【一】雞兔同籠：大約在1500年前，《孫子算經》中記載：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？意思是：有若干只雞和兔同在一個籠子里，數頭有35個；數腳有94只。求籠中有雞和兔各多少只？
※①假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨角雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”。這樣，（1）雞和兔的腳的總數就由94只變成94÷2=47只；（2）如果籠子里有一只兔子，則腳的總數就比頭的總數多1。因此，腳的總只數47與總頭數35的差，就是兔子的只數，即47－35＝12（只）。顯然，雞的只數是35－12＝23（只）。
【“砍足法”令古今中外數學家贊嘆不已，這種思維方法叫化歸法。化歸法就是在解決問題時，先不對問題采取直接的分析，而是將題中的條件或問題進行變形，使之轉化，最終把它歸成某個已經解決的問題。】
②用“假設法”：假設全部是雞，頭有35個，則腳有35×2=70只，相差94-70=24只，是兔多出的腳，每只兔多2只腳，兔有24÷2=12只，雞有35－12＝23（只）。
③用“方程”來解：解設兔頭X只，則雞有35-X只，列式為4X+（35-X）×2=94，X=12，雞有35－12＝23（只）。
【二】牛頓問題：英國科學家牛頓，曾經寫過一本數學書。書中有一道有名的、關于牛在牧場上吃草的題目，人們把它稱為“牛頓問題”：“有一牧場，已知養牛27頭，6天把草吃盡；養牛23頭，9天把草吃盡。如果養牛21頭，幾天能把牧場上的草吃盡？（并且牧場上的草是不斷生長的）”
※一般解法是：把一頭牛一天所吃的牧草看作1。
（1）27頭牛6天所吃的牧草為：27×6＝162 （這162包括牧場原有的草和6天新長的草。）
（2）23頭牛9天所吃的牧草為：23×9＝207 （這207包括牧場原有的草和9天新長的草。）
（3）1天新長的草為：（207－162）÷（9－6）＝15
（4）牧場上原有的草為：27×6－15×6＝72
（5）每天新長的草足夠15頭牛吃，21頭牛減去15頭，剩下6頭吃原牧場的草：72÷（21－15）＝72÷6＝12（天） 所以養21頭牛，12天才能把牧場上的草吃盡。
【練一練】有一牧場，如果養25只羊，8天可以把草吃盡；養21只羊，12天把草吃盡。如果養15只羊，幾天能把牧場上不斷生長的草吃盡？
【三】鬼谷算：我國漢代有位大將叫韓信，他每次集合部隊，只要求部下先后按l～3、1～5、1～7報數，然后再報告一下各隊每次報數的余數，他就知道到了多少人。他的這種巧妙算法，人們稱為鬼谷算，也叫隔墻算，或稱為韓信點兵，外國人還稱它為“中國剩余定理”。到了明代，數學家程大位用詩歌概括了這一算法，他寫道：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓月正半，除百零五便得知。” 這首詩的意思是：用3除所得的余數乘上70，加上用5除所得余數乘以21，再加上用7除所得的余數乘上15，結果大于105就減去105的倍數，這樣就知道所求的數了。比如，一籃雞蛋，三個三個地數余1，五個五個地數余2，七個七個地數余3，籃子里有雞蛋一定是52個。算式是：1×70＋2×21＋3×15＝157，157－105＝52（個）
【練一練】四皓小學訂《中國少年報》若干張，如果三張三張地數，余數為1張；五張五張地數，余數為2張；七張七張地數，余數為2張。四皓小學訂《中國少年報》多少張？
【四】電燈泡問題：“過道里依次掛著標號是1，2，3, ……100的電燈泡，開始它們都是滅的。當第一個人走過時，他將標號為1的倍數的燈泡的開關拉一下；當第二個人走過時，他將標號為2的倍數的燈泡的開關拉一下；當第三個人走過時，他將標號為3的倍數的電燈泡的開關拉一下；……如此進行下去，當第一百個人走過時，他將標號為100 的倍數的燈泡的開關拉一下。問：當第一百個人走過后，過道里亮著的電燈泡標號是多少？”
※ 此題實質是找每個燈泡的因數個數。第一個燈泡只有因數1，燈亮；第二個燈泡有兩個因數1、2，等滅；由此可以看出因數的個數是奇數時，燈亮；因數的個數是偶數時，燈滅。故當第一百個人走過后，過道里亮著的電燈泡標號是1、4、9、16、25、36、49、64、81、100.
