由三角板演繹出來的趣味探究題

利用三角板命制的趣味探究題，不能使抽象的數(shù)學(xué)問題具體化、形象化，而且能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，更能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，以及多方面的能力。因此，由三角板演繹出來的探究題引起了廣大師生的高度重視，有些題目已經(jīng)出現(xiàn)在了中考試卷上。特舉幾例加以解析，以饗讀者。

例1：下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（  ）

解析：根據(jù)三角板為等腰直角三角這一特性，緊扣軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念可知，同時具備兩種情況的應(yīng)是A圖．故答案選A．

例2：如圖，A、B、C為三角板的三個頂點，A、B兩點的坐標(biāo)分別為（3，4）、（6，1）．

（1）請直接寫出C點的坐標(biāo)；

（2）求此三角板的周長．

解析：（1）出C點的坐標(biāo)是（5，6）．

（2），，，則可求出此三角板的周長為．

例3：如圖，O為矩形ABCD的中心，將直角三角板的直角頂點與O點重合，轉(zhuǎn)動三角板，使兩直角邊始終與BC、AB相交，交點分別為M、N，如果，，，，你能求出與的關(guān)系式嗎？若換成等腰直角三角板作為用具，結(jié)果相同嗎？

解析：連接BD，過O點分別作AB、BC的垂線，垂足分別為E、F，在Rt△ONE和Rt△OMF中，而∠EOM∠NOE，∠EOM∠MOF，所以∠MOF∠NOE，所以Rt△ONE∽Rt△OMF，所以，由于，，所以，，，即．但從分析過程來看，若換成等腰直角三角板作為用具，所求得的關(guān)系式仍相同．

例4：如圖，一等腰直角三角板GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起，但正方形ABCD保持不動，將三角板GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD的中點）按順時針方向旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖（1），當(dāng)EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM，FN的長度，猜想BM，FN滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖25-3所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M，線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N，此時，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

　　解析：（1）BMFN．

證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABD∠F，OBOF．

又∵∠BOM∠FON， ∴△OBM≌△OFN ．

∴BMFN．

（2）BMFN仍然成立．

證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，

∴∠DBA∠GFE，OBOF．

∴∠MBO∠NFO．

又∵∠MOB∠NOF， ∴ △OBM≌△OFN．

∴BMFN．

例5：如圖，將兩只含有角的直角三角板擺放成矩形后，再將三角板ABC沿AC翻折，使點B落到點的位置，A與CD交于點E．

（1）試找出一個與△AED全等的三角形，并加以證明；

（2）若，，為線段上任意一點，于，于H．試求的值，并說明理由．

　　解析：（1）．

　　證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴， ；

又∵，∴△AED≌△CE．                                                           

（2）由已知得：，且，∴．

∴．在RT△ADE中，，，∴．

延長HP交于M，則PM⊥AB，∴，

∴．

例6：如圖，將含有角的一直角三角板繞C點順時針方向旋轉(zhuǎn)，與△CDE重合，過E點作CD的平行線，分別交AB、AD于M、N點．

（1）若，你能確定的值嗎？請說明理由．

（2）若，你能確定的值嗎？請說明理由．

　　解析：（1）根據(jù)題意，可知△ABC≌△DEC，B、C、D三點在一條直線上，MN∥BD，所以；在Rt△ABC中，，設(shè)，則，接著可利用勾股定理求得，由于，則，而，所以可求得，所以，即的值為．

（2）由于MN∥BD，所以可證得，即，在Rt△ABC中，，設(shè)，則，接下去與（1）同理同法，可求得，所以，即的值為．