直線與圓錐曲線的位置關系

直線與圓錐曲線的位置關系

二. 課標要求：

1. 通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數形結合的思想；

2. 掌握直線與圓錐曲線的位置關系判定及其相關問題。

三. 命題走向：

近幾年來直線與圓錐曲線的位置關系在高考中占據高考解答題壓軸題的位置，且選擇、填空也有涉及，有關直線與圓錐曲線的位置關系的題目可能會涉及線段中點、弦長等。分析這類問題，往往利用數形結合的思想和“設而不求”的方法，對稱的方法及韋達定理等。

預測高考：

1. 會出現1道關于直線與圓錐曲線的位置關系的解答題；

2. 與直線、圓錐曲線相結合的綜合型考題，等軸雙曲線基本不出題，坐標軸平移或平移化簡方程一般不出解答題，大多是以選擇題形式出現。

【教學過程】

基本知識要點回顧：

1. 點M（x₀，y₀）與圓錐曲線C：f（x，y）＝0的位置關系

2. 直線與圓錐曲線的位置關系

直線與圓錐曲線的位置關系，從幾何角度可分為三類：無公共點，僅有一個公共點及有兩個相異公共點。

直線與圓錐曲線的位置關系的研究方法可通過代數方法即解方程組的辦法來研究。因為方程組解的個數與交點的個數是一樣的。直線與圓錐曲線的位置關系可分為：相交、相切、相離。對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切。這三種位置關系的判定條件可歸納為：

注意：直線與拋物線、雙曲線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件。

3. 直線與圓錐曲線相交的弦長公式

設直線l：y＝kx＋n，圓錐曲線：F（x，y）＝0，它們的交點為P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），

且由，消去y→ax²＋bx＋c＝0（a≠0），Δ＝b²－4ac。

則弦長公式為：

d＝＝＝＝。

【典型例題】

例1. 已知橢圓：，過左焦點F作傾斜角為的直線交橢圓于A、B兩點，求弦AB的長。

解：a＝3，b＝1，c＝2，則F（-2，0）。

由題意知：與聯立消去y得：。

設A（、B（，則是上面方程的二實根，由韋達定理，，，又因為A、B、F都是直線上的點，

所以|AB|＝

點評：弦長公式的應用。

例2. 中心在原點，一個焦點為F₁（0，）的橢圓截直線所得弦的中點橫坐標為，求橢圓的方程。

解：設橢圓的標準方程為，由F₁（0，）得

把直線方程代入橢圓方程整理得：。

設弦的兩個端點為，則由根與系數的關系得：

，又AB的中點橫坐標為，

，與方程聯立可解出

故所求橢圓的方程為：。

點評：根據題意，可設橢圓的標準方程，與直線方程聯立解方程組，利用韋達定理及中點坐標公式，求出中點的橫坐標，再由F₁（0，）知，c＝，，最后解關于a、b的方程組即可。

例3. （06遼寧卷）直線與曲線  的公共點的個數為（    ）

A. 1                     B. 2                      C. 3                     D. 4

解：將代入得：。

，顯然該關于的方程有兩正解，即x有四解，所以交點有4個，故選擇答案D。

點評：本題考查了方程與曲線的關系以及絕對值的變換技巧，同時對二次方程的實根分布也進行了簡單的考查。也可數形結合。

例4. （2000上海，17）已知橢圓C的焦點分別為F₁（，0）和F₂（2，0），長軸長為6，設直線y＝x＋2交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的中點坐標。

解：設橢圓C的方程為，

由題意a＝3，c＝2，于是b＝1。

∴橢圓C的方程為＋y²＝1。

由得10x²＋36x＋27＝0，

因為該二次方程的判別式Δ＞0，所以直線與橢圓有兩個不同的交點，

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

則x₁＋x₂＝，

故線段AB的中點坐標為（）。

點評：本題主要考查橢圓的定義標準方程，直線與橢圓的位置關系及線段中點坐標公式。

例5. （1）過點與雙曲線有且只有一個公共點的直線有幾條，分別求出它們的方程。

（2）直線與雙曲線相交于A、B兩點，當為何值時，A、B在雙曲線的同一支上？當為何值時，A、B分別在雙曲線的兩支上？

解：（1）解：若直線的斜率不存在時，則，此時僅有一個交點，滿足條件；

若直線的斜率存在時，設直線的方程為則，

，  ∴，

，

當時，方程無解，不滿足條件；

當時，方程有一解，滿足條件；

當時，令，

化簡得：無解，所以不滿足條件；

所以滿足條件的直線有兩條和。

（2）把代入整理得：  （1）

當時，。

由>0得且時，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個交點。

若A、B在雙曲線的同一支，須>0 ，所以或。

故當或時，A、B兩點在同一支上；當時，A、B兩點在雙曲線的兩支上。

點評：與雙曲線只有一個公共點的直線有兩種。一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點的直線。另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條。

