數學發展與展望

16、17世紀的歐洲，漫長的中世紀已經結束，文藝復興帶來了人們的覺醒，束縛人們思想自由發展的煩瑣哲學和神學的教條權威逐步被摧毀了。封建社會開始解體，代之而起的是資本主義社會，生產力大大解放。資本主義工場手工業的繁榮和向機器生產的過渡，促使技術科學和數學急速發展。

例如在航海方面，為了確定船只的位置，要求更加精密的天文觀測。軍事方面，彈道學成為研究的中心課題。準確時計的制造，運河的開鑿，堤壩的修筑，行星的橢圓軌道理論等等，也都需要很多復雜的計算。古希臘以來的初等數學，已漸漸不能滿足當時的需要了。

在科學史上，這一時期出現了許多重大的事件，向數學提出新的課題。首先是哥白尼提出地動說，使神學的重要理論支柱的地心說發生了根本的動搖。他的弟子雷蒂庫斯見到當時天文觀測日益精密，推算詳細的三角函數表已成為刻不容緩的事，于是開始制作每隔10"的正弦、正切及正割表。當時全憑手算，雷蒂庫斯和他的助手勤奮工作達12年之久，直到死后才由他的弟子奧托完成。

16世紀下半葉，丹麥天文學家第谷進行了大量精密的天文觀測，在這個基礎上，德國天文學家開普勒總結出行星運動的三大定律，導致后來牛頓萬有引力的發現。

開普勒的《酒桶的新立體幾何》將酒桶看作由無數的圓薄片累積而成，從而求出其體積。這是積分學的前驅工作。

意大利科學家伽利略主張自然科學研究必須進行系統的觀察與實驗，充分利用數學工具去探索大自然的奧秘。這些觀點對科學(特別是物理和數學)的發展有巨大的影響。他的學生卡瓦列里創立了“不可分原理”。依靠這個原理他解決了許多現在可以用更嚴格的積分法解決的問題。“不可分”的思想萌芽于1620年，深受開普勒和伽利略的影響，是希臘歐多克索斯的窮竭法到牛頓、萊布尼茨微積分的過渡。

16世紀的意大利，在代數方程論方面也取得了一系列的成就。塔塔利亞、卡爾達諾、費拉里、邦貝利等人相繼發現和改進三次、四次方程的普遍解法，并第一次使用了虛數。這是自希臘丟番圖以來代數上的最大突破。法國的韋達集前人之大成，創設大量代數符號，用字母代表未知數，改良計算方法，使代數學大為改觀。

在數字計算方面，斯蒂文系統地闡述和使用了小數，接著納皮爾創制了對數，大大加快了計算速度。以后帕斯卡發明了加法機，萊布尼茨發明了乘法機，雖然未臻于實用，但開辟了機械計算的新途徑。

17世紀初，初等數學的主要科目(算術、代數、幾何、三角)已基本形成，但數學的發展正是方興未艾，它以加速的步伐邁入數學史的下一個階段：變量數學時期這一時期和前一時期(常稱為初等數學時期)的區別在于前一時期主要是用靜止的方法研究客觀世界的個別要素，而這一時期是用運動的觀點探索事物變化和發展的過程。

變量數學以解析幾何的建立為起點，接著是微積分學的勃興。這一時期還出現了概率論和射影幾何等新的領域。但似乎都被微積分的強大光輝掩蓋了。分析學以洶涌澎湃之勢向前發展，到18世紀達到了空前燦爛的程度，其內容的豐富，應用之廣泛，使人目不暇接。

這一時期所建立的數學，大體上相當于現今大學一二年級的學習內容。為了與中學階段的初等數學相區別有時也叫古典高等數學，這一時期也相應叫做古典高等數學時期。

解析幾何的產生，一般以笛卡兒《幾何學》的出版為標志。這本書的內容不僅僅是幾何，也有很多代數的問題。它和現在的解析幾何教科書有很大的差距，其中甚至看不到“笛卡兒坐標系”。但可貴的是它引入了革命性的思想，為開辟數學的新園地作出了貢獻。

《幾何學》的主要功績，可以歸結為三點：把過去對立著的兩個研究對象“形”和“數”統一起來，引入了變量，用代數方法去解決古典的幾何問題；最后拋棄了希臘人的齊性限制；改進了代數符號。

法國數學家費馬也分享著解析幾何創立的榮譽，他的發現在時間上可能早于笛卡兒，不過發表很晚。他是一個業余數學家，在數論、概率論、光學等方面均有重要貢獻。他已得到微積分的要旨，曾提出求函數極大極小的方法。他建立了很多數論定理，其中“費馬大定理”最有名，不過只是一個猜想，至今仍未得到證明。

對概率論的興趣，本來是由保險事業的發展而產生的，但促使數學家去思考一些特殊的概率問題卻來自賭博者的請求。費馬、帕斯卡、惠更斯是概率論的早期創立者，以后經過18、19世紀拉普拉斯、泊松等人的研究，概率論成為應用廣泛的龐大數學分支。

和解析幾何同時，17世紀在幾何領域內還發生了另一場重大的變革，這就是射影幾何的建立。決定性的進步是德扎格和帕斯卡的工作。前者引入了無窮遠點、無窮遠線，討論了極點與極線、透射、透視等問題，他所發現的“德扎格定理”是全部射影幾何的基本定理。

帕斯卡1640年發表的《圓錐曲線論》，是自阿波羅尼奧斯以來圓錐曲線論的最大進步。可是當時的數學家大多致力于分析學的研究，射影幾何沒有受到重視，直到18世紀末才重新引起人們的注意。

17世紀是一個創作豐富的時期，而最輝煌的成就是微積分的發明。它的出現是整個數學史也是整個人類歷史的一件大事。它從生產技術和理論科學的需要中產生，同時又回過頭來深刻地影響著生產技術和自然科學的發展。微積分對于今天的科技工作者來說，已經象布帛菽粟一樣，須臾不可離了。

微積分是經過了長時間的醞釀才產生的。積分的思想，早在阿基米德時代已經萌芽，16、17世紀之交，開普勒、卡瓦列里、費馬、沃利斯特別是巴羅等人作了許多準備工作。作為微分學中心問題的切線問題的探討，卻是比較晚的事，因而微分學的起點遠遠落在積分學之后。

17世紀的著名數學家(主要是法國)如費馬、笛卡兒、羅貝瓦爾、德扎格等人都曾卷入“切線問題”的論戰中。笛卡兒和費馬認為切線是當兩個交點重合時的割線。而羅貝瓦爾則從運動的角度出發，將切線看作描畫這曲線的運動在這點的方向，這觀點至今在力學上還有實際意義。

牛頓、萊布尼茨的最大功勞是將兩個貌似不相關的問題聯系起來，一個是切線問題(微分學的中心問題)，一個是求積問題(積分學的中心問題)，建立起兩者之間的橋梁，用微積分基本定理或者“牛頓—萊布尼茨公式”表達出來。

在牛頓1665年5月20日(格里歷31日)手寫的一頁文件中，有微積分的最早記載，但他的工作長久沒有人知道，直到1687年才用幾何的形式摘記在他的名著《自然哲學的數學原理》中。牛頓建立微積分主要從運動學的觀點出發，而萊布尼茨則是從幾何學的角度去考慮。特別和巴羅的“微分三角形”有密切關系。

萊布尼茨第一篇微分學的文章1684年在《學藝》上發表，第一篇積分學的文章1686年在同一雜志發表。他所創設的符號遠優于牛頓，故為后世所沿用。它的理論很快就得到洛必達、伯努利家族和歐拉等人的繼承和發揚光大，到18世紀進入了一個豐收的時期。

任何一項重大發明，都不可能一開始便完整無瑕。17世紀的微積分帶有嚴重的邏輯困難，以致受到多方面的非議。它的基礎是極限論，而牛頓、萊布尼茨的極限觀念是十分模糊的。究竟極限是什么，無窮小是什么，這在當時是帶有根本性質的難題。盡管如此，微積分在實踐方面的勝利，足以令人信服。大多數數學家暫時擱下邏輯基礎不顧，勇往直前地去開拓這個新的園地。