【五】巧求六位數：“六位數□4321□能被4321整除，這個六位數是多少？”
※采用“假設──計算──排錯──驗證”的方法。
假設六位數為943219，那么943219÷4321＝218…1241，由于余數大于9，所以不合題意。
假設六位數為843219，則有843219÷4321＝195…64，余數大于9，也不合題意。
假設六位數為743219，則743219÷4321＝172…7，余數小于9，可見符合條件的六位數為743219－7＝743212。
當六位數的首位數分別為6、5、4、3、2、l時，經計算均不合題意。綜上分析，要求的六位數為743212。
【練一練】：四位數□89□能被89整除，這個四位是多少？答案：（4895）
【六】時鐘問題：①“鐘面上有時針與分針，每針轉動的速度是確定的。” 分針每分鐘旋轉的速度：360°÷60＝6°，時針每分鐘旋轉的速度：360°÷(12×60)＝0．5°，在鐘面上要么是分針追趕時針，要么是分針超越時針。這里的轉動角度用度數來表示，相當于行走的路程。因此鐘面上兩針的運動相當于典型的追及問題。
例1：鐘面上3時多少分時，分針與時針恰好重合？
※整3時，分針在12的位置上，時針在3的位置上，兩針相隔90°。當兩針第一次重合，就是3時過多少分。在整3時到兩針重合的這段時間內，分針要比時針多行走360÷12×3=90°，每分鐘分針比時針多走6－0．5＝5．5(度)，所用時間為90÷5．5≈16．36(分)。
例2：在鐘面上5時多少分時，分針與時針在一條直線上，而指向相反？
※在整5時，時針與分針相隔360÷12×5=150°，然后分針先是追上時針，分針需比時針多行走150°，然后超越時針180°，共150＋ 180=330°，分針每分鐘旋轉的速度：360°÷60＝6°，時針每分鐘旋轉的速度：360°÷(12×60)＝0．5°，(150＋ 180)÷(6— 0．5)＝ 60(分) 5時60分即6時正。
例3：鐘面上12時30分時，時針在分針后面多少度？
※整12時，分針與時針重合，相當于在同一起跑線上。到12時30分鐘，分針走180°到達6時的位置上，而時針在30分鐘內也在行走。實際上兩針相隔的度數是在30分鐘內分針超越時針的度數：(6—0．5)×30=55×3=165(度)
例4：鐘面上6時到7時之間兩針相隔90°時，是幾時幾分？
※從6時整作為起點，此時兩針成180°。當分針在時針后面90°時或分針超越時針90°時，就是所求的時刻。
(180—90)÷(6—0．5) ＝90 ÷5．5 ≈16.36(分鐘)(180＋ 90)÷(6— 0．5) ＝270÷5.5 ≈49．09(分鐘）
[此題還可采用分率方法來解決]
【七】最優化問題：既要在盡可能節省人力、物力和時間前提下，爭取獲得在可能范圍內的最佳效果，因此，最優化問題涉及統籌、線性規劃——排序不等式等內容。
例1:貨輪上卸下若干只箱子，總重量為10噸，每只箱子的重量不超過1噸，為了保證能把這些箱子一次運走，問至少需要多少輛載重3噸的汽車？
【分析】因為每一只箱子的重量不超過1噸，所以每一輛汽車可運走的箱子重量不會少于2噸，否則可以再放一只箱子。所以，5輛汽車本是足夠的，但是4輛汽車并不一定能把箱子全部運走。例如，設有13只箱子，，所以每輛汽車只能運走3只箱子，13只箱子用4輛汽車一次運不走。因此，為了保證能一次把箱子全部運走，至少需要5輛汽車。
例2: 用10尺長的竹竿來截取3尺、4尺長的甲、乙兩種短竹竿各100根，至少要用去原材料幾根？怎樣截法最合算？
【分析】 一個10尺長的竹竿應有三種截法：（1）3尺兩根和4尺一根，最省； （2）3尺三根，余一尺；（3）4尺兩根，余2尺。為了省材料，盡量使用方法（1），這樣50根原材料，可截得100根3尺的竹竿和50根4尺的竹竿，還差50根4尺的，最好選擇方法（3），這樣所需原材料最少，只需25根即可，這樣，至少需用去原材料75根。
