Ψ的前世今生

實在：抽象名詞。指客觀存在著的一種本質性的東西。本譯文中但凡出現“實在”二字，都是指這個意思。

導言：量子理論的核心（有人說它也是物理學的核心）是波函數。但它真的是某種波嗎？不過一個新理論給了這些懷疑者們當頭一棒，且看喬恩·卡特萊特在這篇文章里是怎么說的。

自1926年發表波動方程之后，埃爾文·薛定諤便備受稱贊。愛因斯坦曾在寫給他的信中稱：“你的工作是真正的天才之作！”一個月后，薛定諤的同事，奧地利物理學家保羅·艾倫費斯特仍對此驚嘆不已。他坦言道：“在過去的兩周中，我們小組每天都要在黑板前花上幾個小時，以求計算出所有優美的結果。”

八十多年后的今天，物理學家仍在試圖掌握那些紛繁復雜的結果。薛定諤方程是歷史上最著名的方程之一，描述任意體系的量子態如何隨時間演化。它是量子力學的基石，而后者為我們帶來了計算機、激光、太陽能電池和核反應堆。然而薛定諤方程的核心，也就是它的解，是一個很神秘的項，我們稱之為波函數。物理學家都知道它，但它的意義到底是什么呢？它是否對應于某種真實的波呢？

這些問題看上去似乎無關緊要，但事實并非如此。原則上，任何物質都有波函數——電子、原子、人體、星球，甚至整個宇宙本身都是如此。如要把它們以真實的物質性的波刻畫出來，往簡單說都會是一個挑戰。出于這個原因，很多物理學家都猜測波函數只是反映了我們對自然的有限認識。也許我們將來會發現一個更深層次的實在，無需借助波函數這一概念，就可以解釋量子世界所有的謎團。

現在這個希望似乎有讓人誤入歧途之嫌。根據英國一個物理團隊提出的定理，波函數并不是什么近似性的認識，它確實具有某種物質性。這一結論已經傳遍了整個量子物理學界，其中很多人還在疑慮我們能否對實在有一個直覺性的把握。

回溯經典

薛定諤自己從來沒想過事情會如此展開。1925年，也就是他完成其重大成果的前一年，德國物理學家維爾納·海森堡，馬克斯·玻恩和帕斯卡·約爾丹利用一種被稱為矩陣力學的方法解釋了原子的結構。矩陣力學是一種需要大量處理數字的方法，進行運算時還需要考慮計算順序。這一方法很不錯，實際上它也是量子力學的第一個完整表述，但它不能向我們呈現出任何實在性的圖像。薛定諤希望回避這種抽象的方法而直接面對連續、可視的經典物理世界。

當時，要達到這一目的的方法已經初現端倪。在德國物理學家馬克斯·普朗克的工作的基礎上，愛因斯坦證明光既可以解釋為波，又可以解釋為粒子束，這種粒子后來被稱為光子。隨后，法國物理學家路易斯·德布羅意提出了一個更廣泛的論斷，即一種廣義的“波粒二象性”，認為所有的物質都有一個波與之聯系，反之亦然。薛定諤沿著這一思路前進，并做出了一個巨大飛躍，從而提出了他的波函數。波函數完全描述了一個原子（實際上任何體系都是如此）的狀態如何隨時間演化。它等效于一個運動方程，但這個方程必須能夠滿足量子體系所有奇特的類似波動性質的行為，比如粒子間會相互干涉，或者粒子可以同時明確地處于幾個不同的地點。

不過沒有人知道怎么解釋這個方程的解的含義。這個解就是波函數，用希臘字母Ψ表示。如果Ψ確實對應于某種物質性的波，那這個波必然會很奇怪。和水波或聲波這種存在于三個相似的空間維度的波不同，Ψ波存在于大量的抽象維中，其維數隨著體系實體數的增大而迅速增大。（僅僅一小把粒子的波函數需要的維數就比整個宇宙中的原子數還要多，而宇宙中的原子大概有10⁸⁰個。）