17世紀數學發展的特點，可以概括如下。

產生了幾個影響很大的新領域，如解析幾何、微積分、概率論、射影幾何等。每一個領域都使古希臘人的成就相形見絀。

代數化的趨勢，希臘數學的主體是幾何學，代數的問題往往也要用幾何方法去論證。17世紀的代數學比幾何學占有更重要的位置，它沖破希臘人的框框，進一步向符號代數轉化，幾何問題常常反過來用代數方法去解決。

出現了大量新概念，如無理數、虛數、瞬時變化率、導數、積分等等，都不是經驗事實的直接反映，而是由數學理論進一步抽象所產生。

數學和其他自然科學的聯系更加緊密，實驗科學(從伽利略開始)的興起，促進數學的發展，而數學的成果又滲透到其他科學部門中去。許多數學家，如牛頓、萊布尼茨、笛卡兒、費馬等，本身也都是天文學家、物理學家或哲學家。

數學知識廣泛交流傳播，希臘時代只有少數人在研究數學，直到16世紀，情況并無多大改變。17世紀研究人員大增，學術團體(學會或學院)相繼成立，加上印刷業的興旺發達，數學知識得到普遍的推廣和應用。

總的來說，17世紀是許多新興科目的始創階段，而18世紀是充實和發揚階段，19世紀是回顧、推廣和改革階段，并以嶄新的姿態進入下一個世紀。

十八世紀數學

     將微積分學深入發展，是十八世紀數學的主流。這種發展是與廣泛的應用緊密交織在一起的，并且刺激和推動了許多新分支的產生，使數學分析形成了在觀念和方法上都具有鮮明特點的獨立的數學領域。

在十八世紀特別是后期，數學研究活動和數學教育方式也發生了變革。這一切使十八世紀成為向現代數學過渡的重要時期。

微積分學的發展

在十八世紀，無限小算法的推廣，在英國和歐洲大陸國家是循著不同的路線進行的。不列顛數學家們在劍橋、牛津、倫敦、愛丁堡等著名的大學里傳授和研究牛頓的流數術，代表人有科茨、泰勒、麥克勞林、棣莫弗和斯特林等。

泰勒發現的著名公式使人們有可能通過冪級數展開來研究函數；馬克勞林的《流數論》可以說是對微積分最早的系統處理，該書是為反駁伯克利主教《分析學家》一文而作，后者出于宗教的動機，對牛頓流數論中存在的無限小概念混亂提出了尖銳批評，引起了關于微積分基礎的論戰。

泰勒、馬克勞林之后，英國數學陷入了長期停滯、僵化的狀態。十八世紀初即已爆發的微積分發明權的爭論，滋長了不列顛數學家們濃厚的民族保守情緒，他們囿于牛頓的傳統，難以擺脫其迂回的幾何手法等弱點的束縛。與此相對照，在海峽的另一邊，新分析卻在萊布尼茨的后繼者們的推動下蓬勃發展起來。

推廣萊布尼茨學說的任務，主要由他的學生、瑞士巴塞爾的雅各布第一·伯努利和約翰第一·伯努利兩兄弟擔當，而這方面最重大的進步則是由歐拉作出的。

歐拉于1748年出版了《無窮小分析引論》，這部巨著與他隨后發表的《微分學》、《積分學》標志著微積分歷史上的一個轉折：以往的數學家們都以曲線作為微積分的主要研究對象，而歐拉則第一次把函數放到了中心的地位，并且是建立在函數的微分的基礎之上。函數概念本身正是由于歐拉等人的研究而大大豐富了。

數學家們開始明確區分代數函數與超越函數、隱函數與顯函數、單值函數與多值函數等；通過一些困難積分問題的求解，諸如B函數、橢圓不定積分等一系列新的超越函數被納入函數的范疇；已有的對數、指數和三角函數的研究不僅進一步系統化，而且被推廣到復數領域。

在十八世紀，數學家們對于函數、導數、微分、連續性和級數收斂性等概念還沒有形成統一的見解，他們往往不顧基礎問題的薄弱而大膽前進。盡管如此，許多人對建立微積分的嚴格基礎仍作出了重要的嘗試。除了歐拉的函數理論外，另一位天才的分析大師拉格朗日采取了所謂“代數的途徑”。他在1797年出版的《解析函數論》一書中，主張用泰勒級數來定義導數，并以此作為整個微分、積分理論之出發點。

達朗貝爾則發展了牛頓的“首末比方法”，但用極限的概念代替了含糊的“最初與最終比”的說法。如果說歐拉和拉格朗日的著作引入了分析的形式化趨勢，那么，達朗貝爾則為微積分的嚴格表述提供了合理的內核。19世紀的嚴格化運動，正是這些不同方向融會發展的結果。

數學與力學開始結合

數學同力學的有機結合，是十八世紀數學的另一個鮮明特征。這種結合，其緊密的程度為數學史上任何時期所不能比擬。幾乎所有的數學家都以巨大的熱情，致力于運用微積分新工具去解決各種物理、力學問題。

歐拉的名字同流體力學和剛體運動的基本方程聯系著；拉格朗日最享盛名的著作《分析力學》，“將力學變成了分析的一個分支”；拉普拉斯則把數學看作是研究力學天文學的工具，他的許多重要數學成果正是包含在他的五大卷《天體力學》中。

這種廣泛的應用成為新的數學思想的源泉，而使數學本身的發展大大受惠。一系列新的數學分支在十八世紀成長起來。

達朗貝爾關于弦振動的著名研究，導出了弦振動方程及其最早的解，成為偏微分方程論的發端。另一類重要的偏微分方程──位勢方程，主要通過對引力問題的進一步探討而獲得。與偏微分方程相聯系的一些較為深入的理論問題也開始受到注意。

拉格朗日發展了解一階偏微分方程的一般理論；對不同類型的二階方程的研究還促使歐拉、達朗貝爾等具備了將函數展為三角級數的概念。

常微分方程的研究進展更為迅速。三體問題、擺的運動及彈性理論等的數學描述，引出了一系列的常微分方程，其中以三體問題最為重要，二階常微分方程在其中扮演了中心角色。

數學家起先是采用各種特殊的技巧對付不同的方程，但漸漸地開始尋找帶普遍性的方法。這樣，歐拉推廣了約翰第一·伯努利的積分因子和常數變易法；黎卡提在以他的名字命名的非線性方程的研究中，首創了后來成為處理高階方程主要手段的降階法；泰勒最先引起人們對奇異解存在性的注意；歐拉在1750年解出了一般的常系數線性方程，他還引進超幾何級數作為解二階線性方程的基礎；對全微分方程的研究亦由歐拉、拉格朗日和蒙日等開展起來。

變分法起源于最速降曲線問題和相類似的一些問題，它的奠基人是歐拉。所謂“最速降曲線”問題，是要求出兩點間的一條曲線，使質點在重力作用下，沿著它由一點至另一點的降落最快。這問題在1696年被約翰第一·伯努利提出來向其他人挑戰，牛頓、洛必達和伯努利兄弟不久都分別獲得了正確的解答。

歐拉自1728年開始以他特有的透徹精神重新考察了最速降曲線等問題，最終確立了求積分極值問題的一般方法。歐拉的方法后來又為拉格朗日所發展，拉格朗日首先將變分法置于分析的基礎上，他還充分運用變分法來建造其分析力學體系，全部力學被他化歸為一個統一的變分原理──虛功原理。

這些新的分支與微積分本身一起，形成了被稱之為“分析”的廣大領域，與代數、幾何并列為數學的三大學科，在十八世紀，其繁榮程度遠遠超過了代數與幾何。

十八世紀的數學家們不僅大大拓展了分析的疆域，同時賦予它與幾何相對的意義，他們力圖用純分析的手法以擺脫對于幾何論證的依賴，這種傾向成為十八世紀數學的另一大特征，并且在歐拉和拉格朗日的工作中表現得最為典型。