例3: 一個銳角三角形的三條邊的長度分別是兩位數，而且是三個連續偶數，它們個位數字的和是7的倍數，這個三角形的周長最長是多少厘米？
【分析】三角形三邊是三個連續偶數，所以它們的個位數字只能是0，2，4，6，8，且它們的和也是偶數，又它們的個位數字的和是7的倍數，只能是14，三角形三條邊最大可能是86，88，90，周長最長為86+88+90=264厘米。
例4: 把25拆成若干個正整數的和，使它們的積最大。
【分析】先從較小數形開始實驗，發現其規律：
把6拆成3+3，其積為3×3=9最大；
把7拆成3+2+2，其積為3×2×2=12最大；
把8拆成3+3+2，其積為3×3×2=18最大；
把9拆成3+3+3，其積為3×3×3=27最大；……
這就是說，要想分拆后的數的乘積最大，應盡可能多的出現3，而當某一自然數可表示為若干個3與1的和時，要取出一個3與1重合在一起再分拆成兩個2之和，因此25可以拆成3+3+3+3+3+3+3+2+2，其積37×22=8748為最大。
例5: A、B兩人要到沙漠中探險，他們每天向沙漠深處走20千米，已知每人最多可攜帶一個人24天的食物和水，如果不準將部分食物存放于途中，問其中一個人最遠可以深入沙漠多少千米（要求最后兩人返回出發點）？如果可以將部分食物存放于途中以備返回時取用呢？
【分析】設A走X天后返回，A留下自己返回時所需的食物，剩下的轉給B，此時B共有（48-3X）天的食物，因為B最多攜帶24天的食物，所以X=8，剩下的24天食物，B只能再向前走8天，留下16天的食物供返回時用，所以B可以向沙漠深處走16天，因為每天走20千米，所以其中一人最多可以深入沙漠320千米。
如果改變條件，則問題關鍵為A返回時留給B24天的食物，由于24天的食物可以使B單獨深入沙漠12天的路程，而另外24天的食物要供A、B兩人往返一段路，這段路為24÷4=6天的路程，所以B可以深入沙漠18天的路程，也就是說，其中一個人最遠可以深入沙漠360千米。
例6、今有圍棋子1400顆，甲、乙兩人做取圍棋子的游戲，甲先取，乙后取，兩人輪流各取一次，規定每次只能取7P（P為1或不超過20的任一質數）顆棋子，誰最后取完為勝者，問甲、乙兩人誰有必勝的策略？
【想】因為1400=7×200，所以原題可以轉化為：有圍棋子200顆，甲、乙兩人輪流每次取P顆，誰最后取完誰獲勝。乙有必勝的策略。由于200=4×50，P或者是2或者可以表示為4k+1或4k+3的形式（k為零或正整數）。乙采取的策略為：若甲取2，4k+1，4k+3顆，則乙取2，3，1顆，使得余下的棋子仍是4的倍數。如此最后出現剩下數為不超過20的4的倍數，此時甲總不能取完，而乙可全部取完而獲勝。
[說明] （1）此題中，乙是“后發制人”，故先取者不一定存在必勝的策略，關鍵是看他們所面臨的“情形”（2）我們可以這樣來分析這個問題的解法，將所有的情形--剩余棋子的顆數分成兩類，第一類是4的倍數，第二類是其它。若某人在取棋時遇到的是第二類情形，那么他可以取1或2或3，使得剩下的是第一類情形，若取棋時面臨第一類情形，則取棋后留給另一個人的一定是第二類情形。所以，誰先面臨第二類情形誰就能獲勝，在絕大部分雙人比賽問題中，都可采用這種方法。
例7、有一個80人的旅游團，其中男50人，女30人，他們住的旅館有11人、7人和5人的三種房間，男、女分別住不同的房間，他們至少要住多少個房間？
[分析] 為了使得所住房間數最少，安排時應盡量先安排11人房間，這樣50人男的應安排3個11人間，2個5人間和1個7人間；30個女人應安排1個11人間，2個7人間和1個5人間，共有10個房間。
