直線、平面、簡單幾何體

直線、平面、簡單幾何體

【模擬試題】

第I卷（選擇題  共60分）

一. 選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1. （青島統測）已知直線與平面滿足，，，那么必有（    ）

A. 且                    B. 且

C. 且                    D. 且

2. （知識原創題）若A、B、C、D四點滿足AB⊥CD、AC⊥BD、AD⊥BC，則這四點的位置關系是（    ）

A. 一定共面                              B. 一定不共面

C. 不一定共面                          D. 不存在

3. （鄭州二次質量預測）正四棱錐P—ABCD的所有棱長都相等，E為PC的中點，那么異面直線BE與PA所成角的余弦值等于（    ）

A.             B.          C.          D.

4. （知識交匯題）已知相交直線都在平面內，并且都不在平面內，若中至少有一條與相交；與相交，則p是q的（    ）

A. 充分不必要條件                   B. 必要不充分條件

C. 充要條件                              D. 不充分也不必要條件

5. （熱點創新題）若正三棱錐的側面都是直角三角形，那么側面與底面所成的角的余弦值是（    ）

A.          B.           C.             D.

6. （北京西城抽測）球O的截面把垂直于截面的直徑分成1：3兩部分，若截面圓半徑為，則球O的體積為（    ）

A.         B.         C.         D.

7. （濟南統測）如圖，正方體ABCD—中，E、F分別是AB、的中點，則異面直線與EF所成角的余弦值為（    ）

A.          B.          C.             D.

8. （南京模擬）四棱錐P—ABCD，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD為梯形，AD=4，BC=8，AB=6，，滿足上述條件的四棱錐的頂點P的軌跡是（    ）

A. 圓            B. 不完整的圓             C. 拋物線             D. 拋物線的一部分

9. （知識創新題）把一副三角板ABC與ABD擺成如下圖所示的直二面角D—AB—C，則異面直線DC與AB所成的角為（    ）

A.           B.            C.            D.

10. （易錯警醒題）已知正四棱錐的側棱與底面成角，則此四棱錐的兩個相鄰側面所成的二面角的余弦值是（    ）

A.             B.          C.             D.

11. （蘇錫常鎮調查一）設為兩條直線，為兩個平面，給出下列四個命題，其中，正確命題的個數是（    ）

① 若，則

② 若，則

③ 若，則

④ 若，則

A. 0個           B. 1個           C. 2個           D. 3個

12. （知識原創題）若，，如果與為共線向量，則（    ）

A.                    B.

C.              D.

第II卷（非選擇題  共90分）

二. 填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在題中橫線上。）

13. （基本概念題）設，，，且點B的坐標為，則點A的坐標為       。

14. （知識創新題）是用“斜二測畫法”畫出的等腰直角三角形ABC的直觀圖，設的面積為，的面積為S，則       。

15. （條件開放題）以正方體的8個頂點中4個為頂點，且4個面均為直角三角形的四面體是      （只要寫出一個四面體即可）。

16. （真題·遼寧卷）如圖，正方體的棱長為1，C、D分別是兩條棱的中點，A、B、M是頂點，那么點M到截面ABCD的距離是        。

三. 解答題（本大題共6小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

17. （本小題滿分12分）

（湖北八校二次聯考）如圖，在多面體ABCDE中，AE⊥面ABC，BD//AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F為CD中點。

