對稱性應(yīng)用（一） ──含絕對值函數(shù)的圖象

在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，若將函數(shù)的自變量或應(yīng)變量帶上絕對值“”，再研究其性質(zhì)就不僅僅要從函數(shù)的角度來考慮，還得結(jié)合絕對值的意義來共同探討。

圖象是刻畫變量之間關(guān)系的一個(gè)重要途徑。函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表示形式，是形象直觀地研究函數(shù)性質(zhì)的常用方法，是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)和依據(jù)。本文針對含絕對值函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，然后利用對稱性作出函數(shù)圖象，并借助圖象來展示絕對值對函數(shù)性質(zhì)特征的影響。

一、含絕對值的函數(shù)常見情況的分類：

已知函數(shù)，叫做函數(shù)的自變量；叫做函數(shù)的應(yīng)變量（函數(shù)值）。

①對自變量取絕對值：；②對應(yīng)變量取絕對值：；

③對全都取絕對值：；④對整個(gè)函數(shù)取絕對值：；

⑤對都取絕對值：；⑥部分自變量取絕對值：。

二、分析不同情況含絕對值函數(shù)的性質(zhì)特點(diǎn)及圖象作法：

①對自變量取絕對值：

【特征分析：】

已知函數(shù)，設(shè)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，則該點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱。因?yàn)辄c(diǎn)與都在函數(shù)上，所以其函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱。

【作圖步驟：】

（1）作出函數(shù)的圖象；

（2）保留時(shí)函數(shù)的圖象；

（3）當(dāng)時(shí)，利用對稱性作出（2）中圖象關(guān)于軸對稱后的圖象。

【作圖展示：】作函數(shù)的圖象

②對應(yīng)變量取絕對值：；

【特征分析：】

已知函數(shù)，設(shè)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，則該點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱。因?yàn)辄c(diǎn)與都在函數(shù)上，所以其函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱。

【作圖步驟：】

（1）作出函數(shù)的圖象；

（2）保留時(shí)函數(shù)的圖象；

（3）當(dāng)時(shí)，利用對稱性作出（2）中圖象關(guān)于軸對稱后的圖象。

【作圖展示：】作函數(shù)的圖象

③對全都取絕對值：；

【特征分析：】

已知函數(shù)，設(shè)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，它與點(diǎn)關(guān)于軸對稱、與點(diǎn)關(guān)于軸對稱且與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱。因?yàn)辄c(diǎn)、、與都在函數(shù)上，所以函數(shù)圖象關(guān)于軸、軸及原點(diǎn)對稱。

【作圖步驟：】

（1）作出函數(shù)的圖象；

（2）保留（第一象限）時(shí)函數(shù)的圖象；

（3）利用對稱性作出（2）中圖象關(guān)于軸、軸及原點(diǎn)對稱后的圖象。

【作圖展示：】作函數(shù)的圖象

④對整個(gè)函數(shù)取絕對值：；

【特征分析：】

已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)。函數(shù)的圖象在時(shí)不變，在時(shí)圖象關(guān)于軸對稱。

【作圖步驟：】

（1）做出的圖象；

（2）保留的函數(shù)圖象（軸上方圖象）不變；

（3）當(dāng)時(shí)，利用對稱性作出軸下方圖象關(guān)于軸對稱后的圖象。

【作圖展示：】作函數(shù)的圖象

⑤對都取絕對值：

【特征分析：】

已知函數(shù)，由于該函數(shù)既對自變量取了絕對值，又對應(yīng)變量取了絕對值，因此可看做是前兩種情況的逐步復(fù)合，若令（偶函數(shù)），則。

【作圖步驟：】

（1）利用的方法步驟作出函數(shù)的圖象；

（2）利用的方法步驟作出函數(shù)的圖象。

【作圖展示：】作函數(shù)的圖象

⑥部分自變量取絕對值：。

【特征分析：】已知函數(shù)，這種類型的函數(shù)沒有統(tǒng)一的特點(diǎn)，必須先利用絕對值的意義去掉絕對值，然后再利用相應(yīng)的方法作出函數(shù)的圖象。