七年級(jí)數(shù)學(xué)競賽講座 第五講 解讀絕對值

 第五講  解讀絕對值

絕對值是初中代數(shù)中的一個(gè)基本概念，是學(xué)習(xí)相反數(shù)、有理數(shù)運(yùn)算及后續(xù)算術(shù)根的基礎(chǔ)．絕對值又是初中代數(shù)中的一個(gè)重要概念，在解代數(shù)式化簡求值、解方程（組)、解不等(組)等問題有著廣泛的應(yīng)用，全面理解、掌握絕對值這一概念，應(yīng)從以下方面人手：

l．去絕對值的符號(hào)法則：

2．絕對值基本性質(zhì)

①非負(fù)性： ；② ；③ ；④ ．

3．絕對值的幾何意義

    從數(shù)軸上看， 表示數(shù) 的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離(長度，非負(fù))； 表示數(shù) 、數(shù) 的兩點(diǎn)間的距離．

例題

【例1】(1)已知 ，且 ，那么 ＝       ．

    (北京市“迎春杯”競賽題)

(2)已知 是有理數(shù)， ，且 ，

那么               ．

    ( “希望杯”邀請賽試題)

思路點(diǎn)撥  (1)由已知條件求出 的值，注意條件 的約束；

(2)若注意到9+16＝25這一條件，結(jié)合絕對值的性質(zhì)，問題可獲解．

【例2】 如果 是非零有理數(shù)，且 ，那么 的所有可能的值為(    )．

  A．0    B． 1或一l    C．2或一2    D．0或一2

    (山東省競賽題)

    思路點(diǎn)撥  根據(jù) 的符號(hào)所有可能情況，脫去絕對值符號(hào)，這是解本例的關(guān)鍵

【例3】已知 互為相反數(shù)，試求代數(shù)式： 的值．

    (“五羊杯”競賽題)

思路點(diǎn)撥  運(yùn)用相反數(shù)、絕對值、非負(fù)數(shù)的概念與性質(zhì)，先求出 的值．

   【例4】化簡

    (1) ；    (2) ；    (3) ．

    思路點(diǎn)撥  (1)就 兩種情形去掉絕對值符號(hào)；(2)將零點(diǎn)1，3在同一數(shù)軸上表示出來，就 ，1≤x<3，x≥3三種情況進(jìn)行討論；(3)由 ，得 ．

 【例5】已知 為有理數(shù)，那么代數(shù)式  的取值有沒有最小值？如果有，試求出這個(gè)最小值；如果沒有，請說明理由．

思路點(diǎn)撥  在有理數(shù)范圍變化， 的值的符號(hào)也在變化，解本例的關(guān)鍵是把各式的絕對值符號(hào)去掉，為此要對 的取值進(jìn)行分段討論，在各種情況中選取式子的最小值．

注：①我們把大于或等于零的數(shù)稱為非負(fù)數(shù)，現(xiàn)階段 、 是非負(fù)數(shù)的兩種重要形式，非負(fù)數(shù)有如下常用性質(zhì)：

    (1) ≥0，即非負(fù)敷有最小值為0；

    (2)若 ，則

    ②形如(2)的問題稱為多個(gè)絕對值問題，解這類問題的基本步驟是：求零點(diǎn)、分區(qū)間、定性質(zhì)、去符號(hào)、即令各絕對值代數(shù)式為0，得若干個(gè)絕對值為零的點(diǎn)，這些點(diǎn)把數(shù)軸分成幾個(gè)區(qū)間，再在各區(qū)間內(nèi)化簡求值即可．請讀者通過本例的解決，仔細(xì)體會(huì)上述解題步驟．

學(xué)力訓(xùn)練

1．若有理數(shù) 、y滿足2002(x一1)² + ，則         ．

2．已知 ，且 ，那么 =       ．

3．已知有理數(shù) 在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示：

則 化簡后的結(jié)果是      ．湖北省選拔賽題) 

4．若 為有理數(shù)，那么，下列判斷中：

  (1)若 ，則一定有 ； (2)若 ，則一定有 ；  (3)若 ，則一定有 ；(4)若 ，則一定有 ．正確的是          (填序號(hào))

5．已知數(shù)軸上的三點(diǎn)A、B、C分別表示有理數(shù) ，1，一l，那么 表示(    )．

    A．A、B兩點(diǎn)的距離    B．A、C兩點(diǎn)的距離

    C．A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和    D． A、C兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和

(江蘇省競賽題)

6．已知 是任意有理數(shù)，則 的值是(    )．

  A．必大于零  B．必小于零  C必不大于零  D．必不小于零

7．若 與 互為相反數(shù)，則 與 的大小關(guān)系是(    )．

    A．     B．   C．    D．

8．如圖，有理數(shù) 在數(shù)軸上的位置如圖所示，則在 中，負(fù)數(shù)共有（   ）

A． 1個(gè)    B．2個(gè)    C．3個(gè)  D．4個(gè)  

9．化簡：

    (1) ；  (2) ．

10．求滿足 的非負(fù)整數(shù)對(a，b)的值．

    (全國初中聯(lián)賽題)

11．若 ，則      ；若 ，則        ．

12．能夠使不等式 成立的 的取值范圍是       ．

l3． 與 互為相反數(shù)，且 ，那么 ＝       ．

14．設(shè) 分別是一個(gè)三位數(shù)的百位、十位和個(gè)位數(shù)字，并且 ，則 可能取得的最大值是       ．

    (江蘇省競賽題)  ．

15．使代數(shù)式 的值為正整數(shù)的 值是(    )．

 A．正數(shù)    B．負(fù)數(shù)    C．零   D． 不存在的

16．如果 ，則 等于（    ）．

A．2        B．3           C．4        D．5

17．如果 ，那么代數(shù)式 在 的最小值是（    ）．

A．30        B．0         C．15      D．一個(gè)與 有關(guān)的代數(shù)式

18．設(shè) ， ，則 的值是（    ）．

A．-3       B．1      C．3或-1         D．-3或1

19．有理數(shù) 均不為零，且 ，設(shè) ，

試求代數(shù)式 的值．

20．若 為整數(shù)，且 ，求 的值．

21．已知 ，設(shè) ，求M 的最大值與最小值．

22．已知 ，

求代數(shù)式 的值．

參考答案