弗賴登塔爾

弗賴登塔爾﹝H. Freudent

弗賴登塔爾﹝H. Freudenthal﹞

《做為教育任務的數學》

《除草與播種──數學教育科學的前言》

《數學結構的教學現象學》

漢斯?弗賴登塔爾﹝Hans Freudenthal，1905-1990﹞，荷蘭數學家、數學教育家。本文主要介紹他的三本著作：《作為教育任務的數學》﹝Mathematics as an Educational Task，D. Reidel Publishing Company，1973﹞、《除草與播種─數學教育科學的前言》﹝Weeding and Sowing─Preface to a Science of Mathematical Education. D. Reidel Publishing Company，1978﹞、《數學結構的教學現象學》﹝Didactical Phenomenology of Mathematical Structures，D. Reidel Publishing Company，1983﹞.

一、  作者介紹

漢斯?弗賴登塔爾﹝1905─1990﹞為國際上享有圣名的數學教育權威，荷蘭數學家和數學教育家。他出生于德國，1930年獲柏林大學數學博士學位，自1946年起任荷蘭烏得勒支﹝Utrecht﹞大學教授，1951年起為荷蘭皇家科學院院士，1971─1976年任數學教育研究所所長，他還曾獲的柏林大學、愛爾朗根大學、布魯塞爾大學、多倫多大學及阿姆斯特丹大學的榮譽博士稱號。

弗賴登塔爾在數學方面的主要工作領域是拓樸學和李群【辣椒注：在數學中，李群（Lie group）是具有群結構的實流形或者復流形，并且群中的加法運算和逆元運算是栁形中的 解析映射。李群在數學分析、物理和幾何中都有非常重要的作用。同時李群也常被用于人名，在諸多領域均有同名人物】。同時也涉及其它數學分支以及哲學與科學史領域，早自50年代起就開始進行數學教育方面的研究工作，共發表有著作140余種，這里介紹的三本巨著，被譯成多種文字出版，在國際上產生了重大影響，人們普遍認為，如果說克萊茵在20世紀上半葉對數學教育作出了不朽的功績，那么弗賴登塔爾就是20世紀下半葉數學教育事業的帶頭人。

弗賴登塔爾是一位卓越的組織者和改革家，1963─1974年間他一直是國際數學教育委員會﹝ICMI﹞的理事，他積極支持數學教育改革，但反對狂熱的“新數”運動【辣椒注：20世紀50年代興起的一場數學教育現代化運動。“新數”方案的基本原則是：要把內容的公理化的演繹體系變成中小學數學教學的中心，那些不從屬于演繹方式的內容，如數學的應用，都要放到次要的地位】；1967年他當選為ICMI的主席，在此期間他做了兩件對數學教育事業的發展有著深遠影響的大事。第一，在他的積極推動下第一屆國際數學教育會議﹝ICMI【辣椒注：國際數學教育委員會】﹞從國際數學家大會中分出來單獨召開，其活動方式，也從一般的各國情況交流、調查匯報，轉向考題式的討論研究，從而促進了數學教育科學的探求與發展；由于弗氏的努力，ICMI終于成為一個促進數學教育研究的國際機構，而四年一度的ICMI也成為各國數學教育工作者交流切磋的最好機會。ICMI-7于1992年8月在加拿大的魁北克﹝Quebec﹞舉行。第二，創辦了《數學教育研究》﹝Educational Studies in Mathematics﹞雜志，其內容涉及許多國家的數學教育研究成果，今天它已成為國際上最有影響的數學教育刊物。

弗賴登塔爾在數學與數學教育方面都有精深廣博的研究，也有豐富的實踐經驗。他的數學教育理論，完全是從數學的獨特本質，數學發展創造的歷史，以及數學理論與現實的關系出發，有著獨到的見解，創造性的精僻分析，與目前流行的“教育學”加“數學例子”的做法不同。從這三本著作中，我們將可窺其一般。

弗賴登塔爾曾在1987年12月訪問上海華東師范大學一個月，然后順訪北京。他訪華的講稿已經出版，題為《訪問中國》。為了紀念弗賴登塔爾的功績，荷蘭的烏德勒大學建立了弗賴登塔爾數學教育研究所。