（1）求證：EF⊥面BCD；

（2）求面CDE與面ABDE所成的二面角的余弦值。

18. （本小題滿分12分）

（成都二診）如圖，已知四棱錐S—ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的一點。

（1）求證：平面EBD⊥平面SAC；

（2）設SA=4，AB=2，求點A到平面SBD的距離；

（3）當的值為多少時，二面角B—SC—D的大小為。

19. （本小題滿分12分）

（高考變式題）如下圖，已知是直三棱柱，D是AC的中點，O是的中點，E在上，且，AC=BC=CE=2，，。

（1）證明：截面BDE//AO；

（2）求三棱錐的體積。

20. （本小題滿分12分）

（思維拓展題）

圖（1）是一個正方形的表面展開圖，MN和PQ是兩條面對角線。請在圖（2）的正方體中將MN、PQ畫出來，并就這個正方體解答下列各題。

（1）求MN與PQ所成角的大小；

（2）求四面體M—NPQ的體積與正方體的體積之比；

（3）求二面角M—NQ—P的大小。

  21. （本小題滿分12分）

（經典常考題）如下圖，在正方體中，E、F分別是、的中點。

（1）求異面直線與所成角的余弦值；

（2）設P為的中點，問：在上是否存在一點Q使得，若存在指出Q點的位置，若不存在說明理由。

  22. （本小題滿分14分）

（知識原創題）已知直棱柱，底面四邊形ABCD是直角梯形，上底邊長AD=6，直角邊所在的腰AB=2，BC=2，，G是CD的中點，E是的中點，F在AD上，且。

（1）求異面直線EF與所成的角；

（2）求直線EF和平面所成的角；

（3）求二面角的大小。

【試題答案】

一.

1. A

解析：由已知，，可得，又，得，故得答案A。

2. C

解析：點A可以是的垂心，也可以是平面外的一點，使得三棱錐A—BCD的三條側棱兩兩垂直，即此四點的位置關系是不一定共面，應選C。

3. D

解析：設O為底面正方形的中心，連結EO，有EO//PA，則是異面直線BE與PA所成的角。設正四棱錐P—ABCD的棱長為2，則在中，，，，故選D。

4. C

解析：本題將直線，平面知識與簡易邏輯知識相結合，體現了在知識交匯處命題的高考趨勢，從p出發能推到q，從q出發也能推出p，所以p是q的充分必要條件，故選C。

5. D

解析：如圖，V—ABC是正三棱錐，所以頂點V在底面的射影O點為正三角形的中心，即O在AM上，M為BC的中點，連結VM，則為側面與底面所成的角，設，，又為等腰直角三角形， 

∴    故選D

6. C

解析：設直徑被分成的兩部分分別為，易知，得，則球O的半徑R=2，故。

7. B

解析：建立如圖坐標系，設正方體的邊長為2，則，E（2，1，0），F（0，2，1），C（0，2，0），，，

則

所以異面直線與EF所成角的余弦值為，故選B。

8. B

解析：由AD⊥面PAB及BC⊥面PAB，可得AD//BC，，又，及AD=4，BC=8，可得，即得，在平面PAB內以AB所在直線為x軸，AB中點O為坐標原點，建立直角坐標系，則，B（3，0），設點P的坐標為，則有

，整理可得一個圓方程，由于點P不在直線AB上，故此軌跡為一個不完整的圓，故應選B。

9. B

解析：過點C作CE//AB，過點A作AF⊥CE于點F，連結DF，設AD=1，則，，在中，，，故選B。

10. D

解析：如圖，正四棱錐S—ABCD，作BH⊥SC于H，連結HD，則為所求二面角的平面角，設底面邊長為1，則，，在中，由余弦定理得，故選擇D。

易錯點是錯誤理解“此四棱錐的兩個相鄰側面所成的二面角”而錯選A。

11. B

解析：① 由，，，可得或或相交，相交時只需都與交線平行；② 線線平行的判定；③ 必須；④ 由，要得到，必須有垂直于與的交線，故選B。

12. C

解析：若與共線，則有

∴ ，故應選C。

二.

13.

解析：

∴ 點A的坐標為

14.

解析：設原等腰直角三角形的底邊長為，高為，則利用斜二測畫法畫成的三角形底邊長不變，高為   ∴

15.

解析：如圖，側棱與上下兩個底面垂直，則與底面內的任一直線垂直，連結AC，則，同理。

16.

