面積

黃家裕38 2014-03-06

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面積是一個用作表示一個曲面或平面圖形所占范圍的量，可看成是長度（一維度量）及體積（三維度量）的二維類比。對三維立體圖形而言，圖形的邊界的面積稱為表面積。

計算各基本平面圖形面積及基本立體圖形的表面積公式早已為古希臘及古中國人所熟知。

面積在近代數學中占相當重要的角色。面積除與幾何學及微積分有關外，亦與線性代數中的行列式有關。在分析學中，平面的面積通常以勒貝格測度（Lebesgue measure）定義。

我們可以利用公理，將面積定義為一個由平面圖形的集合映射至實數的函數。

定義[編輯]

主條目：若爾當測度

其中一個定義面積的方法是利用公理定義。面積可以定義為一個由所有（可測）平面圖形組成的集合M映射至實數的函數a，并滿足以下條件：

對于所有 $S \in M$ ，有 $a(S) \ge 0$ 。
若 $S, T \in M$ ，則 $S \cup T \in M$ 及 $S \cap T \in M$ ，且 $a(S \cup T) = a(S) + a(T) - a(S \cap T)$ 。
若 $S, T \in M$ 且 $S \subseteq T$ ，則 $T - S \in M$ ，且 $a(T - S) = a(T) - a(S)$ 。
若 $S \in M$ 且 $S$ 全等于 $T$ ，則 $T \in M$ ，且 $a(S) = a(T)$ 。
任一矩形 $R$ 均屬于 $M$ 。若矩形的長為 $\ell$ 而寬為 $w$ ，則 $a(R) = \ell w$ 。
設 $Q$ 為一平面圖形。若存在唯一的實數 $c$ ，使得所有滿足 $S \subseteq Q \subseteq T$ 的有限個矩形的聯集（finite union of rectangles） $S$ 及 $T$ 均有 $a(S) \le c \le a(T)$ ，則 $Q \in M$ ，且 $a(Q) = c$ 。

可以證明，滿足上述條件的函數存在。 ^[1]

單位[編輯]

面積的測量單位主要包括：

平方米或 平方公尺——國際標準單位^[2]
公畝（a）——100平方米^[3]
公頃（ha）——10,000平方米^[3]
平方公里——1,000,000平方米^[2]
平方厘米——0.0001平方米^[2]
平方毫米——0.01平方厘米^[2]

市制：

平方市里——0.25平方公里^[3]
平方市尺——1/9平方米^[3]

臺制：

甲——9,699.173平方米^[3]
坪——3.3058平方米^[3]

香港：

平方呎（平方英尺）——929平方厘米^[2]

面積公式[編輯]

多邊形公式[編輯]

長方形[編輯]

A rectangle with length and width labelled

這個長方形的面積是

lw

最基本的面積公式是長方形的公式。當l是長，w是寬時，其公式為：^[4]

$A=lw$

當其圖形是一個正方形時， $l = w$ ，因此正方形的公式為：^[4]

$A=s^2$

長方形的面積計算方法是根據面積的基本定義。

A diagram showing how a parallelogram can be re-arranged into the shape of a rectangle

面積相同

切割圖形[編輯]

有些簡單的公式可以切割的方式得出。

例如平行四邊形，可以切割成一個梯形和一個直角三角形，如同右圖。如果三角形移到梯形的另一邊，就可以變成一個梯形。因此，梯形的公式有點像長方形的公式：^[4]

$A=bh$

至于同樣的平行四邊形可以分割為兩個全等三角形。因此三角形的公式為：^[4]

$A = \frac{1}{2}bh$

曲線圖形面積[編輯]

A circle divided into many sectors can be re-arranged roughly to form a parallelogram

圓形可以分割為很多扇形

圓形面積公式是基于基本的面積公式，假設有一個半徑為r的圓形，分成很多扇形，那一個扇形的面積就會很接近三角形，就像右圖一樣。如果分得夠細小，就可以看到半徑為r的圓形面積相等如一個高為r，底為πr的平行四邊形。^[5]

$\pi \times r^2$

我們也可以用積分得到更肯定為準確的答案

$A \;=\; \int_{-r}^r 2\sqrt{r^2 - x^2}\,dx \;=\; \pi r^2$

計算不規則之圖形面積，可用填補法或切割法來計算之。

表面積[編輯]

主條目：表面積

一些基本的立體表面積公式：

立方體： $6 \times x^2$ （x是立方體的邊長）
長方體： $2 \times (l \times w + w \times h + h \times l)$ （l、w、h分別是長方體的長、寬和高）
球體： $4 \times \pi \times r^2$ （r是球體的半徑）
球冠： $2 \times \pi \times r \times h$ （球冠是指被平面截下的部分球面；r是球體的半徑；h是球冠高）
直立圓錐體： $\pi \times r \times (r + \sqrt{r^2 + h^2})$ （r是圓錐體底部的半徑，h是它的高）
直立圓柱體： $2 \times \pi \times r \times (h + r)$ （r是圓柱體圓形底部的半徑，h是它的高）