二、《作為教育任務的數學》

《作為教育任務的數學》一書，共有19章，其目錄是：

﹝1﹞數學的傳統。

﹝2﹞今日數學。

﹝3﹞傳統與教育。

﹝4﹞數學教育的用處和目的

﹝5﹞蘇格拉底﹝Socrates﹞的方法。

﹝6﹞再創造。

﹝7﹞用數學化的方法組織一個領域。

﹝8﹞數學的嚴謹性。

﹝9﹞教學。

﹝10﹞數學教師。

﹝11﹞數學的概念─客觀地接近的方法。

﹝12﹞數的概念的發展─從直觀方法到算法化的理論化。

﹝13﹞數的概念的發展─代數方法。

﹝14﹞數的概念的發展─從代數原理到代數的整體結構。

﹝15﹞集合與函數。

﹝16﹞幾何的情況。

﹝17﹞分析學。

﹝18﹞概率與統計。

﹝19﹞邏輯。

再加上一個附錄：皮亞杰學派對數學概念發展的研究。總篇幅達677頁。

如作者在序言中所說，“本書并非術學的方法論著作，即并非系統闡述某些教材應當如何教，也不是對題材的系統分析。我很少涉及依賴統計方法估的教學實驗，也不引用發展心理學或是學習心理學的實驗結果。????我的觀點大部分直接來源于教科書，教學設計，實際課程以及對個別兒童的觀察，而主要的間接來源是與教師的談話與討論。”

作者不愿引用各種數學教學的調查研究資料，因為“???他們不能回答基本的教育問題，應當教什么？教的目的是什么？以及教給什么人????”。作者認為“真正的教育活動應該是在忠誠的信念引導下，沿著正確的道路通向教育。教育科學首先應當是這個忠誠信念的合理證明。你可以稱之為哲學???調查研究只有在健康的教育哲學的土壤中才能成熟”。因而“本書最重要的是闡述一種數學教育哲學”。

作者在第一章中回顧了數學發展的歷史，強調數學發展的動力來自于實踐，“應當說，如果數學是無用的，它就不會存在”﹝P.16﹞。當然不能否認理論的作用。“數學總是跑在應用的前頭，這是數學的發展道路─尋求各種思維的模式，而讓應用者從中作出選擇”﹝P.8﹞。理論與實踐兩者必須更好地結合起來，那才能“以更透徹，更符合邏輯的方式來分析自然”﹝P.8﹞。從而促使“今天在極端理論與極端實際的數學現象之間，存在一個幾乎連續的過渡”﹝P.9﹞。

第二章作者論述了現代數學的特性表現在以下幾個方面：

1.“數學表示的再創造與形式化活動”﹝P.30﹞。“有意識地以語言作為一個精確表達的工具稱為形式化，???現代數學表現出一種強烈的結構化趨勢，形式化就是一種方法”﹝P.29﹞。事實上形式體系已經成了現代數學的標志之一。

2.建立數學概念的方法，從典型的通過“外延描述的抽象化”，轉向實現“公理系統抽象化”，特別是對“隱含定義的認識是重要的一步，它已經成為現代科學方法論的普遍范例。????這是在脫離亞里士多德﹝Aristotle﹞科學理論的道路上邁出的決定性的一步”﹝P.34﹞。

3.“在傳統領域之間界限的日趨消失，是現代數學的特性之一”﹝P.42﹞，而幾何直觀卻在其間起著聯絡的作用。因為幾何直觀可以告訴我們什么是重要的、有趣的和容易進入的。當我們陷入問題、觀念、方法的困境中時，幾何可以拯救我們。借用康德﹝Kant﹞的一個說法：“沒有概念的直觀是無用的，沒有直觀的概念是盲目的”﹝P.42﹞。

4.“現代數學與傳統數學的區別就是強調概念成分還是強調算法成分”﹝P.44﹞。當然，算法數學與概念數學﹝或思辨的數學﹞的關系是辯證的。“不能將它等同于心新和舊”﹝P.44﹞，“概念的噴發，沖破了僵化的算法外殼，???而每個概念的更新又包含著自身的算法萌芽─這就是數學發展的道路”﹝P.44﹞。

第三章是作者討論了傳統與教育的關系。作者指出，“人類歷史必然是一個前進的歷史”﹝P.53﹞。只有突破了對傳統、對權威的迷信，才能充分發揮科學的創造性。“科學是一種活動，科學不可能從課堂上與書本中學到，科學是做出來的”﹝P.55﹞。因而學校的“教學必須由被動地聽發展成為主動地獲得”﹝P.57﹞，“我們的教學應當為青年創造機會，通過他們自己的活動來獲得文化遺產”﹝P.58﹞。而且教育中更重要的一個問題，不是教什么題材，而是“教給兒童更珍貴的東西。即如何掌握題材”﹝P.59﹞，因而“大多數學校需要重新組織數學，目的是使﹝學生﹞只能主動地學，而不能被動地學”﹝P.62﹞。

第四章圍繞數學教育的目的進行了仔細的分析與研究。作者認為數學教育的目的必須隨著時代而變化，數學教育的用處也必然受到社會條件的約束與限制，當然也要與學生的接受能力相對應。他特別探討了以下幾個方面：

1.體系  “以數學體系作為最終目的，那是為培養未來數學家的”﹝P.69﹞。“許多人必須學數學，其中少數人才會應用一些相對復雜的數學，但即使從不用數學的人也應當學數學，因為他們需要數學作為人類生存的一個方面”﹝P.69﹞。這才是普通數學教育的目的。因此“真正重要的是所教的題材是否符合數學教學的整個體系，能否結合成一個整體”﹝P.67﹞。因為“歷史并不了解系統，而教育卻能夠且應當使之系統化”﹝P.72﹞。這里既要符合數學的體系，但又不能過于強調邏輯嚴密性，以免違反教學理念。