[練習]
1、十個自然數之和等于1001，則這十個自然數的最大公約數可能取的最大值是多少？（不包括0）
2、在兩條直角邊的和一定的情況下，何種直角三角形面積最大，若兩直角邊的和為8，則三角形的最大面積為多少？
3、5個人各拿一個水桶在自來水龍頭前等候打水，他們打水所需要的時間分別是1分鐘、2分鐘、3分鐘、4分鐘和5分鐘，如果只有一個水龍頭適當安排他們的打水順序，就能夠使每個人排隊和打水時間的總和最小，那么這個最小值是多少分鐘？
4、某水池可以用甲、乙兩水管注水，單放甲管需12小時注滿，單放乙管需24小時注滿。若要求10小時注滿水池，并且甲、乙兩管合放的時間盡可能地少，則甲乙兩管全放最少需要多少小時？
5、有1995名少先隊員分散在一條公路上值勤宣傳交通法規，問完成任務后應該在該公路的什么地點集合，可以使他們從各自的宣傳崗位沿公路走到集合地點的路程總和最小？
6、甲、乙兩人輪流在黑板上寫下不超過10的自然數，規則是禁止寫黑板上已寫過的數的約數，不能完成下一步的為失敗者。問：是先寫者還是后寫者必勝？如何取勝？
[習題參考答案及思路分析]
1、∵1001=7×11×13，∴可以7×13為公約數,這樣這十個正整數可以是 ,91×2，它們的最大公約數為91。
2、對于直角三角形而言，在直角邊的和一定的情況下，等腰直角三角形的面積最大。若兩直角邊的和為8，則三角形的最大面積為 ×4×4=8。
3、為了使每個人排隊和打水時間的總和最小，有兩種方法：（1）排隊的人盡量少；（2）每次排隊的時間盡量少。因此應先讓打水快的人打水，才能保證開始排隊人多的時候，每個人等待的時間要少，故共需5×1+4×2+3×3+2×4+5=35（分鐘）。
4、由于甲、乙單獨開放都不可能在10小時注滿水池，因此必須有時間甲、乙全放。為了使它們合放的時間最少，應盡量開放甲管（速度快），這樣甲開10小時注滿水池的，余下 只能由乙注滿，需。因此甲乙兩管全放最少需要4小時。
5、此問題我們可以從最簡單問題入手，尋找規律，從而解決復雜問題，最后集合地點應在中間地點。
6、先寫者存在獲勝的策略。甲第一步寫6，乙僅可寫4，5，7，8，9，10中的一個，把它們分成數對（4，5），（8，10），（7，9）。如果乙寫數對中的某個數，甲就寫數對中的另一個數，則甲必勝。
【八】利潤與折扣：工廠和商店有時減價出售商品，通常稱為“打折扣”出售，幾折就是百分之幾十。一般情況下，商品從廠家購進的價格稱為本價，商家在成本價的基礎上提高價格出售，所賺的錢稱為利潤，利潤與成本的百分比稱之為利潤率。期望利潤=成本價×期望利潤率。
例1、某商店將某種DVD按進價提高35%后，打出“九折優惠酬賓，外送50元出租車費”的廣告，結果每臺仍舊獲利208元，那么每臺DVD的進價是多少元？
※定價是進價的1+35%=135%，打九折后，實際售價是進價的135%×90%=121.5%，每臺DVD的實際盈利：208+50=258（元），每臺DVD的進價258÷（121.5%-1）=1200（元）
例2：一種服裝，甲店比乙店的進貨便宜10%，甲店按20%的利潤定價，乙店按15%的利潤定價，甲店比乙店的出廠價便宜11.2元，甲店的進貨價是多少元？
※設乙店的成本價為1，乙店的定價是（1+15%），甲店的定價（1-10%）×（1+20%），甲店比乙店的出廠價便宜 11.2元的對應分率是（1+15%）-（1-10%）×（1+20%）=7%，11.2÷7%=160（元）160×（1-10%）=144（元）
例3、原來將一批水果按100%的利潤定價出售，由于價格過高，無人購買，不得不按38%的利潤重新定價，這樣出售了其中的40%，此時因害怕剩余水果會變質，不得不再次降價，售出了全部水果。結果實際獲得的總利潤是原來利潤的30.2%，那么第二次降價后的價格是原來定價的百分之幾？