拉格朗日在《分析力學》序中宣稱：“在這本書中找不到一張圖，我所敘述的方法既不需要作圖，也不需要任何幾何的或力學的推理，只需要統一而有規則的代數(分析)運算”。

幾何與代數

對于幾何學，十八世紀數學家們著眼于分析方法的應用，及與此相聯系的坐標幾何的發展。雖然早先已有部分結果，但微分幾何形成為獨立的學科主要是在十八世紀。

伯努利兄弟以及歐拉、拉格朗日等在確定平面曲線曲率、拐點、漸伸線、漸屈線、測地線及曲線簇包絡等方面作出許多貢獻；蒙日自1771年起發表的一系列工作，則使微分幾何在十八世紀的發展臻于高峰。

蒙日及其學生全面概括了空間曲線的一般理論，并借著偏微分方程對已為歐拉等人觸及的可展曲面、極小曲面、曲面曲率及各種曲面簇等問題獲得了系統的結果。蒙日通過其幾何研究還建立了偏微分方程的特征理論。

現代解析幾何的基本課題如對稱的坐標軸概念、平面曲線的系統研究等，基本上也是十八世紀的產品。帕倫于1705、1713年將解析幾何推廣至三維情形，該項工作被克萊羅所繼續。解析幾何突破了笛卡兒以來作為求解幾何難題的代數技巧的界限。

對綜合幾何的興趣直到十八世紀末才被重新喚起，這主要歸功于蒙日的《畫法幾何學》。蒙日指出畫法幾何只是投影幾何的一個方面，這促進了更一般的投影幾何學與幾何變換理論的發展。投影幾何在十九世紀整整活躍了一個世紀，而幾何變換則已成為現代幾何學的基本概念。

十八世紀許多數學家將分析看作代數的延伸，代數本身的研究有時便服從分析的需要。然而十八世紀代數學仍為下一世紀的革命性發展開辟了道路。

1799年，高斯發表了關于代數基本定理的研究，給出了該定理的第一個嚴格證明；高于四次的代數方程用根式求解之不可能，也已被拉格朗日等人認識，拉格朗日在《方程的代數求解》一文中討論了這個問題，雖未能作出嚴格證明，但卻考察了根的有理函數及根的置換對它們的影響。高斯、拉格朗日的結果是19世紀阿貝爾、伽羅瓦、雅可比等在方程論方面的劃時代成就的出發點。

虛數在十八世紀數學中的重要性增加了，達朗貝爾關于一切虛數都有形式a+bi的斷言，被大多數同時代的學者所接受(雖然他的論證并不嚴格)；丹麥的韋塞爾提出了虛數的圖像表示法，這一切為19世紀復變函數論的發展奠定了基礎。

概率論進一步的發展

帕斯卡、費馬和惠更斯以來，第一個對概率論給予認真注意的是雅各布第一·伯努利。他的《猜度術》一書，包含了大數律的敘述；棣莫弗最早使用正態分布曲線；拉格朗日的貢獻在于誤差理論。

不過，首先將概率論建立在堅固的數學基礎上的是拉普拉斯。從1771年起，拉普拉斯發表了一系列重要著述，特別是1812年出版的《概率的解析理論》，對古典概率論作出了強有力的數學綜合，敘述并證明了許多重要定理。拉普拉斯等人的著作還討論了概率論對人口統計、保險事業、度量衡、天文學甚至某些法律問題的應用。概率論在十八世紀已遠不再是只與賭博問題相聯系的學科了。

數學教育的發展

十八世紀的數學研究活動，大部分是與歐洲各國的科學院相聯系，尤其是大陸國家的科學院。它們不僅是評議研究成果，促進科學通訊，而且掌握著聘用專門成員的財政經費。

萊布尼茨1700年創立的柏林科學院，在普魯士國王弗里德里克時代曾擁有歐拉和拉格朗日為院士；歐拉其余的生涯是在彼得堡科學院奉職；拉格朗日在弗里德里克死后被路易十六請到巴黎。而巴黎科學院也許是十八世紀歐洲最重要的學術中心，與它相聯系的法國最卓越的數學家還有克萊羅、達朗貝爾、孔多塞、拉普拉斯、蒙日以及勒讓德等。

這種主要靠宮廷支持的科學院，在推動數學研究職業化方面起了一定的但卻是有限的作用。在十八世紀的晚期，人們開始注意并努力改變大學中數學教育與研究分離、脫節的現象。

格丁根大學最先強調教學與研究的結合，但對當時的數學并未發生影響。真正的沖擊來自法國。法國大革命時期建立的巴黎綜合工科學校和巴黎高等師范學校，不僅提供為培養工程師和教師所必需的數學教育，對數學研究也給予同樣的重視，它們作為新型的科學教育和研究機構的典范，對19世紀數學研究職業化運動有極大的影響。

社會政治對十八世紀數學發展的影響值得注意。十八世紀數學研究活動中心的轉移，明顯地與資產階級革命中心的轉移現象相吻合。英國學術界的保守氣氛，同擁教保王的政治環境不無關系，而在啟蒙思想熏陶下的法國學派，卻自覺地接過了發展牛頓自然科學理論的任務。

法國大革命本身提供了社會變革影響數學事業的史例。這個國家當時最優秀的數學家，幾乎都被革命政權吸收到度量衡改革、教育改革、軍事工程建設等活動中去。

對于數學發展特別重要的是他們在新成立的巴黎綜合工科學校與巴黎高等師范學校中的作用。拉格朗日、拉普拉斯、蒙日、勒讓德等均受聘出任那里的數學教授，蒙日還是綜合工科學校的積極創建者并兼校長。他們的任職，使這兩所學校特別是綜合工科學校成為新一代數學家的搖籃，如柯西和泊松都是畢業于綜合工科學校。

這些學校為適應培養新人才的需要而采用的數學新教材，釀成了“教科書的革命”，其中勒讓德的《幾何學基礎》、蒙日的《畫法幾何學》、拉克魯瓦的《微積分學》以及畢奧和勒弗朗索瓦的解析幾何教程，都是反復再版，并被譯成了多國語言。在法國所進行的改革，到19世紀初即已擴及旁國特別是德國，并刺激了英國數學的復蘇，成為數學發展新時代的序幕。

十九世紀數學

十九世紀是數學史上創造精神和嚴格精神高度發揚的時代。復變函數論的創立和數學分析的嚴格化，非歐幾何的問世和射影幾何的完善，群論和非交換代數的誕生，是這一世紀典型的數學成就。它們所蘊含的新思想，深刻地影響著二十世紀的數學。

十九世紀數學發展的概貌

十八世紀數學發展的主流是微積分學的擴展，它與力學和天文學的問題緊密相聯。微積分的運用使這些自然科學領域迅猛發展，至十八世紀末，它們達到了一種相對完美的程度。

然而，將數學和這些自然科學基本上視為一體的觀念，使當時一些著名的數學家，如拉格朗日、歐拉、達朗貝爾等對數學的前途產生了悲觀情緒，他們覺得數學泉源已近枯竭。

而實際上，此時的數學正處于興旺發達的前夜：18世紀的數學家忙于獲取微積分的成果與應用，較少顧及其概念與方法的嚴密性，到十八世紀末，為微積分奠基的工作已緊迫地擺在數學家面前；另一方面，處于數學中心課題之外的數學分支已積累了一批重要問題，如復數的意義、歐式幾何中平行公設的地位，高次代數方程根式解的可能性等，它們大都是從數學內部提出的課題；再者，自十八世紀后期開始，自然科學出現眾多新的研究領域，如熱力學、流體力學、電學、磁學、測地學等等，從數學外部給予數學以新的推動力。上述因素促成了十九世紀數學充滿活力的創新與發展。

十九世紀歐洲的社會環境也為數學發展提供了適宜的舞臺，法國資產階級大革命所造成的民主精神和重視數學教育的風尚，鼓勵大批有才干的青年步入數學教育和研究領地。法國在十九世紀一直是最活躍的數學中心之一，涌現出一批優秀人才，如傅里葉、泊松、彭賽列、柯西、劉維爾、伽羅華、埃爾米特、若爾當、達布、龐加萊、阿達馬。他們在幾乎所有的數學分支中都作出了卓越貢獻。法國革命的影響波及歐洲各國，使整個學術界思想十分活躍，突破了一切禁區。

