導數綜合

二. 內容講解

由于導數為我們解決所學過的有關函數問題提供了一般性的方法，所以利用導數方法研究函數的性質及解決實際問題成為高考的熱點之一，這部分的具體要求是：

1. 理解導數概念及其幾何意義；掌握（）的公式；會求多項式函數的導數。

2. 會用導數求曲線的切線方程；理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會用導數求多項式函數的單調區間，極大值、極小值及閉區間上的最大值和最小值。

【典型例題】

[例1] 設在點處可導，為常數，則等于（    ）

A.      B.     C.      D. 0

解：

    =

    =

    ==   故應選（B）

注：本題旨在鞏固對函數在某一點處的導數的定義的理解與掌握。

[例2] 已知點為曲線上的一點，曲線在A點處的切線方程為，曲線斜率為1的切線有幾條？它們之間的距離是多少？

解：由，則，由切線斜率為1，則，即此時，令，解得或，故已知曲線斜率為1的切線有兩條。

由A點在曲線上，則，過點A的切線方程為，即，故。當時，，故相應的點為，切線方程為：，即。

故兩直線間的距離為：=

[例3] 設拋物線C₁：與拋物線：在它們一個交點處的切線互相垂直。

    （1）求a ，b 之間的關系；

（2）若，，求的最大值。

解：（1）對C­₁：；對C₂：，設曲線C₁與C₂的一個交點為，由兩曲線在交點處的切線互相垂直，則，即① ，又（在兩曲線上，故有：

，

則

即②

由①、②可消去，可得

（2）由，且，則

當且僅當時，等號成立，即當且僅當時，的最大值為。

[例4] 已知拋物線C₁：和C₂：，如果直線同時是C₁和C₂的切線，稱是C_1­和C_2­的公切線，公切線上兩個切點之間的線段稱為公切線段。

（1）取什么值時，C₁和C₂有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；

（2）若C₁和C₂有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分。

（1）解：函數的導數為，曲線C₁在點P（）的切線方程為：

即①

函數的導數為，曲線C₂在點Q（）的切線方程為

即②

如果直線是過P和Q的公切線，則①和②式都是的方程，所以

消去，得方程

令得，解得

此時點P與Q重合，即當時，C₁與C₂有且僅有一條公切線，由①得公切線方程為。

（2）證明：由（1）知，當時，C₁和C₂有兩條公切線，設一條公切線上切點為P₁（），Q（），其中點P在曲線C_1­上，點Q在曲線C­₂上，則由

故線段PQ中點為（），同理，另一條公切線的中點坐標也是（）得證。

[例5] 已知函數，其中，為參數，且

（1）當時，判斷是否有極值；

（2）要使函數的極小值大于零，求參數的取值范圍；

（3）若對（2）中所求的取值范圍內的任意參數，函數在區間（）內都是增函數，求實數的取值范圍。

解：

（1）當時，，則函數在（）上是增函數，故無極值。

（2），令，得

由及（1），只考慮的情況

當變化時，的符號及的變化情況如下表：

因此，函數在處取得極小值

，且

要使，必有

可得，所以

（3） 由（2）知，函數在區間（）與（）內都是增函數，由題設，函數在（）內是增函數，則須滿足不等式組或

由（2），參數，，要使不等式關于恒成立，必有

綜上，解得或，所以的取值范圍是

注：本題為2006高考文科試題，主要考查運用導數研究函數的單調性及極值，解不等式等基本知識，考查綜合分析和解決問題的能力。

【模擬試題】

1. 拋物線在點P（）處的切線的傾斜角是（    ）

A. arctan2             B. arctan（－2）          C. arctan           D.

2. 與直線平行的切線的切線方程是（     ）

A.                           B.         

C.                             D. 或

3. 某物體運動規律是，則在t=        時的瞬時速度為0。

4. 已知，若，則x=         。

5. 平行于直線且與曲線相切的直線方程是   

                。

  6. 垂直于直線且與曲線相切的直線方程是         

               。

7. 已知A、B是拋物線上橫作標分別為的兩點，求拋物線的平行于割線AB的切線方程                   。

8. 若拋物線的切線與直線的夾角為，求切點坐標。

【試題答案】

1. D           2. D        3. 2         4. 0或2        

5. 或

6.

7.

8. （）或（）