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第一講 有 理 數 一、有理數的概念及分類。 二、有理數的計算： 1、善于觀察數字特征；2、靈活運用運算法則；3、掌握常用運算技巧（湊整法、分拆法等）。 三、例 題 示 范 1、數軸與大小 例1、 已知數軸上有A、B兩點，A、B之間的距離為1，點A與原點O的距離為3，那么滿足條件的點B與原點O的距離之和等于多少？滿足條件的點B有多少個？ 例2、 將這四個數按由小到大的順序，用“<”連結起來。 提示1：四個數都加上1不改變大小順序； 提示2：先考慮其相反數的大小順序； 提示3：考慮其倒數的大小順序。 例3、 觀察圖中的數軸，用字母a、b、c依次表示點A、B、C對應的數。試確定三個數的大小關系。 分析：由點B在A右邊，知b-a>0，而A、B都在原點左邊，故ab>0,又c>1>0,故要比較的大小關系，只要比較分母的大小關系。 例4、 在有理數a與b(b>a)之間找出無數個有理數。 提示：P=（n為大于是 的自然數） 注：P的表示方法不是唯一的。 2、符號和括號 在代數運算中，添上（或去掉）括號可以改變運算的次序，從而使復雜的問題變得簡單。 例5、 在數1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次運算，所得可能的最小非負數是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：兩個相反數的代數和為零。 3、算對與算巧 例6、 計算 -1-2-3-…-2000-2001-2002 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首項+末項)′項數?2。 例7、 計算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002 提示：仿例5，造零。結論：2003。 例8、 計算 提示1：湊整法，并運用技巧：199…9=10n+99…9，99…9=10n -1。 例9、 計算 提示：字母代數，整體化：令，則 例10、計算 （1）；（2） 提示：裂項相消。 常用裂項關系式： （1）； （2）； （3）； （4）。 例11 計算 （n為自然數） 例12、計算 1+2+22+23+…+22000 提示：1、裂項相消：2n=2n+1-2n；2、錯項相減：令S=1+2+22+23+…+22000，則S=2S-S=22001-1。 例13、比較與2的大小。 提示：錯項相減：計算。 第二講 絕 對 值 一、知識要點 1、絕對值的代數意義； 2、絕對值的幾何意義： （1）|a|、（2）|a-b|； 3、絕對值的性質： （1）|-a|=|a|, |a|30 , |a|3a； （2）|a|2=|a2|=a2； （3）|ab|=|a||b|； （4）（b10）； 4、絕對值方程： （1） 最簡單的絕對值方程|x|=a的解： （2）解題方法：換元法，分類討論法。 二、絕對值問題解題關鍵： （1）去掉絕對值符號； （2）運用性質； （3）分類討論。 三、例題示范 例1 已知a<0，化簡|2a-|a||。 提示：多重絕對值符號的處理，從內向外逐步化簡。 例2 已知|a|=5，|b|=3，且|a-b|=b-a，則a+b= ，滿足條件的a有幾個？ 例3 已知a、b、c在數軸上表示的數如圖，化簡：|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a|。 例4 已知a、b、c是有理數，且a+b+c=0，abc>0，求的值。 注：對于輪換對稱式，可通過假設使問題簡化。 例5 已知： 例6 已知，化簡：m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。 例7 已知|x+5|+|x-2|=7，求x的取值范圍。 提示：1、根軸法；2、幾何法。 例8 是否存在數x,使|x+3|-|x-2|>7。 提示：1、根軸法；2、幾何法。 例9 m為有理數，求|m-2|+|m-4|+|m-6|+|m-8|的最小值。 提示：結合幾何圖形，就m所處的四種位置討論。 結論：最小值為8。 例10（北京市1989年高一數學競賽題）設x是實數， 且f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.則f（x）的最小值等于___6_______. 例11 （1986年揚州初一競賽題）設T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p＜15.對于滿足p≤x≤15的x的來說，T的最小值是多少？ 解 由已知條件可得：T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x. ∵當p≤x≤15時，上式中在x取最大值時T最??；當x=15時，T=30-15=15，故T的最小值是15. 例12 若兩數絕對值之和等于絕對值之積，且這兩數都不等于0.試證這兩個數都不在-1與-之間. 證 設兩數為a、b，則|a|+|b|=|a||b|. ∴|b|=|a||b|-|a|=|a|（|b|-1）. ∵ab≠0，∴|a|＞0，|b|＞0. ∴|b|-1=＞0，∴|b|＞1. 同理可證|a|＞1. ∴a、b都不在-1與1之間. 例13 某城鎮沿環形路有五所小學，依次為一小、二小、三小、四小、五小，它們分別有電腦15、7、11、3、14臺，現在為使各校電腦數相等，各調幾臺給鄰校：一小給二小、二小給三小、三小給四小、四小給五小、五小給一小。若甲小給乙小-3臺，即為乙小給甲小三臺，要使電腦移動的總臺數最少，應怎樣安排？ 例14 解方程 （1）|3x-1|=8 （2） ||x-2|-1|= （3）|3x-2|=x+4 （4）|x-1|+|x-2|+|x+3|=6. 例15（1973年加拿大中學生競賽題）求滿足|x+3|-|x-1|=x+1的一切實數解. 分析 解絕對值方程的關鍵是去絕對值符號，令x+3=0,x-1=0，分別得x=-3,x=1,-3,1將全部實數分成3段：x＜-3或-3≤x＜1或x≥1，然后在每一段上去絕對值符號解方程，例如，當x＜-3時，|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化為-x-3+x-1=x+1，∴x=-5，x=-5滿足x＜-3，故是原方程的一個解，求出每一段上的解，將它們合并，便得到原方程的全部解，這種方法叫做“零點”分段法，x=-3，x=1叫做零點. 