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當滿足條件：對于所有的j，都有Yk > Yj,的時候，我們就說x屬于類別k。對于每一個分類，都有一個公式去算一個分值，在所有的公式得到的分值中，找一個最大的，就是所屬的分類了。 上式實際上就是一種投影，是將一個高維的點投影到一條高維的直線上，LDA最求的目標是，給出一個標注了類別的數據集，投影到了一條直線之后，能夠使得點盡量的按類別區(qū)分開，當k=2即二分類問題的時候，如下圖所示：
紅色的方形的點為0類的原始點、藍色的方形點為1類的原始點，經過原點的那條線就是投影的直線，從圖上可以清楚的看到，紅色的點和藍色的點被原點明顯的分開了，這個數據只是隨便畫的，如果在高維的情況下，看起來會更好一點。下面我來推導一下二分類LDA問題的公式： 假設用來區(qū)分二分類的直線（投影函數)為：
LDA分類的一個目標是使得不同類別之間的距離越遠越好，同一類別之中的距離越近越好，所以我們需要定義幾個關鍵的值。 類別i的原始中心點為：（Di表示屬于類別i的點) 類別i投影后的中心點為：
衡量類別i投影后，類別點之間的分散程度（方差）為：
最終我們可以得到一個下面的公式，表示LDA投影到w后的損失函數：
我們分類的目標是，使得類別內的點距離越近越好（集中），類別間的點越遠越好。分母表示每一個類別內的方差之和，方差越大表示一個類別內的點越分散，分子為兩個類別各自的中心點的距離的平方，我們最大化J(w)就可以求出最優(yōu)的w了。想要求出最優(yōu)的w，可以使用拉格朗日乘子法，但是現在我們得到的J(w)里面，w是不能被單獨提出來的，我們就得想辦法將w單獨提出來。 我們定義一個投影前的各類別分散程度的矩陣，這個矩陣看起來有一點麻煩，其實意思是，如果某一個分類的輸入點集Di里面的點距離這個分類的中心店mi越近，則Si里面元素的值就越小，如果分類的點都緊緊地圍繞著mi，則Si里面的元素值越更接近0.
帶入Si，將J(w)分母化為：
同樣的將J(w)分子化為：
這樣損失函數可以化成下面的形式： 這樣就可以用最喜歡的拉格朗日乘子法了，但是還有一個問題，如果分子、分母是都可以取任意值的，那就會使得有無窮解，我們將分母限制為長度為1（這是用拉格朗日乘子法一個很重要的技巧，在下面將說的PCA里面也會用到，如果忘記了，請復習一下高數），并作為拉格朗日乘子法的限制條件，帶入得到：
這樣的式子就是一個求特征值的問題了。 對于N(N>2)分類的問題，我就直接寫出下面的結論了：
這同樣是一個求特征值的問題，我們求出的第i大的特征向量，就是對應的Wi了。 這里想多談談特征值，特征值在純數學、量子力學、固體力學、計算機等等領域都有廣泛的應用，特征值表示的是矩陣的性質，當我們取到矩陣的前N個最大的特征值的時候，我們可以說提取到的矩陣主要的成分（這個和之后的PCA相關，但是不是完全一樣的概念）。在機器學習領域，不少的地方都要用到特征值的計算，比如說圖像識別、pagerank、LDA、還有之后將會提到的PCA等等。 下圖是圖像識別中廣泛用到的特征臉（eigen face），提取出特征臉有兩個目的，首先是為了壓縮數據，對于一張圖片，只需要保存其最重要的部分就是了，然后是為了使得程序更容易處理，在提取主要特征的時候，很多的噪聲都被過濾掉了。跟下面將談到的PCA的作用非常相關。
特征值的求法有很多，求一個D * D的矩陣的時間復雜度是O(D^3), 也有一些求Top M的方法，比如說power method，它的時間復雜度是O(D^2 * M), 總體來說，求特征值是一個很費時間的操作，如果是單機環(huán)境下，是很局限的。 PCA： 主成分分析（PCA）與LDA有著非常近似的意思，LDA的輸入數據是帶標簽的，而PCA的輸入數據是不帶標簽的，所以PCA是一種unsupervised learning。LDA通常來說是作為一個獨立的算法存在，給定了訓練數據后，將會得到一系列的判別函數（discriminate function），之后對于新的輸入，就可以進行預測了。而PCA更像是一個預處理的方法，它可以將原本的數據降低維度，而使得降低了維度的數據之間的方差最大（也可以說投影誤差最小，具體在之后的推導里面會談到）。 方差這個東西是個很有趣的，有些時候我們會考慮減少方差（比如說訓練模型的時候，我們會考慮到方差-偏差的均衡），有的時候我們會盡量的增大方差。方差就像是一種信仰（強哥的話），不一定會有很嚴密的證明，從實踐來說，通過盡量增大投影方差的PCA算法，確實可以提高我們的算法質量。 說了這么多，推推公式可以幫助我們理解。我下面將用兩種思路來推導出一個同樣的表達式。首先是最大化投影后的方差，其次是最小化投影后的損失（投影產生的損失最小）。 最大化方差法： 假設我們還是將一個空間中的點投影到一個向量中去。首先，給出原空間的中心點：
最小化損失法： 假設輸入數據x是在D維空間中的點，那么，我們可以用D個正交的D維向量去完全的表示這個空間（這個空間中所有的向量都可以用這D個向量的線性組合得到）。在D維空間中，有無窮多種可能找這D個正交的D維向量，哪個組合是最合適的呢？ 假設我們已經找到了這D個向量，可以得到：
下圖是PCA的投影的一個表示，黑色的點是原始的點，帶箭頭的虛線是投影的向量，Pc1表示特征值最大的特征向量，pc2表示特征值次大的特征向量，兩者是彼此正交的，因為這原本是一個2維的空間，所以最多有兩個投影的向量，如果空間維度更高，則投影的向量會更多。
總結： 本次主要講了兩種方法，PCA與LDA，兩者的思想和計算方法非常類似，但是一個是作為獨立的算法存在，另一個更多的用于數據的預處理的工作。另外對于PCA和LDA還有核方法，本次的篇幅比較大了，先不說了，以后有時間再談：
參考資料： prml bishop，introduce to LDA（對不起，這個真沒有查到出處） |
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