※要求第二次降價后的價格是原來定價的百分之幾，則需要求出第二次是按百分之幾的利潤定價。解：設第二次降價是按x%的利潤定價的。38%×40%＋x%×（1-40%）=30.2%，X%=25%，（1+25%）÷（1+100%）=62.5%
[練習]：
1、某商品按每個7元的利潤賣出13個的錢，與按每個11元的利潤賣出12個的錢一樣多。這種商品的進貨價是每個多少元？
2、租用倉庫堆放3噸貨物，每月租金7000元。這些貨物原計劃要銷售3個月，由于降低了價格，結果2個月就銷售完了，由于節省了租倉庫的租金，所以結算下來，反而比原計劃多賺了1000元。問：每千克貨物的價格降低了多少元？
3、張先生向商店訂購了每件定價100元的某種商品80件。張先生對商店經理說：“如果你肯減價，那么每減價1元，我就多訂購4件。”商店經理算了一下，若減價5％，則由于張先生多訂購，獲得的利潤反而比原來多100元。問：這種商品的成本是多少元？
4、某商店到蘋果產地去收購蘋果，收購價為每千克1.20元。從產地到商店的距離是400千米，運費為每噸貨物每運1千米收1.50元。如果在運輸及銷售過程中的損耗是10％，商店要想實現25％的利潤率，零售價應是每千克多少元？
5、小明到商店買了相同數量的紅球和白球，紅球原價2元3個，白球原價3元5個。新年優惠，兩種球都按1元2個賣，結果小明少花了8元錢。問：小明共買了多少個球？
6、某廠向銀行申請甲、乙兩種貸款共40萬元，每年需付利息5萬元。甲種貸款年利率為12％,乙種貸款年利率為14％。該廠申請甲、乙兩種貸款的金額各是多少？
7、商店進了一批鋼筆，用零售價10元賣出20支與用零售價11元賣出15支的利潤相同。這批鋼筆的進貨價每支多少元？
8、某種蜜瓜大量上市，這幾天的價格每天都是前一天的80％。媽媽第一天買了2個，第二天買了3個，第三天買了5個，共花了38元。若這10個蜜瓜都在第三天買，則能少花多少錢？
9、商店以每雙13元購進一批涼鞋，售價為14.8元，賣到還剩5雙時，除去購進這批涼鞋的全部開銷外還獲利88元。問：這批涼鞋共多少雙？
10、體育用品商店用3000元購進50個足球和40個籃球。零售時足球加價9％，籃球加價11％，全部賣出后獲利潤298元。問：每個足球和籃球的進價是多少元？
【九】找次品問題：例1 有4堆外表一樣的球，每堆4個。其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每個重10克，次品球每個重11克，請你用天平只稱一次，把是次品的那堆找出來。
※依次從第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4個球，這10個球一起放到天平上去稱，總重量比100克多幾克，第幾堆就是次品球。
例2、有27個外表一樣的球，其中有一個次品，重量比正品輕，用天平只稱三次（不用砝碼），把次品球找出來。
※第一次：把27個球分為三堆，每堆9個，取其中兩堆分別放在天平的兩個盤上。若天平不平衡，可找到較輕的一堆；若天平平衡，則剩下來稱的一堆必定較輕，次品必在較輕的一堆中。
第二次：把第一次判定為較輕的一堆又分三堆，每堆3個球，按上法稱其中兩堆，可找出次品在其中較輕的那一堆。
第三次：從第二次找出的較輕的一堆3個球中取出2個稱一次，若天平不平衡，則較輕的就是次品，若天平平衡，則剩下一個未稱的就是次品。
21、一杯牛奶250g，小明喝了這杯奶的1/5，然后加滿水，又喝了這杯奶的1/4，再加滿水，又喝了半杯，小明共喝了多少g純奶？