第三講 一次方程（組） 一、基礎知識 1、方程的定義：含有未知數的等式。 2、一元一次方程：含有一個未知數并且未知數的最高次數為一次的整式方程。 3、方程的解（根）：使方程左右兩邊的值相等的未知數的值。 4、字母系數的一元一次方程：ax=b。 其解的情況： 5、一次方程組：由兩個或兩個以上的一次方程聯立在一起的聯產方程。常見的是二元一次方程組，三元一次方程組。 6、方程式組的解：適合方程組中每一個方程的未知數的值。 7、解方程組的基本思想：消元（加減消元法、代入消元法）。 二、例題示范 例1、 解方程 例2、 關于x的方程中，a,b為定值，無論k為何值時，方程的解總是1，求a、b的值。 提示：用賦值法，對k賦以某一值后求之。 例3、（第36屆美國中學數學競賽題）設a，a＇b，b＇是實數，且a和a＇不為零，如果方程ax+b=0的解小于a/x+b＇=0的解，求a，a＇b，b＇應滿足的條件。 例4 解關于x的方程. 提示：整理成字母系數方程的一般形式，再就a進行討論 例5 k為何值時，方程9x-3=kx+14有正整數解？并求出正整數解。 提示：整理成字母系數方程的一般形式，再就k進行討論。 例6（1982年天津初中數學競賽題）已知關于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5－2a=0，當a每取一個值時就有一個方程，而這些方程有一個公共解，你能求出這個公共解，并證明對任何a值它都能使方程成立嗎？ 分析 依題意，即要證明存在一組與a無關的x，y的值，使等式(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0恒成立，令a取兩個特殊值（如a=1或a=-2），可得兩個方程，解由這兩個方程構成的方程組得到一組解，再代入原方程驗證，如滿足方程則命題獲證， 本例的另一典型解法 例7（1989年上海初一試題），方程 并且abc≠0，那么x____ 提示：1、去分母求解；2、將3改寫為。 例8（第4屆美國數學邀請賽試題）若x1,x2,x3,x4和x5滿足下列方程組： 確定3x4+2x5的值. 說明：整體代換方法是一種重要的解題策略. 例9 解方程組 提示：仿例8，注意就m討論。 例10 如果方程組（1）的解是方程2x-y=4（2）的解，求m的值。 提示：1、從（1）中解出x,y用m表示，再代入（2）求m ； 2、在（1）中用消元法消去m再與（2）聯立求出x,y，再代入（1）求m。 例11 如果方程ax+by+cz=d對一切x,y,z都成立，求a,b,c,d的值。 提示：賦值法。 例12 解方程組。 提示：引進新未知數 第四講 列方程（組）解應用題 一、知識要點 1、 列方程解應用題的一般步驟：審題、設未知元、列解方程、檢驗、作結論等. 2、 列方程解應用題要領： （1） 善于將生活語言代數化； （2） 掌握一定的設元技巧（直接設元，間接設元，輔助設元）； （3） 善于尋找數量間的等量關系。 二、例題示范 1、合理設立未知元 例1一群男女學生若干人，如果女生走了15人，則余下的男女生比例為2:1，在此之后，男生又走了45 人，于是男女生的比例為1:5,求原來男生有多少人？ 提示：（1）直接設元 （2）列方程組： 例2 在三點和四點之間，時鐘上的分針和時針在什么時候重合？ 例3甲、乙、丙、丁四個孩子共有45本書，如果甲減2本，乙加2本，丙增加一倍，丁減少一半，則四個孩子的書就一樣多，問每個孩子原來各有多少本書？ 提示：（1）設四個孩子的書一樣多時每人有x本書，列方程； （2）設甲、乙、丙、丁四個孩子原來各有x,y,z,t本書，列方程組： 例4 （1986年揚州市初一數學競賽題）A、B、C三人各有豆若干粒，要求互相贈送，先由A給B、C，所給的豆數等于B、C原來各有的豆數，依同法再由B給A、C現有豆數，后由C給A、B現有豆數，互送后每人恰好各有64粒，問原來三人各有豆多少粒？ 提示：用列表法分析數量關系。 例5 如果某一年的5月份中，有五個星期五，它們的日期之和為80，求這一年的5月4日是星期幾？ 提示：間接設元.設第一個星期五的日期為x， 例6 甲、乙兩人分別從A、B兩地相向勻速前進，第一次相遇在距A點700米處，然后繼續前進，甲到B地，乙到A地后都立即返回，第二次相遇在距B點400米處，求A、B兩地間的距離是多少米？ 提示：直接設元。 例7 某商場經銷一種商品，由于進貨時價格比原來降低了6.4%，使得利潤率增加了8個百分點，求經銷這種商品原來的利潤率。 提示：商品進價、商品售價、商品利潤率之間的關系為： 商品利潤率=[（商品售價—商品進價）?商品進價]′100%。 例8 （1983年青島市初中數學競賽題）某人騎自行車從A地先以每小時12千米的速度下坡后，以每小時9千米的速度走平路到B地，共用55分鐘.回來時，他以每小時8千米的速度通過平路后，以每小時4千米的速度上坡，從B地到A地共用小時，求A、B兩地相距多少千米？ 提示：1 （選間接元）設坡路長x千米 2 選直接元輔以間接元）設坡路長為x千米，A、B兩地相距y千米 3 （選間接元）設下坡需x小時，上坡需y小時， 2、設立輔助未知數 例9 （1972年美國中學數學競賽題）若一商人進貨價便誼8%，而售價保持不變，那么他的利潤（按進貨價而定）可由目前的x%增加到(x+10)%，x等于多少？ 提示：引入輔助元進貨價M，則0.92M是打折扣的價格，x是利潤，以百分比表示，那么寫出售貨價（固定不變）的等式。 例10（1985年江蘇東臺初中數學競賽題）從兩個重為m千克和n千克，且含銅百分數不同的合金上，切下重量相等的兩塊，把所切下的每一塊和另一種剩余的合金加在一起熔煉后，兩者的含銅百分數相等，問切下的重量是多少千克？ 提示： 采用直接元并輔以間接元，設切下的重量為x千克，并設m千克的銅合金中含銅百分數為q1，n千克的銅合金中含銅百分數為q2。 例 11 有一片牧場，草每天都在勻速生長 (草每天增長量相等)．如果放牧24頭牛，則6 天吃完牧草；如果放牧21頭牛，則8天吃完牧草，設每頭牛吃草的量是相等的，問如果放牧 16頭牛，幾天可以吃完牧草. 提示 設每頭牛每天吃草量是x，草每天增長量是y，16頭牛z天吃完牧草，再設牧場原有草量是a.布列含參方程組。 