方法竅門：數(shù)學(xué)解題思路和方法

 方 法

          說   明   和   舉   例

圖示法

    圖示法是在審題分析時，利用圖形揭示數(shù)量關(guān)系，使復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問題變得具體形象化，從而找出解題思路的一種方法。

對應(yīng)法

    對應(yīng)是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想方法。在許多數(shù)學(xué)題中存在著一些相關(guān)的對應(yīng)量。通過分析數(shù)量間的對應(yīng)關(guān)系，就可以找到解題的思路和方法。

轉(zhuǎn)化法

    在解答難題遇到障礙時，可以把原來的問題轉(zhuǎn)化為另一個問題進(jìn)行思考，從而使思路暢通，這種思考方法稱為轉(zhuǎn)化法。運(yùn)用此法的關(guān)鍵是把題中某些條件由不容易解答的形式，轉(zhuǎn)化為容易解答的形式。

比較法

    有些數(shù)學(xué)題，單獨(dú)分析思考比較困難，可以和有關(guān)的相似、相近的題目進(jìn)行比較，或者把題目中所給的條件進(jìn)行比較，從而找到需要的數(shù)量關(guān)系和解題方法。

歸納法

 歸納法是通過幾個個別的例子，歸納發(fā)現(xiàn)一般的規(guī)律，從而找到解決問題的方法。

消去法

    對于含有兩個或兩個以上的未知數(shù)的數(shù)學(xué)題，可以通過對已知條件的比較分析，消去一個未知數(shù)，從而求得余下的一個未知數(shù)，然后再求出消去的未知數(shù)的解題方法。

類比法

    在解一道比較復(fù)雜的題目時，可以運(yùn)用已有的知識經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)真地聯(lián)想一道自己很熟悉的類似問題，然后通過兩題對比，找到解題思路。這種方法也叫聯(lián)想法。

探索法

 解數(shù)學(xué)題時，按照一定的方向，通過多次探索、嘗試，直到解決問題。這種方法也叫做探索嘗試法。

 方 法

          說   明   和   舉   例

倒推法

    倒推法是解題的一種常用思想方法。有些數(shù)學(xué)題（如還原問題），給出一個數(shù)，經(jīng)過若干次運(yùn)算變化后得出的結(jié)果，要求原來的數(shù)。解題時，按照原題計算順序的相反方向，采用原題計算的逆運(yùn)算。

假設(shè)法

    有些數(shù)學(xué)題（如雞兔問題），如果把題目所給的條件作某種假設(shè)性的變化，根據(jù)這個假設(shè)以及題目中已知條件進(jìn)行推算，其結(jié)果常常與題目中相對應(yīng)的已知數(shù)不相符，然后尋找不相符的原因，從而進(jìn)行調(diào)整，即可求出原題答案。

列表法

    列表法是根據(jù)題目的要求，在所設(shè)計的圖表上進(jìn)行分析解答。列表法表達(dá)明了，清晰簡便，可簡化許多復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算過程，是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法。

列舉法

    列舉法是根據(jù)題目的要求，按照不重復(fù)、不遺漏的原則，把所有的情形一一列舉出來，從中找到最后結(jié)果的解題方法。這種方法也叫枚舉法。

譯式法

    譯式法是將應(yīng)用題中一些關(guān)鍵性的語言分別譯成代數(shù)式，即用未知數(shù)X明顯地表示關(guān)鍵量，然后找出等量關(guān)系，列出方程，計算出結(jié)果。

比值法

    當(dāng)已知條件含有一串相等的比時，可設(shè)其比值為參數(shù)K , 用K 把其它各個有關(guān)量表示出來，通過方程或其它方法轉(zhuǎn)化求得 K值而得解。這種方法稱為比值法。比值法常用來證明等比定理、正弦定理，求等量之間的關(guān)系，三角形中的邊角互換，證明恒等式等。

配方法

    在數(shù)式變換中，根據(jù)需要把有關(guān)字母的項(xiàng)對照公式（平方差公式、完全平方公式、完全立方公式、立方差公式等）補(bǔ)上恰當(dāng)?shù)捻?xiàng)，配成公式的形式，求得題目的解。配方法常用來分解因式、化簡二次根式、解方程組和不等式，求函數(shù)的最值等。