然而最大的問題關乎測量。在量子力學的正統詮釋中（由于歷史原因，它有時被稱為哥本哈根詮釋（Copenhagen Interpretation）），處于某一量子態的體系有一個波函數按照薛定諤方程決定的方式進行演化。假設在這個狀態下，體系沒有確定的性質，也就是說，從某種程度上看，它所有的性質都是不確定的。但只要有一個觀察者對該體系進行了一次測量，它的波函數就會坍塌：體系的性質會非決定性地（也就是隨機地）確定下來。不管體系有多大，波函數的坍塌都是瞬時的，其機制至今仍無法得到解釋。

面對這些讓人頭痛的問題，我們就不難理解為什么那么多物理學家會認為波函數只是對實際演變的事物的一個近似表述了。這樣看來，我們將來會找到某個能夠顯示我們現在關于波函數的理論是不完全的認識的超級理論。

要理解這一點，我們最好來參考一個經典情形下的例子。假設一個粒子沿著一維運動。在任意時刻，粒子都有確定的位置和動量。這兩個量足以完全確定粒子的狀態。這樣一個完全確定的態稱為“實體（ontic）”態，或實在性的態：它能完全確定地表示出一段時間后這個粒子在做怎樣的運動（圖1a）。（“Ontic”來源于希臘語的on，意思是“存在”。）

圖1：實體態和認知態

（a）經典情形下，一維運動的粒子在每個特定時刻都有確定的位置x和動量p。這就是粒子的實體態，它能完全描述這個粒子的情況。（b）雖然粒子具有確定的x和p，但實驗者可能只能以一定的精度或概率知道具體的數值。因此實驗者就會把粒子的狀態歸為認知態，它反映出實驗者對粒子的有限認知。

當然，實驗者可能只能以一定精度或概率知道粒子的位置和動量。這可能是因為儀器不夠精密，也可能是因為實驗者處理的性質是集體或宏觀的。比如，溫度就只能統計性地說明組份粒子的性質。在這種情況下，實驗者可以說這個粒子處于一個“認知（epistemic）”態上。認知態是我們對一個態的部分知識：它表示粒子的有限信息（圖1b）。（“Epistemic”來源于希臘語的episteme，意思是“知識”。）

如果波函數確實是對實在的完整表述，那么根據上面的定義，它就是實體態；而如果量子態只表示實在的部分信息，那么波函數就是一個認知態。認知觀點（史稱“隱變量”觀點，因為它認為量子體系隱藏了某些信息）的支持者中包括許多知名的科學家，其中就有愛因斯坦。他在1945年寫給同事的一封信里說：“我傾向于波函數不是（完全）描述真實事物的觀點，它對我們來說，只不過是對某個真實存在的事物在經驗上的最大認知。這就是我說量子力學對事物真實狀態只能給出不完全描述的意思。”

波的背后藏著什么

我們怎么來證實愛因斯坦的這個認為波函數只是一個認知態，只是表示有限知識的態的觀點呢？顯然，物理學還沒有哪個超級理論可以讓量子力學暴露出波函數的任何不足。但實際上，如果有人能詳細指出認知態和實體態之間的不同，那么超級理論就可有可無了。為討論方便，我們先假設波函數是認知性的。也就是說，若一個物理學家為某個體系精心準備了一個確定的波函數（讓我們稱之為ψ₁），該體系的真實態（實體態）還不是唯一確定的。這個由ψ₁描述的體系實際上掩飾了幾種可能的實體態，讓我們記這些實體態為λ₁、λ₂、λ₃等等。在ψ₁下對某個確定的實體態λ的不可見選擇可能是隨即的，也可能不是；物理學家并不清楚自然是不是決定論的。但如果我們假設波函數是認知性的，那么它背后就一定有不止一種的可能的實體態（否則它就不是對一個態的有限認知了）。這樣看來這似乎很好地闡明了什么是認知觀點，其實不然：對波函數詮釋的微秒不同可不僅僅是區分認知和實體這么簡單。為了對認知觀點給出一個更精確的定義，我們必須考慮這些不同的詮釋（圖2）。