英國新一代數學家克服近一個世紀以來以牛頓為偶像的固步自封局面，成立了向歐洲大陸數學學習的“分析學會”，使英國進入世界數學發展的潮流。皮科克、格林、哈密頓、西爾維斯特、凱萊、布爾等英國數學界的杰出人物，在代數學、代數幾何、數學物理方面的成就尤為突出。

德國在1870年統一之前，資本主義發展比較緩慢，但從十八世紀下半葉起，它一直是思想意識領域十分活躍的地區，特別是思辨哲學強調事物內部矛盾促進事物發展的思想，對純粹數學的發展產生了有益的影響。

從高斯登上數學舞臺至十九世紀下半葉，德國逐漸發展成為與法國并駕齊驅的又一個世界數學中心，除高斯外，施陶特、普呂克、雅可比、狄利克雷、格拉斯曼、庫默爾、魏爾斯特拉斯、克羅內克、黎曼、戴德金、康托爾、克萊因、希爾伯特都無愧為十九世紀最重要的數學家。

處于數學中心之外的國家和地區，也出現不少優秀學者，最突出的有挪威的阿貝爾和李，捷克的波爾查諾、俄國的羅巴切夫斯基、切比雪夫和柯瓦列夫斯卡婭，匈牙利的波爾約，意大利的貝爾特拉米和里奇等。這種人才輩出的局面在數學史上是空前的。

十九世紀數學突破分析學獨占主導地位的局面，幾何、代數、分析各分支出現如雨后春筍般的竟相發展。僅在十九世紀的前30多年中，一批二三十歲的年輕數學家就在數論、射影幾何、復變函數、微分幾何、非歐幾何、群論等領域作出開創性的成績。

隨著眾多新研究方向的開拓和證明嚴格化的要求，越來越多的學者開始埋頭于較窄的領域作精細的研究。如阿貝爾主要從事分析與代數學研究，彭賽列專攻射影幾何，伽羅瓦關心代數方程的可解性。只有高斯和柯西仍然關心科學與數學中幾乎所有的問題。

在十九世紀下半葉，一些數學家注意了各分支間的聯系，最著名的有克萊因的埃爾朗根綱領，在幾何中引進群的觀點，取得很大成功，但專門化的研究方式尚處于方興未艾的階段。從十九世紀晚期開始的將數學各分支奠基于公理體系之上的運動，又推進了各分支的細分，這種傾向一直延續到二十世紀。

十九世紀數學家的工作方式呈現出全新的、不同于十八世紀的特色。數學成為一項得到全社會承認的職業，數學家主要在大量培養人才的新型大學教書，研究與教學有機地聯系在一起。法國的巴黎綜合工科學校、巴黎高等師范大學，德國的柏林大學、格丁根大學是當時最重要的數學研究與教學中心。

由于數學家人數與成果的劇增交流思想與成果的渠道增多了，數學雜志成了重要的傳播媒介。法國的熱爾崗編輯出版了《純粹與應用數學年刊》，是最早的專門數學期刊。之后，高水平的數學雜志相繼問世，最著名的有克雷爾創辦的德文的《純粹與應用數學雜志》，劉維爾創辦的法文的《純粹與應用數學雜志》。

到十九世紀后半葉，隨著各國數學會的問世，各種會刊及專門雜志顯著增加。這些數學會還在推動本國數學發展和促進國際學術交流方面發揮積極作用。最早成立的是倫敦數學會，之后創建的有法國數學會、美國數學會和德國數學會。在接近世紀之末，由各國數學會發起在瑞士蘇黎世召開了第一屆國際數學家大會，后成為一項定期舉行的國際學術活動?！　?/span> 　

十九世紀數學的發展錯綜復雜，粗略地可以分為四個階段。

數論、分析與幾何的創新階段

這一階段從十九世紀初到十九世紀二十年代。

1801年，高斯發表《算術研究》，這部象征近代數論起點的巨著，同時也打開了數學新世紀的大門。十九世紀前的數論主要是一些漂亮但卻孤立的成果，高斯一方面將這些成果系統化，對問題及方法加以分類，同時開辟了全新的課題及方法。樹立了嚴格證明的典范，認為找出簡單漂亮的證明，有助于掌握問題的實質并發現不同問題間的聯系(典型的是他給出了二次互反律的七個證明)。

高斯的觀點代表了十九世紀對數學嚴密性追求的時代精神，也指出了純粹數學發展的一條途徑。同年，高斯依據少量觀測數據，運用誤差分析等方法計算出谷神星的軌道，準確地預報了這顆小行星在天空出現的時刻，哄動了科學界。高斯在一生中始終對理論與應用同等重視，他的成就一直鼓舞著最有才華的數學家。他和阿基米德、牛頓一起，被認為是歷史上最偉大的數學家。

1807年，傅里葉向巴黎科學院提交了一篇關于熱傳導的文章，在解熱傳導方程時，提出任意函數可用三角級數表示。這是分析學在十九世紀的首項重要工作，它不僅使分析方法進入新的物理領域，而且擴展了函數概念，推進了偏微分方程理論。對傅里葉級數收斂點的研究，最終導致康托爾創立集合論。由于傅里葉級數在應用中的重要性，研究其收斂性成為分析嚴格化的動力之一。

十九世紀分析嚴格化的倡導者有高斯、波爾查諾、柯西、阿貝爾和狄利克雷等人。1812年，高斯對一類具體的級數──超幾何級數，進行了嚴密研究，這是歷史上第一項重要的有關級數收斂性的工作。1817年，波爾查諾首先拋棄無窮小量概念，用極限觀念給出導數和連續性的定義，并得到判別級數收斂的一般準則(現稱柯西準則)，由于他的工作長期被埋沒，因此對當時數學的發展沒有產生影響，是數學史上一件憾事。

柯西是對分析嚴格化影響最大的學者，1821年發表了《分析教程》，除獨立得到波爾查諾的基本結果，還用極限概念定義了連續函數的定積分，這是建立分析嚴格理論的第一部重要著作。值得注意的是，柯西的分析理論基本上基于幾何直觀，按現代標準衡量仍不夠嚴密。阿貝爾一直強調分析中定理的嚴格證明，在1826年最早使用一致收斂的思想，證明了連續函數的一個一致收斂級數的和在收斂區域內部連續。

柯西在建立嚴格的分析理論的同時，還為十九世紀最重要的數學創造──單復變函數論奠定了基礎。1814～1825年間，他得到了計算復函數沿復平面上路徑積分的基本定理和留數計算公式。由于柯西的工作，復數和復變函數論在十九世紀20年代為廣大數學家所熟悉。1826年，阿貝爾和雅可比創立了橢圓函數理論，成為復變函數論蓬勃發展的生長點。

十九世紀最富革命性的創造當屬非歐幾何。自古希臘時代始，歐氏幾何一直被認為是客觀物質空間惟一正確的理想模型，是嚴格推理的典范。16世紀后的數學家在論證代數或分析結果的合理性時，都試圖歸之為歐氏幾何問題。

但歐氏幾何的平行公設曾引起數學家的持久的關注，以弄清它和其他公理、公設的關系。這個煩擾了數學家千百年的問題，終于被高斯、羅巴切夫斯基和波爾約各自獨立解決。高斯在1816年已認識到平行公設不可能在歐氏幾何其他公理、公設的基礎上證明，得到在邏輯上相容的非歐幾何，其中平行公設不成立，但由于擔心受人指責而未發表。

1825年左右，波爾約和羅巴切夫斯基分別得到同樣的結果，并推演了這種新幾何中的一些定理。羅巴切夫斯基1829年的文章《論幾何基礎》是最早發表的非歐幾何著作，因此這種幾何也稱為羅巴切夫斯基幾何。這項發現的技術細節是簡單的，但觀念的變革是深刻的，歐氏幾何不再是神圣的，數學家步入了創造新幾何的時代。

非歐幾何對人們認識物質世界的空間形式提供了有力武器，但由于它背叛傳統，創立之初未受到數學界的重視。只是當高斯有關非歐幾何的通信和筆記在他1855年去世后出版時，才因高斯的名望而引起數學家們的關注。