2.應用  “不能忘記數學在社會中扮演的角色，從過去、現在一直到將來，教數學的教室不可能浮在半空中，而學數學的學生也必然是屬于社會的”﹝P.74﹞。因而不該一味追求現代數學中形式變換的花樣，而丟掉了數學的實際應用。為此應該教給學生充滿著聯系的數學，“夸美紐斯﹝Comenius，j.A.﹞渴望人們學習的每件事情都應當是充滿著聯系的”﹝P.75﹞。這里不僅是數學內在的聯系，更重要的是數學與外部的聯系，“應當在數學與現實的接融點之間尋找聯系”﹝P.77﹞。

3.思維訓練  “人們相信，數學是智力的磨刀石，是一種思維的訓練”﹝P.80﹞。特別認為“數學教學是邏輯思維的一種訓練”，但究竟“是否存在思維的訓練？數學是否是其中之一？甚至是最強有力的一種”﹝P.81﹞。人們很難回答這些問題，作者曾給大學生與中學生提出下列問題：

“(1)詩人中最偉大的畫家與畫家中最偉大的詩人，是否同一個人？

(2)詩人中最老的畫家和畫家中最老的詩人，是否同一個人？

(3)如果詩人中只有一個畫家，那么畫家中是否也只有一個詩人，他們是否同一個人？

(4)小鎮上有房子，房子里有桌子。對任意n=1,2,3,…..，下列斷言成立：如果某房子中有n條腿的桌子，那里就沒有多于n條腿的桌子。問以下命題是否成立：對n=1,2,3,…..，如果某房子中有n條腿的桌子那里就沒有少于n條腿的桌子。

(5)籃中有各種不同顏色和不同形狀的物體，試問籃中是否一定有兩件物體，其顏色和形狀都不同？“﹝P.86﹞

試驗結果是，在受過教育以后，對以上問題的看法、理解與回答都大有長進。

4.篩選工具  “每個教師都堅信：一般說來，誰的數學學得好，那其它科目他也學得好”﹝P.82﹞。因而“作為一種智力篩選工具，數學也比其它學科﹝甚至智力測驗﹞更可信，也更容易使用”﹝P.82﹞。因為社會本身有著各種不同的需要，也有各種不同的層次，人們必須通過形形色色的入場考試；即使社會差異會逐漸消失，但社會總要對它的成員進行各種挑選，以保證合理的社會分工；因此篩選工具是必須的，考試也是必須的。但如果說，“數學教學的目的就是為了考試”，“學生學習只是為了一個分數，而教師的職責也只是在給分寬嚴之間作一個最佳選擇”，那就與數學教育的目的相距太遠了。

5.解決問題  “數學通常會得到高度的評價，因為它是解決許多問題的工具”﹝P.94﹞。從日常生活中常見的數值計算，直到高精尖領域中的應用，都可以選擇與施展數學的魅力。數學可以訓練語言的表達，數學可以簡化問題，也能推廣問題使之一般化，因而數學可以從多個側面，給人們提供解決問題的手段、背景以及思維方法。“但是如果人們只會套公式，而從不親身體驗一下，數學可以成為解決問題的一種活動，那有怎么能做到這一點呢？”﹝P.95﹞

從第五章到第八章，作者提出了下列數學教學的基本原則：

1.“蘇格拉底方法”原則  “蘇格拉底方法仍然是或者說應當是教學基本原則之一。???如蘇格拉底自稱的，講師只是助產士，他把聽眾自己的思想表達出來，???這是辯證法，或者稱作思想實驗方法。???教師在頭腦中想象在教一群主動的學生，設想是如何應付學生可能有的反映，???狹義的說，蘇格拉底所做的就是在教學過程中再創造或再發現所教的東西，學生感覺一切都是當著學生的面發生的，而不是以教條形式灌輸的。”﹝P.100﹞參照知識發展的歷史，力求用發生的方法來教；特別反對按照某個特定的演譯體系，拋棄了分析過程，他將這種教學方法稱之為“違反教學理論的顛倒“﹝P.103﹞。

2.“再創造”原則  “夸美紐斯的教學原則是：教一個活動的最好方法是演示。???我想：學一個活動的最好方法是做。???重點從教轉向學，從教師的行為轉到學生的活動，從感覺效應轉為運動效應”﹝P.110﹞。不應該學習現成的數學，“學生應當通過再創造來學習數學，???這樣獲得的知識與能力才能更好地理解，而且能保持較長久的記憶”﹝P.118﹞。這個“再創造”原則應該貫穿于數學教育整個體系之中，要把數學教育作為一個活動的過程來分析，要使學生在學習過程的不同層次中，始終處于積極、創造的狀態。