圖2：你的觀點是哪種？
根據你自己的認識，通過這個流程圖來看看你的想法符合量子力學四種詮釋中的哪個吧。

首先，科學哲學家對實在本身便有根本的分歧。被稱為實在論者的一方認為客觀實體的存在與我們的認知無關，一個對象，就算我們不去觀察它，它也是“存在著的”。而另一邊的反實在論者認為，只有我們觀察著的對象才可以說是自然存在的；他們認為物理學的唯一任務就是確保理論和觀測一致。這就是量子力學正統學派的觀點（它又被叫做“悶頭只管計算”學派，據說這話是美國理論家理查德·費曼說的），認為討論實體態是毫無意義的。這一點為許多量子力學的先驅所推崇，尤其是丹麥物理學家尼爾斯·玻爾。但這一觀點在今天的科學哲學家中已漸漸退出主流，其部分原因在于它似乎是不可能被證偽的。

這樣，持認知觀點的人有兩個選擇：像愛因斯坦那樣堅持實在論，或者像玻爾那樣否定它。但那些持實體觀點的人（自然，他們都是實在論者）也有兩個選擇。其一已經有所暗示：那就是認為波函數對應所有的實在。基于這一觀點的最著名的例子是由美國物理學家休·埃弗里特于1957年首次提出的量子力學“多世界”詮釋。這一觀點認為所有可能發生的物理過程的結果會在無數不同的宇宙中出現。

另一個實體觀點就方便多了。其支持者認為波函數對應于某種物質性的波，而波只是實在的一部分。持這一觀點的一個流行理論是玻姆力學，它是以美國物理學家大衛·玻姆的名字命名的。在玻姆力學中，實在包括波和粒子，波是控制或“引導”粒子運動的。所以在這一情形下，只有波函數還不對應實在，它是實體態的一個“物理量”，而實體態還包括粒子的運動。

這樣一共就有四種觀點，即：實在論毫無意義，而波函數就是對觀測的很好描述（玻爾）；實在是存在的，波函數是關于它的不完全描述（愛因斯坦）；波函數對應實在的一部分（玻姆）；波函數對應全部實在（埃弗里特）。到目前為止，除了第二、三點似乎比較相近，它們看上去似乎都沒什么問題。那么，愛因斯坦式的表示實在部分內容的波函數和玻姆式的作為部分（而非全部）實在的波函數之間的區別是什么呢？通俗點說，后一個波函數對應于某種物質性的事物，而前者沒有。但這兩個觀點在數學上的差別則很微妙。在最初的認知定義中，ψ₁涉及幾個實體態λ₁、λ₂、λ₃等，但這對玻姆力學（其波函數是實在的一部分）里的ψ₁也是對的。這里，ψ₁可以完全表示玻姆的“引導波”，但對體系的完整描述還是需要諸如“粒子位置參量”之類的信息。

能量實在

2010年，英國劍橋大學的數學物理學家羅伯特·司柏肯（Robert Spekkens，現在在加拿大滑鐵盧市的圓周理論物理研究所）和倫敦帝國學院的尼古拉斯·哈里根（Nicholas Harrigan，現在是一名教師兼科學評論家，住在曼切斯特）提出了看待這個問題的新方法。按照他們的說法，我們來回顧一下沿一維運動的經典粒子的例子。如前所述，任意時刻它的實體態都可以由它的位置和動量完全確定。但現在我們來考察它的能量。這個粒子可以停留在很多（也許是無限）不同的實體態上，如(x₁,p₁)、(x₂,p₂)、(x₃,p₃)等，而具有相同的能量E₁。或者反過來說，能量E₁不一定就只對應一個實體態。這說明只有能量（就像愛因斯坦的認知波函數和玻姆的“部分實在”波函數那樣）不能完全確定實在。

不過，先不管這些不足，我們知道，物體總是“有”能量的，它就像玻姆的波函數那樣，確實是實在的一部分。為什么這么說呢？司柏肯和哈里根稱：秘密就在于，雖然一個能量對應了許多種實體態，但一個實體態（位置和動量的單值數對）只對應一個能量。換句話說，不會有兩個數值不同的能量E₁和E₂對應于同一對位置和動量(x₁,p₁)。（例如，考察掛在一根彈簧上的物體的能量，如果把它的質量和彈簧常數設為1，那么能量就可以寫成E= 1/2(p²+x²)）如果有兩個能量值對應于同一對位置和動量，那么能量就不是一個物理量，它就不會是實在的一部分。

