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一、建立意義 師：你們喜歡體育運(yùn)動嗎? 生：(齊)喜歡! 師：如果張老師告訴大家，我最喜歡并且最拿手的體育運(yùn)動是籃球，你們相信嗎? 生：不相信。籃球運(yùn)動員通常都很強(qiáng)壯，就像姚明和喬丹那樣。張老師，您也太瘦了點(diǎn)。 師：真是哪壺不開提哪壺啊。不過還別說，和你們一樣，我們班上的小強(qiáng)、小林、小剛對我的投籃技術(shù)也深表懷疑。就在上星期，他們?nèi)诉€約我進(jìn)行了一場“1分鐘投籃挑戰(zhàn)賽”。怎么樣，想不想了解現(xiàn)場的比賽情況? 生：(齊)想! 師：首先出場的是小強(qiáng)，他1分鐘投中了5個球。可是，小強(qiáng)對這一成績似乎不太滿意，覺得好像沒有發(fā)揮出自己的真實(shí)水平，想再投兩次。如果你是張老師，你會同意他的要求嗎? 生：我不同意。萬一他后面兩次投中的多了，那我不就危險啦! 生：我會同意的。做老師的應(yīng)該大度一點(diǎn)。 師：呵呵，還真和我想到一塊兒去了。不過，小強(qiáng)后兩次的投籃成績很有趣。 (師出示小強(qiáng)的后兩次投籃成績：5個，5個。生會心地笑了) 師：還真巧，小強(qiáng)三次都投中了5個。現(xiàn)在看來，要表示小強(qiáng)1分鐘投中的個數(shù)，用哪個數(shù)比較合適? 生：5。 師：為什么? 生：他每次都投中5個，用5來表示他1分鐘投中的個數(shù)最合適了。 師：說得有理!接著該小林出場了。小林1分鐘又會投中幾個呢?我們也一起來看看吧。 (師出示小林第一次投中的個數(shù)：3個) 師：如果你是小林，會就這樣結(jié)束嗎? 生：不會!我也會要求再投兩次的。 師：為什么? 生：這也太少了，肯定是發(fā)揮失常。 師：正如你們所說的，小林果然也要求再投兩次。不過，麻煩來了。(出示小林的后兩次成績：5個，4個)三次投籃，結(jié)果怎么樣? 生：(齊)不同。 師：是呀，三次成績各不相同。這一回，又該用哪個數(shù)來表示小林1分鐘投籃的一般水平呢? 生：我覺得可以用5來表示，因?yàn)樗疃啵瓮吨辛?個。 生：我不同意川、強(qiáng)每次都投中5個，所以用5來表示他的成績。但小林另外兩次分別投中4個和3個，怎么能用5來表示呢? 師：也就是說，如果也用5來表示，對小強(qiáng)來說—— 生：(齊)不公平! 師：該用哪個數(shù)來表示呢? 生：可以用4來表示，因?yàn)?、4、5三個數(shù)，4正好在中間，最能代表他的成績。 師：不過，小林一定會想，我畢竟還有一次投中5個，比4個多1呀。 生：(齊)那他還有一次投中3個，比4個少1呀。 師：哦，一次比4多1，一次比4少1…… 生：那么，把5里面多的1個送給3，這樣不就都是4個了嗎? (師結(jié)合學(xué)生的交流，呈現(xiàn)移多補(bǔ)少的過程，如圖1) 師：數(shù)學(xué)上，像這樣從多的里面移一些補(bǔ)給少的，使得每個數(shù)都一樣多。這一過程就叫“移多補(bǔ)少”。移完后，小林每分鐘看起來都投中了幾個? 生：(齊)4個。 師：能代表小林1分鐘投籃的一般水平嗎? 生：(齊)能! 師：輪到小剛出場了。(出示圖2)小剛也投了三次，成績同樣各不相同。這一回，又該用幾來代表他1分鐘投籃的一般水平呢?同學(xué)們先獨(dú)立思考，然后在小組里交流自己的想法。 生：我覺得可以用4來代表他1分鐘的投籃水平。他第二次投中7個，可以移1個給第一次，再移2個給第三次，這樣每一次看起來好像都投中了4個。所以用4來代表比較合適。 (結(jié)合學(xué)生交流，師再次呈現(xiàn)移多補(bǔ)少過程，如圖3) 師：還有別的方法嗎? 生：我們先把小剛?cè)瓮吨械膫€數(shù)相加，得到12個，再用12除以3等于4個。所以，我們也覺得用4來表示小剛1分鐘投籃的水平比較合適。 [師板書：3+7+2=12(個)，12÷3=4(個)] 師：像這樣先把每次投中的個數(shù)合起來，然后再平均分給這三次(板書：合并、平分)，能使每一次看起來一樣多嗎? 生：能!都是4個。 師：能不能代表小剛1分鐘投籃的一般水平? 生：能! 師：其實(shí)，無論是剛才的移多補(bǔ)少，還是這回的先合并再平均分，目的只有一個，那就是—— 生：使原來幾個不相同的數(shù)變得同樣多。 師：數(shù)學(xué)上，我們把通過移多補(bǔ)少后得到的同樣多的這個數(shù)，就叫做原來這幾個數(shù)的平均數(shù)。(板書課題：平均數(shù))比如，在這里(出示圖1)，我們就說4是3、4、5這三個數(shù)的平均數(shù)。那么，在這里(出示圖3)，哪個數(shù)是哪幾個數(shù)的平均數(shù)呢?在小組里說說你的想法。 生：在這里，4是3、7、2這三個數(shù)的平均數(shù)。 師：不過，這里的平均數(shù)4能代表小剛第一次投中的個數(shù)嗎? 生：不能! 師：能代表小剛第二次、第三次投中的個數(shù)嗎? 生：也不能! 師：奇怪，這里的平均數(shù)4既不能代表小剛第一次投中的個數(shù)，也不能代表他第二次、第三次投中的個數(shù)，那它究竟代表的是哪一次的個數(shù)呢? 生：這里的4代表的是小剛?cè)瓮痘@的平均水平。 生：是小剛1分鐘投籃的一般水平。 (師板書：一般水平) 師：最后，該我出場了。知道自己投籃水平不怎么樣，所以正式比賽前，我主動提出投四次的想法。沒想到，他們竟一口答應(yīng)了。前三次投籃已經(jīng)結(jié)束，怎么樣，想不想看看我每一次的投籃情況? (師呈現(xiàn)前三次投籃成績：4個、6個、5個，如圖4) 師：猜猜看，三位同學(xué)看到我前三次的投籃成績，可能會怎么想? 生：他們可能會想：完了完了，肯定輸了。 師：從哪兒看出來的? 生：你們看，光前三次，張老師平均1分鐘就投中了5個，和小強(qiáng)并列第一。更何況，張老師還有一次沒投呢。 生：我覺得不一定。萬一張老師最后一次發(fā)揮失常，一個都沒投中，或只投中一兩個，張老師也可能會輸。 生：萬一張老師最后一次發(fā)揮超常，投中10個或更多，那豈不贏定了? 師：情況究竟會怎么樣呢?還是讓我們趕緊看看第四次投籃的成績吧。 (師出示圖5) 師：憑直覺，張老師最終是贏了還是輸了? 生：輸了。因?yàn)槟阕詈笠淮沃煌吨?個，也太少了。 師：不計(jì)算，你能大概估計(jì)一下，張老師最后的平均成績可能是幾個嗎? 生：大約是4個。 生：我也覺得是4個。 師：英雄所見略同呀。不過，第二次我明明投中了6個，為什么你們不估計(jì)我最后的平均成績是6個? 生：不可能，因?yàn)橹挥幸淮瓮吨?