十九世紀前半葉最熱門的幾何課題是射影幾何。1822年，彭賽列發表《論圖形的射影性質》，這是他1813～1814年被俘關在俄國時開始研究的總結。他探討幾何圖形在任一投影下所有截影所共有的性質，他的方法具有象解析幾何那樣的普遍性。1827年左右，普呂克等人引進齊次坐標，用代數方法研究射影性質，豐富了射影幾何的內容。

對純幾何問題興趣的增長，并未減弱分析在幾何中的應用。高斯從1816年起參與大地測量和地圖繪制工作，引起他對微分幾何的興趣。1827年他發表的《關于曲面的一般研究》，為這一數學分支注入了全新的思想，開創了微分幾何的現代研究。

代數觀念的變革時期

代數思想的革命發生在十九世紀30～40年代。

1830年，皮科克的《代數學》問世，書中對代數運算的基本法則進行了探索性研究。在這之前，代數的符號運算實際僅是實數與復數運算的翻版。皮科克試圖建立一門更一般的代數，它僅是符號及其滿足的某些運算法則的科學。他和德?摩根等英國學者圍繞這一目標的工作，為代數結構觀點的形成及代數公理化研究作了嘗試，因而皮科克被譽為“代數中的歐幾里得”。皮科克的目標雖然很有價值，但方法過于含糊，無法達到他的愿望。

代數中更深刻的思想來自于數學史上傳奇式的人物伽羅華。在1829～1832年間，他提出并論證了代數方程可用根式解的普遍判別準則，從概念和方法上為最基本的一種代數結構(群)理論奠定了基礎，闡明了群的正規子群及同構等重要概念。

伽羅瓦在1832年去世前，幾次向巴黎科學院遞交他的論文，均未獲答復。他的理論在1846年由劉維爾發表之前幾乎無人知曉，到十九世紀60年代后才引起重視，這是數學史上新思想歷經磨難終放異彩的最典型的例證。

另一項引起代數觀念深刻變革的成果，歸功于哈密頓和格拉斯曼。哈密頓在用“數對”表示復數并探究其運算規則時，試圖將復數概念推廣到三維空間，未獲成功，但卻意想不到的創立了四元數理論，時間是1843年。

四元數是第一個被構造出的不滿足乘法交換律的數學對象。從此，數學家便突破了實數與復數的框架，比較自由地構作各種新的代數系統。四元數理論一經問世便引來數學與物理學家的討論，它本身雖沒有廣泛應用，但成為向量代數、向量分析以及線性結合代數理論的先導。1844年，格拉斯曼在討論 n維幾何時，獨立得到更一般的具有 n個分量的超復數理論，這一高度獨創的成果由于表達晦澀，無法為當時的學者所理解。

在這一時期，還誕生了代數不變量理論，這是從數論中的二次型及射影幾何中的線性變換引伸出的課題。1841年左右，凱萊受布爾的影響開始研究代數型在線性變換下的不變量。之后，尋找各種特殊型的不變量及不變量的有限基，成為十九世紀下半葉最熱門的研究課題，出現了人數眾多的德國學派，進而開辟了代數幾何的研究領域。

數論中的重要問題，往往成為新思想發展的酵母。1844年，庫默爾在研究費馬大定理時提出了理想數理論，借助理想數可證明在惟一因子分解定理不成立的代數數域中，普通數論中的某些結果仍成立。

在這代數學豐產的時期，幾何、分析和數論也都有長足的進步。格林在討論變密度橢球體的引力問題時，考慮了 n維位勢；凱萊在分析學中討論了具有 n個坐標的變量；格拉斯曼則直接從幾何上建立高維空間理論。他們從不同角度導出超越直觀的 n維空間概念。施陶特確立了不依賴歐氏空間的長度概念的射影幾何體系，從邏輯上說明射影幾何比歐氏幾何更基本。

分析的嚴格化在繼續。狄利克雷按變量間對應的說法給出現代意義下的函數定義。魏爾斯特拉斯開始了將分析奠基于算術的工作，從1842年起采用明確的一致收斂概念于分析學，使級數理論更趨完善。

值得注意的是，未經嚴格證明的分析工具仍被廣泛使用，在獲得新結果方面顯示威力。格林首先使用了位勢函數的極小化積分存在的原理，即現稱的狄利克雷原理，它的嚴格理論遲至1904年才為希爾伯特闡明，但是在十九世紀50年代就已成為黎曼研究分析學的重要工具。

隨著分析工具的逐步完善，數學家開始更自覺地在數學其他分支使用它們。除微分幾何外，解析數論也應運而生。1837年，狄利克雷在證明算術序列包含無窮多素數時，精心使用了級數理論，這是近代解析數論最早的重要成果。劉維爾則在1844年首次證明了超越數的存在，引起數學家對尋找超越數和證明某些特殊的數為超越數的興趣。在下半世紀，林德曼利用埃爾米特證明 e為超越數的方法，證明了π的超越性，從而徹底解決了化圓為方問題。

數學新思想的深化階段

這一階段從十九世紀五十年代到十九世紀七十年代。

1851年，黎曼的博士論文《單復變函數一般理論的基礎》第一次明確了單值解析函數的定義，指出了實函數與復函數導數的基本差別，特別是闡述了現稱為黎曼面的概念和共形映射定理，開創了多值函數研究的深刻方法，打通了復變函數論深入發展的道路。黎曼本人利用這一思想出色地探討了阿貝爾積分及其反演阿貝爾函數，1854年，黎曼為獲大學講師資格，提交了兩篇論文，其中《關于作為幾何學基礎的假設》是數學史上影響最深遠的作品之一。

在十九世紀前半葉，數學家已認識到存在不同于歐氏幾何的新幾何學，并發展了內蘊幾何和高維幾何的理論，但它們處于分散與孤立的狀態。黎曼以其深刻的洞察力將三者統一于 n維流形的理論，開始了現代微分幾何學研究。

這是關于任意維空間的內蘊幾何，黎曼以二次微分形式定義流形的度量，給出了流形曲率的概念。他還論證了能在球面上實現二維正的常曲率空間。據說黎曼的深刻思想當時只有高斯能理解。經十九世紀60年代貝爾特拉米等人的介紹與推進，黎曼的理論才開始為廣大數學家領悟，他們對微分不變量的研究，最后導致里奇創立張量理論。

在另一篇論文中，黎曼探討了將積分概念推廣到間斷函數上去，提出了現稱為黎曼積分的概念。他構造了具有無窮間斷點而按他的定義仍可積的函數。尋找這類函數是十九世紀70～80年代很時髦的課題。沿著擴展積分概念的方向，后來的數學家得到各種廣義積分，最著名的當屬二十世紀初出現的勒貝格積分。

1859年，黎曼研究 ζ函數的復零點，提出著名的黎曼猜想。黎曼的思想，在幾何、分析、數論領域長盛不衰，有力地影響著十九世紀后期以至二十世紀的數學研究。

魏爾斯特拉斯在這一時期繼續分析算術化的工作，提出了現代通用的極限定義，即用靜態的方法(不等式)刻畫變化過程。他構造出處處不可微的連續函數實例，告誡人們必須精細地處理分析學的對象，對實變函數論的興起起了催化作用。在復變函數論方面，他提出了基于冪級數的解析開拓理論。魏爾斯特拉斯的眾多成果出自他任中學教員的時期，到1859年出任柏林大學教師后才廣為人知。由于他為分析奠基的出色成就，后被譽為“現代分析之父”。

當德國學者在分析與幾何領域大放異彩之時，英國學者繼續發揮他們在代數中的優勢。1854年，布爾發表了《思維規律的研究》，創立了符號邏輯代數，這是使演繹推理形式化的有力工具。布爾強調數學的本質不是探究對象的內容，而是研究其形式，因而數學不必限于討論數和連續量的問題，可由符號表示的一切事物都可納入數學領域。