例6. （1）求直線被雙曲線截得的弦長；

（2）求過定點的直線被雙曲線截得的弦中點軌跡方程。

解：（1）由得得（*）

設方程（*）的解為，則有   得，

（2）方法一：若該直線的斜率不存在時與雙曲線無交點，則設直線的方程為，它被雙曲線截得的弦為對應的中點為，

由得（*）

設方程（*）的解為，則，

∴，

且，

∴，

得或。

方法二：設弦的兩個端點坐標為，弦中點為，則

得：，

∴，    即，     即（圖象的一部分）

點評：（1）弦長公式；（2）有關中點弦問題的兩種處理方法。

例7. 過雙曲線的一焦點的直線垂直于一漸近線，且與雙曲線的兩支相交，求該雙曲線離心率的范圍。

解：設雙曲線的方程為，，漸近線，則過的直線方程為，則，

代入得，

∴即得，

∴，即得到。

點評：直線與圓錐曲線的位置關系經常和圓錐曲線的幾何要素建立起對應關系，取值范圍往往與判別式的取值建立聯系。

例8. 已知拋物線方程為，直線過拋物線的焦點F且被拋物線截得的弦長為3，求p的值。

解：設與拋物線交于

由距離公式|AB|＝＝

由

從而由于p>0，解得

點評：方程組有兩組不同實數解或一組實數解則相交；有兩組相同實數解則相切；無實數解則相離。

例9. （2003上海春，4）直線y＝x－1被拋物線y²＝4x截得線段的中點坐標是_____。

答案：（3，2）

解一：設直線y＝x－1與拋物線y²＝4x交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中點為P（x₀，y₀）。

由題意得，（x－1）²＝4x，x²－6x＋1＝0。

∴x₀＝＝3.y₀＝x₀－1＝2.∴P（3，2）。

解二：y₂²＝4x₂，y₁²＝4x₁，y₂²－y₁²＝4x₂－4x₁，

＝4.∴y₁＋y₂＝4，即y₀＝2，x₀＝y₀＋1＝3。

故中點為P（3，2）。

點評：本題考查曲線的交點與方程的根的關系.同時應注意解法一中的縱坐標與解法二中的橫坐標的求法。

例10. （1997上海）拋物線方程為y²＝p（x＋1）（p＞0），直線x＋y＝m與x軸的交點在拋物線的準線的右邊。

（1）求證：直線與拋物線總有兩個交點；

（2）設直線與拋物線的交點為Q、R，OQ⊥OR，求p關于m的函數f（m）的表達式；

（3）（文）在（2）的條件下，若拋物線焦點F到直線x＋y＝m的距離為，求此直線的方程；

解：（1）拋物線y²＝p（x＋1）的準線方程是x＝－1－，直線x＋y＝m與x軸的交點為（m，0），由題設交點在準線右邊，得m＞－1－，即4m＋p＋4＞0。

由

得x²－（2m＋p）x＋（m²－p）＝0.

而判別式Δ＝（2m＋p）²－4（m²－p）＝p（4m＋p＋4）.

又p＞0及4m＋p＋4＞0，可知Δ＞0.

因此，直線與拋物線總有兩個交點；

（2）設Q、R兩點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由（1）知，x₁、x₂是方程x²－（2m＋p）x＋m²－p＝0的兩根，

∴x₁＋x₂＝2m＋p，x₁·x₂＝m²－p.

由OQ⊥OR，得k_OQ·k_OR＝－1，

即有x₁x₂＋y₁y₂＝0.

又Q、R為直線x＋y＝m上的點，

因而y₁＝－x₁＋m，y₂＝－x₂＋m.

于是x₁x₂＋y₁y₂＝2x₁x₂－m（x₁＋x₂）＋m²＝2（m²－p）－m（2m＋p）＋m²＝0，

∴p＝f（m）＝，

由得m＞－2，m≠0；

（3）（文）由于拋物線y²＝p（x＋1）的焦點F坐標為（－1＋，0），于是有

，即|p－4m－4|＝4.

又p＝       ∴||＝4.

解得m₁＝0，m₂＝－，m₃＝－4，m₄＝－.