其他面積公式
形狀	公式	變量所代表的
等邊三角形	$\frac\sqrt{3}{4}s^2\,\!$	$s$ 是一條邊的長度。
三角形^[6]	$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\,\!$	$s$ 是周長的一半， $a$ ﹑ $b$ 和 $c$ 是三條邊的長度。
三角形^[4]	$\tfrac12 a b \sin(C)\,\!$	$a$ 和 $b$ 是任意兩條邊，而 $C$ 是兩條邊的夾角。
三角形^[6]	$\tfrac12bh \,\!$	$b$ 和 $h$ 是底和高。
菱形	$\tfrac12ab$	$a$ 和 $b$ 分別是菱形的兩條對角線。
平行四邊形	$bh\,\!$	$b$ 是底長， $h$ 是高。
梯形	$\frac{(a+b)h}{2} \,\!$	$a$ 和 $b$ 是平行的邊和 $h$ 是平行的邊之間的高。
正六邊形	$\frac{3}{2} \sqrt{3}s^2\,\!$	$s$ 是正六邊形邊的邊長。
正八邊形	$2(1+\sqrt{2})s^2\,\!$	$s$ 是正八邊形邊的邊長。
正多邊形	$\frac{1}{4}nl^2\cdot \cot(\pi/n)\,\!$	$l$ 是邊長而 $n$ 是邊數量。
正多邊形	$\frac{1}{4n}p^2\cdot \cot(\pi/n)\,\!$	$p$ 是周長 $n$ 是邊數量。
正多邊形	$\frac{1}{2}nR^2\cdot \sin(2\pi/n) = nr^2 \tan(\pi/n)\,\!$	$R$ 是外切圓的半徑， $r$ 內切圓的半徑，而 $n$ 是邊數量。
正多邊形	$\tfrac12a p \,\!$	$a$ 是邊心距，或稱作內切圓的半徑，而 $p$ 是多邊形的周長。
圓形	$\pi r^2\ \text{or}\ \frac{\pi d^2}{4} \,\!$	$r$ 是半徑和 $d$ 是直徑。
扇形	$\frac{\theta}{2}r^2\ \text{or}\ \frac{L \cdot r}{2}\,\!$	$r$ 和 $\theta$ 分別是半徑和角度， $L$ 是周界。
橢圓形^[4]	$\pi ab \,\!$	$a$ 和 $b$ 分別是半長軸和半短軸。
圓柱體表面面積	$2\pi r (r + h)\,\!$	$r$ 和 $h$ 分別是半徑和直徑。
圓柱體側表面面積	$2 \pi r h \,\!$	$r$ 和 $h$ 分別是半徑和直徑。
球體表面面積	$4\pi r^2\ \text{or}\ \pi d^2\,\!$	$r$ 和 $d$ 分別是半徑和直徑。
錐體表面面積^[7]	$B+\frac{P L}{2}\,\!$	$B$ 是底面積， $P$ 是底周長而， $L$ 是斜高。
錐體平截頭體的表面面積^[7]	$B+\frac{P L}{2}\,\!$	$B$ 是底面積， $P$ 是底周長， $L$ 是斜高。
正方形轉換成圓形段面積	$\frac{4}{\pi} A\,\!$	$A$ 是正方形面積。
圓形轉換成正方形后面積	$\frac{1}{4} C\pi\,\!$	$C$ 是圓形面積。
魯洛三角形	$\frac{\pi x^2}{6}-\frac{3 \sqrt{x^2-(\frac{x}{2})^2}}{2}+\frac{\sqrt{x^2-(\frac{x}{2})^2}}{2}$	$x$ 是魯洛三角形內三角形的邊。

單位列表[編輯]

公制[編輯]

名稱	符號	定義	與平方米的換算
平方佑米、平方堯米	Ym2	邊長為1佑米（堯米）的正方形的面積	10⁴⁸
平方皆米、平方澤米	Zm2	邊長為1皆米（澤米）的正方形的面積	10⁴²
平方艾米	Em2	邊長為1艾米的正方形的面積	10³⁶
平方拍米	Pm2	邊長為1拍米的正方形的面積	10³⁰
平方兆米、平方太米	Tm2	邊長為1兆米（太米）的正方形的面積	10²⁴
平方吉米	Gm2	邊長為1吉米的正方形的面積	10¹⁸
平方百萬米、平方兆米	Mm2	邊長為1百萬米（兆米）的正方形的面積	10¹²
平方公里、平方千米	km2	邊長為1公里（千米）的正方形的面積	10⁶
平方公引、平方百米	hm2	邊長為1公引（百米）的正方形的面積	10⁴
平方公丈、平方十米	dam2	邊長為1公丈（十米）的正方形的面積	10²
平方米、平方米	m2	邊長為1米（米）的正方形的面積	1
平方公寸、平方分米	dm2	邊長為1公寸（分米）的正方形的面積	10^-2
平方厘米、平方厘米	cm2	邊長為1厘米（厘米）的正方形的面積	10^-4
平方公厘、平方毫米	mm2	邊長為1公厘（毫米）的正方形的面積	10^-6
平方微米	cm2	邊長為1微米的正方形的面積	10^-12
平方納米、平方納米	nm2	邊長為1納米（納米）的正方形的面積	10^-18
平方皮米	pm2	邊長為1皮米的正方形的面積	10^-24
平方飛米	fm2	邊長為1飛米的正方形的面積	10^-30
平方阿米	am2	邊長為1阿米的正方形的面積	10^-36
平方介米、平方仄米	zm2	邊長為1介米（仄米）的正方形的面積	10^-42
平方攸米、平方幺米	ym2	邊長為1攸米（幺米）的正方形的面積	10^-48