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快樂課堂學數學-多余老師趣講“一元一次方程”-華東師范大學出版社七年級下冊 一、 本單元概述 我們小學時，就已經學習過了“方程”，并且會“解方程”。 小學學習的方程，就是“一元一次方程”，只是那時沒有“元”和“次”的概念而已，現在到了初中，給起了個專用名字。 其實，我們從小學一年級就接觸方程了，并會解最簡單的方程。只不過那時，沒有出現“字母符號”，而是用“符號（ ）”來代表“未知數”，并且直接“填上值”。 如：2+（ ）=5，（ ）里填“3”。 所以，對于最簡單的“一元一次方程”，我們就可以根據記憶或根據“逆運算”直接得出解。 后來，正式接觸方程后，知道了“等式的性質”，就可以解稍復雜點的一元一次方程。 那么，對于任意形式的一元一次方程，用什么方法，使解方程變得“簡潔、快速、準確”呢？ 二、“方程”概念再學習 “一元一次方程”這個概念，命名的規則是什么？代表著什么意義？ “元”，就是“未知數”，“一元”就是“只有一個未知數”。 代表未知數的符號，可以是任意選擇的，為了統一，一般按“x、y、z”的順序選用，即在一元一次方程中，用“x”來代表“未知數”。 “次”，是“整式”才使用的概念，是含有未知數項的最高次數，“一次”就是“含有未知數項的最高次為一次”。 “一元一次”，表示“代數形式”是“整式”，且“未知數只有一個”、“未知數的次數為1”。 “方程”，是“含有未知數的等式”。“方程”一詞來源于中國古算術書《九章算術》。在這本著作中，已經會列一元一次方程。法國數學家笛卡爾把未知數和常數通過代數運算所組成的方程稱為代數方程。在19世紀以前，方程一直是代數的核心內容。 “等式”，是“含有等號的式子”。其形式是：把相等的兩個代數式用等號連接起來。 綜上，我們可得出“一元一次方程”的完整描述： 1、由等號連接兩個整式。 2、兩個整式中所有項，都只含有一個共同的未知數。 3、該未知數的最高次數為“1”。 即，“一元一次方程”概念的四要素是：等號、整式、一元、一次。 一元一次方程的標準形式（即所有一元一次方程經“代數變形”都能變成的形式）是： ax+b=0(a，b為常數，且a≠0），這里a是未知數的系數，b是常數。 等式兩邊同時加上(或減去)同一個代數式，所得結果仍相等。 若a=b，那么a+c=b+c 等式兩邊同時乘或除以同一個不為0的代數式，所得結果仍相等。 若a=b，那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c （c≠0） 等式兩邊同時乘方（或開方），兩邊依然相等。 若a=b，那么有a^c=b^c或(c次根號a)=(c次根號b) 等式具有傳遞性。 若a1=a2,a2=a3,a3=a4,……an=an,那么a1=a2=a3=a4=……=an 由等式的基本性質，可拓展一些常用“等式變形” 拓展1： 等式兩邊同時被一個代數式減，結果仍相等。 如果a=b，那么c-a=c-b（由性質1拓展） 拓展2： 等式兩邊取相反數，結果仍相等。 如果a=b，那么-a=-b（同拓展1，由性質1拓展） 拓展3： 等式兩邊不等于0時，被同一個數或式子除，結果仍相等。 如果a=b≠0，那么c/a=c/b（由性質2拓展） 拓展4： 等式兩邊不等于0時，兩邊取倒數，結果仍相等。 如果a=b≠0，那么1/a=1/b（同拓展3，由性質2拓展） 等式的性質，是等式變形的基礎，在進行等式變形時，要注意乘除變形時“0”的特殊性，當字母變形到分母時，要首先確認“該字母所代表的值是否可能為0”，如果“不能確定一定不為0”，則該字母不能變形到分母。 “解方程”，就是把任意形式的方程進行“等式變形”，最終變形為“x=a”。 最終變形結果“x=a”，即為“方程的解”，a可稱為“方程的根”。 “x=a”，為“賦值語句”，即給“未知數x”賦值為“a”。 用“a”替換方程中的“未知數x”，方程等號兩邊的值，一定要相等。 如替換后，兩邊的值相等，則該賦值成立； 如替換后，兩邊的值不相等，則該賦值不成立。 這就是“方程的檢驗”或稱為“驗根”。 在這要提醒所有的同學們，“解方程”是數學中，唯一可由學生“自行批改”的題目。 所以，解方程“絕對不允許出錯”。 三、解決復雜形式的一元一次方程 解方程，就是“代數變形”。“方程的代數變形”分為兩類： 1、利用“計算法則”，可進行“代數式變形”，此種變形可以“只變一邊”也可以“兩邊分別變”。 解一元一次方程，常用“代數式變形”有：整式運算、通分等。 2、利用“等式性質”，可進行“等式變形”，此種變形必須是“兩邊同時變”。 解一元一次方程，常用“等式變形”有：移項、去分母等。 解方程的通常步驟：去分母→去括號→移項→合并同類項→系數化為一。 ⒈去分母： 由于分數運算的特殊性，分數乘除計算很方便，分數加減計算中，同分母加減也很方便，就是異分母加減非常討厭。 而解方程時，存在合并同類項，所以，當方程中出現“異分母”時，一般要“去分母”。 教材和各種輔導書，在講去分母的方法時，都是根據“等式的性質2”，在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數（不含分母的項也要乘）。 這種方法在實際使用時，很多學生會漏乘“不含分母的項”。所以，多余老師對于“去分母”環節，提出如下建議： A利用“通分”，進行“代數式變形”，兩邊分別通分。“通分”后，等式成為“A/B=C/D”的比例形式。 