司柏肯和哈里根的定義很簡潔，而且是第一次給出了一種精確的方式來區分實體和認知實在論者的觀點。如果單個實體態λ₁也只對應于一個波函數ψ₁，那么波函數至少一定是實在的一部分，也一定對應于某種物質性的波。這樣，實體觀點（不論玻姆式或埃弗里特式）就一定是對的。另一方面，如果一個實體態λ₁有時會對應兩個或更多波函數ψ₁、ψ₂等，那么波函數一定就只表示實在的部分內容，這樣愛因斯坦的認知觀點就是對的。

對未知的證明

既然實體觀和認知觀之間存在一個根本的區別，這就說明一定有辦法證明它們中的哪一個是對的。也許有人可以證明在某種情形下單個實體態會對應至少兩個不同的波函數，這就可以證明玻姆和埃弗里特是錯的，而大家則會站到愛因斯坦一邊，或放棄實在論。

去年，倫敦帝國學院的物理學家特里·魯道夫（Terry Rudolph）和馬休·普西（Matthew Pusey），以及倫敦大學皇家霍洛威學院的數學家喬納森·巴雷特（Jonathan Barrett）共同接手了這一挑戰。他們發展了一個理論，來驗證認知和實體這兩種實在論中哪一種與量子力學的預測相容。他們的證明多少有些復雜，但我們可以通過一個思維實驗簡單地對其做一個了解。

想象有這樣一種擲骰機，它會用兩種特殊的方式擲出一個普通的六面骰子，至于會用哪種方式則取決于其上兩個的按鈕中哪個被摁下。摁下標有“偶”（偶數）的按鈕，機器就會保證擲出三個偶數點數之一，即二、四或六。摁下標有“質”（質數）的按鈕，機器就會保證擲出三個質數點數之一，即二、三或五。

實驗的下一步就是放置兩臺這樣的機器，調整好位置使它們能夠同時將骰子擲入一個測量盒中。測量盒上有四盞燈，代表偶數和質數的四種組合：“非偶偶”、“非偶質”、“非質偶”、“非質質”（圖3a）。這些燈一開始是紅的，但一旦骰子進入盒內并被測量，對應相應結果的燈就會變綠。

在普西、巴雷特和魯道夫的思維實驗中，兩臺擲骰機分別將一個骰子以兩種狀態之一擲入測量盒中。在（a）圖中，骰子被擲出經典的偶數或質數態。在（b）圖中，骰子擲出的是量子態ψ₁或ψ₂。我們提出的問題是，測量盒是否總能亮起一盞綠燈？如果不能，那么最開始的骰子態必然是認知性的。但如果測量盒總能夠保證亮起一盞綠燈，那么那些態就是實體的，必然對應于至少一部分實在。

魯道夫、普西和巴雷特提出一個相當簡明的問題：測量盒是否總會有至少一盞燈變綠？初看答案似乎是肯定的。比如，如果機器擲出六和五，測量盒就會分析出六只能是被摁了“偶”按鈕的機器擲出，而五只會是被摁了“質”按鈕的機器擲出：按鈕組合一定是“偶質”。因此，“非偶質”仍然是紅的，而其它三盞燈（也即“非偶偶”、“非質偶”和“非質質”）會變綠。如果機器擲出二和五，情況就更復雜些，因為“二”可能是被“偶”或“質”擲出的，偶質和質質的按鈕組合都可以得到這一結果。不過，測量盒仍會有兩盞綠燈，即“非偶偶”和“非質偶”。那么，這么看似乎測量盒確實總會有至少一盞綠燈是亮的。

但如果機器擲出了兩個二呢？現在測量盒就陷入困難了。兩個二都可以來自“偶”或“質”按鈕，我們不能排除任何一種組合——也就是說，沒有一盞燈能變綠。實際上，這一特殊情況證明了“偶”和“質”按鈕是認知態，因為按照司柏肯和哈里根的定義，它們有時對應于同一個實體態：二。