例 12 甲、乙二人在一圓形跑道上跑步，甲用 40秒鐘就能跑完一圈，乙反向跑，每15秒鐘和甲相遇一次，求乙跑完一圈需要多少時間? 提示：要求乙跑完一圈需要多少時間，就必須知道他的速度V米/秒，因此可以選擇V 作參數． 3、方程與不等式結合 例13 數學測驗中共有20道選擇題。評分方法是：每答對一題給6分，答錯一題扣2分，不答不給分。有一個學生只有一道題沒答，并且他的成績在60分以上，那么他至少答對多少題？ 提示：利用方程、不等式組成的混合組求解。 第五講 整數指數 一、知識要點 1、定義：（n32,n為自然數） 2、整數指數冪的運算法則： （1） （2） （3），， 3、規定：a0=1(a10) a-p=(a10,p是自然數)。 4、當a，m為正整數時，am的末位數字的規律： 記m=4p+q，q=1,2,3之一，則的末位數字與的末位數字相同。 二、例題示范 例1、計算 (1) 55′23(2) (3a2b3c)(-5a3bc2) (3) (3a2b3c)3(4) (15a2b3c)?(-5a3bc2) 例2、求的末位數字。 提示：先考慮各因子的末位數字，再考慮積的末位數字。 例3、是目前世界上找到的最大的素數，試求其末位數字。 提示：運用規律2。 例4、 求證：。 提示：考慮能被5整除的數的特征，并結合規律2。 例5、已知n是正整數，且x2n=2，求(3x3n)2-4(x2)2n的值。 提示：將所求表達式用x2n表示出來。 例6、求方程(y+x)1949+(z+x)1999+(x+y)2002=2的整數解。 提示：|y+z|,|z+x|,|x+y|都不超過1，分情況討論。 例7、若n為自然數，求證：10|(n1985-n1949)。 提示：n的末位數字對乘方的次數呈現以4為周期的循環。 例8、 若，求x和y。 結論：x=5,y=2。 例9、對任意自然數n和k，試證：n4+24k+2是合數。 提示：n4+24k+2=(n2+22k+1)2-(2n×2k)2。 例10、對任意有理數x，等式ax-4x+b+5=0成立，求(a+b)2003. 第六講 整式的運算 一、知識要點 1、整式的概念：單項式，多項式，一元多項式； 2、整式的加減：合并同類項； 3、整式的乘除： （1） 記號f(x)，f(a)； （2） 多項式長除法； （3） 余數定理：多項式f(x)除以(x-a)所得的余數r等于f(a)； （4） 因數定理：(x-a)|f(x)?f(a)=0。 二、例題示范 1、整式的加減 例1、 已知單項式0.25xbyc與單項式-0.125xm-1y2n-1的和為0.625axnym，求abc的值。 提示：只有同類項才能合并為一個單項式。 例2、 已知A=3x2n-8xn+axn+1-bxn-1，B=2xn+1-axn-3x2n+2bxn-1，A-B中xn+1項的系數為3，xn-1項的系數為-12，求3A-2B。 例3、 已知a-b=5，ab=-1，求(2a+3b-2ab) -(a+4b+ab) -(3ab+2b-2a)的值。 提示：先化簡，再求值。 例4、 化簡： x-2x+3x-4x+5x-…+2001x-2002x。 例5、 已知x=2002，化簡|4x2-5x+9|-4|x2+2x+2|+3x+7。 提示：先去掉絕對值，再化簡求值。 例6、5個數-1, -2, -3,1,2中，設其各個數之和為n1，任選兩數之積的和為n2，任選三個數之積的和為n3，任選四個數之積的和為n4，5個數之積為n5，求n1+n2+n3+n4+n5的值。 例7、王老板承包了一個養魚場，第一年產魚m千克，預計第二年產魚量增長率為200%，以后每年的增長率都是前一年增長率的一半。 （1） 寫出第五年的預計產魚量； （2） 由于環境污染，實際每年要損失產魚量的10%，第五年的實際產魚量為多少？比預計產魚量少多少？ 2、整式的乘除 例1、已知f(x)=2x+3，求f(2),f(-1),f(a),f(x2),f(f(x))。 例2、計算：(2x+1)?(3x-2)′(6x-4)?(4x+2) 長除法與綜合除法： 一個一元多項式f(x)除以另一個多項式g(x)，存在下列關系： f(x)=g(x)q(x)+r(x) 其中余式r(x)的次數小于除式g(x)的次數。當r(x)=0時，稱f(x)能被g(x)整除。 例3、（1）用豎式計算(x3-3x+4x+5)?(x-2)。 （2）用綜合除法計算上例。 （3）記f(x)= x3-3x+4x+5,計算f(2)，并考察f(2)與上面所計算得出的余數之間的關系。 例4、證明余數定理和因數定理。 證：設多項式f(x)除以所得的商式為q(x)，余數為r，則有 f(x)=(x-b)q(x)+r，將x=b代入等式的兩邊，得 f(b)=(b-b)q(b)+r，故r=f(b)。 特別地，當r=0時，f(x)= (x-b)q(x)，即f(x)有因式(x-b)，或稱f(x)能被 (x-b)整除。 例5、證明多項式f(x)=x4-5x3-7x2+15x-4能被x-1整除。 例6、多項式2x4-3x3+ax2+7x+b能被x2+x-2整除，求a,b的值。 提示：（1）用長除法，（2）用綜合除法，（3）用因數定理。 例7、若3x3-x=1，求f(x)=9x4+12x3-3x2-7x+2001的值。 提示：用長除法，從f(x)中化出3x3-x-1。 例8、多項式f(x)除以(x-1)和(x-2)所得的余數分別為3和5，求f(x)除以(x-1)(x-2)所得的余式。 提示：設f(x)=[ (x-1)(x-2)]q(x)+(ax+b)，由f(1)和f(2)的值推出。 例9、試確定a,b的值，使f(x)= 2x4-3x3+ax2+5x+b能被(x+1)( x-2)整除。 第七講 乘法公式 一、知識要點 1、乘法公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2 立方和公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 立方差公式：(a-b)( a2+ab+b2)=a3-b3 2、乘法公式的推廣 （1）(a+b)(a-b)=a2-b2的推廣 由(a+b)(a-b)=a2-b2, (a-b)( a2+ab+b2)=a3-b3，猜想： (a-b)( )=a4-b4 (a-b)( )=a5-b5 (a-b)( )=an-bn 特別地，當a=1,b=q時，(1-q)( )=1-qn 從而導出等比數列的求和公式。 （2）多項式的平方 由(a±b)2=a2±2ab+b2，推出 (a+b+c)2=( ) , (a+b+c+d)2=( ) 猜想：(a1+a2+…+an)=( )。 當其中出現負號時如何處理？ （3）二項式(a+b)n的展開式 ①一個二項式的n次方展開有n+1項； ②字母a按降冪排列，字母b按升冪排列，每項的次數都是n； ③各項系數的變化規律由楊輝三角形給出。 二、乘法公式的應用 例1、運用公式計算 (1) (3a+4b)(3a-4b) (2) (3a+4b)2 例2、運用公式，將下列各式寫成因式的積的形式。 （1）(2x-y)2-(2x+y)2(2)0.01a2-49b2(3)25(a-2b) -64(b+2a) 例3、填空 (1) x2+y2-2xy=( )2(2) x4-2x2y2+y4=( )2 (3) 49m2+14m+1=( )2(4) 64a2-16a(x+y)+(x+y)2 (5) 若m2n2+A+4=(mn+2)2,則A= ; (6) 已知ax2-6x+1=(ax+b)2，則a= ,b= ; (7) 已知x2+2(m-3)x+16是完全平方式，則m= . 例4、計算 (1) 200002-19999′20001 (2) 372+26′37+132(3) 31.52-3′31.5+1.52-100。 提示：（1）19999=20000-1 例5、計算（1） (1+2)(1+22)(1+24)(1+28)(1+216)(1+232)+1。 （2） (1+3)(1+32)(1+34)(1+38)…(1+32n)。 例6、已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2。 提示：（1）由x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，x2+y2=(x+y)2-2xy導出； （2）將x+y=10，平方，立方可解。 例7、已知，求，，的值。 例8、已知a+b=1,a2+b2=2，求a3+b3， a4+b4， a7+b7的值。 提示：由(a3+b3)(a4+b4)= a7+b7+a3b4+a4b3= a7+b7+a3b3(a+b)導出a7+b7的值。 例9、已知a+b+c=0,a2+b2+c2=1求下列各式的值： （1）bc+ca+ab （2）a4+b4+c4 例10、已知a,b,c,d為正有理數，且滿足a4+b4+c4+d4=4abcd，求證a=b=c=d。 提示：用配方法。 例11、已知x,y,z是有理數，且滿足x=6-3y,x+3y-2z2=0,求x2y+z的值。 例12、計算19492-19502+19512-19522+…+20012-20022。 第八講 不等式 一、知識要點 1、不等式的主要性質： （2）不等式兩邊乘以（或除以）同一個正數，所得不等式與原不等式同向； （3）不等式兩邊乘以（或除以）同一個負數，所得不等式與原不等式反向. （4）若A＞B，B＞C，則A＞C； （5）若A＞B，C＞D，則A+B＞C+D； （6）若A＞B，C＜D，則A-C＞B-D。 2、比較兩個數的大小的常用方法： （1） 比差法：若A-B＞0，則A＞B； （2） 比商法：若＞1，當A、B同正時， A＞B；A、B同負時，A＜B； （3） 倒數法：若A、B同號，且＞，則＜AB。 3、一元一次不等式： （1） 基本形式：ax＞b (a10); （2） 一元一次不等式的解： 當a＞0時，x＞,當a＜0時，x＜. 二、例題示范 例1、已知a＜0,-1＜b＜0,則a,ab,ab2之間的大小關系如何？ 例2、滿足的x中，絕對值不超過11的那些整數之和為多少？ 例3、一個一元一次不等式組的解是2￡x￡3，試寫出兩個這樣的不等式組。 例4、若x+y+z=30,3+y-z=50,x,y,z均為非負數，求M=5x+4y+2z的最大值和最小值。 提示：將y,z用x表示，利用x,y,z非負，轉化為解關于x的不等式組。 例5、設a,b,c是不全相等的實數，那么a2+b2+c2與ab+bc+ca的大小關系如何？ 例6、已知a,b為常數，若ax+b＞0的解集是x＜，求bx-a＜0的解集。 提示：如何確定a,b的正負性？ 例7、解關于x的不等式ax-2＞x-3a (a11)。 例8、解不等式|x-2|+|x+1|＜3 提示：去掉絕對值，討論。 例9、（1）比較兩個分數與(n為正整數)的大小； （2）從上面兩個數的大小關系，你發現了什么規律？ （3）根據你自己確定的與之間正整數的個數來確定相應的正整數n的個數。 例10（上海1989年初二競賽題）如果關于x的不等式(2a-b)x+a-5b＞0的解為x＜，那么關于x的不等式ax＞b的解是多少？ 例11、已知不等式＞的角是x＞的一部分，試求a的取值范圍。 例12、設整數a,b滿足a2+b2+2＜ab+3b,求a,b的值。 提示：將原不等式兩邊同乘以4并整理得 (2a-b)2+3(b-2)2＜4 (1)， 又因為a,b都是整數。故(2a-b)2+3(b-2)2￡3。若(b-2)231，則3(b-2)233，這不可能。故0￡ (b-2)2＜1，從而b=2.將b=2代入（1）得(a-1)2＜1,故(a-1)2=0， a=1.所以a=1,b=2. 第九講 恒等變形 一、知識要點 1、代數式的恒等：兩個代數式，如果對于字母的一切允許值，它們的值都相等，則稱這兩個代數式恒等。 2、恒等變形：通過變換，將一個代數式化為另一個與它恒等的代數式，稱為恒等變形。 二、例題示范 例1、已知a+b+c=2,a2+b2+c2=8,求ab+bc+ca的值。 例2、已知y=ax5+bx3+cx+d，當x=0時，y=-3；當x=-5時,y=9。當x=5時，求y的值。 提示：整體求值法，利用一個數的奇、偶次方冪的性質。 例3、若14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2，求a:b:c。 提示：用配方法。 注：配方的目的就是為了發現題中的隱含條件，以便利用有關性質來解題. 例4、求證(a2+b2+c2)(m2+n2+k2) -(am+bn+ck)2=(an-bm)2+(bk-cn)2+cm-ak)2 提示：配方。 例5、求證：2(a-b)(a-c)+2(b-c)(b-a)+2(c-a)(c-b)=(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2。 提示：1、兩邊化簡。2、左邊配方。 