個，又不是次次都投中6個。 生：前三次的平均成績只有5個，而最后一次只投中1個，平均成績只會比5個少，不可能是6個。 生：再說，6個是最多的一次，它還要移一些補(bǔ)給少的。所以不可能是6個。 師：那你們?yōu)槭裁床还烙?jì)平均成績是1個呢?最后一次只投中1個呀! 生：也不可能。這次盡管只投中1個，但其他幾次都比1個多，移一些補(bǔ)給它后，就不止1個了。 師：這樣看來，盡管還沒得出結(jié)果，但我們至少可以肯定，最后的平均成績應(yīng)該比這里最大的數(shù)—— 生：小一些。 生：還要比最小的數(shù)大一些。 生：應(yīng)該在最大數(shù)和最小數(shù)之間。 師：是不是這樣呢?趕緊想辦法算算看吧。 [生列式計(jì)算，并交流計(jì)算過程：4+6+5+1=16(個)，16÷4=4(個)] 師：和剛才估計(jì)的結(jié)果比較一下，怎么樣? 生：的確在最大數(shù)和最小數(shù)之間。 師：現(xiàn)在看來，這場投籃比賽是我輸了。你們覺得問題主要出在哪兒? 生：最后一次投得太少了。 生：如果最后一次多投幾個，或許你就會贏了。 師：試想一下：如果張老師最后一次投中5個，甚至更多一些，比如9個，比賽結(jié)果又會如何呢?同學(xué)們可以通過觀察來估一估，也可以動筆算一算，然后在小組里交流你的想法。 (生估計(jì)或計(jì)算，隨后交流結(jié)果) 生：如果最后一次投中5個，那么只要把第二次多投的1個移給第一次，很容易看出，張老師1分鐘平均能投中5個。 師：你是通過移多補(bǔ)少得出結(jié)論的。還有不同的方法嗎? 生：我是列式計(jì)算的。4+6+5+5=20(個)，20÷4=5(個)。 生：我還有補(bǔ)充!其實(shí)不用算也能知道是5個。大家想呀，原來第四次只投中1個，現(xiàn)在投中了5個，多出4個。平均分到每一次上，每一次正好能分到1個，結(jié)果自然就是5個了。 師：那么，最后一次如果從原來的1個變成9個，平均數(shù)又會增加多少呢? 生：應(yīng)該增加2。因?yàn)?比1多8，多出的8個再平均分到四次上，每一次只增加了2個。所以平均數(shù)應(yīng)增加2個。 生：我是列式計(jì)算的，4+6+5+9=24(個)，24÷4=6(個)。結(jié)果也是6個。 二、深化理解 師：現(xiàn)在，請大家觀察下面的三幅圖，你有什么發(fā)現(xiàn)?把你的想法在小組里說一說。 (師出示圖6、圖7、圖8，三圖并排呈現(xiàn)) (生獨(dú)立思考后，先組內(nèi)交流想法，再全班交流) 生：我發(fā)現(xiàn)，每一幅圖中，前三次成績不變，而最后一次成績各不相同。 師：最后的平均數(shù)—— 生：也不同。 師：看來，要使平均數(shù)發(fā)生變化，只需要改變其中的幾個數(shù)? 生：一個數(shù)。 師：瞧，前三個數(shù)始終不變，但最后一個數(shù)從1變到5再變到9，平均數(shù)—— 生：也跟著發(fā)生了變化。 師：難怪有人說，平均數(shù)這東西很敏感，任何一個數(shù)據(jù)的“風(fēng)吹草動”，都會使平均數(shù)發(fā)生變化。現(xiàn)在看來，這話有道理嗎?(生：有)其實(shí)呀，善于隨著每一個數(shù)據(jù)的變化而變化，這正是平均數(shù)的一個重要特點(diǎn)。在未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們將就此作更進(jìn)一步的研究。大家還有別的發(fā)現(xiàn)嗎? 生：我發(fā)現(xiàn)平均數(shù)總是比最大的數(shù)小，比最小的數(shù)大。 師：能解釋一下為什么嗎? 生：很簡單。多的要移一些補(bǔ)給少的，最后的平均數(shù)當(dāng)然要比最大的小，比最小的大了。 師：其實(shí)，這是平均數(shù)的又一個重要特點(diǎn)。利用這一特點(diǎn)，我們還可以大概地估計(jì)出一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。 生：我還發(fā)現(xiàn)，總數(shù)每增加4，平均數(shù)并不增加4，而是只增加1。 師：那么，要是這里的每一個數(shù)都增加4，平均數(shù)又會增加多少呢?還會是1嗎? 生：不會，應(yīng)該增加4。 師：真是這樣嗎?課后，同學(xué)們可以繼續(xù)展開研究。或許你們還會有更多的新發(fā)現(xiàn)!不過，關(guān)于平均數(shù)，還有一個非常重要的特點(diǎn)隱藏在這幾幅圖當(dāng)中。想不想了解? 生：想! 師：以圖6為例。仔細(xì)觀察，有沒有發(fā)現(xiàn)這里有些數(shù)超過了平均數(shù)，而有些數(shù)還不到平均數(shù)?(生點(diǎn)頭示意)比較一下超過的部分與不到的部分，你發(fā)現(xiàn)了什么? 生：超過的部分和不到的部分一樣多，都是3個。 師：會不會只是一種巧合呢?讓我們趕緊再來看看另兩幅圖(指圖7、圖8)吧? 生：(觀察片刻)也是這樣的。 師：這兒還有幾幅圖，(出示圖1和圖3)情況怎么樣呢? 生：超過的部分和不到的部分還是同樣多。 師：奇怪，為什么每一幅圖中，超出平均數(shù)的部分和不到平均數(shù)的部分都一樣多呢? 生：如果不一樣多，超過的部分移下來后，就不可能把不到的部分正好填滿。這樣就得不到平均數(shù)了。 生：就像山峰和山谷一樣。把山峰切下來，填到山谷里，正好可以填平。如果山峰比山谷大，或者山峰比山谷小，都不可能正好填平。 師：多生動的比方呀!其實(shí)，像這樣超出平均數(shù)的部分和不到平均數(shù)的部分一樣多，這是平均的第三個重要特點(diǎn)。把握了這一特點(diǎn)，我們可以巧妙地解決相關(guān)的實(shí)際問題。 (師出示如下三張紙條，如圖9) 師：張老師大概估計(jì)了一下，覺得這三張紙條的平均長度大約是10厘米。(呈現(xiàn)圖10)不計(jì)算，你能根據(jù)平均數(shù)的特點(diǎn)，大概地判斷一下，張老師的這一估計(jì)對嗎?