B此時，分母之間可直接進行“約分”，即“A/B=C/D”可等式變形為“A/C=B/D”。 C利用“比例的內項之積=外項之積”，將等式“去分母”成為“A?D=B?C”的乘積形式。 這種方法，由于充分利用了小學經過“充足訓練”的通分、約分和比例轉換，正確率非常高。 并且，“比例的內項之積=外項之積”，其依據就是“等式的性質2”。 特別提醒： 解方程時，不要一見分母就想去分母，要看實際情況，只有“同類項出現異分母”才是需要去分母的。 ⒉去括號： “去括號”，屬于“代數式變形”，其依據是“整式計算法則的乘法分配律”。 一般先去小括號，再去中括號，最后去大括號，記住：如括號外有減號或除號的話一定要變號。 ⒊移項： A依據：等式的性質1（也可以說是：根據加減互為逆運算進行等式變形）。 B含有未知數的項變號后都移到方程一邊，把不含未知數的項移到邊。 C把方程一邊某項移到另一邊時，一定要變號{例如：移項時將+改為-，×改為÷}。 ⒋合并同類項： A把方程化成ax=b(a≠0）的形式； B依據：利用“整式計算法則的乘法分配律（逆用乘法分配律）”進行“代數式變形”。 ⒌系數化為1： A在方程兩邊都除以未知數的系數a，得到方程的解x=b/a. B依據：等式的性質2（也可以說是：根據乘除互為逆運算進行等式變形）。 例：（3x+1)/2-2=(3x-2)/10-(2x+3)/5 一般教材方法： 1、去分母，（方程兩邊同乘各分母的最小公倍數10）得：5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3) 2、去括號得：15x+5-20=3x-2-4x-6 3、移項得：15x-3x+4x=-2-6-5+20 4、合并同類項得：16x=7 5、系數化為1得：x=7/16。 多余老師方法： 1、去分母： A由于“同類項有異分母”，先“通分”得：（3x+1-4）/2=[3x-2-2（2x+3]/10 B分母間“約分”得：3X-3=（3X-2-4X-6）/5 C“比轉換為乘積”得：5（3X-3）=-X-8 2、去括號得：15X-15=-X-8 3、“加減逆運算”得：15X+X=15-8 4、合并得：16X=7 5、“乘除逆運算”得：X=7/16 哪種方法更適合你，自行選擇。 “快速、簡便、準確”的方法，就是好方法。 數學中，除了“基本性質”和“運算法則”外，都可根據實際情況“靈活選用”已學過的各種“變形方法”，以求達到“快速、簡便、準確”。 小學計算中，有專門的“簡便計算”要求，到中學后，一般不會再專門提這項要求，但“簡便運算”這項要求，不是消失了，而是做為中學生，“簡便運算”應該成為你遇到計算類問題的“條件反射”。 四、列方程解應用題 在小學已學習較淺的一元一次方程應用題，到了初中開始利用一元一次方程解較難的應用題。 一元一次方程應用題牽涉到許多的實際問題，例如工程問題、植樹問題、比賽比分問題、行程問題、行船問題、相向問題分段收費問題、盈虧、利潤問題。 分析實際問題中的數量關系，利用其中的相等關系列出方程，是用數學解決實際問題的一種方法.（即“代數方法”） 在小學算術中，我們學習了用“算術方法”解決實際問題的有關知識，那么，一個實際問題能否應用一元一次方程來解決呢？若能解決，怎樣解？用一元一次方程解應用題與用算術方法解應用題相比較，它有什么優越性呢？ 為了回答上述這幾個問題，我們來看下面這個例題． 例1 某數的3倍減2等于某數與4的和，求某數． 算術方法：（4+2）÷（3-1)=3． 答：某數為3． 代數方法：設某數為x，則有3x-2=x+4． 解之，得x=3． 答：某數為3． 縱觀例1的這兩種解法，很明顯，算術方法不易思考，而應用設未知數，列出方程并通過解方程求得應用題的解的方法，有一種化難為易之感，這就是我們學習運用一元一次方程解應用題的目的之一． 即：“代數方法”降低“思維難度”。 所以，沒有“思維難度”時，不一定非用“代數方法”，“算術方法”就很好。 做一元一次方程應用題的主要步驟： ⒈認真審題（審題） ⒉分析已知和未知量 ⒊找一個合適的等量關系 ⒋設一個恰當的未知數 ⒌列出合理的方程 （列式） ⒍解出方程（解題） ⒎檢驗 ⒏寫出答案（作答） 第1至第3環節，是解決方程應用題的核心內容，但這些內容除了并不在解答中體現。 把這3個環節做好，第4和第5兩個環節，就自然解決了。 余下的第6至第8環節就只是“解方程”和“最后總結陳詞環節”。 如何做好，第1至第3，這3個環節呢？ 這就要用到，小學數學老師經常要求的“畫線段圖”和“列數量關系”。 “列數量關系”可稱為“列表法”： 1、審題，根據應用題的不同類型，“列出文字數量關系”，這相當于“表頭” 2、將已知和未知量，相應“填在”對應的“數量項”。（表并不需要實際畫出，但由于對應分析，相當于有一個“數量關系表”。 做為中學生，要養成把“文字”，快速轉化為“數學語言”的習慣。 審題、分析時，能畫圖的先畫圖，因為圖形最直觀；不適合畫圖的，再“列表”；復雜一些的題目，需要二者結合使用。 總之，要把題目變得盡可能“直觀、簡潔”，并開始鍛煉一項非常重要的“數學能力”——將要解決的每一道具體題目，都能總結成一種類型；從而做到——每解決一道新題目，就解決了一個新類型。 五、多余的話 做題要“守規矩”，但“規矩”只限于“性質和法則”，所謂“方法或步驟”并不是“規矩”。 數學，越學越活，你就把數學學通了、學精了。 |
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