一道圖形被遺漏的四邊形題引發(fā)的思考

　　筆者2011年使用的襄陽(yáng)市樊城區(qū)教研室編撰的數(shù)學(xué)八(下)《快樂(lè)課堂》的“梯形”一節(jié)有這樣一道選擇題：

如圖，已知四邊形ABCD中，AD=BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(    )

A、MN＞AD    B、MN=AD    C、MN＜AD    D、無(wú)法確定MN與AD的關(guān)系

分析：原題可能印刷制版出現(xiàn)錯(cuò)誤，致使該題的圖形被漏排。由于題目沒(méi)有已知圖形。有的教師直接放棄了該題；也有的教師針對(duì)題目分析了圖形的可能性：題目告知了一組對(duì)邊相等，所以圖形有可能是平行四邊形或等腰梯形，當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)，易得MN=AD；當(dāng)四邊形ABCD為等腰梯形時(shí)，易證MN＜AD，因此，這些教師得出結(jié)論，選D答案。但筆者認(rèn)為，原題目要是配圖的話(huà)，不會(huì)配平行四邊形或等腰梯形，理由是過(guò)于簡(jiǎn)單。部分教師把原圖的草圖畫(huà)成平行四邊形或等腰梯形，是受到平行四邊形思維的影響，將AB和CD畫(huà)平行了，但是AB和CD也有可能不平行。

如圖1，在四邊形ABCD中，AD=BC，AB不平行于CD，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，比較MN與AD大小. 

筆者認(rèn)為這樣才是出題者的意圖。

現(xiàn)在我們來(lái)比較一下圖1中的MN與AD大小，筆者起初試了試，覺(jué)得有一定的難度。

后來(lái)經(jīng)過(guò)幾位教師共同研究，總結(jié)了兩種方法。

由于此題出現(xiàn)在《平行四邊形》一章的三角形中位線定理學(xué)習(xí)之后，題目又提供了M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)。

看來(lái)此題需要用到三角形中位線定理的知識(shí)，可是圖1中沒(méi)有現(xiàn)成的三角形，那么需要作輔助線構(gòu)造三角形。

這也符合將多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形問(wèn)題的思想。

方法1：可以作出四邊形ABCD的一條對(duì)角線，將四邊形ABCD分成兩個(gè)三角形.

解：如圖2，連接AC，取AC的中點(diǎn)F，連接MF、FN

因M、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，所以

同理，又因AD﹦BC

在△FMN中， 

方法2：把MN作為某個(gè)三角形的中位線作輔助線，同時(shí)利用已知一邊上的中點(diǎn)構(gòu)建全等三角形。

相當(dāng)于將AD與BC轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，再利用三角形中兩邊之和大于第三邊的知識(shí)點(diǎn)來(lái)比較線段大小。 

解：如圖3，連接DM并延長(zhǎng)，并且在DM的延長(zhǎng)線上截取EM=DM，再連接CE、BE.

因M、N分別為DE、CD的中點(diǎn)，所以，所以CE﹦2MN

因AM﹦BM，DM﹦EM，∠AMD﹦∠BME，所以△AMD≌△BME.

所以BE﹦AD

在△BCE中，BE+BC﹥CE

所以AD+BC﹥2MN

又因AD=BC

所以2AD﹥2MN，所以AD﹥MN

從以上的研究過(guò)程中，筆者總結(jié)經(jīng)驗(yàn)：見(jiàn)到中點(diǎn)，且題目牽涉到線段的數(shù)量關(guān)系，特別是線段的倍半問(wèn)題或比例問(wèn)題，通常構(gòu)造三角形中位線來(lái)解決之。例如：

2010年湖北省武漢市中考題第24題的第(1)小題：

已知：線段OA⊥OB，點(diǎn)C為OB中點(diǎn)，D為線段OA上一點(diǎn)．連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)P． (1)如圖4，當(dāng)OA=OB，且D為OA中點(diǎn)時(shí)，求的值；

分析：由于已知條件中有中點(diǎn)這個(gè)條件，所以聯(lián)想到三角形中位線定理作輔助線，當(dāng)然此題方法很多，如：也可構(gòu)造平行線，利用平行線分線段成比例定理或平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

提示：連接AB和CD，易證△APB∽△CPD，∴AP/PC=AB/CD=2/1. 請(qǐng)讀者自己完成。

個(gè)人簡(jiǎn)介：男，39歲，中學(xué)一級(jí)教師，任教初中數(shù)學(xué)多年，有一定的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。