1855年，凱萊在研究線性變換的不變量時，系統地提出矩陣概念及其運算法則。矩陣是繼四元數之后的又一類不滿足乘法交換律的數學對象，它們和群論都是推動抽象代數觀點形成發展的重要因素。在凱萊之后，矩陣理論不斷完善，不僅成為數學中的銳利武器，還是描述和解決物理問題的有效武器。

基于對矩陣和四元數的認識，凱萊還引進了抽象群的概念，但未立刻引起重視，抽象群論的發展還有待于對各種具體的群作深入的研究。

十九世紀60年代末，若爾當擔起了向數學界闡明伽羅瓦理論的重任，在發表于1870年的《置換論》中，他對置換群理論及其與伽羅瓦方程論的聯系作出清晰的總結，為群論在十九世紀最后30年間的發展奠定了基礎。

在這一時期，數學家對射影幾何及非歐幾何的認識也日趨深化。1859年，凱萊論證了歐氏空間的度量性質并非圖形本身的屆性，而可以借助某種特定圖形按射影概念加以建立，說明歐氏幾何是射影幾何的一部分?？巳R因發揮凱萊的思想，同樣論證非歐幾何也可以包括在射影幾何之內。這樣便徹底澄清了射影幾何與那些度量幾何的關系，鋪平了幾何公理化發展的道路。

1868年，貝爾特拉米在偽球面上實現了羅巴切夫斯基幾何，在歐氏空間中給出直觀上難以想象的非歐幾何模型。之后克萊因和龐加萊分別給出各自的非歐幾何模型，說明非歐幾何本身的相容性(即無矛盾性)與歐氏幾何一致，加速了人們接受非歐幾何的進程。

在60年代末70年代初，由高斯在十九世紀初開辟的代數數論研究，經由戴德金和克羅內克等人的推進，形成為內容豐富的現代數學分支。戴德金引進一種代數數類代替庫默爾的理想數，重建了代數數域中的惟一因子分解定理，創立了理想論?？肆_內克則另辟蹊徑，得到相似的概念，并創立有理函數域論，引進在域上添加代數量生成擴域的方法。

這里，需要提及概率論中的幾項重要成果。在十九世紀，概率論的發展不象數學其他分支那樣突出。自拉普拉斯之后，泊松曾得到著名的泊松分布。更重要的是切比雪夫關于獨立隨機變量序列的大數律和某類獨立隨機變量序列的中心極限定理，概率論的系統理論到二十世紀才完成。

綜上所述，可看到十九世紀前半葉出現的新思想，在這20多年間變得更成熟，形成了眾多獨立的研究方向或分支學科。

數學公理化運動的初創期

這一階段從十九世紀七十年代初到十九世紀末。數學經過十九世紀前七十年的發展，討論基礎問題的條件已趨成熟。與以前的世紀不同，十九世紀的數學家最終選擇算術而不是幾何作為本門科學的基礎。

幾何中普呂克有關齊次坐標的研究，分析中魏爾斯特拉斯的靜態方法都反映了這種傾向。但是算術中最基本的實數概念始終是模糊的?？挛鞯膶崝刀x有嚴重缺陷，犯了循環定義的錯誤。

1872年，魏爾斯特拉斯、康托爾、戴德金和其他一些數學家，在確認有理數存在的前提下，通過不同途徑給無理數下了精確定義。又經過不少數學家的努力，最終由意大利學者皮亞諾完成了有理數理論。1881年，他在《算術原理新方法》中，給出了自然數的公理體系，由此可從邏輯上嚴格定義正整數、負數、分數、無理數。

康托爾在探討實數定義的同時，研究了傅里葉級數收斂點集的結構，1874年起發表一系列有關無窮集合的文章，開創了集合論這一基礎性的數學分支?？低袪柕某晒歉叨泉殑撔缘?，他把無窮集本身作為研究對象，通過一一對應方法，區分無窮集的大小，定義了集合的基數(或稱勢)，引進序型、序數以及一些屬于拓撲學的基本概念。他提出了著名的連續統假設。

康托爾的工作影響十分深遠：首先是重新喚起人們對實無窮的研究，開拓了點集拓撲的領域；第二，使人們把函數的定義域建立在一般的點集之上，推動了測度論和泛函分析的研究；第三，由于集合論的內在矛盾，激發起對數理邏輯和數學基礎的深入研究。

但集合論問世之初，曾遭到一些著名數學家的激烈反對，以至康托爾晚年處于精神崩潰狀態。到十九世紀末，阿達馬等證實了康托爾的理論在分析學中的重要應用，才使這一理論得到轉機，終于成為二十世紀數學研究的一個基礎。

分析的嚴格化以皮亞諾的自然數公理體系的建立而告一段落。這種公理化的傾向也同樣在其他數學分支蔓延。弗雷格提出了邏輯公理體系，帕施得到了射影幾何的公理體系。最著名的是希爾伯特于1899年在《幾何基礎》中闡述的歐幾里得幾何的公理系統。他考慮了公理系統的獨立性、相容性和完備性，并證明歐幾里得幾何的相容性可歸結為算術的相容性。

希爾伯特的工作掀起了公理化的熱潮：一方面，數學家為各數學分支建立公理體系；另一方面，通過略去否定或其他方式改變所論體系的公理來探索新體系、新問題。

公理化運動并沒有限制新思想的萌生和對各種具體課題的研究，后者始終是數學發展中最活躍的因素。群論的應用在這一時期特別引人矚目，1872年，克萊因受聘任埃爾朗根大學教授時，發表題為《關于近代幾何研究的比較考察》的講演(即著名的埃爾朗根綱領)，他指出每種幾何可由特定的變換群來刻畫，各種幾何的研究內容是在相應的變換群下的不變量，一種幾何的子幾何則是研究原變換群的子群的不變量。根據變換群的觀點，克萊因對幾何進行了系統分類，揭示了群的概念在幾何中的統一作用(不包括一般的黎曼幾何和代數幾何)開拓了研究幾何的一種有效的方法?？巳R因的工作體現了數學專門化趨勢中蘊含的統一因素。

1874年，挪威數學家李在研究常微分方程與保持這些方程的解不變的變換群之間的關系時，創建了連續變換群理論(現稱李群)以及相應的代數(現稱李代數)。有了對具體的群的廣泛研究，抽象群論獲得了新生。1882年，德國數學家迪克受凱萊工作的鼓舞，引進用生成元和生成元之間關系來定義群的抽象觀點，開始抽象群論的系統研究。與此相伴的是分析與經典代數方法對群論的應用，即群的表示理論應運而生。

組合拓撲學作為一門學科在十九世紀末登上了數學舞臺。龐加萊是這一領域的主要奠基者。龐加萊是當時領頭的數學家之一，興趣廣泛，研究涉及眾多數學分支以至天體力學和物理科學。在探討描述行星運動的微分方程周期解時，他采用了拓撲觀點分析奇點及積分曲線的結構，開創了微分方程定性理論。在研究一般”維圖形的結構時，引進了一套系統的組合方法，為組合拓撲奠定了基礎。拓撲和抽象代數的觀點和方法成為二十世紀最有影響的研究手段。

與龐加萊齊名的另一位著名數學家是希爾伯特。他不僅積極創導了公理化方法，而且特別重視數學中單個重大問題的研究，認為這是數學活力之所在。他本人就通過解決一系列具體問題，得到許多重要方法。十九世紀末，他發表了兩個報告。《數論報告》系統總結了代數數論的全部成果，開辟了類域論的研究方向。

1900年，在第二屆國際數學家大會上，希爾伯特作了影響深遠的題為《數學問題》的報告，成為迎接二十世紀挑戰的宣言。

在數學分成幾十個分支各自獨立發展的形勢下，希爾伯特堅信數學科學是一個不可分割的有機整體，它的生命力正是在于各部分之間的聯系。在十九世紀末，領頭數學家對數學前途充滿了信心，與十八世紀末的情景形成鮮明對照。龐加萊和希爾伯特的業績展示了二十世紀數學大發展的曙光。

        二十世紀的數學

如果有人想談論一個世紀的終結以及下一個世紀的開始，那么他有兩個具有相當難度的選擇：一個是回顧過去百年的數學；另一個是對未來百年數學發展的預測，我選擇了前面這個比較困難的任務，任何人都可以預測未來而且我們并不能判定是對還是錯．然而對過去的任何評述，每個人都可以提出異議．