 方 法

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換元法

    解題中為了化繁為簡，化難為易，促使未知向已知轉(zhuǎn)化，可把某個數(shù)學(xué)式看成一個新的未知數(shù)，這種實(shí)行變量替換的辦法稱為換元法。換元法常用來平均數(shù)代換、比值代換、對稱代換、三角代換等。

待  定

系數(shù)法

    在解一些數(shù)學(xué)問題時，按照需要常常先根據(jù)題設(shè)條件確立出某種一定的結(jié)構(gòu)形式，盡管其中尚有一些系數(shù)一時還不知道，但可利用給定的已知條件來確定它們，以便最終獲解。這種處理問題的方法叫待定系數(shù)法。待定系數(shù)法常用來作代數(shù)式的衡等變形、解方程與不等式、解函數(shù)的值、解數(shù)列問題等。

放縮法

    在處理數(shù)式問題的過程中，有時把某些項(xiàng)放大或縮小，有時舍棄或增加某些項(xiàng)，能獲得簡化解題過程的效果。這種方法叫放縮法。放縮法常用來證明不等式、解方程、處理整數(shù)問題等。

構(gòu)造法

    構(gòu)造法是針對數(shù)學(xué)問題的題型特點(diǎn)，構(gòu)造與之相關(guān)的輔助數(shù)式、圖形或物理模型等，以求另辟捷徑的解題方法。構(gòu)造法常用來構(gòu)造數(shù)式、構(gòu)造圖形、構(gòu)造物理模型（多為杠桿）。

三角法

    三角法是利用三角形邊角元素間的關(guān)系，借助三角函數(shù)式的變形來推證幾何命題的方法。其步驟有三：①選取恰當(dāng)?shù)慕菂?shù)；②用角的三角函數(shù)表示邊，建立邊角間的聯(lián)系；③消參化簡，推出要證的結(jié)論。

反證法

    反證法是一種間接證明方法，即不是直接從正面考慮，而是從問題結(jié)論的反面考慮，從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過正確、嚴(yán)格的推理，得到與該數(shù)學(xué)命題相矛盾的結(jié)果，查產(chǎn)生矛盾的原因，不是由于推理的錯誤，而是開始時否定結(jié)論所導(dǎo)致，故原命題是不容否定的正確結(jié)論。難于從正面論證的題目，可以使用反證法。

 方 法

           說   明   和   舉   例

添作輔

助線法

    添作輔助線是平面幾何證題和計算中常用的一種重要方法。恰當(dāng)?shù)妮o助線能起到解題的橋梁作用。它可溝通條件和結(jié)論的聯(lián)系，使一個幾何量（關(guān)系）過渡到另一個幾何量（關(guān)系）；當(dāng)條件和結(jié)論之間關(guān)系不夠明確時，添作輔助線能把需要的關(guān)系揭露出來。添作輔助線的常用方法有平行移動、旋轉(zhuǎn)、翻折、關(guān)于一點(diǎn)或一直線的反射等。

等積法

    在平面幾何中，用不同的方法計算同一塊面積，從而得到一個面積等式，再對這個面積等式進(jìn)行整理或變換，以獲得所證的結(jié)果的方法。例如三角形面積之間的關(guān)系（同底、等高、相似、相鄰、等積）均可利用。

代數(shù)法

    利用平面幾何有關(guān)原理，把圖形中有關(guān)邊角用代數(shù)方法表示，將欲證明的幾何問題中的條件、結(jié)論轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，通過代數(shù)運(yùn)算，證明幾何問題的方法，叫做用代數(shù)法證幾何題。

補(bǔ)形法

類似于添輔助線法，常用于解立體幾何題。

化歸法

    化歸法是把空間元素之間的關(guān)系化歸為同一平面上有關(guān)元素之間的關(guān)系，這是求解立體幾何問題的一種常用思路和方法。例如，將異面直線平移到同一平面，用平面幾何或三角工具求解。

特  征

觀察法

    有些數(shù)學(xué)題（如選擇題）無須解題過程，只要細(xì)心觀察題目所提供的信息特征，就可以得出結(jié)論。常見的可觀察的特征有：數(shù)學(xué)式結(jié)構(gòu)特征、數(shù)值大小特征、圖形特征、關(guān)系特征等等。

剩余法

    如果某一組復(fù)雜的現(xiàn)象是由一組復(fù)雜的原因所引起的，把其中確認(rèn)有因果關(guān)系的部分找出來后，剩余的部分可能也有因果聯(lián)系。