【原】FFT結果的物理意義

引言：對于ADC后端測試信噪比時，用matlab做FFT分析得到信噪比，但是很多時候我們對這個FFT并沒有完全理解，所以大多時候只是照本宣科。
下文是一篇很不錯的關于FFT物理意義說明的文章，分析得很透徹，推薦給大家

FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個信號變換到頻域。有些信號在時域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多信號分析采用FFT變換的原因。另外，F(xiàn)FT可以將一個信號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經(jīng)常用的。

雖然很多人都知道FFT是什么，可以用來做什么，怎么去做，但是卻不知道FFT之后的結果是什意思、如何決定要使用多少點來做FFT。

一個模擬信號，經(jīng)過ADC采樣之后，就變成了數(shù)字信號。采樣定理告訴我們，采樣頻率要大于信號頻率的兩倍，這些我就不在此羅嗦了。

采樣得到的數(shù)字信號，就可以做FFT變換了。N個采樣點，經(jīng)過FFT之后，就可以得到N個點的FFT結果。為了方便進行FFT運算，通常N取2的整數(shù)次方。

假設采樣頻率為Fs，信號頻率F，采樣點數(shù)為N。那么FFT之后結果就是一個為N點的復數(shù)。每一個點就對應著一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的幅度有什么關系呢？假設原始信號的峰值為A，那么FFT的結果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。 而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流分量（即0Hz），而最后一個點N的再下一個點（實際上這個點是不存在的，這里是假設的第N+1個點，可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最后）則表示采樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率為：。

由上面的公式可以看出，F(xiàn)n所能分辨到頻率為 Fs/N，如果采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點數(shù)為1024點，則可以分辨到1Hz。1024Hz的采樣率采樣1024點，剛好是1秒，也就是說，采樣1秒時間的信號并做FFT，則結果可以分析到1Hz，如果采樣2秒時間的信號并做FFT，則結果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加采樣點數(shù)，也即采樣時間。頻率分辨率和采樣時間是倒數(shù)關系。假設FFT之后某點n用復數(shù)a+bi表示，那么這個復數(shù)的模就是，相位就是。根據(jù)以上的結果，就可以計算出n點（n≠1，且n<=N/2）對應的信號的表達式為：，即。對于n=1點的信號，是直流分量，幅度即為A1/N。由于FFT結果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結果，即小于采樣頻率一半的結果。

好了，說了半天，看著公式也暈，下面以一個實際的信號來做說明。

假設我們有一個信號，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流信號，以及一個頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流信號。用數(shù)學表達式就是如下：

S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

式中cos參數(shù)為弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。我們以256Hz的采樣率對這個信號進行采樣，總共采樣256點。按照我們上面的分析，F(xiàn)n=(n-1)*Fs/N，我們可以知道，每兩個點之間的間距就是1Hz，第n個點的頻率就是n-1。我們的信號有3個頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應該分別在第1個點、第51個點、第76個點上出現(xiàn)峰值，其它各點應該接近0。實際情況如何呢？
我們來看看FFT的結果的模值如圖所示。

圖1 FFT結果

從圖中我們可以看到，在第1點、第51點、和第76點附近有比較大的值。我們分別將這三個點附近的數(shù)據(jù)拿上來細看：
1點： 512+0i
2點： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3點： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

50點：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51點：332.55 - 192i
52點：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

75點：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76點：3.4315E-12 + 192i
77點：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
 
很明顯，1點、51點、76點的值都比較大，它附近的點值都很小，可以認為是0，即在那些頻率點上的信號幅度為0。接著，我們來計算各點的幅度值。分別計算這三個點的模值，

結果如下：
1點： 512
51點：384
76點：192

按照公式，可以計算出直流分量為：512/N=512/256=2；50Hz信號的幅度為：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信號的幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻譜分析出來的幅度是正確的。

然后再來計算相位信息。直流信號沒有相位可言，不用管它。先計算50Hz信號的相位，atan2(-192,332.55)=-0.5236,結果是弧度，換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計算75Hz信號的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，換算成角度180*1.5708/pi=90.0002。可見，相位也是對的。

根據(jù)FFT結果以及上面的分析計算，我們就可以寫出信號的表達式了，它就是我們開始提供的信號。

總結：假設采樣頻率為Fs，采樣點數(shù)為N，做FFT之后，某一點n（n從1開始）表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N；該點的模值除以N/2就是對應該頻率下的信號的幅度（對于直流信號是除以N）；該點的相位即是對應該頻率下的信號的相位。相位的計算可用函數(shù)atan2(b,a)計算。 atan2(b,a)是求坐標為(a,b)點的角度值，范圍從-pi到pi。要精確到xHz，則需要采樣長度為1/x秒的信號，并做FFT。要提高頻率分辨率，就需要增加采樣點數(shù)，這在一些實際的應用中是不現(xiàn)實的，需要在較短的時間內(nèi)完成分析。解決這個問題的方法有頻率細分法，比較簡單的方法是采樣比較短時間的信號，然后在后面補充一定數(shù)量的0，使其長度達到需要的點數(shù)，再做FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。
具體的頻率細分法可參考相關文獻。

[附錄：本測試數(shù)據(jù)使用的matlab程序]
close all; %先關閉所有圖片
Adc=2;  %直流分量幅度
A1=3;   %頻率F1信號的幅度
A2=1.5; %頻率F2信號的幅度
F1=50;  %信號1頻率(Hz)
F2=75;  %信號2頻率(Hz)
Fs=256; %采樣頻率(Hz)
P1=-30; %信號1相位(度)
P2=90;  %信號相位(度)
N=256;  %采樣點數(shù)
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采樣時刻

%信號
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%顯示原始信號
plot(S);
title('原始信號');

figure;
Y = fft(S,N); %做FFT變換
Ayy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %顯示原始的FFT模值結果
title('FFT 模值');

figure;
Ayy=Ayy/(N/2);   %換算成實際的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %換算成實際的頻率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));   %顯示換算后的FFT模值結果
title('幅度-頻率曲線圖');

figure;
Pyy=[1:N/2];
for i="1:N/2"
Pyy(i)=phase(Y(i)); %計算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %換算為角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));   %顯示相位圖
title('相位-頻率曲線圖');