生：我覺得不對。因?yàn)榈诙埣垪l比10厘米只長了2厘米，而另兩張紙條比10厘米一共短了5厘米，不相等。所以，它們的平均長度不可能是10厘米。 師：照你看來，它們的平均長度會比10厘米長還是短? 生：應(yīng)該短一些。 生：大約是9厘米。 生：我覺得是8厘米。 生：不可能是8厘米。因?yàn)?比8小了1，而12比8大了4。 師：它們的平均長度到底是多少，還是趕緊口算一下吧。 …… 三、拓展展開 師：下面這些問題，同樣需要我們借助平均數(shù)的特點(diǎn)來解決。瞧，學(xué)校籃球隊(duì)的幾位同學(xué)正在進(jìn)行籃球比賽。我了解到這么一份資料，說李強(qiáng)所在的快樂籃球隊(duì)，隊(duì)員的平均身高是160厘米。那么，李強(qiáng)的身高可能是155厘米嗎? 生：有可能。 師：不對呀!不是說隊(duì)員的平均身高是160厘米嗎? 生：平均身高160厘米，并不表示每個人的身高都是160厘米。萬一李強(qiáng)是隊(duì)里最矮的一個，當(dāng)然有可能是155厘米了。 生：平均身高160厘米，表示的是籃球隊(duì)員身高的一般水平，并不代表隊(duì)里每個人的身高。李強(qiáng)有可能比平均身高矮，比如155厘米，當(dāng)然也可能比平均身高高，比如170厘米。 師：說得好!為了使同學(xué)們對這一問題有更深刻的了解，我還給大家?guī)砹艘环鶊D。(出示中國男子籃球隊(duì)隊(duì)員的合影，圖略)畫面中的人，相信大家一定不陌生。 生：姚明! 師：沒錯，這是以姚明為首的中國男子籃球隊(duì)隊(duì)員。老師從網(wǎng)上查到這么一則數(shù)據(jù)，中國男子籃球隊(duì)隊(duì)員的平均身高為200厘米。這是不是說，籃球隊(duì)每個隊(duì)員的身高都是200厘米? 生：不可能。 生：姚明的身高就不止2米。 生：姚明的身高是226厘米。 師：看來，還真有超出平均身高的人。不過，既然隊(duì)員中有人身高超過了平均數(shù)—— 生：那就一定有人身高不到平均數(shù)。 師：沒錯。據(jù)老師所查資料顯示，這位隊(duì)員的身高只有178厘米，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于平均身高。看來，平均數(shù)只反映一組數(shù)據(jù)的一般水平，并不代表其中的每一個數(shù)據(jù)。好了，探討完身高問題，我們再來看看池塘的平均水深。 (師出示圖11) 師：冬冬來到一個池塘邊。低頭一看，發(fā)現(xiàn)了什么? 生：平均水深110厘米。 師：冬冬心想，這也太淺了，我的身高是130厘米，下水游泳一定沒危險。你們覺得冬冬的想法對嗎? 生：不對! 師：怎么不對?冬冬的身高不是已經(jīng)超過平均水深了嗎? 生：平均水深110厘米，并不是說池塘里每一處水深都是110厘米。可能有的地方比較淺，只有幾十厘米，而有的地方比較深，比如150厘米。所以，冬冬下水游泳可能 會有危險。 師：說得真好!想看看這個池塘水底下的真實(shí)情形嗎? (師出示池塘水底的剖面圖，如圖12) 生：原來是這樣，真的有危險! 師：看來，認(rèn)識了平均數(shù)，對于我們解決生活中的問題還真有不少幫助呢。當(dāng)然，如果不了解平均數(shù)，鬧起笑話來，那也很麻煩。這不，前兩天，老師從最新的《健康報》上查到這么一份資料。 (師出示：《2007年世界衛(wèi)生報告》顯示，目前中國男性的平均壽命大約是71歲) 師：可別小看這一數(shù)據(jù)哦。30年前，也就在張老師出生那會兒，中國男性的平均壽命大約只有68歲。比較一下，發(fā)現(xiàn)了什么? 生：中國男性的平均壽命比原來長了。 師：是呀，平均壽命變長了，當(dāng)然值得高興嘍。可是，一位70歲的老伯伯看了這份資料后，不但不高興，反而還有點(diǎn)難過。這又是為什么呢? 生：我想，老伯伯可能以為平均壽命是71歲，而自己已經(jīng)70歲了，看來只能再活1年了。 師：老伯伯之所以這么想，你們覺得他懂不懂平均數(shù)。 生：不懂! 師：你們懂不懂?(生：懂)既然這樣，那好，假如我就是那位70歲的老伯伯，你們打算怎么勸勸我? 生：老伯伯，別難過。平均壽命71歲，并不是說每個人都只能活到71歲。如果有人只活到六十幾歲，那么，你不就可以活到七十幾歲了嗎? 師：原來，你是把我的幸福建立在別人的痛苦之上呀!(生笑)不過，還是要感謝你的勸告。別的同學(xué)又是怎么想的呢? 生：老伯伯，我覺得平均壽命71歲反映的只是中國男性壽命的一般水平，這些人中，一定會有人超過平均壽命的。弄不好，你還會長命百歲呢! 師：謝謝你的祝福!不過，光這么說，好像還不足以讓我徹底放心。有沒有誰家的爺爺或是老太爺，已經(jīng)超過71歲的?如果有，那我可就更放心了。 生：我爺爺已經(jīng)78歲了。 生：我爺爺已經(jīng)85歲了。 生：我老太爺都已經(jīng)94歲了。 師：真有超過71歲的呀!猜猜看，這一回老伯伯還會再難過嗎? 生：不會了。 師：探討完男性的平均壽命，想不想了解女性的平均壽命?有誰愿意大膽地猜猜看? 生：我覺得中國女性的平均壽命大約有65歲。 生：我覺得大約有73歲。 (師呈現(xiàn)相關(guān)資料：中國女性的平均壽命大約是74歲) 師：發(fā)現(xiàn)了什么? 生：女性的平均壽命要比男性長。 師：既然這樣，那么，如果有一對60多歲的老夫妻，是不是意味著，老奶奶的壽命一定會比老爺爺長? 生：不一定! 生：雖然女性的平均壽命比男性長，但并不是說每個女性的壽命都會比男性長。萬一這老爺爺特別長壽，那么，他完全有可能比老奶奶活得更長些。 師：說得真好!走出課堂，愿大家能帶上今天所學(xué)的內(nèi)容，更好地認(rèn)識生活中與平均數(shù)有關(guān)的各種問題。下課! 2、我為什么重上“平均數(shù)”（張齊華） 對很多人而言，超越別人容易，超越自己難。而在我，情況似乎略有不同。事實(shí)上，在很多情形下，要想判斷是否能夠或者已經(jīng)超越別人，很難有一個既定的標(biāo)準(zhǔn)。既無標(biāo)準(zhǔn)，又何談對別人的超越?倒是自我超越，似乎顯得稍容易一些。畢竟，每一天的學(xué)習(xí)、思索、實(shí)踐，必然會使今天的你超越昨天的你，進(jìn)而又被明天的你再次超越。人總是在這樣一次又一次的自我超越中實(shí)現(xiàn)進(jìn)步的。而于我，這樣的體驗(yàn)尤為鮮明與深刻。 如果說從2003年的“走進(jìn)圓的世界”到2007年的“圓的認(rèn)識”，向數(shù)學(xué)本身回歸的這一次自覺轉(zhuǎn)身，是我從教以來教學(xué)實(shí)踐層面的第一次自覺跨越的話，那么，從2000年第一次執(zhí)教“平均數(shù)”，事隔八年后再度磨礪同題課，多少也算是實(shí)踐之路上的“梅開二度”吧。成敗與否先擱下不論，怎么著也得為自己再次拿自己開刀的勇氣與精神喝彩。 2000年，時值《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》即將頒布，對于即將到來的新一輪數(shù)學(xué)課程改革，正是“山雨欲來風(fēng)滿樓”的關(guān)鍵時刻。