|
質數與合數
一、趣題引入
甲、乙、丙三人打靶，每人打三槍，三人各自中靶的環數之積都是60，按個人中靶的總環數由高到低排，依次是甲、乙、丙。靶子上4環的那一槍是誰打的？（環數是不超過10的自然數）
二、知識點
如果一個比1大的自然數只有兩個約數：1和本身，那么這個自然數就叫質數。（質數也叫素數。）
例如：43=1×43。43只有1和43兩個約數，所以43是質數。100以內的質數極為常用，它們是：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。
在自然數中，如果除了1和本身兩個約數，還有其它的約數，這個自然數就叫做合數。
例如：6的約數有1，2，3，6，那么6是合數。
應特別注意：1既不是質數也不是合數，這樣，自然數在按約數個數分類，可以分成：質數、合數和1。
偶數中只有2是質數，而且是所有質數中最小的一個。除2以外所有的偶數都是合數，除2以外所有的質數都是奇數。
每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形成，這幾個質數就叫做這個合數的質因數，例如，因為70=2×5×7，所以2，5，7是70的質因數。
把一個合數用質數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。例如：60=2×2×3×5=22×3×5，把60這個合數用2×2×3×5或22×3×5的形式來表示，就是把60分解質因數。
三、例題分析
例1：兩個質數的積是46，求這兩個質數的和。
分析：兩個質數的積是46，46是偶數，只能是一個奇質數與一個偶質數的積，而偶質數
只有2，因此很容易得出另外的質數，從而問題得以解決。
解：因為46是偶數，因此它必是一個奇質數與一個偶質數的積，而偶質數只有2，另一個質數為46÷2=23，所以2與23的和是25。
例2：用2，3，4，5中的三個數能組成哪些三位質數？
分析：首先考慮個位是幾，如果個位數字是2或4，這樣的三位數必能被2整除，因此這樣的三位數不會是質數，如果個位數字是5，這樣的三位數必能被5整除，這樣的三位數也不會是質數，所以各位數字只能是3，再由剩下的三個數字組成百位、十位，得出個位數字是3的三位數為243，423，253，523，453，543，最后根據質數的判斷方法，得到所求的質數。
解:如果組成的三位數的個位數字是2, 4, 5時，這個數必能被2或5整除，因此個位數字能是3，而個位數字是3的三位數有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，，所以只有523是質數。
[說明] 質數的判斷方法是，當一個數比較小時，用定義直接判斷，但這個數比較大時，通常采用查質數表，因此最好記住100以內的所有質數。在沒有質數表的情況下，可以用質數從小到大的順序逐個地去試除，如果能被其中某一個質數整除，就說明這個數是合數，如果除到商已比試除的質數小，還不能被這些質數中的任何一個整除，那么這個數一定是質數。
例如，判斷100以內的數是否是質數，只需用2，3，5，7這四個質數去試除，如果沒有一個能整除它，這個數一定是質數，否則不是質數。判斷97是不是質數，因為97不能被2，3，5，7中的任何一個整除，因此97是質數，為什么不必去試除比97小的所有的質數呢？因為97不能被2，3，5，7中的任何一個整除，它就一定不能被4，6，8，9，10等數（分別為2，3，5的倍數）整除，又因為，如果用11或大于11的質數去試除，97÷11=8……9，97÷13=7……6，其商為8、7，比除數還小，都已試除過，因此判斷100以內的數是否是質數，只需用2，3，5，7去試除。
判斷200以內的數是否是質數，只需用2，3，5，7，11，13，17這七個質數去試除；判斷300以內的質數，只需用20以內的八個質數去試除；判斷500以內的質數，只需要2到23的質數去試除，其余可用類似的方法推出，同學們可以思考一下1000以內的質數如何判斷？
例3：將40，44，45，63，65，78，99，105這八個數平分成兩組，使每組四個數的乘積相等。
分析：如果采用觀察，計算調整的方法是比較麻煩的，要使兩組數的乘積相等，只有兩組數中的質因數相同，而且質因數的個數也相同，就可以了，所以從這八個數分解質因數入手，根據質因數的個數，進行適當的搭配，使能找出問題的答案。
