)數(shù)學(xué)思想的作用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)新精神，為學(xué)生的終身可持續(xù)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。