清晰地記得，師傅張興華老師不知從何處為我們覓得《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(征求意見稿)》。急急讀來，其中的種種觀念、建議、變革，對于正在數(shù)學(xué)教學(xué)改革路途中左沖右突的我們而言，無疑是一次莫大的精神洗禮與引領(lǐng)。印象尤其深刻的是，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(征求意見稿)》中對于統(tǒng)計(jì)與概率部分的全新闡釋，讓我們大開眼界，更是萌生出一種“試一試”的實(shí)踐沖動。 于是，趁著一次教研活動的契機(jī)，在認(rèn)真通讀《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(征求意見稿)》中關(guān)于“平均數(shù)”這一內(nèi)容的相關(guān)課程目標(biāo)與實(shí)施建議后，“平均數(shù)”一課以其別具一格的課題(注：以往，這一課通常都叫“平均數(shù)”是作為應(yīng)用題的一類教學(xué)的)及其“作為一種統(tǒng)計(jì)量”這一全新的視角，在實(shí)踐層面贏得了廣泛的認(rèn)同與好評。至今，我仍清晰地記得，為了使學(xué)生認(rèn)識到“平均數(shù)”是一個統(tǒng)計(jì)量，我撇開了教材中具有應(yīng)用題意味的相關(guān)題材，而是選擇從學(xué)生的平均身高、平均體重、家庭的平均收入等內(nèi)容人手，進(jìn)而在如何恰當(dāng)估計(jì)平均數(shù)、如何強(qiáng)化移多補(bǔ)少、如何根據(jù)求出的平均數(shù)預(yù)測未來數(shù)據(jù)等問題上做出了初步的嘗試。 八年彈指一揮間。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》正式頒布后，對于“平均數(shù)”這一內(nèi)容的理論認(rèn)識也隨之漸人人心，相關(guān)的教學(xué)實(shí)踐更是層出不窮。而真正促使我重備這一課的契機(jī)，現(xiàn)在想來，恐怕還得追溯到前年的那次南通教研活動。 在那次活動中，北京市第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)的施銀燕老師執(zhí)教了“眾數(shù)和中位數(shù)”一課，而其呈現(xiàn)的課題卻是“數(shù)據(jù)的代表”，課題一出示，當(dāng)即引起臺下一片熱議。現(xiàn)在想來，當(dāng)時熱議的話題與內(nèi)容或許早已煙消云散，但正是那一次的深入思考與交流，使我越來越清晰地認(rèn)識到，平均數(shù)也好，眾數(shù)與中位數(shù)也罷，其實(shí)都是一組數(shù)據(jù)的代表。不同的是，同樣作為數(shù)據(jù)的代表，平均數(shù)受所有數(shù)據(jù)的制約，更能反映一組數(shù)據(jù)的全貌，因而也就更加顯得敏感、易變。而眾數(shù)與中位數(shù)則相對不易受極端數(shù)據(jù)的干擾，因而也就體現(xiàn)出其比較穩(wěn)定、不受極端數(shù)據(jù)干擾等特點(diǎn)來。帶著這樣的認(rèn)識，再重新翻看多年前的平均數(shù)教案，總覺得作為一種“反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計(jì)量”，其統(tǒng)計(jì)的意味并不明顯。或者說，從教學(xué)的設(shè)計(jì)線索上看，似乎已經(jīng)關(guān)注到其統(tǒng)計(jì)的內(nèi)涵，但在真正的實(shí)踐層面上，其作為一種統(tǒng)計(jì)量，尤其是作為數(shù)據(jù)代表的意義并沒有得到真正的開掘。從而，“形似”而“神異”的意味，便不可避免地成為那一堂“平均數(shù)”的鮮明烙印。重備這一課便顯得日漸迫切起來。 之后也聽過幾節(jié)“平均數(shù)”的研究課，較為典型的思路是：通過組織兩組人數(shù)不等的比賽，在學(xué)生初步體會到“比總數(shù)”不公平的前提下，自然過渡到“通過求出平均每人的數(shù)量，再作比較”的思路上來。“平均數(shù)”由此自然生成。作為一種較為成熟的版本，此種教學(xué)思路的優(yōu)點(diǎn)無疑是十分明顯的。尤其是，從“比總數(shù)不公平”到“比人均數(shù)公平”的自然轉(zhuǎn)折，將平均數(shù)的來龍去脈刻畫得極為生動、細(xì)膩。但一直困擾我的問題是，當(dāng)學(xué)生面對“比總數(shù)不公平”的情境，紛紛給出“先求出平均每人投中的個數(shù)再比較”的建議時，我始終不太明白：為什么求出“平均每人投中的個數(shù)”再比較就公平了?(筆者曾就此問題詢問過不少教師與學(xué)生，均未獲得十分清晰的回答)此為其一。再者，就算學(xué)生真正理解了個中的意義，那么，“平均每人投中的個數(shù)”是否就可以直接與“每人投中個數(shù)的平均數(shù)”畫上等號?細(xì)微的文字表述差異的背后，又表征著學(xué)生怎樣的微妙的思維差異? 事實(shí)上，“求出平均每人投中的個數(shù)”，對于一個三年級學(xué)生而言，其心理活動的表征往往是“先求總和，再除以人數(shù)”。而這一心理運(yùn)算對學(xué)生而言，其直觀背景十分模糊。至于其最終運(yùn)算后得出的結(jié)果又是如何成為這組數(shù)據(jù)的代表的，其意義的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”對學(xué)生而言更是很難直接建立。由此可見，僅僅從“比較的維度”揭示平均數(shù)的意義，看似順暢的教學(xué)現(xiàn)象背后，實(shí)則還潛藏著學(xué)生難以跨越、教師也很難察覺的認(rèn)知障礙與思維斷點(diǎn)。 于是，備課的思維焦點(diǎn)再次落到“數(shù)據(jù)的代表”上來。能不能從“數(shù)據(jù)的代表”的角度，重新為平均數(shù)尋找一條誕生的新途徑?于是，便也有了這一版本的新嘗試。 真正嘗試備課時，其實(shí)還遇到不少新的障礙。比如，最初選擇的情境是：三(1)班僅小林一人參加年級組投籃比賽，1分鐘投中5個。如果你是裁判，在他們班的計(jì)分牌上，該用哪個數(shù)表示他們班的整體水平?三(2)班小剛、小強(qiáng)二人參加比賽，1分鐘分別投中3個、5個。他們班的計(jì)分牌上，又該用哪個數(shù)代表他們班的整體水平?