3.“數學化”原則  簡單地說，數學地組織現實世界的過程就是數學化。每個人有不同的“數學現實”世界，不一定限于客觀世界的具體事物，也可以包括個種層次的抽象的數學概念及規律。因而相應地有不同層次的數學化。“毫無疑問，學生應當學習數學化；自然先在最低層次，對非數學事物進行數學化﹝使之合乎數學精確性要求﹞以保證數學的應用。接著還應進到下一層次，至少能對數學事物進行局部組織。???應當懂得，沒有數學化就沒有數學，沒有公理化就沒有公理系。沒有形式化也就沒有形式體系。???因此數學教學必須通過數學化來進行”﹝P.134﹞。

4.“嚴謹性”原則  “只有數學可以強加上一個有力的演譯結構，從而不僅可以確定結果是否正確，還可以確定是否已經正確地建立起來。這就是所謂數學的嚴謹性，也是數學的測量標準。而教數學也必須遵循這個標準”﹝P.147﹞。嚴謹性是相對的，必須根據具體的時代、具體的問題來作出判斷。“嚴謹性有不同的層次，每個題材都有相應的嚴謹性層次。學生必須通過不同層次的學習來理解并獲得自己的嚴謹性”﹝P.150﹞。現成的數學與做出來的數學，兩者的嚴謹性是有區別的，同時我們還應該從數學與現實的關系來理解，我們不可能將數學禁閉在一個與現實完全隔離的“嚴謹”的防水艙內。

在第九章與第十章中，作者聲稱“我并不認為本書的實質是為教師指定教學方法，???我的哲學仍然是與違反教學理論的學校教師做斗爭，特別反對純粹照本宣讀與教條主義觀點，完全忽視了數學教學的心理學前提與社會影響”﹝P.156﹞。從而認為“要實現真正的現代數學教育，必須以根本不同的方式來組織數學，???應當組成混合的學生小組，教師講解與學生活動相結合”﹝P.160﹞。當然必須提供何適的教材，力求“使學生學會在學習過程中設計再創造教學的能力與方法”﹝P.161﹞。為此作者提出了“數學教師培訓的最低要求：

1.使教師能自信地使用現代數學的基本方法。

2.提供為理解現代數學的結構所必要的基本知識。

3.理解有關數學是如何應用的某些見解。

4.初步了解數學家是如何進行研究的。“﹝P.166﹞

當然還“要考慮數學教師的教育學方面的培訓，???教學也屬于通過做而學的活動，???現代的數學理論也應當再創造”﹝P.167﹞。

該書的后半部分，作者用大量篇幅就數學的各個領域進行了較詳細的研討。以數的概念為例，可以有多種理解，“從內容與形式兩方面，從方法論觀點，從發生的觀點和數學理論的觀點。???數的概念的客觀形成可以有四個不同的途徑：即作為計數的數﹝Counting number﹞、數量的數﹝Numerosity number﹞、測量的數﹝Measuring number﹞和計算的數﹝Reckoning number﹞”﹝P.170﹞。他主張“數軸應當從算術一開始就引入，至少應較早使用，最初只標出自然數，以后再逐漸填滿”﹝P.212﹞。并且認為“將實數理解成十進小數是最適當的教學過程，???也是足夠嚴密的”﹝P.221﹞。至于數的擴展則應該根據實際的數學背景，由于某些運算的需要，同時又要求保持一些通常的規律，采取這樣的直觀方式來進行，而不宜采用等價類和商域等做法。

“我將數的概念的學習過程，區分為以下幾個階段：直觀的運算，算法的運算，代數的運算，綜合的組織以及最后使之從屬于整個數學體系。這種階段并非時間的劃分；對于不同的概念，學生可以處于不同的階段，而對于同一概念，學生也可以同時處于兩個不同的階段”﹝P.242﹞。所謂直觀運算就是指初學算術時應使用具體材料作為教具，如算盤，這些材料還應該是同類的、直觀的，甚至具有一定的結構，如第納斯﹝Dienes，Z.﹞的單位立方體系統﹝10個，100個，1000個分別組成一維，二維，三維的圖形﹞，進一步也可以用紙上的圖形代替實物對象，矩陣模式與數軸都可以作為形象化的工具，借助于數軸可將數解釋成為實體、坐標和作為映射的算子。此外，各種圖象解釋與標桿也都可以用作直觀的解決，但也必須注意直觀到適當的程度，為轉向推理的代數體系作好過渡的準備。