但m≠0且m＞－2，因而舍去m₁、m₂、m₃，故所求直線方程為3x＋3y＋4＝0。

點評：本題考查拋物線的性質與方程，拋物線與直線的位置關系，點到直線的距離，函數與不等式的知識，以及解決綜合問題的能力。

例11. （06山東卷）已知拋物線y²＝4x，過點P（4，0）的直線與拋物線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，則y₁²＋y₂²的最小值是          。

解：顯然30，又＝4（）38，當且僅當時取等號，所以所求的值為32。

點評：該題考查直線與拋物線位置關系下的部分求值問題，結合基本不等式求得最終結果。

例12. （07浙江文）如圖，直線y＝kx＋b與橢圓交于A、B兩點，記△AOB的面積為S。

（I）求在k＝0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；

（Ⅱ）當｜AB｜＝2，S＝1時，求直線AB的方程

解：（I）設點A的坐標為，點B的坐標為，

由，解得

所以

當且僅當時，S取到最大值1。

（Ⅱ）由得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

｜AB｜＝        ②

又因為O到AB的距離　　所以③

③代入②并整理，得

解得，，代入①式檢驗，△＞0

故直線AB的方程是 

或或或。

點評：本題主要考查橢圓的幾何性質、橢圓與直線的位置關系等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。

［思維小結］

1. 加強直線與圓錐曲線的位置關系問題的復習

由于直線與圓錐曲線的位置關系一直為高考的熱點。這類問題常涉及到圓錐曲線的性質和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直問題，因此分析問題時利用數形結合思想來設。用設不求法與弦長公式及韋達定理聯系去解決。這樣就加強了對數學各種能力的考查；

2. 關于直線與圓錐曲線相交弦則結合韋達定理采用設而不求法。利用引入一個參數表示動點的坐標x、y，間接把它們聯系起來，減少變量、未知量采用參數法。有些題目還常用它們與平面幾何的關系，利用平面幾何知識會化難為易，化繁為簡，收到意想不到的解題效果；

3. 直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數解或實數解的個數問題，此時要注意用好分類討論和數形結合的思想方法；

4. 當直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式）；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化。同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍。

【模擬試題】

一、選擇題

1、如果表示焦點在軸上的橢圓，那么實數的取值范圍是（    ）

A.            B.               C.            D.

2  以橢圓的頂點為頂點，離心率為的雙曲線方程為（     ）

A.                          B.       

C. 或       D. 以上都不對

3、過雙曲線的一個焦點作垂直于實軸的弦，是另一焦點，若∠，則雙曲線的離心率等于（     ）

A.            B.                C.            D.

4、是橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，且∠，則Δ的面積為（      ）

A.                   B.                    C.                   D.

5、以坐標軸為對稱軸，以原點為頂點且過圓的圓心的拋物線的方程是（    ）

A. 或                B.    

C. 或               D. 或

6、設為過拋物線的焦點的弦，則的最小值為（    ）

A.                   B.                    C.               D. 無法確定

二、填空題

1、橢圓的離心率為，則的值為______________。

2、雙曲線的一個焦點為，則的值為______________。

3、若直線與拋物線交于、兩點，則線段的中點坐標是______。

4、對于拋物線上任意一點，點都滿足，則的取值范圍是___________。

5、若雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的焦點坐標是________。

6、設是橢圓的不垂直于對稱軸的弦，為的中點，為坐標原點，則____________。

三、解答題

1、已知定點，是橢圓的右焦點，在橢圓上求一點，使取得最小值。

2、代表實數，討論方程所表示的曲線

3、雙曲線與橢圓有相同焦點，且經過點，求其方程。

4、已知頂點在原點，焦點在軸上的拋物線被直線截得的弦長為，求拋物線的方程。

【試題答案】

一、選擇題

1、D  焦點在軸上，則

2、C  當頂點為時，；

當頂點為時，

3、C  Δ是等腰直角三角形，

4、C 

5、D  圓心為，設；

設

6、C  垂直于對稱軸的通徑時最短，即當

二、填空題

1、4或  當時，；

當時，

2、   焦點在軸上，則

3、  

中點坐標為

4、  設，由得

    恒成立，則

5、  漸近線方程為，得，且焦點在軸上

6、  設，則中點，得

，，

得即

三、解答題

1、解：顯然橢圓的，記點到右準線的距離為

則，即

當同時在垂直于右準線的一條直線上時，取得最小值，

此時，代入到得

而點在第一象限，

2、解：當時，曲線為焦點在軸的雙曲線；

當時，曲線為兩條平行的垂直于軸的直線；

當時，曲線為焦點在軸的橢圓；

當時，曲線為一個圓；

當時，曲線為焦點在軸的橢圓 

3、解：橢圓的焦點為，設雙曲線方程為

過點，則，得a²＝4或36，而，

，雙曲線方程為 

4、解：設拋物線的方程為，則消去得

，

則