抖空竹的力學原理

    陀螺儀是應用此原理的一個典型。其原理就是，一個旋轉物體的旋轉軸所指的方向在不受外力影響時，是不會改變的，因此它被應用在航海的船上指定方位。我們騎自行車其實也是利用了這個原理。輪子轉得越快越不容易倒，因為車軸有一股保持水平的力量。陀螺儀在工作時快速旋轉的速度一般能達到每分鐘幾十萬轉，

            
                                       陀螺運動示意圖     

    玩具陀螺能之所以好玩，主要在于它在運動時的穩定性。其實陀螺在運動中，只有其自轉軸是穩定的，陀螺本身還包含了進動和章動。

    陀螺的進動。

    進動是指自轉軸繞垂直軸的轉動。圖（a）是模擬單頭空竹運動的杠桿陀螺的示意圖。A是旋轉圓盤，P是重物，但是，A，P的重心偏離了Z軸l 。

    如果圓盤不轉動，重力的力矩將使圓盤繞x軸轉動，并最終倒下。

    但是，轉動著的圓盤卻有著截然不同的性質，它將繞 軸進動而不會翻倒。

杠桿陀螺為何可以保持轉軸的穩定呢？

    實際上，陀螺在外力矩作用下，其角動量（動量矩）有向外力矩方向偏斜的趨勢，但是，一旦角動量方向改變（轉軸方向從ω變為ω+Ω），外力矩也隨之改變，最終導致陀螺繞垂直軸的進動。

也可以從力與運動的角度的分析來說明。選擇與陀螺一起進動的參考系，圓盤上各質點受到慣性力和科里奧利力（f=2mv×Ω）的作用。它們對O 點的合力矩為零。但是，科里奧利力是隨著圓盤上個質點的運動情況是不同的，速度與x O y（水平）平面垂直的不受科里奧利力的作用，而速度與X O Y（水平）平面平行的質點所受的科里奧利力矩之和剛好與重力矩相抵消，這就決定了進動角速度Ω的值。

                                     杠桿陀螺示意圖

    定量的分析陀螺進動的角速度

    設陀螺繞對稱軸的轉動慣量為J，則自轉角動量為L=Jω，在外力矩M的作用下，經⊿t時間，角動量有一增量⊿L=M⊿t，⊿t后，陀螺的角動量將繞z軸轉過一個⊿φ 。

 ⊿L=L⊿φ=M⊿t

  進動角速度Ω=⊿φ/⊿t

 Ω=M/L

 Ω=m g l/Jω，m 是杠桿陀螺的總質量。

對于玩具陀螺

F=m g

   設其自轉軸與豎直方向成θ 角，質心與支點的距離為l，由角動量定理，

   m g l sinθ⊿t=Jωsinθ⊿φ

    Ω= ⊿φ/⊿t

    Ω=m gl/Jω

得到與杠桿陀螺相同的結論 。

    陀螺的章動

    陀螺在進動的過程中還伴有稱為章動的上、下的周期性運動。

    先固定杠桿陀螺的旋轉軸，讓它自轉后，再釋放之。軸端將沿一擺線運動。這就是章動。

                         
                              陀螺的自轉、進動和章動

    下面簡單分析一下章動的原因。

    當陀螺的軸釋放后，它并非一開始就進動，在重力矩的作用下稍稍下傾，而一旦發生下傾運動，就產生方向豎直向上的力矩M，使陀螺產生繞豎直軸的進動，此進動又產生了與重力矩方向相反的力矩N，M，N與相應的角速度成正比。開始時，下傾角速度較小，M也小，重力矩大于M，使下傾運動加速。因此N增大，使進動加速，隨之進動回轉力矩也增大，使M漸漸大于重力矩，陀螺便開始上升，同時產生方向豎直向下的力矩使進動減速。如此往返，陀螺就一邊進動，一邊周期性的上下章動。

    為分析空竹的運動，定義坐標原點都選在空竹繞線的軸頸部位上的三個坐標系。1）以Oξηζ表固定坐標系，Oζ垂直向上。2）以Oxyz表與物體固連坐標系，對空竹而言，設x沿空竹的軸，3）以Ox₁y₁z₁表示隨體固定坐標系（不擺動），此時空竹軸的平衡位置為x₁軸。以φ表空竹軸的轉角，以ω表空竹軸的轉動角速度，φ=ωt。以α表空竹軸的進動傾角。以ψ和Ω分別表示x₁軸與ξ軸的夾角和空竹軸x₁繞z₁軸的角速度。

                      
                                      空竹運動的簡化

    根據我們騎自行車和玩空竹的經驗，只要有一定的轉速，保持空竹輪面的穩定還是比較容易達到的。為簡化分析，不妨設定空竹軸與x軸重合。此時沒有章動的問題。于是在已知空竹的幾何特性和質量、慣性，設定自轉角速度的情況下，就只有繞垂直軸的角速度未知。這個未知量可由繞垂直軸的動量矩定理解出。

    下面提供一個展示陀螺儀原理的動畫。

    可以看到，無論框架（物體）如何運動，高速自轉的陀螺之自轉軸方向是不變的。