關于算術與代數的問題作者主張不應該將兩者截然分開，“小學高年級的教師應該將代數方法結合進算術的教學中”﹝P.287﹞。同時還應注意，“一個關鍵的問題與困難的問題”﹝P.288﹞，那就是防止“代數退化成為26個字母的無意義的游戲”﹝P.288﹞。新數學運動中引入集和論的處理方法就犯了這個錯誤。作者還指出必須加強代數公式的教學，事實上這是一種獨特的語言，例如他認為以﹝□+○﹞﹝□-○﹞=□^2-○^2來代替﹝a+b﹞﹝a-b﹞=a^2-b^2也許能使學生更容易理解作者提出“在學習過程中，首先是對于數進行運算，注意這些運算所滿足的法則，將這些法則形成公式，根據局部的聯系建立局部的結構，直到最終，將它們組成一個整體的演譯體系”﹝P.313﹞。至于具體的組織過程，來是強調應該通過學生自己的親身體驗，獲得“做出來的”數學，而不是給以“現成的”數學，特別是考慮到數學與現實的密切聯系，決不可忽視關于對數與角在中學數學中的重要地位。

再以幾何為例，作者認為“幾何不僅是演譯科學的范例，???也是蘇格拉底教學法與再創造學習法的最好材料。???因而對傳統幾何的沒落應當作進一步的調查研究。”“什么是幾何？從高層次看，它以公理方式組織的一部分數學，而從最低的最基本的層次看，它是對空間的理解、探索與征服”﹝P.402﹞。在現實空間中有許多問題：“為什么卷起來的紙不容易彎？月球表面的明暗界線是什么曲線？萬花筒的工作原理是什么？為什么鏡子只改變左右而不改變上下，如果不是站在鏡子前而是躺在鏡子前會產生什么情況？???”﹝P.404﹞。提出這些問題是要說明“重要的是緊密聯系實際地學習數學，除此之外沒有其它途徑能保證數學的持久影響；因而如果從日常生活開始，以掌握物理空間為出發點，幾何就可以成為一種卓越的工具來教數學這一充滿著關系的科學”﹝P.405﹞。幾何與其它數學的區別在于：首先“幾何經常被看作是一種思維訓練，它與邏輯有密切關系形成演譯體系是幾何的特權”﹝P.406﹞；其次是幾何有實際應用，“幾何是學習將現實數學化的最好機會之一，???借助于眼睛、手等各種感官所實現的空間形狀，是更為令人信服的”﹝P.407﹞。

作者認為幾何的入門教學應該始用“具體材料，???如折紙、剪紙、黏合、畫圖、油漆、測量、鋪路以及鑲嵌等，都可以組織成幾何的活動“﹝P.408﹞。以重復實驗幾何學中概念、性質的發現過程，并且“具體材料的教學十分自然地必然從空間開始，???傳統幾何教學中，學生的空間想象力被平面幾何中太多太片面的練習所扼殺了”﹝P.408﹞。作者還介紹了兩個具體的試驗課程的內容安排。當然從直觀萌芽所獲得的籠統印象，還必須進到演譯推理的高層次但這不能通過形式灌輸來強加給學生，同樣也應該讓學生自己來發現，“好的幾何數學應該使學生在學習一個題材的結構的同時也學習什么是結構化；在學習具體對象的概念的同時，也學習什么是概念化；在學習給對象下定義的同時，也學習什么是定義”﹝P.418﹞。

為了使幾何擺脫困境，作者題出了幾條途徑：一是“向線性代數靠攏，???開始就從解析幾何引入。這有很大的優越性。可以是代數的完美的嚴密性自動轉入幾何中”﹝P.420﹞。二是“通過合理化，???學生在學習了局部的結構化以后，還應學習整體的結構化，最終才割斷本體論的聯系”﹝P.451﹞。但決不是讓學生面對一個現成的公理系，而是應該在現實的背景下，通過公理化的方法來掌握公理系。例如，“三角形各邊的垂直平分線交于一點”和“球極平面射影”都是局部結構化的極好例子。而“定向與角的概念”剛涉及一個領域的結構化。三是“借助于變換群，特別是從具體的反射、平移、旋轉這一運動群出發的方式，最為有效”。

該書于1973年出版，對當時的數學教學實踐作深入的剖析，既批判了新數學運動的一些錯誤的傾向，也評論了某些心理學家的片面觀點；他力求從數學家的視角，按照數學本身發展的規律，來改造當前的數學教學，使之既具有現代數學的特性，又無違背認知發展規律與教學理論；既符合嚴密的形式邏輯演譯體系，又特別強調數學與現實世界的密切聯系。但是教育的理想雖說是未來的現實，必竟與當前的現實有很大的距離，要使數學教學過程真正來源于現實，通過數學化的途徑，并成為學生再創造的活動，那還是一個有待探索、研究和實踐的巨大工程。

三、《除草與播種─數學教育科學的前言》

《除草與播種─數學教育科學的前言》一書在開頭就聲稱數學教育尚未形成為科學，“一旦數學教育科學存在，就會有它應有的前言，???而現在這一前言的作用，就在于加速數學教育科學的誕生”。全書共分四章，