例6、設x+2z=3y,試判斷x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值，如果是定值，求出它的值；否則，請說明理由。 例7、已知a+b+c=3, a2+b2+c2=3，求a2002+b2002+c2002的值。 例8、證明：對于任何四個連續自然數的積與1的和一定是某個整數的平方。 提示：配方。 例9 、已知a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0,求ab+cd的值。 提示：根據條件，利用1乘任何數不變進行恒等變形。 例10、（1984年重慶初中競賽題）設x、y、z為實數，且 (y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2. 求的值. 例11、設a+b+c=3m,求證:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0. 第十講 代數式的值 一、知識要點 求代數式的值的主要方法： 1、利用特殊值； 2、先化簡代數式，后代入求值； 3、化簡條件后代入代數式求值； 4、同時化簡代數式和條件式再代入求值； 5、整體代入法； 6、換元法。 二、例題示范 例1、已知a為有理數，且a3+a2+a+1=0,求1+a+a2+a3+…+a2001的值。 提示：整體代入法。 例2 （迎春杯初中一年級第八屆試題）若 例3、已知a+b+c=0,求(a+b)(b+c)(c+a)+abc的值。 提示：將條件式變形后代入化簡。 例4、當a=-0.2,b=-0.04時，求代數式值。 例5、已知x2+4x=1,求代數式x5+6x4+7x3-4x2-8x+1的值。 提示：利用多項式除法及x2+4x-1=0。 例6、(1987年北京初二數學競賽題)如果a是x2-3x+1=0的根,試求 的值. 例7、已知x,y,z是有理數，且x=8-y,z2=xy-16，求x,y,z的值。 提示：配方，利用幾個非負數之和為零，則各個非負數都是零。 例8、已知x,y,z,w滿足方程組 求xyzw的值。 例9、已知a+b+c=3,(a-1)3+(b-1)3+(c-1)3=0,且a=2,求a2+b2+c2的值。 例10 若求x+y+z的值. 提示 令 例11（x-3）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，則a+b+c+d+e+f=______, b+c+d+e=_____. 例12、若a,c,d是整數，b是正整數，且a+b=c,b+c=d,c+d=a，求a+b+c+d的最大值。（1991年全國初中聯賽題） 第十一講 直線與線段 一、知識要點 1、直線：（1）直線可向兩方無限延伸；（2）過兩點有且只有一條直線。 2、射線： 3、線段：直線上兩點和它們之間的部分稱為線段，線段有兩個端點。兩點間的所有連線中，線段最短。 4、三角形兩邊之和大于第三邊。 二、例題示范 例1、如圖，請用線段a,b,c來表示x。 練習1、線段AB長5cm，在AB上取點C，若AC長x，BC長為y，則y與x的關系式是__________，x取值范圍是__________。在下面空處作出簡圖。 練習2、線段PC=1cm，延長PC至D，若CD=x，PD=y，則y與x的關系式是______________，x取值范圍是__________。在下面空處作出簡圖。 例2、在一條直線上，如果給定n個點，那么以它們為端點的線段共有多少條？若從左至右相鄰兩點的線段的長度依次為a1,a2…,an-1，求所有線段的長度之和。 提示：長度之和S=a1′(n-1) ′1+a2′(n-2) ′2+…+an-1′1′(n-1) 例3、如圖，點C、D、E是線段AB的四等分點，點F、G是線段AB的三等侵占為，已知AB=12cm，求CF+DF+EF的長。 例4、將直線上的每一點都染上紅、黃色中的一種，求證：必存在同顏色的三個點，使其中一點是另兩點連線段的中點。 提示：用構造法。并且用5個點來保證滿足條件的點。 例5、在一條直線上已知四個不同的點依次是A、B、C、D，請在直線上找出一點P，使PA+PB+PC+PD最小。 例6、直線上分布著2002個點，我們來標出以這些點為端點的一切可能的線段的中點。試求至少可以得出多少個互不重合的中點。 提示：用歸納法。一般地，若直線上分布著n個點，結論為2n-3。 例7、點A、B在直線MN的兩側，請在MN上求一點P，使PA+PB為最小。 例8、點A、B在直線MN的同側，請在MN上求一點P，使PA+PB為最小。 例9、兩面相鄰的墻上分別有兩點A、B，如圖，問從A到B走怎樣的路線，才能使全長最短？（提示：用等角原理。） 例10、在直線MN的同側有兩點A、B，且AB的連線與MN不平行。請在MN上求一點P，使|PA-PB|為最大。 提示：連接AB交MN于P，則P為所求。 例11、在DABC中，D是邊AB上任意一點，如圖，求證：AB+AC＞DB+DC。 例12、P是DABC內一點，求證 （1）AB+AC＞PB+PC （2）AB+BC+CA＞PA+PB+PC （3）＜＜1 例13、已知P、Q是DABC內兩點，求證：AB+ACBP+PQ 提示：延長BP、CQ相交于D，則AB+AC＞DB+DC=BP+(PD+DQ)+QC＞BP+PQ+QC 第十二講 角 一、知識要點 1、角：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角。 2、銳角、直角、鈍角、平角、周角。 3、補角、余角。 4、三角形的內角和。 二、例題示范 例1、如圖，∠AOD=α，∠AOB=∠COD=β，∠COE=γ。請用α、β、γ表示∠BOE。 例2、如圖，已知OE平分∠AOB，OD平分∠BOC，∠AOB為直角，∠EOD=70O,求∠BOC的度數。 練習：如圖，已知AOD是一直線，∠AOC=120O，∠BOD=150O，OE平分∠BOC，求∠AOE的度數。 例3、如圖，以O為頂點，以OA1，OA2，…，OAn為邊小于平角的角有多少個？若αi=∠AiOAi+1， (i=1,2,…,n)求出所有角的和。 答：共有角n(n-1)/2個，角度的總和為α=α1′(n-1)′1+α2′(n-2)′2+…+αn-1′1′(n-1)。 例4、上題中，若每一個角都作一條角平分線，問至少可得出多少條互不重合的有平分線？ 答：2n-3條。 例5、過點O任意作14條射線，求證：以O0 頂點的角中至少有一個小于26O。 