結(jié)果，“數(shù)據(jù)的代表”的表面意義呈現(xiàn)了出來，但“公平與不公平”“求出平均每人投中幾個再比”的觀點(diǎn)再度浮出。“新瓶”實(shí)質(zhì)上只是換上了“老酒”而已，無本質(zhì)差別。此為其一。其二，又一更現(xiàn)實(shí)的問題擺在面前：作為數(shù)據(jù)的代表，平均數(shù)既可以代表“不同對象呈現(xiàn)的一組數(shù)據(jù)”(比如，小林、小剛、小強(qiáng)平均每人1分鐘投中的個數(shù))，以反映這一組對象的整體水平，也可代表“同一對象某幾次呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)”(比如，小明三次量得某木棒的長度各若干厘米，該木棒長度究竟幾何)，以反映這一個對象在參差變換的隨機(jī)數(shù)據(jù)背后所潛伏著的一般水平。究竟哪種情形更有利于學(xué)生順利建立“平均數(shù)”的意義?思辨的最終結(jié)果讓我把天平傾向后者。畢竟，前者在某種情形下，完全可以用總數(shù)去表征他們的整體水平，而對于后者，求總數(shù)似乎就顯得有些“不合情理”，而找出這組數(shù)據(jù)的代表值，進(jìn)而用代表值去刻畫這組數(shù)據(jù)的一般水平，似乎更合情合理些。 于是，在例題教學(xué)中，我有意設(shè)計(jì)了“小強(qiáng)三次均投中5個”的特殊數(shù)據(jù)組，以此促進(jìn)學(xué)生自然建立起“用5代表他的一般水平最合適”的心理傾向，進(jìn)而為隨后的學(xué)習(xí)活動中學(xué)生主動避開“求總數(shù)”的窠臼，而直接通過“移多補(bǔ)少”或“先求和再均分”的思維活動，努力尋找?guī)讉€數(shù)據(jù)的代表值，為平均數(shù)意義的建立奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。“平均數(shù)”作為“數(shù)據(jù)的代表”的真實(shí)含義，在這一過程中得到了自然而然的呈現(xiàn)。 當(dāng)然，僅僅從正面角度凸顯平均數(shù)作為“數(shù)據(jù)的代表”的意義，顯然還不夠充分、豐富、飽滿。于是，在隨后的深化板塊中，我借助學(xué)生的觀察、比較、交流，從平均數(shù)的“敏感與易變性”(任何數(shù)據(jù)的變化都會帶來平均數(shù)的相應(yīng)變化)、平均數(shù)的“齊次性”(每一數(shù)據(jù)的相同變化，如都加2，會帶來平均數(shù)的同樣變化，也加2)以及平均數(shù)的“均差之和為0”的特性(即一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差之和為0)，幫助學(xué)生從各個不同側(cè)面進(jìn)一步豐富了對平均數(shù)這一“反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計(jì)量”的意義的構(gòu)建，深化了學(xué)生對平均數(shù)內(nèi)涵的理解與把握。 也有遺憾。尤其是，隨著備課及思考的不斷深入，我越來越強(qiáng)烈地感受到，自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的膚淺對“平均數(shù)”課堂的深度開掘構(gòu)成了致命的制約。“教什么比怎么教更重要”的命題再一次得到驗(yàn)證。期待能夠得到專家與同行的批評指正。 3、概念為本的教學(xué)——評張齊華的“平均數(shù)”一課 北京教育學(xué)院 劉加霞 學(xué)生如何學(xué)習(xí)平均數(shù)這一重要概念呢?傳統(tǒng)教學(xué)側(cè)重于對所給數(shù)據(jù)(有時甚至是沒有任何統(tǒng)計(jì)意義的抽象數(shù))計(jì)算其平均數(shù)，即側(cè)重于從算法的水平理解平均數(shù)，這容易將平均數(shù)的學(xué)習(xí)演變?yōu)橐环N簡單的技能學(xué)習(xí)，忽略平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。因此，新課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來理解平均數(shù)。然而什么是“從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度”理解平均數(shù)?在教學(xué)中如何落實(shí)?如何將算法水平的理解與統(tǒng)計(jì)學(xué)水平的理解整合起來?如何將平均數(shù)作為一個概念來教?下面以張齊華老師執(zhí)教的“平均數(shù)”一課為例研究教學(xué)實(shí)踐中 如何解決上述問題。 將平均數(shù)作為一個重要概念來教，重點(diǎn)是要解決三個問題：為什么學(xué)習(xí)平均數(shù)?平均數(shù)這個概念的本質(zhì)以及性質(zhì)是什么?現(xiàn)實(shí)生活、工作等方面是怎樣運(yùn)用平均數(shù)的?張齊華老師執(zhí)教的“平均數(shù)”一課正是從這三方面，并依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和生活經(jīng)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)從概念的角度理解平均數(shù)。 一、“概念為本”教學(xué)的核心：為什么學(xué)習(xí)平均數(shù) 1．憑直覺體驗(yàn)平均數(shù)的“代表性” 平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義是它能刻畫、代表一組數(shù)據(jù)的整體水平。平均數(shù)不同于原始數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)(雖然碰巧可能等于某個原始數(shù)據(jù))，但又與每一個原始數(shù)據(jù)相關(guān)，代表這組數(shù)據(jù)的平均水平。要對兩組數(shù)據(jù)的總體水平進(jìn)行比較，就可以比較這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，因?yàn)槠骄鶖?shù)具有良好的代表性，不僅便于比較，而且公平。 