其目錄是：

(1)什么是科學？

(2)關于教育。

(3)關于教育科學。

(4)數學教育科學。

總篇幅為304頁。

在“什么是科學”這一章中，作者指出“科學作為一種活動，它不是真理的寶藏，而是提出問題的一種方法”。科學必須滿足三個準則：“相關性﹝relevance﹞、兼容性﹝consistency﹞和大眾性﹝publicity﹞”。“相關性可以反映定義、概念、理論、知識領域的特性，但就整體意義而言，更主要的是與現實的相關，而不是懸浮在半空中虛無飄渺的東西”。“兼容性不僅強調它作為一個邏輯封閉系統的側面，???它也可以作為是一種活動的性質與模式”。“科學必須具有公開的性質，真正的科學的特征之一就是大眾性，???對于學習科學和實踐科學的每個人來說都是開放的”﹝P.1﹞。根據這三條準則，就可以將真正的科學與偽科學、非科學、技術以及信仰區分開來，因為它們是建立在不同的哲學基軸上的。

在“關于教育”這一章中，作者強調“教育依賴于人，依賴于社會，???實質上教育需要一種哲學，那是信仰而不是科學”。所謂“受教育的同等權利，必須通過復雜的不同的體系來實現，例如掌握學習，???許多不同的體系往往忘記了學習的社會背景”。“我提倡混合的學習小組，我分析了數學學習過程，揭示了其中的層次，在某一層次做出來的數學就成為下一層次觀察的數學”。“教育的改革是社會的一個大的學習過程，???改革的第一個結果是課程，而改革的基本變化應該反映在教師培訓上，這一方涉及教材內容與教學理念的結合，另一方面則強調教師與學生的課堂實踐與學習過程中的有意識觀察”。“而所有這些都是教育哲學的一部分”﹝P.33﹞。

在“關于教育科學”這一章中，作者提出“教育科學是否存在？”確實近幾年來建立了許多教育技術與教育理論，例如“教育目標，它的形成、分類與測試”，“課程理論”，“民意測驗，如何以統計方法收集各種意見”，“評價、形成評價與診斷測試”等等。但這些脫離實際的抽象化理論“實質上只是些空盒子，???這是由于將內容與形式分隔開來的錯誤哲學所造成的”。尤其是近來常用“模型”和“數學模型”來說明教育理論，特別是統計常被應用于教育技術之中，可是“教育中所應用的數學，大多數是不相關的，甚至是錯的”。“教育是個廣闊的天地，???也確實需要相關的教育理論，???來訓練未來的教師。”可需要提醒的是“任何教學理論只能是教特定題材的特定理論教學理論應當是學習理論的補充，學習應當作為一個過程來觀察和研究，它是一個個別的不連續的過程，而統計只能提供平均的學習過程”﹝P.77﹞。

在“數學教育科學”這一章中，作者一開始就明確“不存在數學教育科學，至少目前來說不存在，但有很多活動﹝數學教育工程﹞和源于經驗的設想與解釋，可以用來形成數學教育科學”。例如，“作為研究工具的與言，學習情境，學習過程及其層次與不連續性，以及目的與完成的動機”。此外，還有“觀點的改變，背景的掌握，邏輯的轉化，以及整體到局部和從局部到整體的轉換，從質到量和從量到質的轉變等”。這些都通過相應的范例來加以綜合與理解，例如概率論中涉及很多背景的掌握而幾何中出現更多的卻是觀點的改變。本章最后以比和比例這一數學概念的教學現象學的一個例子作為數學教育研究的前提。

作為對數學教育科學的基軸理論的研究，本書作了廣泛而深入的討論，從科學、教育、教育科學，逐次進到數學教育科學，分析了各自之間的區別、聯系，以及它們相應的哲學基軸，特別強調了數學教育科學必須是從研究特定的數學內容的數學理論出發的，而絕不是將一般的教育理論用之于特殊的數學領域，事實可能正好相反，正由于數學教育科學的發展，才給一般的教育科學提供了良好的開端。另一方面，作者還闡述了科學、教育、數學教育與社會、與人類文化之間的密切聯系，孤立地考慮問題是不足取的。我國當前數學教育研究工作正在多方面、多角度地蓬勃發展，如何根據我國的國情，我國特有的歷史文化背景，以建設中國的數學教育科學，本書的一些觀點、材料，應當說是很可以作為借鑒的。

四、《數學結構的教學現象學》

《數學結構的教學現象學》是一套新的數學教育叢書的第一本，是作者在前兩本書的基礎上，作了進一步的發展，借用該叢書主編畢肖普﹝Alan J.Bishop﹞的話，“與前面兩本書比較，弗賴登塔爾在本書中對數學教育從本質上提出了許多新的觀點，從而為廣大的數學教育工作者提供了進行研究的豐富源泉，而這也正是編輯該叢書的目的”﹝編者序﹞。