我在這里所講的是我個人的觀點．這個報告不可能包含所有內容，特別是，有一些重要的內容我不準備涉及，一部分是因為我不是那些方面的專家，一部分也是出于它們已經在其他地方被評述過了.例如，我不會去談論那些發生在邏輯與計算領域內的著名事件，這些事件往往是與像Hi1bert，G?del，Turing這些偉大的名字相關的，除了數學在基礎物理中的應用之外，我也不會談論太多數學的其他應用，這是因為數學的應用太廣泛了，而且這需要專門的論述．每一個方面都需要一個專門的報告．也許大家在這次會議的其他報告中會聽到很多關于這些內容的演講．另外，試著羅列一些定理，甚至是列出在過去一百年的著名數學家的名字也是毫無意義的，那簡直是在做枯燥的練習．所以，代替它們的是，我試著選擇一些我認為在很多方面都是很重要的主題來討論并且強調圍繞這些主題所發生的事情．

首先我有一個一般性的說明．世紀是一個大約的數字概念．我們不會真地認為在過整整一百年的時候，有些事情會突然停下來，再重新開始，所以當我描述二十世紀的數學時，有些內容實際上可能是跨世紀的，如果某件事件發生在十九世紀九十年代，并持續到二十世紀初，我將不去計較這種時間方面的細節．我所做的就象一個天文學家，工作在一個近似的數字環境中．實際上，許多東西始于十九世紀，只不過在二十世紀才碩果累累．

這個報告的難點之一是很難把我們自己放回到1900年時作為一位數學家的位置上，這是因為上個世紀的數學有非常多的內容已經被我們的文化和我們自己吸收掉了．難以想象人們不用我們的術語來思考的那個時代是什么樣子的．實際上，如果現在有人在數學上有一個真正重要的發現，其后他也一定會與之一起被忽略掉了！他會完全地被融入到背景之中，于是為了能夠回顧過去，我們必須努力去想象在不同時代，人們用不同方式思考問題時的情景．

從局部到整體

作為開始，我準備列一些主題并且圍繞它們來討論．我談論的第一個主題概括地講，就是被大家稱為從局部到整體的轉變．在古典時期，人們大體上已經研究了在小范圍內，使用局部坐標等等來研究事物．在這個世紀，重點已經轉移到試圖了解事物整體和大范圍的性質．由于整體性質更加難以研究，所以大多只能有定性的結果，這時拓撲的思想就變得非常重要了．正是Poincaré，他不僅為拓撲學發展作出先驅性的貢獻，而且也預言拓撲學將成為二十世紀數學的一個重要的組成部分，順便讓我提一下，給出一系列著名問題的Hilbert并沒有意識到這一點．拓撲學很難在他的那些問題中找到具體體現．但是對Poincaré而言，他相當清楚地看出拓撲學將成為一個重要的內容．

讓我試著列一些領域，然后大家就能知道我在想什么了．例如，考慮一下復分析（也被稱為“函數論”），這在十九世紀是數學的中心，也是象Weierstrass這樣偉大人物工作的中心．對于他們而言，一個函數就是一個復變量的函數;對于Weierstrass而言，一個函數就是一個冪級數．它們是一些可以用于寫下來，并且可以明確描繪的東西或者是一些公式．函數是一些公式:它們是明確可以用顯式寫下來的．然而接下來Abe1，Riemann和其后許多人的工作使我們遠離了這些，以至于函數變得可以不用明確的公式來定義，而更多地是通過它們的整體性質來定義：通過它們的奇異點的分布，通過它們的定義域位置，通過它們取值范圍．這些整體性質正是一個特定函數與眾不同的特性．局部展開只是看待它們的一種方式．

一個類似的事情發生在微分方程中，最初，解一個微分方程，人們需要尋找一個明確的局部解！是一些可以寫下來的東西．隨著事物的發展，解不必是一個顯函數，人們不一定必須用好的公式來描述它們．解的奇異性是真正決定其整體性質的東西．與發生在復分析中的一切相比，這種精神是多么的類似，只不過在細節上有些不同罷了．

在微分幾何中，Gauss和其他人的經典工作描述了小片的空間，小塊的曲率以及用來描述局部幾何的局部方程．只要人們想要了解曲面的整體圖象以及伴隨它們的拓撲時，從這些經典結果到大范圍的轉變就是很自然的了．當人們從小范圍到大范圍時，最有意義的性質就是拓撲的性質．

數論也有一個類似的發展，盡管它并不是很明顯地適用于這一框架．數論學家們是這樣來區分他們稱之為“局部理論”和“整體理論”的：前者是當他們討論一個單個的素數，一次一個素數，以及有限個素數時；后者是當他們同時討論全部素數時．這種素數和點之間，局部和整體之間的類似性在數論發展過程中起了很重要的作用，并且那些在拓撲學發展中產 生的思想深深地影響了數論．

當然這種情況也發生在物理學中，經典物理涉及局部理論，這時我們寫下可以完全描述小范圍性質的微分方程，接下來我們就必須研究一個物理系統的大范圍性質．物理學涉及的全部內容就是當我們從小范圍出發時，我們可以知道在大范圍內正在發生什么，可以預計將要發生什么，并且沿著這些結論前進．

維數的增加

我的第二個主題有些不同，我稱之為維數的增加．我們再次從經典的復變函數理論開始：經典復變函數論主要是詳細討論一個復變量理論并加以精煉．推廣到兩個或者更多個變量基本上發生在本世紀，并且是發生在有新現象出現的領域內．不是所有的現象都與一個變量的情形相同，這里有完全新的特性出現，并且n個變量的理論的研究越來越占有統治地位，這也是本世紀主要成就之一．

另一方面，過去的微分幾何學家主要研究曲線和曲面，我們現在研究n維流形的幾何，大家仔細想一想，就能意識到這是一個重要的轉變．在早期，曲線和曲面是那些人們能真正在空間里看到的東西．而高維則有一點點虛構的成分，在其中人們可以通過數學思維來想象,但當時人們也許沒有認真對待它們．認真對待它們并且用同樣重視程度來研究它們的這種思想實際上是二十世紀的產物．同樣地，也沒有明顯的證據表明我們十九世紀的先驅者們思考過函數個數的增加，研究不單單一個而是幾個函數，或者是向量值函數(vector-valued function)．所以我們看到這里有一個獨立和非獨立變量個數增加的問題．

線性代數總是涉及多個變量，但它的維數的增加更具有戲劇性，它的增加是從有限維到無窮維，從線性空間到有無窮個變量的Hilbert空間．當然這就涉及到了分析,在多個變量的函數之后，我們就有函數的函數，即泛函．它們是函數空間上的函數．它們本質上有無窮多個變量，這就是我們稱為變分學的理論．一個類似的事情發生在一般（非線性）函數理論的發展中．這是一個古老的課題，但真正取得卓越的成果是在二十世紀．這就是我談的第二個主題．

從交換到非交換

第三個主題是從交換到非交換的轉變．這可能是二十世紀數學，特別是代數學的最主要的特征之一．代數的非交換方面已經極其重要，當然，它源自于十九世紀．它有幾個不同的起源．Hamilton在四元數方面的工作可能是最令人驚嘆的，并且有巨大的影響，實際上這是受處理物理問題時所采用的思想所啟發．還有Grassmann在外代數方面的工作，這是另一個代數體系，現在已經被融入我們的微分形式理論中．當然，還有Cayley以線性代數為基礎的矩陣方面的工作和Galois在群論方面的工作等．

所有這些都是以不同的方式形成了把非交換乘法引入代數理論的基石，我形象地把它們說成是二十世紀代數機器賴以生存的“面包和黃油”．我們現在可以不去思考這些，但在十九世紀，以上所有例子都以各自不同的方式取得了重大的突破，當然，這些思想在不同的領域內得到了驚人的發展．矩陣和非交換乘法在物理中的應用產生了量子理論．Heisenberg對易關系是非交換代數在物理中的一個最重要的應用例子，以至后來被von Neumann推廣到他的算子代數理論中．