在張老師的課上，導(dǎo)人部分的問題——1分鐘投籃挑戰(zhàn)賽——雖然簡單，但易于引發(fā)學(xué)生對平均數(shù)的“代表性”的理解：是用一次投籃投中的個數(shù)來代表整體水平還是用幾次投籃中的某一次投中個數(shù)來代表整體水平呢?抑或是用幾次投籃的總數(shù)來代表整體水平呢? 由于教師所選擇的幾組數(shù)據(jù)經(jīng)過精心設(shè)計(jì)，同時各組數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式伴隨著教師的追問，使學(xué)生很好地理解了平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。這些數(shù)據(jù)并不是一組一組地同時呈現(xiàn)，然后讓學(xué)生分別計(jì)算其平均數(shù)，而是動態(tài)呈現(xiàn)，并伴隨教師的追問，以落實(shí)研究每一組數(shù)據(jù)的教學(xué)目標(biāo)。例如，先呈現(xiàn)小強(qiáng)第一次投中5個，然后追問：“小強(qiáng)對這一成績似乎不太滿意，覺得好像沒有發(fā)揮出自己的真實(shí)水平，想再投兩次。如果你是張老師，你會同意他的要求嗎?”這樣就使學(xué)生直覺體驗(yàn)到由于隨機(jī)誤差的原因僅用一次的數(shù)據(jù)很難代表整體的水平，因此再給他兩次投籃的機(jī)會。而小強(qiáng)的投籃水平非常穩(wěn)定，三次都是5個。三次數(shù)據(jù)都是“5”，這是教師精心設(shè)計(jì)的，核心是讓學(xué)生憑直覺體驗(yàn)平均數(shù)的代表性，避免了學(xué)生不會計(jì)算平均數(shù)的尷尬。同樣道理，第二組數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式仍然先呈現(xiàn)一個，伴隨教師的追問：“如果你是小林，會就這樣結(jié)束嗎?”這讓學(xué)生體驗(yàn)一次數(shù)據(jù)，很難代表整體水平，但3、5、4到底哪個數(shù)據(jù)能代表小林的水平呢?教師設(shè)計(jì)這些活動的核心是讓學(xué)生體驗(yàn)平均數(shù)的代表性。 2．兩種計(jì)算方法的背后仍強(qiáng)化概念理解 雖然會計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是重要的技能，但過多的、單純的練習(xí)容易變成純粹的技能訓(xùn)練，妨礙學(xué)生體會平均數(shù)在數(shù)據(jù)處理過程中的價值。計(jì)算平均數(shù)有兩種方法，每種方法的教育價值各有側(cè)重點(diǎn)，其核心都是強(qiáng)化對平均數(shù)意義的理解，非僅僅計(jì)算出結(jié)果。 在張老師的課上，利用直觀形象的象形統(tǒng)計(jì)圖(條形統(tǒng)計(jì)圖也可以)，通過動態(tài)的“割補(bǔ)”來呈現(xiàn)“移多補(bǔ)少”的過程，為理解平均數(shù)所表示的均勻水平提供感性支撐。首先兩次在直觀水平上通過“移多補(bǔ)少”求得平均數(shù)，而不是先通過計(jì)算求平均數(shù)。這樣做，強(qiáng)化平均數(shù)“勻乎、勻乎”的產(chǎn)生過程，是對平均數(shù)能刻畫一組數(shù)據(jù)的整體水平的進(jìn)一步直觀理解，避免學(xué)生原有思維定勢的影響，即淡化學(xué)生對“平均分”的認(rèn)識，強(qiáng)化對平均數(shù)意義而非算法的理解。 如何讓學(xué)生理解平均數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的整體水平，而不是平均分后某個體所獲得的結(jié)呆呢?平均數(shù)與平均分既有聯(lián)系更有區(qū)別，雖然二者的計(jì)算過程相同，但不同于前面所學(xué)的“平均分”，二者計(jì)算過程相同但各自的意義不同。從問題解決角度看，“平均分”有兩層含義：一是已知總數(shù)和份數(shù)，求每份數(shù)是多少；二是已知總數(shù)和每份數(shù)，求有這樣的多少份，強(qiáng)調(diào)的是除法運(yùn)算的意義，解決的是“單位量”與“單位個數(shù)”的問題。而平均數(shù)則反映全部數(shù)據(jù)的整體水平，目的是比較兩組數(shù)據(jù)的整體水平，強(qiáng)化統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，數(shù)據(jù)的“個數(shù)”不同于前面所說的“份數(shù)”，是根據(jù)需要所選擇的“樣本”的個數(shù)。 因此張老師的教學(xué)中沒有單純地求平均數(shù)的練習(xí)，而是將學(xué)習(xí)平均數(shù)放在完整的統(tǒng)計(jì)活動中，在描述數(shù)據(jù)、進(jìn)行整體水平對比的過程中深化“平均數(shù)是一種統(tǒng)計(jì)量”的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度學(xué)習(xí)平均數(shù)。例如，張老師在通過兩種方法求出平均數(shù)之后，一再追問：“哪個數(shù)是哪幾個數(shù)的平均數(shù)呢?”“這里的平均數(shù)4能代表小剛第一次投中的個數(shù)嗎?”“能代表小剛第二次、第三次投中的個數(shù)嗎?”“那它究竟代表的是哪一次的個數(shù)?”通過這樣的追問，強(qiáng)化平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。當(dāng)然，如果在此現(xiàn)實(shí)問題中出現(xiàn)平均數(shù)是小數(shù)的情形更有助于學(xué)生理解平均數(shù)只刻畫整體水平而不是真正的其中某一次投中的個數(shù)(投中的個數(shù)怎么會是小數(shù)呢?不強(qiáng)調(diào)小數(shù)的意義，只出現(xiàn)簡單小數(shù)，例如3.5個)，即有人所說的“平均數(shù)是一個虛幻的數(shù)”。學(xué)生對此理解需要比較長的“過程”，不是一節(jié)課就能達(dá)成的。 二、“概念為本”教學(xué)的深化：進(jìn)一步理解平均數(shù)的本質(zhì)及性質(zhì) 初步認(rèn)識了平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義后，張老師仍然進(jìn)一步設(shè)計(jì)活動讓學(xué)生借助于具體問題、具體數(shù)據(jù)初步理解平均數(shù)的性質(zhì)，豐富學(xué)生對平均數(shù)的理解，也為學(xué)生靈活解決有關(guān)平均數(shù)的問題提供知識和方法上的支持。算術(shù)平均數(shù)有如下性質(zhì)： 1．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)易受這組數(shù)據(jù)中每一個數(shù)據(jù)的影響，“稍有風(fēng)吹草動”就能帶來平均數(shù)的變化”，即敏感性。 2．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)介于這組數(shù)據(jù)的最小值與最大值之間。 3．一組數(shù)據(jù)中每一個數(shù)與算術(shù)平均數(shù)之差(稱為離均差)的總和等于0，即：
