綜合試題（理科）

教學內容：

綜合試題（理科）

【模擬試題】

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分；共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設全集U＝R，且A＝｛x｜｜x－1｜＞2｝，B＝｛x｜x²－6x+8＜0｝，則（C_UA）∩B＝

       A.[－1，4]                   B.（2，3）                  C.（2，3）                  D.（－1，4）

2. 有下列四個命題，其中真命題有

       ①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題；

       ②“全等三角形的面積相等”的否命題；

       ③“若，則有實根”的逆命題；

       ④“不等邊三角形的三個內角相等”的逆否命題.

       A. ①②                B. ②③                          C. ①③                   D. ③④

3. 二項式的展開式中第8項是

       A. －135x⁸                  B. 3645x²                     C. 360                D. 3240

4. 設是一次函數(shù)，若，且成等比數(shù)列，則等于                

A.                B.                C.            D.

5. 在正四面體P－ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，下面四個結論不成立的是

       A. BC∥平面PDF                                         B. DF⊥平面PAE                

C. 平面PDF⊥平面ABC                                 D. 平面PDF⊥平面PAE

6. 已知向量與的夾角為，且則等于

A. 5                             B. 4                            C. 3                             D. 1

7. 已知點F，直線:，點B是上的動點.若過B垂直于軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M，則點M的軌跡是                

A. 雙曲線                   B. 橢圓                      C. 圓                          D. 拋物線

8. 如果下邊程序框圖的輸出結果為－18，那么在判斷框中①表示的“條件”應該是       

       A.                       B.                      C.                       D.

9. 已知，若為滿足的一隨機整數(shù)，則△ABC是直角三角形的概率是

A.                           B.                           C.                            D.  

10. 已知的三個內角A、B、C所對的三邊分別為a、b、c，若的面積，則等于  

A.                          B.                           C.                           D. 1

11. 已知函數(shù)y＝xf′（x）的圖象如圖所示，其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，下面四個圖象中y＝f（x）的圖象大致是                                                                                                        

12. 對于函數(shù)，設f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，……，f_n＋1（x）=f[f_n（x）]（n∈N*，且n≥2），令集合M={x|f₂₀₀₈（x）=x²，x∈R}，則集合M為  

A. 空集                       B. 實數(shù)集                   C. 單元素集                 D. 二元素集

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。

13. 某中學要把9臺型號相同的電腦送給三所希望小學，每所小學至少得兩臺，不同送法的種數(shù)為 。

14. 設變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為________。

15 定義運算“*”如下：則函數(shù)的最大值等于                  。

16. 有下列說法：

       ①命題R，R，；

       ②已知直線；

       ③一個公司有N個員工，下設一些部門，現(xiàn)采用分層抽樣方法從全體員工中抽取一個容量為n的樣本（N是n的倍數(shù)），已知某部門被抽取m個員工，那么這個部門的員工數(shù)為；

       ④若函數(shù)R，則

       其中正確的序號是          。

三、解答題：本小題共6個小題，共74分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17. 設α、β為銳角，且.求cos（α+β）。

18. （12分）已知

    （1）當a=1時，求f（x）的單調區(qū)間；

    （2）若f（x）的極大值為，求出a的值。

19. 已知四棱錐的底面為直角梯形，，底面，且，，是的中點。

（Ⅰ）證明：面面；

（Ⅱ）求與所成的角；

（Ⅲ）求面與面所成二面角的大小。

20. 甲有一只放有x個紅球，y個黃球，z個白球的箱子，且x+y+z＝6（x、y、z∈N），乙有一只放有3個紅球，2個黃球，1個白球的箱子，兩人各自從自己的箱子中任取一球，規(guī)定：當兩球同色時甲勝，異色時乙勝。

（1）用x、y、z表示甲勝的概率；

（2）若又規(guī)定為甲取紅、黃、白球而勝的得分分別為1、2、3分，否則得0分，求甲得分的期望的最大值及此時x、y、z的值。

21. 已知與向量平行的直線過橢圓的焦點以及點，橢圓C的中心關于直線的對稱點在直線上

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點E（－2，0）的直線交橢圓C于點M、N且滿足，（O為坐標原點），求直線的方程。

22. 已知函數(shù)滿足，，；且使成立的實數(shù)只有一個。

（Ⅰ）求函數(shù)的表達式；

（Ⅱ）若數(shù)列滿足， ，，，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項公式；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，證明：，。

【試題答案】

一、選擇題：

1~5 CCCAC                 6~10 BDACB                11~12 CA

二、填空題：

  13. 10         14. 4              15. 6              16. ③④

三、解答題：

  17. 解：由

             ……2′ 

①²+②²

                         ……6′

由①知

又、為銳角

                          ……10′

        ……12′

  18. 解：（1）當……2′

∴f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，1），

單調遞減區(qū)間（－∞，0）（1，+∞）…………4′

    （2）………………6′

令

列表如下：

由表可知，……………………………………9′

所以存在實數(shù)使。……………………………………12′

  19. 解：以為坐標原點，長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為。

（Ⅰ）證明：因

由題設知，且與是平面內的兩條相交直線，由此得面  又在面上，故面⊥面。 …………4′

（Ⅱ）解：因

與所成的角為…………8′

（Ⅲ）解：由

設平面與面的法向量分別為，則

，解得：

同理

由題可知，二面角的平面角為鈍角，所以面與面所成二面角的大小…………12

  20. 解：（1）P（甲勝）＝P（甲乙均取紅球）+P（甲乙均取黃球）+P（甲乙均取白球）

＝………4′

（2）設甲的得分為隨機變量ξ，則

P（ξ＝3）＝，P（ξ＝2）＝

P（ξ＝1）＝，P（ξ＝0）＝1－………8′

＝

∴當y＝6，x＝z＝0時，Eξ取最大值為………12′

  21. 解：（1）直線l的方程為，①

過原點垂直于l的直線方程為，②

解①②得。

∵橢圓中心O（0，0）關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上，

∴。

∵直線l過橢圓焦點，

∴該焦點坐標為（2，0），

∴，，。

故橢圓C的方程為，③

（2）當直線m的斜率存在時，設直線m的方程為，代入③并整理得

，

設M（，），N（，），則

，，

∴

，

點O到直線m的距離

∵，即，

又由，得，

∴。

而

∴，即，解得，此時直線m的方程為。

當直線m的斜率不存在時，直線m的方程為，也有，

經(jīng)檢驗，上述直線m均滿足。

故直線m的方程為或。

  22. 解：（Ⅰ）由  ，

得.……………………………………………………………2分

由只有一解，即，也就是只有一解，

∴

∴.

∴.故。……………………………………………………………4分

（Ⅱ）

為等比數(shù)列，

 。……………9分

（Ⅲ）∵，

∴…………………………12分