眾所周知，數學是現實世界的抽象化，形形色色的數學概念都是各種具體情境的內在共性的反映作者寫作本書就是要讓讀者回到數學概念所從中抽象出來的世界。

“數學概念、數學結構與數學觀念都是工具，人們用以來組織物理世界、社會世界與思維世界的各種現象。一個數學概念、數學結構或是數學觀念的現象學，就是對這些概念、結構或觀念的描述，但這些描述是在這樣的背景下進行的，即將它們放在所來自的現象的關系之中；這些現象可以擴充到人類的學習過程，因而，當我們的描述涉及到學習過程時，那就是教學現象學，它給教師明了道路，即學生應當從人類學習過程的哪個階段開始進入”﹝作者的“回顧與前瞻”﹞。

這個現象的世界，部分在數學之外，部分在數學之內；部分抽象，部分具體；部分是嚴密的邏輯思維推理，部分卻是直觀形象與直覺。本書的重點放在“思維對象與概念獲得”這一特性上。

“概念是認知結構的骨架。在日常生活中，兒童知道什么是椅子，什么是食物，???但卻并沒有將椅子與食物的概念教給他們。數學應該也沒有什么區別，兒童知道什么是數，什么是圓，???他們將其作為思維對象來掌握。并且比這些思維對象來進行思維活動；當然數與圓???的概念要比椅子與食物???的概念更為精確，更為清晰，也許這又成為一個理由，促使人們寧愿教數的概念而不愿教數，一般來說，人們寧愿教概念，而不愿教思維對象與思維活動，而這就是我所謂的‘違反教學理論的顛倒’的一個例子。”

“思維對象與思維活動的教學法范疇以及有意識地進行概念化的開端，就是這一現象學的主要課題”﹝作者的“回顧與前瞻”﹞。

“以我的觀點，思維對象的構成，必須在概念獲得之前，并且對概念獲得起很大影響。???讀者應當記住，我們將這些觀念首先看作是思維對象，其次才看作是概念，???在明確建立概念之前，如何運用思維對象是一件夠重要的事情”﹝P.33﹞。

全書共分17章，其目錄為：

(1)長度作為一個例子。

(2)方法。

(3)集合。

(4)自然數。

(5)分數。

(6)比和比例。

(7)結構：特別是幾何結構。

(8)放入幾何背景中。

(9)作為幾何背景的拓樸學。

(10)地形測量的背景。

(11)圖形與構圖。

(12)幾何映射。

(13)用幾何來測量。

(14)幾何測量學。

(15)負數與有向量。

(16)代數語言。

(17)函數。

總篇幅達578頁。

書中對初等數學的主要概念，都作了仔細的解剖、分析與探索，并且從數學的角度與現象學的角度進行了研究，作者試圖通過詳盡的現象學分析，從中探索思維對象是如何構成的，數學概念又是如何獲得的，找出其發展過成與規律，以此作為數學教育的依據。所以本書實質上是數學、心理學與數學教育學三方面的緊密結合，作者更多地從數學發生發展的身刻背景，來探索人類認知過程，特別是教學過程中，概念形成與獲得的規律，特別指出了心理學研究中的缺陷。

“據我所知，所有這類心理學研究都存在一個基本缺陷：在研究﹝某個年齡的﹞數學獲得時，不作任何現象學的分析，就以某種方式假定了有官數學結構的存在，因而結果獲得的往往是膚淺的甚至是錯誤的理解。另一方面也不作任何教學現象學的分析，因而這類研究往往成為一個個孤立的鏡頭，而不是作為整個發展過程中的各個階段”﹝P.10﹞。

就以分數為例，人們在日常生活中就遇到很多：“一半那么長”，“輪子轉動了二又三分之一圈”，???，這就產生了分數。分數可以看作是一個“分割者﹝fracturer﹞”，它將一個整體分割成部分這種分割也許是“可逆的、不可逆的，或者只是象征性的”，它的分割過程可以是“具體實現的，親身體驗的，眼睛看到的或是感覺到的，甚至是想象的”，在這方面可以舉出各種各樣的現象作為例子，可是“有些學生在學習了一、兩年的分數之后，雖然能熟練運算，但對分數是什么，以及利用分數能做些什么，都毫無概念，???，我認為這種數學的失敗，很大程度上是由于數學現象學的貧乏所致”﹝P.144﹞。

分數有可以看作是一個“比較者﹝comparer﹞”，這種比較可以是“直接地或是間接地”，所比較的現象可以是“具體可觸摸的或是想象的，甚至是思維中的”，例如，“街道寬度是人行道寬度的

    倍”，“甲的工資是乙的工資的一半”，等等。

“為了強調活動與狀態，分數又可以看作是一個“運算子﹝operator﹞或是一種關系﹝relation﹞”，還可進一步將分數看作是“變換子﹝transformer﹞”，“測量子﹝measurer﹞”，分數從“最初作用于具體的對象，???接著忽略具體對象，而作用于對象所相應的量值。???最終，分數運算子在純數域上活動”﹝P.149﹞。