4．給一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)加上一個常數(shù)C，則所得到的新數(shù)組的平均數(shù)為原來數(shù)組的平均數(shù)加上常數(shù)C。 5．一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)乘上一個常數(shù)C，則所得到的新數(shù)組的平均數(shù)為原來數(shù)組的平均數(shù)乘常數(shù)C。 這些抽象的性質(zhì)如何讓小學(xué)生理解呢?張老師仍然是在巧妙的數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)以及適時的把握本質(zhì)的追問中讓學(xué)生進(jìn)一步深化對平均數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識。數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)的巧妙主要體現(xiàn)在： 首先，在統(tǒng)計(jì)張老師自己的投球水平時，張老師“搞特殊”，可以投四次。基于前面學(xué)生對平均數(shù)的初步感知，學(xué)生認(rèn)可用老師四次投中個數(shù)的平均數(shù)來代表老師的整體水平，但張老師在第四次投中多少個球上大做文章：前三次的平均數(shù)是5，那么老師肯定是并列第一了?一組數(shù)據(jù)中前三個數(shù)據(jù)大小不變，只是第四個數(shù)據(jù)發(fā)生變化，會導(dǎo)致平均數(shù)產(chǎn)生什么樣的變化呢?在疑問與困惑(當(dāng)然有很多學(xué)生是“清醒”的)中，教師首先出示了“極端數(shù)據(jù)二”(1個球)，進(jìn)一步深化學(xué)生對平均數(shù)代表性的理解，初步體驗(yàn)平均數(shù)的敏感性。 其次，假設(shè)張老師第四次投中5個、9個，張老師1分鐘投球的平均數(shù)分別是多少?根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖直觀估計(jì)、計(jì)算或者根據(jù)平均數(shù)的意義進(jìn)行推理都能求出平均數(shù)，多種方法求解發(fā)揮了學(xué)生的聰明才智，使學(xué)生的潛能得以發(fā)揮，體驗(yàn)成功感進(jìn)而體驗(yàn)創(chuàng)造學(xué)習(xí)的樂趣。 再次，將張老師1分鐘投球的三幅統(tǒng)計(jì)圖同時呈現(xiàn)，讓學(xué)生對比分析、獨(dú)立思考再小組討論。由于三幅統(tǒng)計(jì)圖中前三個數(shù)據(jù)相同，只有第四個數(shù)據(jù)不同，學(xué)生能夠進(jìn)一步 理解平均數(shù)的敏感性：任何一個數(shù)據(jù)的風(fēng)吹草動，都會使平均數(shù)發(fā)生變化。學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均數(shù)總是介于最小的數(shù)與最大的數(shù)之間：多的要移一些補(bǔ)給少的，最后平均數(shù)當(dāng)然要比最大的小比最小的大了。學(xué)生還發(fā)現(xiàn)：“總數(shù)每增加4，平均數(shù)并不增加4，而是只增加1。”教師適時追問：“要是這里的每一個數(shù)都增加4，平均數(shù)又會增加多少呢?還會是1嗎?” 再進(jìn)一步觀察三幅統(tǒng)計(jì)圖中的第一幅圖，教師迫問：比較一下超過平均數(shù)的部分與不到平均數(shù)的部分，你發(fā)現(xiàn)了什么? 生：超過的部分和不到的部分一樣多，都是3個。 師：會不會只是一種巧合呢?讓我們趕緊再來看看另兩幅圖吧? 通過進(jìn)一步觀察其他幾幅統(tǒng)計(jì)圖，學(xué)生真正理解了并用自己形象生動的語言描述出：“就像山峰與山谷‘樣。把山峰切下來，填到山谷里，正好可以填平。如果山峰比山谷大，或者山峰比山谷小，都不可能正好填平。” 在上述問題情境中，以“問題”為導(dǎo)向，借助于直觀的統(tǒng)計(jì)圖以及學(xué)生的估計(jì)或者計(jì)算，學(xué)生思維上、情感上經(jīng)歷一籌莫展、若有所思、茅塞頓開、悠然心會的過程，對平均數(shù)的意義以及性質(zhì)都有了深切的體會。 有前述對平均數(shù)意義以及性質(zhì)的了解，學(xué)生是否真正理解了平均數(shù)的概念呢?敘述出概念的定義或者會計(jì)算不等于真正理解某個概念，還要看能否在不同情境中運(yùn)用概念。由于平均數(shù)這個概念對小學(xué)生而言是非常抽象的(如前所說，它是“虛幻的數(shù)”，學(xué)生不能具體看到)，平均數(shù)的背景也很復(fù)雜，如果學(xué)生能在稍復(fù)雜的背景下運(yùn)用平均數(shù)的概念解決問題，說明學(xué)生初步理解了平均數(shù)。 因此，張老師設(shè)計(jì)了四個復(fù)雜程度不同的問題，即“紙帶平均長短”“球員平均身高”“平均水深”“平均壽命”，這四個問題中的平均數(shù)的復(fù)雜程度不同。 前兩個問題中的平均數(shù)比較簡單，數(shù)據(jù)的個數(shù)都是有限個，而且又有直觀圖形做理解上的支撐，因此前兩個問題是簡單應(yīng)用平均數(shù)的性質(zhì)——離差之和為零，即有比平均數(shù)大的數(shù)據(jù)就一定有比平均數(shù)小的數(shù)據(jù)。學(xué)生可以借助于直觀圖形以及計(jì)算求出這兩個問題中的平均數(shù)。