現在我們將骰子換成量子版的。這次機器就不是擲出偶數或質數了，而是把量子骰子“擲到”兩個波函數ψ₁和ψ₂之一。相應地，測量盒的結果變為“非ψ₁ψ₁”、“非ψ₁ψ₂”、“非ψ₂ψ₁”和“非ψ₂ψ₂”（圖3b）。不過問題還是一樣：測量盒能否至少亮起一盞綠燈？如果存在一種情形使之不能，即四盞燈都保持紅色，那么它將證明至少有一臺機器像在經典版本中那樣將骰子擲到一個既可以對應于ψ₁又可以對應于ψ₂的實體態或“數”上（就像“二”的實體態既可以對應偶數也可以對應質數那樣）。在這樣的情況下，物理學家就不知道這個神秘的實體態數字是多少了，但他們知道它起碼是存在的，而這就足以證明波函數是認知的了。但令人驚訝的是：量子力學預言這種情形是不可能出現的（請參見后面“量子版擲骰實驗”一節）。它預言說不論我們怎么選擇波函數對ψ₁和ψ₂，測量盒都會亮起一盞綠燈。

你好，實在

普西、巴雷特和魯道夫的定理現在被稱為PBR定理，它本質上像是一道最后通牒。如果量子力學是正確的，那么波函數就不會是認知的：它不僅僅是表示實驗者對實在的部分認識，它一定是實體的，并且直接對應于部分（玻姆式的）或全部（埃弗里特式的）實在。

當然，量子力學也可能是錯誤的。實際上，研究者們也準備了一個實驗計劃來檢驗根據上述三人的理論做出的特定的量子力學預測。不過，你必須要有特別開放的想法才會把賭押在認知的結果（即存在某個情形使得沒有一盞綠燈亮著）上。在整個量子力學史中，量子力學的預測還從未出過錯。認知預測與量子力學預測不符這一事實暗示了波函數至少對應于一部分實在，或者說對應著某種物質性的波。愛因斯坦說過一句名言，即上帝“不擲骰子”，然而，這次骰子坑了他。

面對這一事實，愛因斯坦的追隨者們剩下三個選擇（請再次參見圖2）：如果他們仍要將波函數視為是認知的，那么他們簡直就是拋棄了科學實在論：雖然其中很多人也認為這是一個重大的犧牲。這樣，要保持實在論就只剩下兩個觀點了。一個觀點認為波函數是實在的一部分，就像玻姆力學中波引導粒子運動那樣。另一個觀點認為波函數就是全部實在，就像埃弗里特的量子力學“多世界”詮釋那樣。

英國牛津大學的物理哲學家大衛·華萊士（David Wallace）是多世界詮釋的支持者。他相信PER定理是他職業生涯（他現年36歲）中出現的關于量子力學基礎最重要的結論。他說：“從那些希望埃弗里特詮釋是真的的人的角度看，這是一個好消息。不過，作為一個講道德的人，我未必希望埃弗里特的詮釋是對的；我想知道事實是怎么一回事。”華萊士指出，現在已經有很好的理由懷疑認知觀點。他說，理由之一是粒子可以與另一個粒子發生干涉這一實驗證據。這種干涉完全是波的性質，它說明波函數不僅僅是實在的一部分內容。

但這還不是愛因斯坦式觀點的終結。PBR定理依賴于某些假設，其中最重要的一點是：獨立構建的體系具有獨立的物理狀態。量子力學理論家及哲學家現在可以對這些假設提出異議了，但這個過程想必并不簡單。華萊士說：“如果始終沒有人能夠提出一個回避PBR假設的理論，那我可就要大跌眼鏡了。這條路的結果會如何，我不知道，但我現在看到的東西讓我略感絕望。”