例6、如圖，已知直線AB與CD相交于O，OE，OF，OG分別是∠AOC、∠BOD、∠AOD的平分線。求證：（1）E、O、F三點在同一直線上；（2）OG^EF。 例7、如圖是一個3′3的正方形，求圖中∠1+∠2+∠3+…+∠9的和。（答：405O）。 例8、求凸n邊形的內角和。 例9、在下圖中，找出∠BCD與∠ABC、∠BAC、∠ADC之間的關系。 答：∠BCD=∠ABC+∠BAC+∠ADC。 例10、分別求出下圖（1）（2）（3）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數。 圖（1） 圖（2） 圖（3） 例11、分別求出一圖（1）（2）（3）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數。 例12、求下圖中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度數。 第十三講 相交線與平行線 一、知識要點 1、平面內兩條直線的位置關系：相交或平行。 （1）相交線：如果兩條直線有一個公共點，則稱為兩相交直線； （2）平行線：如果兩條直線沒有公共點，則稱為平行直線。 2、兩條直線的垂直：如果兩條直線相交所成的角為直角，則稱這兩條直線互相垂直。 3、兩條直線垂直的兩個重要結論： （1）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直； （2）直線外一點與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短。 4、平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。 5、兩條直線平行的判定： （1）兩直線沒有公共點； （2）同時與第三條直線平行； （3）被第三條直線所截，同位角相等； （4）被第三條直線所截，內錯角相等； （5）被第三條直線所截，同旁內角互補； （6）垂直于同一直線。 6、兩平行直線被第三直線所截，有： （1）同位角相等；（2）內錯角相等； （3）同旁內角互補。 二、例題示范 例1、三條直線相交于一點，共可組成幾對對頂角？若三條直線兩兩相交，但未必相交于一點呢？ 一般地，n(n32)條直線兩兩相交，共可組成幾對對頂角？ 提示：n(n-1)。 例2、設a,b,c為銳角三角形DABC的邊長，而為對應邊上的三條高線長，求證： ha+,hb+,hc＜a+b+c 例3、在DABC中，AD、BE是兩邊上的高，垂足D、E分別在邊BC、AC上，已知CE+CD=AB，求證：∠C為銳角。 例4、如圖，平行直線EF、MN被相交直線AB、CD所截，請問圖中有多少對同旁內角？其中互補的有多少對？ 提示：分解為幾個“三線八角”的基本圖形。 答：16對，相等的有4 對。 例5、求證：一條直線與兩條平行線中的一條相交，則也必與另一條相交。 提示：用反證法。 例6、證明：三角形三內角和等于180o。 提示：作輔助線，利用平角證明。 例7、兩個角αβ的補角互余，則這兩個角的和α+β的大小是＿＿＿。 例8、如圖，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求證：∠A=∠F。 例9、在同一平面內有三條直線l1,l2,其中l1與,l2相交，l3與l1平行，請找出與這三條線等距離的點。 例10、如圖（1），∠ABC=120o，∠BCD=85o， ED,求∠CDE的度數。 （2）∠ABC=25o，∠BCD=30o，AB‖ED,求∠CDE的度數。 （3）∠ABC=125o，∠BCD=95o，AB‖ED,求∠CDE的度數。 例11、如圖，AB‖CD，那么∠1-∠2+∠3-∠4+∠5= 。 邏 輯 推 理 一、知識要點 1、邏輯推理的基本依據：當對一個命題是否正確進行判斷時，一個東西不能同時是什么又不量什么，不能同時又是甲又是乙，如果出現這種情況，就說明在邏輯上是矛盾的。 2、邏輯推理的一般解法：從某一個條件出發，根據其它條件進行正確推理，如果最后得到的結論滿足全部條件而不出現矛盾，則這就是所要求的方案；如果得到互相矛盾的結果，就必須改換起始條件重新開始，直到得出滿足條件的方案為止。 二、例題示范 1、直接推理 例1、在一張卡片上寫有四句話，內容都是關于這四句話的： 1、在這張卡片上恰有一句話是錯的。 2、在這張卡片上恰有兩句話是錯的。 3、在這張卡片上恰有三句話是錯的。 4、在這張卡片上恰有四句話是錯的。 問這張卡片上到底有幾句話是錯的，它們是哪幾句？ 例2、在國際廣播電臺工作的李鈴、張蘭和劉英分別會說俄語、法語和日語（不一定按順序）。會說法語的打乒乓球的常贏劉英，劉英是會說俄語的人的表妹，張蘭的學歷比會說法語的高。誰會說俄語？ 例3、一個星期六的晚上，小丁約小張星期日一起去國際展覽中心看電腦展。小張說：“如果明天不下雨，我在去圖書館查一個重要資料?！钡诙欤缕鹆嗣氂?。小丁想，既然今天下雨了，小張一定不會去圖書館了。于是又去小張家，約他去看電腦展。誰知小張仍然去圖書館了。星期一見面后，小丁責備小張食言，既然天下雨了，為什么還去圖書館呢？但小張卻說自己沒有食言，而是小丁的推理不合邏輯。請問：究竟是小張食言了，還是小丁的推理不合邏輯呢？ 例4、現有四個人M、N、P、Q對W先生的藏書數目作一個估計： M說：W有五百本書； N說：W至少有一千本書； P說：W的書不到兩千本： Q說：W最少有一本書。 這四個估計中只有一人是對的，問W先生究竟有多少本書？ 提示：P對，W一本書也沒有。 例5、四個人L、M、N、O進行百米賽跑，問到比賽結果時，他們的回答是這樣的： L：N第一，M第二；M：N第二，O第三；N：O最后，L第三。 如果每個從的兩個答案中有且只有一個是對的，而且沒有并列名次，那么誰在比賽中獲得了第一？ 答案：N第一，L第二，O第三，M第四。 例6 一個國家的居民不是騎士就是無賴，騎士從不說謊，無賴永遠說謊，我們遇到該國的居民A、B、C。 A說：如果C是騎士，則B是無賴；C說：A和我不同，一個是騎士，一個是無賴。 請問：這三個人，誰是騎士？誰是無賴？ 答案：A是無賴，B、C是騎士。 例7、A、B、C、D四個小孩在院子里玩耍，有一個小孩把玻璃打碎了。當問到這四個孩子時，這四個孩子的回答是： A說：B打破的；B說：D打破的；C說：不是我打破的；D說：B說謊。 已知其中只有一個孩子說了真話，請問是誰打破了玻璃，誰說了真話？ 