含絕對值不等式、一元二次不等式、簡易邏輯、充要條件

含絕對值不等式、一元二次不等式、簡易邏輯、充要條件

二. 本周教學重、難點：

1. 掌握簡單的絕對值不等式的解法；掌握一元二次不等式的解法；學會運用函數方程、分類討論、等價轉化和數形結合思想解決有關不等式的問題。

2. 理解邏輯聯結詞“或”“且”“非”的含義，理解四種命題及其相互關系，掌握充分條件，必要條件，充要條件的意義。

【典型例題】

[例1] 解不等式：

（1）；

（2）。

解：

（1）方法一：原不等式等價于

      即   

∴

方法二：原不等式等價于

或    ∴

∴ 或

故原不等式的解集為

（2）方法一：原不等式等價于

①或②

由①得   ∴

由②得    ∴

∴ 原不等式的解集為

方法二：∵

∴ 原不等式可視為關于的一元二次不等式0

解得或（舍去）   ∴ 或

故原不等式的解集為

[例2] 解不等式

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

解：

（1）∵   ∴ 原不等式化為

∴ 或

（2）   ∴   ∴

（3）   ∴   ∴ 且

∴

（4）原不等式化為：且

∴ 且

且或

∴ 或且

（5）

方法一：令    ∴

① 時，      ∴

② 時，  

③ 時，      ∴

∴ 由①②③知：

（6）∵     ∴

利用等號成立的條件得   ∴    ∴

[例3] 解不等式

解：  

（1）時，

① 時，

的兩根  

∴

② 時，      ∴ 且

③ 時，   ∴

（2）時，

∵     ∴      

∴ 或

（3）時，

[例4] 已知二次函數的二次項系數為，且不等式的解集為（1，3）

（1）若方程有兩個相等的根，求的解析式；

（2）若的最大值為正數，求的取值范圍。

解：

（1）∵ 的解集為（1，3）

設，且

因而①

由方程，得②

∵ 方程②有兩個相等的根

∴

即    解得或

由于，舍去

將代入①得的解析式

（2）由

又，可得的最大值為

由

解得或

[例5] 已知關于的不等式的解集為M。

（1）當時，求集合M；

（2）若且，求實數的取值范圍。

解：

（1）當時，不等式化為

所以或

故不等式的解集

（2）因M，得①

因，得或②

由①②解得或

[例6] 判斷命題“若，則有實根”的逆否命題的真假。

解：方法一：寫出逆否命題，再判斷其真假

原命題：若，則有實根

逆否命題：若無實根，則

判斷如下：

∵ 無實根    ∴

∴     ∴“若無實根，則”為真命題

方法二：利用命題之間的關系：原命題與逆否命題同真同假（即等價關系）證明。

∵    ∴    ∴

∴ 方程的判別式

∴ 方程有實根

故原命題“若，則有實根”為真

又因原命題與其逆否命題等價，所以“若，則有實根”的逆否命題為真

方法三：利用充要條件與集合的包含、相等關系。

命題：，：有實根

∴ ：

：方程有實根}=

∵    ∴

∴ 方程的判別式

∴ 方程有實根，即

∴“若則”為真

∴“若則”的逆否命題“若則”為真

∴ 若，則有實根的逆否命題為真

方法四：設：，：有實根，則無實根

∴

∵     ∴“若則”為真，即“若方程無實根，則”為真

[例7] 已知，設P：函數在R上單調遞減；Q：函數的值域為R，如果“P且Q”為假命題，“P或Q”為真命題，則的取值范圍是（    ）

A.                                 B.

C.                     D.

解析：由題意知P，函數在R上單調遞減，則。Q：函數

的值域為R，則二次函數必滿足且，解之，得。由“P且Q”為假命題，“P或Q”為真命題可知，P、Q中有且只有一個真命題，又由上述可知Q是P的真子集，則只能滿足Q不成立P成立，∴ ，故選A。

[例8] 若是R上的減函數，且，設，，若“”是“”的充分不必要條件，則實數的取值范圍是（    ）

A.     B.      C.     D.

解析：由題意知

∵“”是“”的充分而不必要條件

∴     ∴ ，故選C。

【模擬試題】

一. 選擇題：

1. 若，則不等式的解集是（    ）

A.

B.

C.

D.

2. 已知的解集為R，則的取值范圍是（    ）

    A.     B.     C.     D.

3. 不等式的解集為（    ）

    A.     B.     C.     D.

4. 不等式的解集為（    ）

A.

B.

C.

D. 以上答案都不對

5. 如果函數在區間（）上為增函數，則的取值范圍是（    ）

A.     B.     C.     D.

6. 命題：若，則是的充分而不必要條件；命題：函數的定義域是則（    ）

A.“或”為假                     B. “且”為真

C. 真假                              D. 假真

7. 條件甲：“”是條件乙：“”的（    ）

A. 既不充分也不必要條件

B. 充要條件

C. 充分不必要條件

D. 必要不充分條件

8. 已知：，：，則是的（    ）

A. 充分不必要條件

B. 必要不充分條件

C. 充要條件

D. 既不充分又不必要條件

二. 解答題：

1. 已知函數（為常數），且方程有兩個實根。

（1）求函數的解析式；

（2）設，解關于的不等式：。

2. 已知集合，

（1）當時，求；

（2）求使的實數的取值范圍。

3. 解關于的不等式

4. 設函數的定義域為集合A，關于的不等式的解集為B，求使的實數的取值范圍。

【試題答案】

一. 1. A

解析：原不等式    ∵    ∴

故解集為

2. C

解析：令

顯然時，

∴ 欲使的解集為，則

3. A

解析：由，可知與異號，即，故

4. C

解析：原不等式，由數軸標根法，可知其解集為或

5. B

解析：當時，，顯然在上單調遞增

當時，則有

綜上，選B。

6. D

解析：∵ ，若，不能推出，而，一定有，故命題為假，又由，解得或，故為真。

7. B

解析：∵    ∴    ∴ ，即，即

當時，則  ∴ ，即

  8. A

解析：命題為，即：或

為，故是的充分不必要條件

二. 1. 解析：

（1）將分別代入方程，得

解得   所以

（2）不等式即為，可化為

即

① 當時，解集為

② 當時，不等式為，解集為

③ 當時，解集為

2. 解析：

（1）時，，

∴

（2）① 當時，，

② 當時，，

<1> 當，即或1，

欲使，只需得

<2> 當，即時，，   ∴ 不可能成立

<3> 當，即時，

欲使，只需為

綜上，可知當時，

3. 解析：由

（1）當時，

（2）當時，

∴ 當，原不等式解集為

當時，原不等式解集為

4. 解析：由，即，解得，即

由

由

（1）如果，則顯然成立

故，成立

∴ 符合條件

（2）如果，即時，

∵ ，必須     ∴ ，得

（3）如果，即

此時，滿足

∴ 符合條件

綜合（1）（2）（3）可得的取值范圍為（0，）