※（1）第一次喝了 250×1/5=50g，余奶 250-50=200g，加滿水后，含奶率為200÷250×100%=80%，第二次喝純奶250×1/4×80%=50g，這時杯中有純奶250-50-50=150g，再加滿水后含奶率為150÷250×100%=60%，又喝了半杯，喝純奶250×1/2×60%=75g，共喝了50+50+75=175g。
（2）第一次喝了1/5，余 1-1/5=4/5,第二次喝了這杯奶的1/4，即喝了4/5的1/4，4/5×1/4=1/5，兩次喝后余奶為1--1/5-1/5=3/5，第三次喝了半杯，即喝了3/5的1/2，3/5×1/2=3/10,三次共喝 1/5+1/5+3/10=7/10,即喝了250g的7/10， 250×7/10=175g。
22、一批零件，甲獨做要17/2天，比乙獨做多用1/2天。兩人合作4天后，還剩210個零件由甲完成，甲共做多少個？
※乙獨做需17/2-1/2=8天，兩人合作4天完成了（2/17+1/8)×4=31/34.還余1-31/34=3/34.這批零件共有210÷3/34=2380個，甲4天做了2380×2/17×4=1120個，甲共做1120+210=1330個。
23、一條公路上，每隔20km有一倉庫，共有五個。1號存貨20噸，2號存貨30噸，5號存貨40噸，3號4號空著，現將貨物存放一處，如果每噸貨物運1km運費是0.25元，那么最少要多少運費？集中幾號倉庫？1□—2□—3□—4□—□5
※①存入3號。1號每噸貨物需運費 0.25×40=10元，20噸貨物需10×20=200元；2號每噸貨物需運費0.25×20=5元，30噸貨物需5×30=150元；5號每噸貨物需運費 0.25×40=10元，40噸貨物需10×40=400元，共200+150+400=750元。
②存入4號。1號每噸貨物需運費 0.25×60=15元，20噸貨物需15×20=300元；2號每噸貨物需運費 0.25×40=10元，30噸貨物需 10×30=300元；5號每噸貨物需運費 0.25×20=5元，40噸貨物需5×40=200元，共300+300+200=800元，750<800,故存入3號倉庫。
24、三種動物賽跑，已知狐貍的速度是兔子的2/3，兔子的速度是松鼠的2倍，1分鐘兔子比狐貍多跑28m，那么1分鐘松鼠比狐貍少跑多少m？
※由“狐貍的速度是兔子的2/3”知，兔是單位“1”，1分鐘兔子比狐貍多1-2/3=1/3，兔的速度是28÷1/3=84m；由“兔子的速度是松鼠的2倍”知松鼠的速度是84÷2=42m；狐貍的速度是84×2/3=56m，1分鐘松鼠比狐貍少跑56-42=14m.
25、甲乙兩隊從兩端同時鋪一條水管，鋪完時，甲乙兩隊完成任務的比是5：6.已知甲隊每天鋪150m，乙隊獨鋪需要20天，問這條水管有多長？
※①想：兩隊工作量的比是5：6，則工效的比也是5：6，甲效5份是150m，每份是150÷5=30m，乙效是6份，共30×6=180m，20天鋪180×20=3600m.
總任務為5+6=11份，乙占6/11，共需6/11÷1/20=120/11天，即甲也需要120/11天，150×120/11÷5/11=3600m。
26、一人騎車從甲地去乙地，需5.5小時，途中3.6km因大雨沖刷，速度只有原來的3/4，因而比原來多用12分鐘，甲乙兩地相距多少km？
※①從“速度只有原來的3/4”知，行駛3.6km的速度和原來的速度比是3：4，則路程比是4：3，3.6km的路程是3份，每份是3.6÷3=1.2km，原來是4份，共1.2×4=4.8km，原來比實際多行4.8-3.6=1.2km，多12分鐘（1/5時），速度為1.2÷1/5=6km，甲乙兩地相距6×5.5=33km。
②由“比原來多用12分鐘”列方程。解設原來的速度為Vkm,則總路程為5.5Vkm。（5.5V-3.6）÷V+3.6÷(3/4V）=5.5+1/5,V=6,甲乙兩地相距6×5.5=33km。