對分數運算的數學，作者建議從具體例子出發，比如，3個人分8瓶啤酒，先將整瓶的分，再將整瓶分成3份，于是最初得到的應該是，最后才得出 。

“目的是將加法、減法、序關系從自然數集N同構地轉換到集 上    

 。???這里可以借助于列表

 同時可以練習分數化簡。這些表又可以再通過數軸來形象化，只要將對影點連接起來﹝如圖1﹞。

乘法可以作為重復相加，除法可以通過例子，8瓶啤酒分成3組，每一組又再分給2個人，這可以用樹形模型來形象表示﹝如圖2﹞。

這里目的是將加法、減法、序從集 轉換到集  ，并且將同構 理解

為兩個同構之積”﹝P.161﹞。

相對于數量關系而言，思維對象在空間形式中更起作用。

“用3與5來代表任意自然數并不恰當，而它們的和與積更不能代表任意自然數對的運算。與此相反，每個三角形只要不是太特殊，都可以代表一般三角形，每一對線段都可以代表任意的線段對，用以表明兩個長度的和與積是什么。我們可以指出什么是平行四邊形、菱形與正方形，什么是對角線，以及對角線互相平分、互相垂直與相等是什么意思。只要引入適當的名詞，并用例子來解釋這些名詞，而不必用概念來困擾自己，我們可以對幾何領域進行廣泛的探索，而不必形成概念，直到瓜熟蒂落之時，概念自會脫口而出。”﹝P.226﹞

在自然環境與日常生活中，人們很早就形成了像直線性─樹干與四肢，平面性─天花板與墻壁，圓─太陽與地平線，以及球、圓柱、正方體等很多幾何中的思維對象。

“盡管非形式的幾何教育開始得很早，形式的幾何教育卻開始得很遲，???思維對象作為一個理想的工具，常被教育學、心理學所忽視。或者說，人們不顧思維對象與概念之間的距離，將兩者等同起來，混淆在一起，而這樣做法對兩者的理解與掌握都不利”﹝P.228﹞。

總之要真正掌握與理解有關幾何的背景，必須“通過對思維對象與思維過程的認知，分類，具體地再現，命名以及思維地再現，并且要使自己能意識到這些活動，還能描述這些活動。而其中重要的一點是能夠進行自然的、人工的或是制作的再現，能夠提出典型的例子，并使之明確化”﹝P.248﹞。

數學結構的教學現象學可以理解成為在數學教育領域中提出的一種新觀點，其目的還是圍繞著數學必須源于現實、寓于現實并用于現實這一宗旨，不能忘了數學的“本”，在書中，作者對數學發生發展的事實、過程作了詳細的探究與精辟的分析，從最原始的零星、片斷的感覺，模糊而籠統的印象，豐富多采的具體直觀形象，直到最終形成抽象的形式體系，嚴格的邏輯演譯推理，在各個不同水平的現象學基礎上，進行著各種不同水平的數學化，通過不斷的反思，在人們意識中建立起各種不同階段的思維對象，隨著認知過程的不斷深入，對數學概念掌握獲得也經歷著一個不斷發展不斷提高的過程。

“利用三腳形、平形四邊形、菱形或正方形這些幾何圖形，可以順利地組織有關輪廓線的現象世界；利用數可以組織有關量的現象世界，在更高的水平上，幾何圖形的現象可以用幾何作圖與證明來組織，而‘數’的現象又可以用十進制來組織。數學就是這樣，通過不斷的抽象化，將類似的數學現象又歸結為新的數學概念─如群、域、拓樸空間、演譯、歸納等等，一直達到最高水平。”﹝P.28﹞

應該說，對現象學問題的討論，本書還只是在大量數據積累的基礎上，從一個新的視角作了一種嘗試，當然這是一個良好的開端，書中有著作者所特具的那種分析的思考，洞察的眼光，對我國數學教育理論的研究會有大的啟發，可以開闊我們的思路與眼界，更進一步體會數學教育的研究該是一門多源泉、多側面的邊緣科學，必須將它放入更廣的背景之中。同時也應看到本書并不是作為一門科學的總結，它在很多方面是并不完善的，事實上，數學本身也從來不是完全的，數學觀念的更新不斷地改變著數學教育的舊觀念，因而對有些問題的分析與探討也可能不太好捉摸與理解，甚至不一定能領會作者的原意，但也正由于此，很多問題、很多現象以及很多觀點就有待于我們更好地思索，更進一步地探究。在密切聯系現實，密切結合數學的過程中，數學教育學的建立還有待于我們的繼續不斷的努力。如果將本書作為一杯飲料的話，它的一半可能是空的，另一半是滿的，它包含有美味的飲料，但更留有足夠的空缺，等待著人們去進一步充實。對有志于數學教育研究的人而言，這是一本  不可多得的必要參考書。

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