解析：由等體積法求解，設點M到平面ABCD的距離為x，

∴

三.

17. （1）取BC中點G，連結FG、AG

∵ AE⊥面ABC，BD//AE    ∴ BD⊥面ABC

又AG面ABC    ∴ BD⊥AG  

又AC=AB，G是BC中點    ∴ AG⊥BC

∴ AG⊥平面BCD

∵ F是CD的中點且BD=2    ∴ FG//BD且FG=1

∴ FG//AE

又AE=1   ∴ AE=FG，故四邊形AEFG是平行四邊形，從而EF//AG

∴ EF⊥面BCD

（2）取AB的中點H，則H為C在面ABDE上的射影，過C作CK⊥DE于K，連結KH，由三垂線定理的逆定理得KH⊥DE

∴ 為二面角C—DE—B的平面角

易知，，，

由

可得，中，，故

∴ 面CDE與面ABDE所成的二面角的余弦值為

18. （1）∵ SA⊥底面ABCD，底面ABCD   ∴ SA⊥BD

∵ ABCD是正方形   ∴ AC⊥BD

∴ BD⊥平面SAC    又BD平面EBD

∴ 平面EBD⊥平面SAC

（2）設，連結SO，則SO⊥BD

由AB=2，知，

∴

∴

令點A到平面SBD的距離為h，由SA⊥平面ABCD

則    ∴

∴ 點A到平面SBD的距離為

（3）設SA=，建立如圖所示空間直角坐標系，為計算方便，不妨設AB=1，則C（1，1，0），S（0，0，），B（1，0，0），D（0，1，0）

∴ ，，

再設平面SBC和平面SCD的法向量分別為，，則

∴ ，取，則   ∴ 可得

又

∴ ，取，則

∴ 可取    ∴

要使得二面角的大小為，則，從而，即當時，二面角B—SC—D的大小為

19. （1）設G為的中點，連結DF、OG，則，

∴ OG//BE   易知F為OC中點，又D為AC中點   ∴ AO//DF

又∵ 面BDE    ∴ AO//截面BDE

（2）∵ 是直三棱柱，   ∴ BC⊥側面

∴ 側面⊥側面

設O到側面的距離為h，則h等于O到側面的距離

又∵ O為的中點

∴    

故

20. （1）連結MC、NC，可得PQ//NC，則就是異面直線MN與PQ所成的角

∵ 是等邊三角形   ∴

則MN與PQ所成的角等于

（2）不失一般性，設正方體的棱長為1，則（立方單位）

∵ （立方單位）

∴

（3）∵ PN⊥平面AQMP    ∴ 平面MPQ⊥平面NPQ

作MO⊥PQ于O，ME⊥NQ于E，連結OE，并設正方體的棱長為1，則MO⊥平面NPQ

∵ OE是ME在平面NPQ內的射影

∴ OE⊥NQ

則是二面角M—NQ—P的平面角

由～，得   ∴

∵   MO⊥OE   ∴

∴

則二面角M—NQ—P的大小為

  21. （1）以點D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，為z軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為，則A（，0，0），，，

∴ ，

∴

∴ 異面直線與所成角的余弦值為

（2）假設存在點使得

∴ ，，

∴ ，，，則

∴ 存在點，且時，

22. 以A為原點，分別為所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則C（2，2，0），D（0，6，0），G（1，4，0），，F（0，2，0），E（2，2，2）

（1），

∴

即與所成的角為

所以異面直線EF與所成的角為

（2）取，連結，則H（0，2，4），

∵ 平面    ∴ 是EF在平面上的射影

∵     ∴

∴ 直線EF與平面所成的角為

（3）過E作EP⊥FG于P，過作于Q

∵ P、Q在平面內，且在直線FG上，在平面內FG的方程為

故可設P、Q點坐標為，

則，，

∵     ∴     ∴

又∵    ∴    ∴

∴ ，

∴

∴ 二面角E—FG—D₁的大小為