27、每次取出一堆桃子的一半再放回一個，4次后還剩下4個，原有桃子多少個？
※①采用逆推法。由“還剩下4個”知，取了4次后，放回一個是4個，即一半是4-1=3個，第4次沒取時是3×2=6個，去掉第三次放的一個，余6-1=5個，第3次沒取時是5×2=10個；去掉第二次放的一個，余 10-1=9個，第2次沒取時是9×2=18個，去掉第一次放的一個，余 18-1=17個，原有桃子17×2=34個。
②根據“4次后還剩下4個”列方程。解設原有桃子X個，取第一次后余1/2X+1個，取第二次后余（1/2X+1）×1/2+1個，取第三次后余[（1/2X+1）×1/2+1]×1/2+1個，取第四次后余{[（1/2X+1）×1/2+1]×1/2+1}×1/2+1個，列式是{[（1/2X+1）×1/2+1]×1/2+1}×1/2+1=4，X=34
28、甲乙兩人騎車比賽，兩人同時出發，當甲騎車到全程的7/8時，乙騎到全程的6/7，這時兩人相距140m，如果繼續按原來的速度前進，當甲到達終點時，兩人之間的最大距離是多少m？
※總路程為140÷（7/8-6/7)=7840m。 ①利用比來解。甲到達終點，即甲行了“1”，解設乙行了Xm，列式為：7/8:6/7=1:X，X=48/49,乙距離終點還有1-48/49=1/49,兩人之間的最大距離是7840×1/49=160m.②甲行7840×7/8=6860m,乙行6860-140=6720m，由于所用時間相同，可把它們所行的路看作速度，甲到終點需時 7840÷6860=8/7,乙行 6720×8/7=7680m，兩人之間的最大距離是7840-7680=160m。
29、在公路兩旁植樹，每隔3m一棵，到頭還余6棵；每隔2.5m一棵，到頭還缺54棵，這條公路有多長？
※想：①共余6棵樹，則公路每邊余6÷2=3棵；缺了54棵，則公路每邊缺54÷2=27棵。②公路起點也要栽一棵，所以計算樹的棵數時要加上1。③利用公路長不變列方程。解設公路長為Xm，X/3+1+3=X/2.5+1-27，X=450m。
30、有兩缸金魚，從甲取出1尾放入乙缸，則兩缸金魚數相同；若從乙缸取一尾放入甲缸，這時乙缸金魚數是甲缸的1/2，甲乙原有金魚多少尾？
※從“甲取出1尾放入乙缸，則兩缸金魚數相同”知，甲缸比乙缸多2尾金魚。利用“這時乙缸金魚數是甲缸的1/2”列方程。解設乙缸有X尾金魚，則甲缸有X+2尾金魚。X-1=(X+2+1)×1/2,X=5，甲是5+2=7尾。
31、有兩缸金魚，第一缸與第二缸的條數比是3：2。如果從第一缸取10尾放入第二缸，這時第二缸的金魚正好是第一缸的7/8，兩缸共有金魚多少尾？
※【此題金魚的總數不變，可以形象地理解為自己左口袋的錢裝到了右口袋】 原來總份數為3+2=5份，第一缸占3/5；現在總份數為7+8=15份，第一缸占8/15；第一缸只所以由3/5減少到8/15，是因為少了10尾金魚。兩缸共有金魚10÷（3/5-8/15)=150尾。
32、小華和小強共有24塊糖，當小華吃去20%，小強吃了2塊后，剩下的糖小強與小華的比是3：2，原來兩人各有多少塊糖？
※利用“3：2”列比例來解。解設小華有X塊糖，則小強有24-X塊。（24-X-2）：（1-20%）X=3：2， X=11, 小強有24-11=13塊。【本題主要學會利用比來列比例解應用題】
33、A、B都是不為0的自然數，1/A-1/B=1/182,A:B=7:13,求A+B=( )
※由“A:B=7:13”知，A=7/13B,代入“1/A-1/B=1/182”，1÷7/13B-1/B=1/182，B=156. B是13份，每份 156÷13=12，A=12×7=84，A+B=156+84=240.