答案：D說了真話，C打破了玻璃。 例8、有一個旅社的某房間發生了兇殺案，公安人員經過仔細調查，落實到A、B、C、D四個嫌疑人身上，且可斷定A、B、C、D中真正作案的人有且僅有兩個，群眾提供的可靠線索如下： （1）案發時間內，A、B兩人有且只有一人去過那里； （2）案發時間內，B、D不會同時去那時； （3）案發時間內，若C去過那里，則D必定同去； （4）案發時間內，若D沒去那里，則A也不會去。 試判斷他們四個人哪個是殺人犯？ 2、借助圖表 例9、房間里有8 個人，每人都與其余的每個人握一次手，而且只握一次手，試問共握多少次手？ 提示：1、轉化為凸八邊形的對角線與邊數之和為多少。2、用組合公式。 例10、證明：在任何6個人之間，或者有三個互相認識，或者有三個互相不認識。 提示：用連線法。 例11、A、B、C三人在北京、上海、廣州的中學里教不同課程：數學、語文、外語。已知： （1）A不在北京工作，B不在上海工作； （2）在北京工作的人不教外語； （3）在上海工作的人教數學； （4）B不教語文。 問這些人各在什么城市教什么課程？ 例12、有50個女孩，她們的膚色是白的或淺黑色的，眼睛是藍色的或褐色的。如果有14個是藍眼睛白膚色，31個是淺黑膚色，18個是褐色眼睛，那么褐色眼睛淺黑皮膚的女孩有幾個？
解： 則50=a+b+c+d 因a=14 所以b+c+d=36 又b+d=31所以b+c+d+d=49 從而d=13. 第十五講 周長與面積 一、知識要點 1、若把給定圖形分成若干部分，則分成的各部分面積之和等于給定圖形的面積。 2、常用的面積公式：（1）三角形 （2）平行四邊形 （3）梯形 3、三角形面積的幾個重要結論： （1）等底等高的兩個三角形面積相等； （2）兩個三角形的面積之比，等于它們的底高乘積之比； （3）兩個等底的三角形的面積之比等于它們的高之比； （4）兩個等高的三角形的面積之比等于它們的底之比。 4、面積問題的解答技巧： （1）多邊形的面積轉化為三角形的面積； （2）運用圖形變換技巧，善于對圖形進行分解與組合。 二、例題示范 例1、如圖，將圖（1）中a′b的矩形剪去一些小矩形得圖（2），圖（3），分別求出各圖形的周長，其中EF=c。 圖（1） 圖（2） 圖（3） 例2、一個矩形內有一個圓（如圖），請你用一條直線同時將圓和矩形的周長二等分（說明方法）。 例3、如圖，DABC中有一個凸五邊形A1B1C1D1E1，試證明：DABC的周長p大于五邊形A1B1C1D1E1的周長q。 例4、如圖，長方形ABCD的面積為1，BE:EC= 5:2,DF:CF=2:1，求DAEF的面積。 例5、如圖，一個長方形恰被分成6個正方形，其中最小的 正方形的面積為1平方厘米，求這個長方形的面積。 例6、如圖，AB=BC=a厘米，AD=DC=b厘米，其中a與b是整數，且a＞b,四邊形ABCD的面積是385平方厘米。當這個圖形的周長是最小時，求a:b。 例7、如圖，等腰三角形ABC和平行邊上的中點，三角形ABC底邊上的高為6厘米，是平行四邊形的高的2倍。已知三角形CDE的面積是30平方厘米，求三角形ABC的面積。 例8、如圖，平行四邊形ABCD中，EF‖AC分別交CD、AD于E、F。連接AE、BE、BF、CF，問與DBCE面積相等的三角形有幾個？分別是哪幾個？ 例9、 如圖,（1）BMDF和ADEN都是正方形,已知△CDE 的面積為6,則△ABC的面積為____。 （2）若正方形ADEN的面積為50，則△ABE的面 積是＿＿。 例10、 如圖4,△ABC、△DEF、△GHK是大小相同的等邊三角形，它們的面積都是16，又知△AHF的面積為25，三張紙片互相重合部分（即中間小三角形）的面積為4，則圖中三個陰影部分面積的和為_______。 答：15。 例11. 圖5中的三十六個小等邊三角形的面積都等于1,則△ABC的面積為______。 答：21 第十六講 一次不定方程 一、知識要點 1、不定方程：未知數的個數多于方程的個數的方程（或方程組）稱為不定方程（或方程組）。 2、二元一次不定方程的一般形式：ax+by=c。 3、二元一次不定方程ax+by=c有整數解的判定： 定理1：若二元一次不定方程ax+by=c中，a和b的最大公約數不能整除c，則方程沒有整數解。 例如，方程2x+4y=5沒有整數解。（想一想為什么？） 定理2：如果正整數a,b互質，則方程ax+by=1有整數解，同時方程ax+by=c有整數解。 例如，3x+5y=7，3與5互質，x=-1,y=2是這個方程的一組整數解。 定理3：如果a,b互質，且方程ax+by=c有一組整數解x0,y0，則此方程式的所有整數解可表示為 或 例如，3x+5y=7的所有整數解可表示為 4、一次不定方程的整數解的求法：觀察法；輾轉相除法。 二、例題示范 例1、判斷下列不定方程（組）哪些有整數解，哪些沒有整數解。 (1) 4x+6y=7 (2) 4x+8y=10 (3) (4) 例2、求方程3x+5y=1的整數解。 （1）觀察法； （2）輾轉相除法。 練習：求4x+5y=7的整數解。 例3、求方程37x+107y=25的整數解。 例4、求方程7x+4y=100的所有正整數解。 例5、如果三個既約真分數,,的分子都加上b，這時得到的三個分數的和為6，求這三個既約真分數的積。 例7、百雞問題：雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一，百錢買百雞，問雞翁、雞母、雞雛各幾何？ 提示：列不定方程組，化為不定方程解之。 例8、設七位數為99的倍數，則x,y的值是 。 例9、某校學生200人左右，但不超過210人。按四列排隊最后余1人，按6列排隊最后余1人，按9列排隊最后余4人，問有多少學生？ 例10、某少年2003年的年齡等于出生年份的末兩位數字之和，求他的出生年份。 第十七講 待定系數法 一、知識要點 1、待定系數法：通過設立待定的未知系數來解決問題的方法。 2、待定系數法的特點：先假定一個恒等式，其中含有待定的未知系數，然后根據題目條件找到待定系數字母所滿足的關系式，求出待定系數，使問題得以解決。 3、待定系數法的理論依據：兩個多項式恒等，則對于字母的任意允許值，其值相等。 二、例題示范 例1、有一個一元二次多項式f(x)，已知f(0)=1,f(2)=7,f(3)=16,求f(-1)的值。 練習1：求一個一元二次多項式，使得x=0時，其值為-1，x=1時，其值為2，x=0時，其值為3。 