全國初中數學競賽預選賽試題

28樓的憨豆 2013-12-09

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全國初中數學競賽預選賽試題

(考試時間：120分鐘，滿分140分)

一、選擇題：(每小題7分，共42分)

1、已知實數a滿足：|2004-a|+ ＝a，那么a-2004²＝( )

A、2003 B、2004 C、2005 D、2006

2、如圖，在△ABC中，∠C＝Rt∠，CD⊥AB于D，在

(1) DC·AB＝AC·BC， (2)

(3) (4)AC+BC＞CD+AB

中正確的個數是 ( )

A、4 B、3 C、2 D、1

3、實數a，b，c，d滿足：a＋b＋c＋d＝1001，ac＝bd＝4，則： =

A、1001 B、2002 C、2003 D、2004

4、在△ABC中，∠A ＞∠B＞∠C，∠A≠90°，畫直線使它把 △ABC 分成兩部份，且使其中一部分與△ABC 相似，這樣的互不平行的直線有( 　　)條

A、3 B、4 C、5　 D、6

5、已知二次函數y=ax²+c,且當x＝1時，－4≤y ≤－1，當x＝2時,－1≤y≤5，則當x＝3時，y的取值范圍是 (　　　)

A、－1 ≤y ≤20 B、－4 ≤ y ≤15 C、7 ≤y ≤26 D、 ≤ y ≤

6、n是一個兩位數，它的十位數字與個位數字之和為a，當n分別乘以3，5，7，9后得到四個乘積，如果其每個乘積的各位數的數字之和仍為a，那么這樣的兩位數有(　　)個。A、3 B、5 C、7 D、9

二、填空題：（每小題7分，共28分）

7、某電影院的票價是：個人每張6元，每10人一張團體票為40元，學生享受九折優惠，某校1258名學生看電影(教師免票)，學校應向電影院至少付_________________元錢。

8、利用公式(a²＋b²)(c²＋d²)=(ac＋bd)²＋(bc－ad)² 或其它方法找出一組正整數填空：(2²＋92×3²)(4²＋92×5²)=( )²+92×( )²。

9、如圖，梯形ABCD的面積為34cm²， AE=BF， CE與DF

相交于O，△OCD的面積為11cm²，則陰影部分的面積為 _ cm²。

10、在表達式S= 中， x₁、x₂、x₃、x₄ 是1、2、3、4的一種排列（即：x₁、x₂、x₃、x₄取1、2、3、4中的某一個數，且x₁、x₂、x₃、x₄ 互不相同）。則使S為實數的不同排列的種數有種。

三、(本題滿分20分)

某同學買某種鉛筆，當他買了x支，付了y元（x、y都是整數）時，營業員說：“你要再多買10支，我就總共收你2元錢，這樣相當于每買30支，你可節省2元錢”。求x·y。

四、(本題滿分25分)

如圖：菱形PQRS內接于矩形ABCD，使得P、Q、R、S為AB、BC、CD、DA上的內點。已知PB=15、BQ=20、PR=30、QS=40、

若既約分數為矩形ABCD的周長，求m＋n。

五、(本題滿分25分)

1、試設計一種方法，把一個正方形不重復不遺漏地分割成8個正方形(分得的正方形大小可以不相同)；又問如何把正方形按上要求分成31個正方形？

2、試設計一種方法，把一個立方體分割成55個立方體(要求：不重復不遺漏，分得的立方體大小可以不相同)。

全國初中數學競賽預選賽答案

一、1. C; 2.B ; 3. B; 4. D; 5. A; 6. B;

二、7. 4536; 8. 1388，2; 9. 12; 10. 16;

三、根據營業員的話，y的值只能是1或2。 (3分)

(1)當y=1時，則原來每支價格為元，多買10支，每支節省元。現在每支價格為( - )元。設多買10支后共m支，則有( - )m=2……(4分)，此時m只能取15, 30, 45, 60……。經討論只有當m=15，x=5時才符合題意。（6分）

(2)當y=2時，則( - )m= 2 無論m為何整數均不合題意。 (5分)

∴所求x=5、y=1 (2分)

（注：y=2不討論適當扣分）

四、設AS=x、AP=y ……(2分)，由菱形性質知PR SQ，且互相平分，這樣得到8個直角三角形，易知PR與SQ的交點是矩形ABCD的中心。由已知可得其中6個三角形的邊長分別為15、20、25。由對稱性知CQ、CR的長為x、y。則Rt△ASP和Rt△CQR的三邊長分別為x、y、25，矩形面積等于8個Rt△的面積之和。則有：