解：將八個數分析質因數：
40=23×5 44=22×11
45=32×5 63=32×7
65=5×13 78=2×3×13
99=32×11 105=3×5×7
這八個數分解質因數后一共有6個2，8個3，4個5，2個7，2個11，2個13。因此，這八個數被分成兩組后，每一組應含有3個2，4個3，2個5，1個7，1個11，1個13，這樣可以得到兩組分別為：40，63，65，99和44，45，78，105。
例4：360有多少個約數？
分析：如果先求360的所有約數，再數出它們的個數顯然比較麻煩。為此，先將360分解質因數：360=23×32×5，360的任意一個約數均由若干個2成3成5組成，我們將360的所有約數列成下面的數陣：
這個數陣共6行，每行4個約數，所以360共有4×6=24個約數。而24=（3+1）×（2+1）×（1+1），這里3，2，1恰好是360分解質因數式子中2，3，5的個數，從而得到下面關于約數個數的一個重要結論：
一個大于1的整數的約數個數，等于它的質因數分解式中每個質因數的個數加1的連乘積。用數字式子表示為：
如果a分解質因數為：
a=××…×
則a的全體約數的個數為：
（r1+1）×（r2+1）×…×（rn+1）
（學過乘法原理的同學，不妨從乘法原理的角度去理解此公式的由來。）
例5：有30個約數的最小自然數是多少？
分析：設所求的數為a，則a有30個約數，因為30=30×1=2×15=3×10=5×6=2×3×5，要使a最小，一般使a的質因數的冪指數盡可能小，質因數的個數盡可能少，所以a必為下列形式：
a=a1×a22×a34
其中a1，a2，a3為互不相同的質數。
要使a最小，a1，a2，a3應盡可能小，顯然a3=2，a2=3，a1=5，這樣
a=24×32×5==720
解：因為30=30×1=15×2=10×3=6×5=5×3×2，而且題中要求有30個約數的最小的數，所以這個數是能表示為a=a1×a22×a34，其中a1，a2，a3為互不相等的質數，為了使a最小，a3=2，a2=3，a1=5，所以a=24×32×5=720。
例6：引例。
分析：三人三槍中靶環數之積均為60，即每人每槍中靶環數均為60的約數。將60分解質因數為60=22×3×5，又因為每槍環數不超過10，所認將60寫成三個不超過10的自然數的乘積有且只有以下四種情況：
60=3×4×5 （1）
60=2×6×5 （2）
60=2×3×10 （3）
60=1×6×10 （4）
其中總環數分別為12，13，15，17，出現4環的情形（1）總環數最少，所以4環是丙打的。
解：因為60=3×4×5=2×6×5=2×3×10=1×6×10，
所以三個人各自打的環數有下面4種可能：
（1）3，4，5 （2）2，6，5 （3）2，3，10 （4）1，6，10
其中出現4環的情形（1）總環數最少，所以4環是丙打的。
例7：九個連續自然數中至多有四個質數，例如1至9中有2，3，5，7四個質數。請在200以內再找出五組這樣的質數。
分析：9個連續自然數中至多有5個奇數，在兩位數中，個位是5的數必能被5整除，而且三個連續的奇數必有一個能被3整除，所以只有當個位數字為5的兩位數又有能被3整除時，其余的四個奇數才有可能是質數。當找到一組這樣的兩位以上質數時，另一組與這組對應的數的差必定是30的倍數。按照上述辦法找出后，再根據質數的判斷方法去篩選就可得到結果。
首先容易得出3，5，7，11；5，7，11，13；在兩位數中，按照上面的方法可得出以下各組數：
11， 13， 15， 17， 19；
41， 43， 45， 47， 49；
71， 73， 75， 77， 79；
101，103，105，107，109；
131，133，135，137，139；
161，163，165，167，169；
191，193，195，197，199；
根據質數的判斷方法可以得出兩位數中還有11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199這三組符合條件。
解：200以內另外五組這樣的質數為：
例8：有一個2n+1位整數（n是整數，n≥1）
解法1：我們觀察這個數的數字特征，可以看出，它的各個數位數字和是3的倍數。
由于n+1是整數，得3 | 3（n+1），所以3是原數的約數，顯然3是1和原數以外的約數，
