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八、“偏微分方程” 還是數學專業的一門課。常微分方程式研究一元情形，那么偏微則是多元了。別看這個簡單的拓展，這個比一元的情況要難上數倍甚至數十倍（這么說也不為過），多少數學家在這個領域苦苦探索，卻得不到他們想要的結果。因為實際生活中遇到的復雜問題都是偏微情況，而偏微分方程的難度正好說明了現實的復雜性，于是大家便從牛頓時代的人們的那種認為整個宇宙模型中的事件全蘊含在一些可解（因此可以預測到未來）的方程中的“理想夢境”中醒悟過來。 雖然不簡單，但是數學家們還是有成果的，畢竟還有“級數”和“漸進”兩個有力的工具。本課同常微分方程差不多，也是先研究線性（非線性還是最難的）的一些簡單可積情形，然后轉向數值（比如有限差分）法、數學變換（拉普拉斯、傅里葉變換）求解法以及級數（包括傅里葉級數）求解法來研究一些著名的通常被稱為“數學物理方程”的偏微分方程，一些性質等。 在工程領域，這些東西極其重要。 【教材】 114《偏微分方程》陳祖墀著 115《基礎偏微分方程》 丘成桐主編 David Bleecker, George Csordas 比較詳細，美國教材嘛。 116《偏微分方程教程》華中師范大學 117《偏微分方程》Evans著 經典教材。 118《常微分方程與偏微分方程》 管志成，李俊杰編 注重兩者之間的聯系。 【習題集】 119《偏微分方程習題集》沙瑪耶夫主編 蘇聯的，有新版。 課后習題也行。 【提高】 120《Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists》 （《線性偏微分方程手冊：工程師和科學家必備》英文版）Andrei D. Polyanin編著 很好的書同[111]一樣齊名。雖然是英文，但是相信數學符號都是通用的，英文水平不是很差都能看得明白的何況有強大的網絡呢？ 九、“數學物理方程”和“數學物理方法” 一般是物理專業、力學、信息等專業的課程。其內容是基本上是“偏微分方程”加上“復變函數”整合而成的一本綜合課程?！皵祵W物理方法”相當于“工程數學”的三本（即復變函數，積分變換，場論初步）。 【教材】 121《數學物理方法》Courant-Hilbert著 經典。 122《特殊函數概論》王竹溪,郭敦仁編著 網上對本書的介紹： 有時懷疑是不是可以只對特殊函數的性質了解一些框架性的東西,具體的細節要用的時候去查書.要知道,查這本書并不是什么丟人的事情,看看揚振寧先生為該書英文版寫的序言吧: “(70年代末)……我的老師王竹溪先生送了我一本剛出版的‘特殊函數概論’……從此這本書就一直在我的書架上……經常在里面尋找我需要的結論……”。 連他老先生都如此,何況我們? 本書是中國人寫的書里面足以自豪的一本，王老先生是楊振寧的老師。 123《廣義函數與數學物理方程》齊民友著 124《數學物理方程》谷超豪，李大潛,譚永基(?),沈緯熙,秦鐵虎,是嘉鴻編著 經典教材。谷超豪教授的作品絕對好。這里插入一些網上的介紹： ------------------------- 這本書在這樣一個水平上(指不引進廣義函數,弱解等泛函里面的概念)是相當不錯的.注意那些經典方程的推導里面多少有一些近似的過程,這其實從某種意義上反應了所對應的微分算子的某些性質的穩定性.比如,對于經典的波動方程,3維及以上的奇數維成立惠更斯(Huygens)原理(這可以看作經典物理的時空里面空間維數必須是奇數的一個證據),你在其它一些書(或者說以后)可以看到,差不多二階雙曲方程里面只有波動方有這樣的性質--但是別忘了,高維波動方程的推導里面是有近似的,這說明什么? 據一位北大的師兄說,和復旦的課本相比較,可能北大那邊相對更注重一些解的漸進估計等等,而復旦這里對于顯式解講得更多些. 注意在圖書館里面可以找到一本內容相當接近的書 125《數學物理方程》谷超豪,李大潛,陳恕行,譚永基(?),鄭宋穆,??? 這書的題材,難度,例題,習題等等和上一本非常接近.特別指出這本書的原因是在復旦的課本中據我所見,只有這本是曾經出過一本"官方的"習題解答的,那是80年代初,油印本.能不能搞到就看各位本事了.那本解答對于做作業是很有幫助的. ------------------------- 126《數學物理方法》梁昆淼著 127《數學物理方程講義》姜禮尚 128《數學物理方程》柯朗著 【習題集】 129《數學物理方程習題集》弗拉基米洛夫編 教材后的習題都行。 【提高】 130《矢算場論札記》梁洪昌著 其實這個不關偏微分方程的事，主要是矢量和場的理論，這對物理專業很有用。結合《數學物理方程》一起使用，會對自身水平有很大幫助。 131《數學物理方程及其應用》吳小慶編著 這個我要說一說，作者有豐富的經驗。 132《數學物理方程》 張渭濱 133《數學物理方程與特殊函數》 楊奇林 134《數學物理方法》 郭玉翠 還是上一位學長的介紹： ------------------------ 135《數學物理方程--方法導引》陳恕行,秦鐵虎 是一本非常好的講習題的書.里面的習題如果能夠全部做一遍的話,應付考試是綽綽有余了. 136《The Boudary Value Problems of Mathematical Physics》O A. Ladyzhenskaya 很經典.當然你要說它們陳舊我也沒話可說. 137《物理學與偏微分方程》李大潛,秦鐵虎著 還是很不錯的，該書的起點并不高,所以應該比較容易看.據說該書的責編(北大畢業的)極為負責,認真到連里面的公式都一個個去推導的地步. 從課程設置的角度上說,其實有一些深度介于本科課程和研究生的那門偏微基礎課之間的書(包括不少經典)都可以在這段時間里面看看的. ---------------------------- 138《積分方程》李星編著 對積分方程與代數方程、常微分方程、偏微分方程以及解析函數邊值問題的聯系作了清晰的介紹。 主要內容包含：各種第一類、第二類Fredholm型、Voherra型線性積分方程和Cauchy核（非周期核）及Hilbert核（單周期核）奇異積分方程的實用解法，還有第三類積分方程的解法；積分方程組、積分微分方程和對偶積分方程以及非線性積分方程的常用有效的解法。介紹了數值解法的過程。其中，雙周期核和雙準周期核——Weierstrass核奇異積分方程的類型以及對偶積分方程的數值解法、超奇異積分方程和超奇異積分微分方程的簡明解析解法等是全新的內容。 139《積分方程論》(修訂版) 路見可, 鐘壽國編著 本書介紹了積分方程中的Fredholm理論、特征值理論、積分變換理論和投影方法、重點是線性Fredhlom第二種方程，對第一種方程、非線性方程等。 從下一部分開始，除了“組合數學”“數值分析”“數學建?！薄皵祵W史” 以外，其他的學科我還沒系統深入地學習。因此，本來不打算寫這些不是很熟練的部分，但感覺不寫就會有缺憾，于是查閱一些網絡資料，集合我的一些淺薄經驗，來彌補空白。如果介紹不到位，還請見諒。 |
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