例2、設f(x)=ax2,g(x)=bx-2,當x=1,2時，f(x)=g(x)，求a,b的值。 例3、下列各式的左邊應配上什么數，才能得到中右邊的平方： （1）x2+ =(x- )2, （2）3x2-2x+ =3(x- )2 例4、若3x2+ax-7被3x-2除后余5，求商式和a的值。 例5、如果多項式xy+3y-2x-6是x+3與另一多項式的乘積，試求這個多項式。 提示：設xy+3y-2x-6=(x+3)(ay+b) 練習2 試將x2+x-2表示為兩個一次因式的乘積。 例6、有一數列1，4，7，10，…，2002，…，請問2002是這個數列的第幾項？ 提示：an=3(n-1)+1 例7、已知x4-4x3+12x2-16x+m是一個完全平方式，求常數m的值。 提示：設x4-4x3+12x2-16x+m=(x2+ax+b)2. 例8、試將多項式x2+x+1表示成a(x-1)2+b(x-1)+c的形式。 例9、若，試確定a的值，其中m,n為已知數。并求 的值。 第十八講 抽屜原理 大家知道，兩個抽屜要放置三只蘋果，那么一定有兩只蘋果放在同一個抽屜里，更一般地說，只要被放置的蘋果數比抽屜數目大，就一定會有兩只或更多只的蘋果放進同一個抽屜，可不要小看這一簡單事實，它包含著一個重要而又十分基本的原則——抽屜原則. 一、抽屜原則有兩種最常見的形式： 原則1：如果把n+k(k≥1)個物體放進n只抽屜里，則至少有一只抽屜要放進兩個或更多個物體。 證明：假設每一個抽屜中最多只有一個物體，則這n只抽屜所有的物體之和小于或等于n個，與已知條件矛盾，所以至少有一只抽屜要放進兩個或更多個物體。 原則2： 如果把mn+k(k≥1)個物體放進n個抽屜，則至少有一個抽屜至多放進m+1個物體. 證明 同原則1相仿.若每個抽屜至多放進m個物體,那么n個抽屜至多放進mn個物體,與題設不符，故不可能. 二、應用舉例 例1、某學校有367名學生生于1988年，證明：在至少有兩個人的生日是同一天。 例2、求證：任取8個整數，其中必存在兩個數，其差是7的倍數。 提示：把8個整數按被7除的余數分類，共有7類，根據抽屜原理1可知，必有兩個整數屬于同一類，即這兩個整數被7除所得的余數相同，從而其差能被7整除。 例3、幼兒園買來了不少白兔、熊貓、長頸鹿塑料玩具，每個小朋友任意選擇兩件，則不管怎樣挑選，在任意七個小朋友中總有兩個彼此選的玩具都相同，試說明道理. 例4、夏令營組織2002名營員去游覽故宮、景山公園、北海公園、規定每人至少去一處，最多去兩處游覽，試問至少有幾人游覽的地方完全相同？證明你的結論。 例5、正方體各面上涂上紅色或藍色的油漆（每面只涂一種色），證明正方體一定有三個面顏色相同. 例6、有黑、白、黃筷子各8只，不用眼睛看，任意地取出筷子來，使得至少有兩雙不同色的筷子，那么至少要取出多少只筷子才能做到？ 例7、已知一個圓，經過圓心任意作993條直徑，它們與圓共有1996個交點，在每個交點處分別填寫從1到496中的一個整數（可以重復填寫）。證明：一定可以找到兩條直徑，它們兩端的數之和相等。 例8、把1到10的自然數擺成一個圓 圈，證明一定存在在個相鄰的數，它們的和數大于17. 例9、 從自然數1，2，3，…99，100這100個數中隨意取出51個數來，求證：其中一定有兩個數，，它們中的一個是另一個的倍數. 第十九講 計數 一、知識要點 1、 加法原理：完成一件事，可以有n類辦法，在第一類方法中，有m1種不同的方法， 在第二類辦法中，有m2種不同的方法……，在第n類辦法中，有mn種不同的方法。那么，完成這件事共有：N=m1+m2+……+mn種不同的方法。 2、 乘法原理：完成一件事，需要n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步 有m2種不同的方法……，做第n步有mn種不同的方法。那么，完成這件事共有：N=m1×m2×……×mn種不同的方法。 3、 組合數公式：從m個不同元素里，每次取n個不同的元素，只管元素的組成而不管 排列順序，叫做從m個不同元素里，每次取n個不同的元素的組合。從m個不同元素里，每次取n個元素的組合的種數（用表示）可用下面公式計算： 二、例題示范 例1、有5件不同的上衣，3 條不同的褲子，4頂不同的帽子，從中取出一件上衣、一頂帽子、一條褲子配成一套裝束，最多有多少種不同的裝束？ 例2、從甲地到乙地，乘坐火車、汽車或輪船中的任何一種均可直接到達。如果每天從甲地 到乙地有火車4班，汽車8班，輪船2班，試問從甲地到乙地在一天中共有多少種不同的走 法？ 例3、從甲地到乙地，必須經過A地中轉，如果從甲地到A地有4條路，A地到乙地有3 條路，問從甲地到乙地的途徑有幾種？ 練習1：如圖，從A地到D地共有多少種走法？ 例4、用數字1，3，5可以組成多少個數字不重復的自然數？ 例5、用數字0，1，2，3，4，5可以組成多少個數字不重復的4位數？其中有多少偶數？ 例6、將6個相同的乒乓球，分給A、B、C三個小朋友，每人至少分一個球，問有多少種不同的分法？ 例7、如圖，對A、B、C、D四個區域分別用紅、黃、藍、白四種顏色中的某一種著色，若使相鄰的區域著不同的顏色，問有多少種不同的著色方法？ 例8、如圖，對A、B、C、D、E五個區域分別用紅、黃、藍、綠、白五種顏色中的某一種著色，若使相鄰的區域著不同的顏色，問有多少種不同的著色方法？ 例9、有一批規格相同的塑料圓棒，每根劃分為長度相同的三節，每節用紅黃藍三種顏色來涂色，問可以得到多少種不同的顏色的圓棒？ 例10、平面上有10個點，無任何三點共線， （1）、以這些點為端點的線段共有多少條？ （2）、以這些點為頂點的三角形共有多少個？ 例11、平面上有10條直線，每兩條都相交， （1）、最多有多少個交點？ （2）、共有多少組對頂角？ 例12、從A、B、C、D、E五位同學中選出正、副班長各一名，問共有多少種選法？ 例13、奧訓班共有12名同學，其中男女各半， （1）如果從中選出4人去參加比賽，共有多少種不同的選法？ （2）如果從中選出4人去參加比賽，并要求男女各半，共有多少種不同的選法？ （3）如果從中選出4人去參加比賽，并要求至少有一名女生，共有多少種不同的選法？ 例14、有5個同學排成一排照相， （1）、共有多少種不同的排法？ （2）、若A、B必須排在一起，共有多少種不同的排法？ （3）、若A、B不排在一起，共有多少種不同的排法？ |
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