34、一個長方體，前面和上面的面積之和是209㎡，它的長、寬、高都是質數，求長方體的表面積和體積？
※前面面積是長×高，即ah；上面面積是長×寬，即ab.ah+ab=209,a(h+b)=209,把209分解質因數209=11×19；a=19時，h+b=11，不能分成質數和，故不符合條件，所以a=11,h+b=19,19=2+17,則b=17或2，h=2或17，表面積為（11×17+11×2+17×2）×2=486㎡，體積是11×17×2=374立方米。
35、生產一批零件，甲每小時可做18個，乙單獨做要12小時完成。現在由甲乙二人合做，完成任務時，甲乙生產零件的數量之比是3:5，甲共生產零件多少個？
※由“甲乙生產零件的數量之比是3:5”知，這批零件共3+5=8份，乙做了5/8，需時間5/8÷1/12=7.5小時，即甲也需要7.5小時，甲共生產零件18×7.5=135個。
36、下面一段話是一種片劑藥包裝中的部分說明：
貴港市冠峰制藥有限公司
批準文號： 國藥準字 Z45022034號
感冒清片 每片重0.22克，口服，一次3-4片，一日三次
生產日期：2007年1月1日 有效期：至2008年12月31日
請你根據說明書回答下面的問題：（1）這種藥的名稱是（ ）。（2）一天最多服多少克？最少服多少克？（3）這種藥片的保質期有（ ）年。
※此題接近生活，讀懂理解題意是關鍵。藥的名稱是（感冒清片），一天最多服（0.22×4×3=2.64）克，最少服（0.22×3×3=1.98）克，這種藥片的保質期有（2008年12月31日-2007年1月1日=1年11個月30天）年
37、某商店購進一批涼鞋，每雙售出價比購進價多15%。如果全部賣出，則可獲利120元；如果只賣80雙，則差64元才夠成本。涼鞋的進價每雙多少元？
※總進價為120÷15%=800元，80雙買800-64=736元，涼鞋的進價每雙是736÷80=9.2元。
38、一種商品的成本是180元，改進工藝后成本下降了30%，價格也下降了10%，結果每件商品比原來多賺26元，這種商品原價多少元？
※現在的成本是 180×（1-30%）=126元，假設原價是X元，則現價為 X×（1-10%）=0.9X元，列方程是 X-180+26=0.9X-126，X=180.
39、一種商品按進價的140%定價，然后再實行九折酬賓，再送50元的車費，最后獲利145元，那么這件商品的進價是多少元？
※①“實行九折酬賓”就是按定價的90%銷售，即140%×90%=126%；不送50元車費，就可獲利145+50=195元，售價為“1”，進價是195÷（126%-1）=750元。
②利用“最后獲利145元”列方程。解設進價為X元，則定價是140%X，售價為140%X×90%=126%X元，列方程為 126%X-50-X=145，X=750.
40、甲乙兩車分別從A、B兩城同時相對開出，經過4小時，甲車行了全程的80％，乙車超過中點13千米，已知甲車比乙車每小時多行3千米，A、B兩城相距多少千米？
※甲行完全程需時間4÷80%=5小時，乙5小時行全程的一半又13km，每小時行1/2÷5=1/10又13÷5=2.6km，已知甲車比乙車每小時多行3千米，已知甲車比乙車每小時多行1/5-1/10=1/10又3+2.6=5.6km，兩城相距5.6÷1/10=56km。
41、某班有學生51人，準備推選1名同學在教師節那天給老師獻花。選舉的方法是讓51名同學按編號1、2、3、……、51排成一個圓圈，從1號位開始，隔過1號，去掉2號、3號，隔過4號，去掉5號、6號……如此循環下去，總是每隔過1個人，就去掉2個人，最后剩下的那名同學當選。那么當選的同學開始時是排在幾號位置上的？
※根據推選的方法可知，第一輪篩選后留下了17人。這17人是排在第 1、4、7、10、13、16、19、22、25、28、31、34、37、40、43、46、49號位置上的同學。接下去繼續篩選，留下了6人，這6個人是排在第1、10、19、28、37、46號位置上的同學。不過留下46號后去掉49號，接下來正好去掉1號，再繼續下去，留下的是第10、37號位上的同學，在去掉46號之后，接下去是去掉10號，最后剩下的是37號，即開始時排在37號位置上的那個同學當選。
42、有一列數1/1、1/2、2/2、1/2、1/3、2/3、3/3、2/3、1/3、1/4、2/4、3/4、……那么第398個數是多少？
※仔細觀察這列分數的特點，不難發現，它們的分母是1、2、3、4.……分母是1的分數有1個；分母是2的分數有3個；分母是3的分數有5個；……分子是1、1、2、1、1、2、3、2、1……從小到大再到小，依次排列。從而得出，從第400個分數是分母為20的分數中最后一個，即1/20,那么第398個就是從第400個分數再倒數第二個分數，即3/20。
43、如果兩個數的和是80，這兩個數的積可以整除4875，那么這兩個數的差是多少？
※把4875=3×5×5×5×13分解質因數，由此得出這兩個數是：5與75或15與65。這兩個數的差是 70或50。