從上面的解法中，可以看到“整除”知識在判斷質數與合數時有很大用處，要想迅速找到一個整數的約數，就要對數的整除特征非常熟悉，這對提高篩選的速度大有好處。
解法2：還可以把這個數分解一下，把這個數中間的“3”拆開。
把這個數字拆開的主要目的是能提出公因數做因數分解。這種方法不但能說明一個數是合數，還提供了分解因數的一種方法。
對于質數來講，由于它至今沒有統一的數學式子來表示，人們對它的了解仍是很不全面。已經知道：質數有無限多個（這在初中可以證明），并且一般來說，隨著數值越大就越來越稀少。有人統計過五千以內的質數分布情況：
1--1000中有168個質數，
1001--2000中有135個質數，
2001--3000中有127個質數，
3001--4000中有120個質數，
4001--5000中有119個質數。
四、練習
1、 由1,2,3,4,5,6,7,8,9。這九個數字組成的九位數是質數嗎？
2、 把下列八個數，分為兩組，每組四個數，使兩組數的積相等，問如何分？
14，33，35，75，39，30，143，169
3、 2340有多少個約數？
4、 有一個質數，它加上10是質數，加上14也是質數，把它求出來。
5、 兩個質數的和是33，求這兩個質數的積。
6、 求用1,2,4,5,8中的三個數字組成最大的三位質數。
7、 有四個人，他們的年齡一個比一個大一歲，他們的年齡乘積等于43680，求這四個人的年齡？
8、 求有18個約數的最小自然數？
9、 三個質數的乘積恰好等于它們的和的11倍，求這三個質數。
10、 有兩個整數，它們的和恰好是兩個數字相同的兩位數，它們的乘積恰好是三個數字相同的三位數。求這兩個整數。
五、習題參考答案及思路分析
1、 不是。因為它一定能被3整除。
2、 第一組：35，30，39，143 第二組：14，75，33，169
（答案不唯一）
3、∵2340=22×32×5×13
∴它的約數個數為（2+1）×（2+1）×（1+1）×（1+1）=36個
4、設所求的質數為a，則a+10，a+14仍為質數。
∵10≡1（mod3），若a≡2（mod3），則3|a+10不可。又∵14≡2（mod3），若a≡1（mod3），則3|a+14也不可。∴只能a≡0（mod3）。能被3整除且為質數的數只有3符合。
所以所求的數為3。
5、因為這兩個質數和是33，為奇數，所以這兩個質數必定是一個為奇數，另一個為偶數。由于偶質數只有2，所以另一個奇質數為33-2=31。31×2=62。這兩個質數的積為62。
6、個位是2，4，8，5的三位數一定能被2或5整除，不是質數，所以個位只能是1。將個位數字是1的三位數從大到小逐個試驗：
851=23×27，851不是質數。
841=29×29，841不是質數。
821不能被2至29的任何一個質數整除，所以821是所求的最大的三位質數。
7、因為這四個人的年齡的乘積等于43680，所以這四個人的年齡是43680的約數。先將43680分解質因數：
43680=25×3×5×7×13
=13×（2×7）×（3×5）×24
=13×14×15×16
所以這四個人的年齡分別是13，14，15，16。
8、因為18=18×1=9×2=6×3＝3×3×2，要使所求數最小，這個數為a=a12×a22×a3，其中a1，a2，a3為互不相同的質數，所以a1=2，a2=3，a3=5，a=22×32×5=180，即有18個約數的最小自然數為180。
9、設這三個質數分別為a、b、c，則
abc=11（a + b + c）
所以a、b、c中必有一個是11，不妨設是c=11，則上式變為
ab=a + b + 11
變形，得ab-a-b=11
a（b-1）-（b-1）=11+1
（a-1）（b-1）=12=12×1=6×2=4×3
當b-1=12，a-1=1時，b=13，a=2；
當b-1=6，a-1=2時，b=7，a=3；
當b-1=4，a-1=3時，b=5，a=4（舍）。
所以這三個質數為2，11，13或3，7，11。
10、因為這兩個整數的乘積恰好是三個數字相同的三位數，這個三位數必有因數111，因為111=3×37，所以這兩個整數中必有一個是37的倍數，由于這兩個整數的和是兩位數，所以這兩個整數最大為兩位數。因此37的倍數只能是37或74。而另一個則是3的倍數，經試驗，只有（3，74），（18，37）兩組符合。
|
