小學奧數中的數論問題

在奧數競賽中有一類題目叫做數論題，這一部分的題目具有抽象，思維難度大，綜合運用知識點多的特點，基本上出現數論題目的時候大部分同學做得都不好。
一、小學數論究包括的主要內容
我們小學所學習到的數論內容主要包含以下幾類：
整除問題：（1）整除的性質；（2）數的整除特征（小升初常考內容）
余數問題：（1）帶余除式的運用    被除數=除數×商+余數.（余數總比除數小）
             （2）同余的性質和運用
奇偶問題：（1）奇偶與加減運算；（2）奇偶與乘除運算
質數合數：重點是質因數的分解（也稱唯一分解定理）
約數倍數：（1）最大公約最小公倍數兩大定理
一、兩個自然數分別除以它們的最大公約數，所得的商互質。
二、兩個數的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個數的乘積。
             （2）約數個數決定法則 （小升初常考內容）
整數及分數的分解與分拆：這一部分在難度較高競賽中常出現，屬于較難的題型。

二、數論部分在考試題型中的地位
     在整個數學領域，數論被當之無愧的譽為“數學皇后”。翻開任何一本數學輔導書，數論的題型都占據了顯著的位置。在小學各類數學競賽和小升初考試中，系統研究發現，直接運用數論知識解題的題目分值大概占據整張試卷總分的30%左右，而在競賽的決賽試題和小升初一類中學的分班測試題中，這一分值比例還將更高。
出題老師喜歡將數論題作為區分尖子生和普通學生的依據，這一部分學習的好壞將直接決定你是否可以在選拔考試中拿到滿意的分數。

三、孩子在學習數論部分常常會遇到的問題
數學課本上的數論簡單，競賽和小升初考試的數論不簡單。
有些孩子錯誤地認為數論的題目很簡單，因為他們習慣了數學課本上的簡單數論題，比如：

例1：求36有多少個約數？
這道題就經常在孩子們平時的作業里和單元測試里出現。可是小升初考題里則是：

例2：求3600有多少個約數？
很多孩子就懵了，因為“平時考試里沒有出過這么大的數！”（孩子語）于是乎也硬著頭皮用課堂上求約數的方法去求，白白浪費了大把的時間，即使最后求出結果也并不劃算。
這道題其實用約數個數決定法則非常好求，而且省時省力！可是我們的出題老師卻振振有詞道：“這道題不超綱，也符合教委的精神，因為你就是用普通數學的方法也能做出來，無非多花一些時間而已！”殊不知考試的時間何其寶貴，這道題的解法其實已經將孩子的數學水平分出了高下！
數論的定理背起來簡單，但真正理解和掌握卻很難。
數論的定理在很多好的奧數輔導書中都有概括，于是有些孩子拿起來蒙頭就開始背，終于花了不少時間硬啃下來，卻不食其中“滋味”，遇上數論的題目只能一條一條定理的硬套，結果很多題目還是不會做。這里的原因在于缺乏老師正確的引導，很多定理細心領會比死記更重要！孩子自身的領悟能力有限，站在老師的肩膀上才能看得更遠！
單個數論的知識點掌握起來較簡單，但綜合運用卻很難。
數論的題有的時候會和其它知識點綜合起來考察，比如和分數，和計數綜合等等。這樣的題學生往往感覺無從下手，也有一定難度，因此得分率很低。比如，

例3：一個學校參加某項興趣活動的學生不到100人，其中男同學人數超過總數的4/7，女同學的人數超過總數的2/5。問男女生各多少人？（某中學入學測試壓軸題）
    這道題兼顧分數主要從數論中的整除特性考查學生。

例4：有一個四位數分別除以它的各位數字得到四個整數商,這四個商的和還是這個四位數,求滿足要求的四位數共有多少個?
     這道題同樣從數論入手考察學生多個知識點的綜合運用，題目較難。

四、該如何學習數論知識
     數論的知識點較多，在考試中占的比重較大，學生在學習的過程中，熟記定理是必要的，除了熟記以外，更應該知其然，知其所以然。如果時間允許，可以動手將所有定理和公式一一推導一遍。比如：為什么能被4（或25）整除的數只需要看末尾兩位是否能被4（或25）整除？原來一個數可以分成兩部分的和，最后2位和前面若干位的100倍，前一部分能被100整除（當然也肯定能被4或25整除），所以只需看后兩位即可。理解了這個也就不難理解：為什么能被8（或125）整除的數只需要看末三位是否能被其整除即可（想一想？）
     這樣做的益處是一方面讓孩子更深刻的理解了定理和公式來源，舉一反三，而不是死記硬背；另一方面當作習題來熟練解題套路，實踐證明對于孩子的思維發散是很有幫助的。
     要想深刻掌握數論題的解題要領，還需要多做些數論的綜合題。有些解題的常用套路是可以歸納總結的，比如整數表示法，枚舉法，反證法，構造法等等在這里不一一敘述，需要由老師幫助引領完成。

五、哪些參考書數論部分編寫的較好
     對于數論常用知識點不了解的學生可參看：
    《華校課本五年級》上冊1～5講，下冊第4講；《華校課本六年級》上冊第8講，下冊第7講。（講解知識點較為詳細）

六、小學奧數的幾大重點
     包括：行程問題，數論問題和幾何問題。

幾道小學數學數論題
1．在43的右邊補上三個數字，組成一個五位數，使它能被3，4，5整除，求這樣的最小五位數.
2．兩個整數A，B的最大公約數是C，最小公倍數是D.已知C不等于1，也不等于A或B，并且C＋D＝187.求A＋B是多少？
3．某個自然數是3和4的倍數，包括1和它本身在內共有10個約數，那么這個自然數是幾？

（1）1與0的特性： 1是任何整數的約數，即對于任何整數a，總有1|a. 0是任何非零整數的倍數，a≠0,a為整數，則a|0.

（2）若一個整數的末位是0、2、4、6或8，則這個數能被2整除。

（3）若一個整數的數字和能被3整除，則這個整數能被3整除。

 (4) 若一個整數的末尾兩位數能被4整除，則這個數能被4整除。

（5）若一個整數的末位是0或5，則這個數能被5整除。

（6）若一個整數能被2和3整除，則這個數能被6整除。

（7）若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中，減去個位數的2倍，如果差是7的倍數，則原數能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數，
就需要繼續上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷133是否7的倍數的過程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍數；
又例如判斷6139是否7的倍數的過程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍數，余類推。
               
（8）若一個整數的未尾三位數能被8整除，則這個數能被8整除。

（9）若一個整數的數字和能被9整除，則這個整數能被9整除。

（10）若一個整數的末位是0，則這個數能被10整除。

（11）若一個整數的奇位數字之和與偶位數字之和的差能被11整除，則這個數能被11整除。11的倍數檢驗法也可用上述檢查7的「割尾法」處理！
過程唯一不同的是：倍數不是2而是1！