在課本例題中找雛形 于中考試題中謀拓展

課本中的例題與習題，都是通過篩選的題目的精華，在解題的思路和方法上具有典型性和代表性，在由知識轉化為能力的過程中具有示范性和啟發性．它們的解題方法和結論本身都具有廣泛遷移的可能．近幾年的中考題有許多植根于現行教材，在課本中尋找命題的生長點．因此，重視課本典型例習題的研究，用好、用活課本十分重要．下面以人教版八年級上冊數學教材第十二章《軸對稱》中一道例題來看這樣一類試題。

例題再現：如圖，要在燃氣管道ｌ上修建一個泵站，分別向兩鎮供氣。泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你可以在l上找幾個點試一試，能發現什么規律？

    此題就是利用對稱作點B的對稱點Bˊ，連接A Bˊ，再找到A Bˊ與l的交點即可。因為是典型的例題，解題過程就不在詳述，我們把這類題不妨稱為“建泵站問題”（有的教材上也叫“馬飲水問題”）。以此題為命題的根源，在中考試題中屢見不鮮，下面就結合近兩年中的部分地市的中考題，談談這類問題。

1．（2010年鄂州）如圖，正方形OABC的邊長為6，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點D(2，0)在OA上，P是OB上一動點，則PA＋PD的最小值為（    ）

A．2        B．        C．4        D．6

考點：正方形的性質；軸對稱的性質；

兩點之間線段最短；勾股定理等。

專題：計算題。

分析：根據正方形的對稱性，連接CP，

當點P移動到CD與OB的交點處時PA+PD最小，即求CD的長。 

解答：連接CP，由正方形的對稱性可知PA=PC，

∴PA＋PD=PC＋PD

∴當點C、P、D在一條線上時PC＋PD最小

連接CD,可知OD=2，OC=6，由勾股定理的CD=2

∴選A

點評：本題主要考察了正方形具有對稱性，關鍵是找出什么時候PA＋PD的值最小。

2、（2010年濱州市）如圖，等邊△ABC的邊長為6，AD是邊BC上的中線，M是AD上的動點，E是邊AC上的一點，若AE=2，EM+CM的最小值為________。

考點：等邊三角形的性質；軸對稱的性質；

兩點之間線段最短；勾股定理等。

專題：計算題。

分析：點E關于AD的對稱點在AB上，再過點C作AB得垂線，構造直角三角形，利用勾股定理來解。

解答：作點E關于AD的對稱點F在AB上，作CH⊥AB于點H，

      可知AF=AE=2，AH=AB=3，

∴HF=1，可求CH=3

∴由勾股定理得CF=2，故填2。

點評：關鍵是通過軸對稱把直線同側的點轉化為異側的點。

3． (2010年東營市) 如圖，已知二次函數的圖象與坐標軸交于點A（-1， 0）和點B（0，-5）．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）已知該函數圖象的對稱軸上存在一點P，使得△ABP的周長最小．請求出點P的坐標．

考點：二次函數解析式；一次函數解析式；二元一次方程組；軸對稱的性質；勾股定理；兩點之間線段最短等。

專題：函數綜合題。

解答：（1）根據題意，得

解得      

∴二次函數的表達式為．

（2）令y=0，得二次函數的圖象與x軸的另一個交點坐標C（5, 0）.

由于P是對稱軸上一點，

連結AB，由于，

要使△ABP的周長最小，只要最小.

由于點A與點C關于對稱軸對稱，連結BC交對稱軸于點P，則= BP+PC =BC，根據兩點之間，線段最短，可得的最小值為BC.

因而BC與對稱軸的交點P就是所求的點.

設直線BC的解析式為，根據題意，可得解得

所以直線BC的解析式為.……………………9分

因此直線BC與對稱軸的交點坐標是方程組的解，解得

所求的點P的坐標為（2，-3）.

4. （2011年菏澤市）如圖，拋物線y＝x²＋bx－2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且A(－1，0)．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）判斷的形狀，證明你的結論；

（3）點是x軸上的一個動點，當MC＋MD的值最小時，求m的值．

解答：（1）把點A(－1，0)的坐標代入拋物線的解析式y＝x²＋bx－2，整理后解得，

所以拋物線的解析式為  ． 頂點．       

（2）．，，．

是直角三角形． 

（3）作出點關于軸的對稱點，則，．連接交軸于點，

根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，的值最小．

設拋物線的對稱軸交軸于點．．

．．．

方法點撥：此類試題往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標軸、拋物線等為背景，但都有一個“軸對稱性”的圖形共同點，解題時只有從變化的背景中提取出“建泵站問題”的數學模型，再通過找定直線的對稱點把同側線段和轉換為異側線段和，利用“兩點之間線段最短”，實現“折”轉“直”即可解決。有時問題是求三角形周長或四邊形周長的最小值，一般此時會含有定長的線段，依然可以轉化為“建泵站問題”。

下面再給一些練習題：

1、如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60⁰，M是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，若PM+PB的最小值是3，則AB長為________.

2、如圖，⊙O的半徑為2，點A，B，C在⊙O上，OA⊥OB,∠AOC=60⁰，P是OB上一動點，PA+PC的最小值為________。

3．在正方形ABCD中，點E是BC上的一定點，且BE=10，EC=14，點P是BD上的一動點，則PE+PC的最小值是                ．

4、（2010濟寧市）如圖，正比例函數的圖象與反比例函數在第一象限的圖象交于點，過點作軸的垂線，垂足為，已知的面積為1.

（1）求反比例函數的解析式；

（2）如果為反比例函數在第一象限圖象上的點（點與點不重合），且點的橫坐標為1，在軸上求一點，使最小.

5、（2011濟寧市）去冬今春，濟寧市遭遇了200年不遇的大旱，某鄉鎮為了解決抗旱問題，要在某河道建一座水泵站，分別向河的同一側張村A和李村B送水。經實地勘查后，工程人員設計圖紙時，以河道上的大橋O為坐標原點，以河道所在的直線為x軸建立直角坐標系（如圖）。兩村的坐標分別為A（2，3），B（12，7）。

(1)、若從節約經費考慮，水泵站建在距離大橋O多遠的

地方可使所用輸水管道最短？

(2)、（略）

練習題參考答案：

1、2；2、3；3、26；

4、（1）反比例函數的解析式為.（2）(2) 由  得 ∴為（，）.

設點關于軸的對稱點為，則點的坐標為（，）.

令直線的解析式為.

∵為（，）∴∴

∴的解析式為.

當時，.∴點為（，）.

5、解：（1）作點B關于x軸的對成點E，連接AE，則點E為（12，-7）

   設直線AE的函數關系式為y=kx+b,則

   2k+b=3

12k+b=-7

解得    k=-1

 b=5

當y=0時， x=5

所以，水泵站建在距離大橋5千米的地方，可使所用輸水管道最短。

教材是《課標》的載體，是課程目標和課程內容的具體化，是教與學的主要依據。中考數學試題大多來源于課本或從課本的基本要求出發加以拓寬，延伸和改造，所以在日常的教學中，教師不要盲目的甩開教材，濫用其他資料，而應高度重視課本上的一些典型例題和它們的解法，即“通用方法”的教學，在此基礎上，還要充分引申、挖掘其蘊涵的深層潛力，做到“一題多解”、“一題多變”、“多題同法”，融會貫通，這樣學生才會得心應手，才能有效地提高數學成績。