不過，量子力學已經迫使物理學家放棄了很多有關自然的堅信不疑的假設。讓愛因斯坦持認知觀點的原因之一是，量子力學有這樣一個推論：量子力學可以同時引發兩個相距很遠的體系的變化。這一現象被愛因斯坦稱為“鬼魅超距行為”。他的這一反對被北愛爾蘭物理學家約翰·貝爾（John Bell）1964年發表的一條定理挫敗了，這條定理證明了任何關于自然的理論，不論認知與否，都必須是非定域的。[譯注：其實這里作者說得夸張了一點。貝爾當時提出的并不算是定理，而是一條判據，稱為貝爾不等式。如果不等式成立，則物理理論就應該是定域實在的，反之則不是。后來的實驗證明了不等式不成立。]

雖然魯道夫的證明支持實體詮釋，他本人卻是認知詮釋的支持者。他相信一定有超越波函數的物理機制，但他對這一點也僅限于假設。他說：“我們所說的東西一定程度上都與空間和時間相關，雖然這樣聽上去似乎顯得很抽象。我準備了這個，然后去測量那個，就是這樣。所以，盡管空間和時間的出現顯得毫不違和，但我認為我們終將會知道，空間和時間只不過是我們這群靈長類動物造出來方便使用的概念，宇宙萬物實際的運行才不會去管什么空間和時間呢。”

量子版擲骰實驗

我們需要進行一些矢量運算來展示怎么用量子力學處理圖3中的骰子實驗。我們將第一個波函數|ψ₁〉用|0〉表示，第二個波函數|ψ₂〉用|+〉表示，而|+〉=1/√2(|0〉+|1〉) 。簡而言之，就是|ψ₁〉相當于“0”方向上的單位矢量，而|ψ₂〉相當于指向“0”和“1”方向之間的單位矢量。為方便起見，我們把它標為“+”方向（這里的乘子1/√2是為了使矢量保持為單位長）。|0〉和 |1〉矢量是相互垂直的（或稱“正交”）的，這個的意思是，它們的內積〈0|1〉等于0。與矢量|+〉正交的是|–〉，|–〉=1/√2(|0〉– |1)。

當量子骰子被擲入測量盒內之后，根據量子力學，用上述矢量表示每盞燈變綠的概率如下：

|非ψ₁ψ₁〉=1/√2(|0〉?|1〉+|1〉?|0〉)

|非ψ₁ψ₂〉=1/√2(|0〉?|–〉+|1〉?|+〉)

|非ψ₂ψ₁〉=1/√2(|+〉?|1〉+|–〉?|0〉)

|非ψ₂ψ₂〉=1/√2(|+〉?|–〉+|–〉?|+〉)

假設擲骰機將一枚骰子擲到波函數ψ₁(|0〉)，而將另一枚擲到波函數ψ₂(|+〉)。我們先計算概率P的平方根，結果（以“非ψ₁ψ₁”的概率為例）如下：

√P =〈0|〈+||非ψ₁ψ₁〉

= 1/√2(〈0|0〉?〈+|1〉+〈0|1〉?〈+|0〉)

= 1/√2(1/√2)

= 1/2

因此，“非ψ₁ψ₁”燈變綠的概率為(1/2)²= 1/4。類似的計算得出，“非ψ₂ψ₂” 燈變綠的概率也是1/4，而“非ψ₂ψ₁” 燈變綠的概率為1/2。出現“非ψ₁ψ₂”的概率——你應該能猜到，因為骰子處在ψ₁和ψ₂態——為0 ；它的燈一直都是紅的。

這說明測量盒“非ψ₁ψ₁”、“非ψ₂ψ₂”或“非ψ₂ψ₁”這三盞燈中總有一盞會變綠。其實，可以證明，骰子波函數的任意組合（ψ₁和ψ₁，ψ₂和ψ₁等）都一定會讓一盞燈變綠。或者換句話說，就是根據量子力學，出現四盞燈變綠的概率都是零（而這正好就是在經典骰子中擲出一對二時發生的情況）的結果是不可能的。

雖然上面的論證使用了兩個特殊的波函數為例，但魯道夫、巴雷特和普西已經建立了一個普遍的論證，適用于任意一對波函數。

喬恩·卡特萊特是本站特約記者，居住于英國布里斯托爾。