群論也是在二十世紀占重要位量的理論，我稍后再回來談它．

從線性到非線性

我的下一個主題是從線性到非線性的轉變．古典數學的大部分或者基本上是線性的，或者即使不是很精確的線性，也是那種可以通過某些擾動展開來研究的近似線性，真正的非線性現象的處理是非常困難的，且只是在本世紀，才在很大的范圍內對其進行了真正的研究．

我們從幾何開始談起：Euclid幾何，平面的幾何，空間的幾何，直線的幾何，所有這一切都是線性的．而從非歐幾何的各個不同階段到Riemann的更一般的幾何，所討論的基本上是非線性的．在微分方程中，真正關于非線性現象的研究已經處理了眾多我們通過經典方法所看不到的新現象．在這里我只舉兩個例子，孤立子和混沌，這是微分方程理論兩個非常不同的方面，在本世紀已經成為極度重要和非常著名的研究課題了．它們代表不同的極端．孤立子代表非線性微分方程的無法預料的有組織的行為，而混沌代表的是無法預料的無組織的行為(disorganized behavior)．這兩者出現在不同領域，都是非常有趣和重要的，但它們基本土都是非線性現象．我們同樣可以將關于孤立子的某些工作的早期歷史追溯到十九世紀下葉，但那只是很少的一部分．

當然，在物理學，Maxwell方程（電磁學的基本方程）是線性偏微分方程．與之對應的是著名的Yang-Mills方程，它們是非線性方程并被假定用來調控與物質結構有關的力．這些方程之所以是非線性的，是因為Yang-Mills方程本質上是Maxwell方程的矩陣體現，并且由矩陣不可交換這一事實導致方程中出現非線性項．于是在這里我們看到了一個非線性性與非交換性之間的有趣的聯系．非交換性產生一類特殊的非線性性，這的確是很有意思和很重要的．

幾何與代數

至此我談的是一些一般性的主題，現在我想談論一下數學中的一個二分叉現象，它來回搖擺卻始終伴隨著我們，這就給了我一個機會來做一些哲學上的思索和說明．我指的是幾何和代數之間的二分法，幾何和代數是數學的兩個形式支柱，并且都有悠久的歷史．幾何學可以追溯到古希臘甚至更早的時期；代數學則源于古阿拉伯人和古印度人．所以，它們都已經成為數學的基礎，但它們之間有一種令人感到不太自然的關系．

讓我首先由這個問題的歷史開始．Euc1id幾何是數學理論中最早的一個例子，直到Descartes在我們現在稱為的笛卡兒平面中引入代數坐標之前，它一直是純幾何的．Descartes的做法是一種將幾何思考化為代數運算的嘗試．從代數學家們的角度來講，這當然是對幾何學的一個重大突破或者說一次重大的沖擊，如果我們來比較Newton和Leibniz在分析方面的工作，我們會發現他們屬于不同的傳統，Newton基本上是一個幾何學家而Le1bniz基本土是一個代數學家，這其中有著很深刻的道理．對于Newton而言，幾何學，或者是由他發展起來的微積分學，都是用來描述自然規律的數學嘗試．他關心的是在很廣泛意義下的物理，以及幾何世界中的物理．在他看來，如果有人想了解事物，他就得用物理世界的觀點來思考它，用幾何圖象的觀點來看待它．當他發展微積分的時候，他想要發展的是微積分的一種能盡可能貼近隱藏在其后的物理內蘊的表現形式．所以他用的是幾何論證，因為這樣可以與實際意義保持密切關系，另一方面，Leibniz有一個目標，一個雄心勃勃的目標，那就是形式化整個數學，將之變成一個龐大的代數機器．這與Newton的途徑截然不同，并且二者有很多不同的記號．正如我們所知道的，在Newton和Leibniz之間的這場大爭論中，Leibniz的記號最后得勝．我們現在還沿用他的記號來寫偏導數．Newton的精神尚在，但被人們埋葬了很長時間．

在十九世紀末期，也就是一百年前，Poincaré和Hilbert是兩個主要人物．我在前面已經提到過他們了，并且可以粗略地講，他們分別是Newton和Leibniz的傳人．Poincaré的思想更多的是幾何和拓撲的精神，他用這些思想作為他的基本洞察工具．Hilbert更多的是一個形式主義者，他要的是公理化，形式化，并且要給出嚴格的，形式的描述．雖然任何一個偉大的數學家都不能輕易地被歸到哪一類中去，但是，很清楚地，他們屬于不同的傳統．

當準備這個報告的時候，我想我應該寫下我們目前這一代中能夠繼承這些傳統的具有代表性的人的名字．談論還健在的人是十分困難的──誰該放在這張名單上呢？接著我又暗自思忖：有誰會介意被放在這么一張著名的名單的哪一邊呢？于是我選擇了兩個名字Arnold　Bourbaki，前者是Poincaré-Newton傳統的繼承人，而后者，我認為，是Hilbert最著名的接班人．Arnold毫不含糊地認為：他的力學和物理的觀點基本上是幾何的，是源自于Newton的；以為存在處于二者之間的東西，除了象Riemann（他確實跟兩者都有偏離）等少數人之外，都是一種誤解．Bourbaki努力繼續Hilbert的形式化的研究，將數學公理化和形式化推向了一個令人矚目的范圍并取得了一些成功．每一種觀點都有它的優點，但是它們之間很難調和．

讓我來解釋一下我自己是如何看待幾何和代數之間的不同．幾何學當然講的是空間，這是毫無疑問的．如果我面對這間房間里的聽眾，我可以在一秒中內或者是一微秒內看到很多，接收到大量的信息，當然這不是一件偶然的事件．我們大腦的構造與視覺有著極其重要的關系．我從一些從事神經生理學的朋友那里了解到，視覺占用了大腦皮層的百分之八十或九十．在大腦中大約有十七個中樞，每一個中樞專門用來負責視覺活動的不同部分：有些部分涉及的是垂直方向的，有些部分與水平方向有關，有些部分是關于色彩和透視的，最后有些部分涉及的是所見事物的具體含義和解說．理解并感知我們所看到的這個世界是我們人類發展進化的一個非常重要的部分．因此空間直覺(spatial intuition)或者空間知覺(spatial perception)是一種非常強有力的工具，也是幾何學在數學上占有如此重要位置的原因，它不僅僅對那些明顯具有幾何性質的事物可以使用，甚至對那些沒有明顯幾何性質的事物也可以使用．我們努力將它們歸結為幾何形式，因為這樣可以讓我們使用我們的直覺．我們的直覺是我們最有力的武器．特別是在向學生或是同事講解一種數學時可以看得很清楚．當你講解一個很長而且很有難度的論證，最后使學生明白了．學生這時會說些什么呢？他會說“我看到了（我懂了）！”在這里看見與理解是同義詞，而且我們還可以用“知覺”這個詞來同時形容它們，至少這在英語里是對的，把這個現象與其他語言作對比同樣有趣．我認為有一點是很基本的：人類通過這種巨大的能力和視覺的瞬間活動獲取大量的信息，從而得以發展，而教學參與其中并使之完善．

在另一方面（也許有些人不這樣認為），代數本質上涉及的是時間．無論現在做的是哪一類代數，都是一連串的運算被一個接著一個羅列出來，這里“一個接著一個”的意思是我們必須有時間的概念．在一個靜態的宇宙中，我們無法想象代數，但幾何的本質是靜態的：我可以坐在這里觀察，沒有什么變化，但我仍可以繼續觀察．然而,代數與時間有關，這是因為我們有一連串的運算，這里當我談到“代數”時，我并不單單指現代代數．任何算法，任何計算過程，都是一個接著一個地給出一連串步驟,現代計算機的發展使這一切看得很清楚．現代計算機用一系列0和1來反映其信息并由此給出問題的答案．

代數涉及的是時間的操作，而幾何涉及的是空間．它們是世界互相垂直的兩個方面，并且它們代表數學中兩種不同的觀念．因此在過去數學家們之間關于代數和幾何相對重要性的爭論或者對話代表了某些非常非?；镜氖虑椋?/font>