在“紙帶”問題中數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式不同于前面，是橫向呈現(xiàn)，但平均數(shù)的意義不變，淡化呈現(xiàn)形式強(qiáng)化意義理解，為學(xué)生理解平均數(shù)提供另一視角。“球員平均身高”問題不是讓學(xué)生計(jì)算球員的平均身高而是讓學(xué)生借助平均數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推理判斷，并通過學(xué)生熟悉的中國男子籃球隊(duì)隊(duì)員的平均身高以及姚明的特殊身高深化對平均數(shù)的理解。 最后兩個情境的平均數(shù)是比較復(fù)雜的，是以樣本的平均數(shù)代替總體的平均數(shù)。例如，平均水深到底是什么意思呢?可以是隨機(jī)選取有限個點(diǎn)，測量這些點(diǎn)到水底的距離，再求這些距離的平均數(shù)作為池塘平均水深的代表值。同樣，2008年中國男性的平均壽命也是通過計(jì)算樣本的平均年齡來表示全體中國男性的平均年齡。 真正理解這些平均數(shù)的意義對小學(xué)生而言有難度。因此，張老師在教學(xué)中呈現(xiàn)子池塘的截面圖，并標(biāo)注出五個距離，將復(fù)雜的問題簡單化，使學(xué)生仍能借助于平均數(shù)的性質(zhì)理解冬冬下水游泳仍有危險。通過平均數(shù)意義的強(qiáng)化，使學(xué)生能從數(shù)學(xué)的角度解釋是否有危險，避免學(xué)生從其他角度解釋。在解釋男性平均壽命問題中，借助于學(xué)生親人的年齡這樣的特殊而具體的數(shù)據(jù)，來理解平均壽命是71歲不等于每個男人都活到71歲。但不是所有的學(xué)生都能借助于前面所學(xué)平均數(shù)的意義和性質(zhì)來解釋這些問題，學(xué)生很難真正理解這兩個情境下的平均數(shù)的意義。 三、引發(fā)話題：培養(yǎng)學(xué)生的“統(tǒng)計(jì)概念”還是“數(shù)據(jù)分析概念” 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》中明確提出，學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容的重要目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)觀念。那么，統(tǒng)計(jì)觀念的內(nèi)涵是什么?是否能夠培養(yǎng)小學(xué)生的統(tǒng)計(jì)觀念?我們培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)該是“統(tǒng)計(jì)觀念”還是“數(shù)據(jù)分析觀念”? M．克萊因在其著作《西方文化中的數(shù)學(xué)》一書中談到：宇宙是有規(guī)律、有秩序的，還是其行為僅僅是偶然的、雜亂無章的呢……人們對這些問題卻有種種不同的解釋，其中主要有兩類答案：其一是18世紀(jì)形成的決定論觀，認(rèn)為這個世界是一個有序的世界，數(shù)學(xué)定律能明白無誤地揭示這個世界的規(guī)律。直至目前，這種決定論的哲學(xué)觀仍然統(tǒng)治著很多人的思想，支配著他們的信仰并指導(dǎo)其行動。但是這種哲學(xué)觀受到了19世紀(jì)以來概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)的猛烈沖擊，形成了一種新的世界觀，即概率論觀或統(tǒng)計(jì)論觀，它認(rèn)為自然界是混亂的、不可預(yù)測的，自然界的定律不過是對無序事件的平均效應(yīng)所進(jìn)行的方便的、暫時的描述。這就是眾所周知的用統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)看世界。陳希孺先生說：“統(tǒng)計(jì)規(guī)律的教育意義是看問題不可絕對化。習(xí)慣于從統(tǒng)計(jì)規(guī)律看問題的人在思想上不會偏執(zhí)一端，他既認(rèn)識到一種事物從總的方面看有其一定的規(guī)律性，也承認(rèn)存在例外的個案，二者看似矛盾，其實(shí)并行不悖，反映了世界的多樣性和復(fù)雜性。如果世界上的一切都被鐵板釘釘?shù)囊?guī)律所支配，那么我們的生活將變得何等的單調(diào)乏味。” 統(tǒng)計(jì)觀念實(shí)際上是人的一種世界觀，是對人、生存空間甚至宇宙特點(diǎn)的看法，大多數(shù)成人仍堅(jiān)守著決定論的觀點(diǎn)，形成統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)非常難。因此有研究者提出培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)據(jù)分析觀念”比較切合學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實(shí)和教育現(xiàn)實(shí)。即認(rèn)為數(shù)據(jù)分析觀念包括：了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析作出判斷，體會數(shù)據(jù)中是蘊(yùn)涵信息的；了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。 數(shù)據(jù)分析觀念應(yīng)該是態(tài)度目標(biāo)的重要組成部分，態(tài)度目標(biāo)的落實(shí)是在基本知識、基本技能的教學(xué)過程中完成的，一定要有學(xué)生的質(zhì)疑、討論分析、探究交流等過程，否則就是“說教”，很難使學(xué)生產(chǎn)生積極的情緒、情感，態(tài)度的形成也就流于形式。張老師這一課，以平均數(shù)的概念為本，讓學(xué)生充分經(jīng)歷了前面所分析的“過程”，才能真正有態(tài)度的培養(yǎng)。 數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)，或者說對“態(tài)度”目標(biāo)內(nèi)涵的分析以及如何培養(yǎng)學(xué)生積極的態(tài)度，都是值得深人研究的課題。 |
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