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丟番圖 遼寧師范大學 梁宗巨 丟番圖(Diophantus of Alexandria) 公元250年前后活躍于亞歷山大．教學． 丟番圖生存的年代，是根據下面的記載來確定的．在他的著作《多角數》(De polygonis numeris)中，引用了許普西克勒斯(Hypsicles of Alexandria，約公元前175年)關于多角數的定義，而賽翁(Theon of Alexandria)的書又引用丟番圖的著作．這樣界定的上、下限是公元前175年到公元390年．另外，M．C．普賽勒斯(Psellus，1018—約1078)寫過一封信，提到阿納托利厄斯(Anatolius，約公元280年)將他所著的關于埃及計算方法的小冊子獻給丟番圖，因此兩人應同時代或丟番圖稍早．據此斷定丟番圖的活躍時期是公元250年前后． 丟番圖將他的杰作《算術》(Arithmetica)獻給迪奧尼修斯(Dionysius)．歷史上用這一個名字的有好幾個，估計這一個是亞歷山大的迪奧尼修斯，他是當地的主教．在任主教(公元247年)之前，曾在那里建立基督教學校(從公元231年起)．丟番圖的《算術》可能就是為這些學校編寫的教科書．這種推想是合情合理的，年代也和前面所說的一致． 關于丟番圖的生平，還有一則別開生面的記載．在一本《希臘詩文選》(The Greek anthology)中，收錄了丟番圖奇特的墓志銘： 墳中安葬著丟番圖， 多么令人驚訝， 它忠實地記錄了所經歷的道路． 上帝給予的童年占六分之一， 又過十二分之一，兩頰長胡， 再過七分之一，點燃起結婚的蠟燭． 五年之后天賜貴子， 可憐遲到的寧馨兒， 享年僅及其父之半，便進入冰冷的墓． 悲傷只有用數論的研究去彌補， 又過四年，他也走完了人生的旅途． 這相當于方程 x=84．由此知他享年84歲． 丟番圖的著作 確實知道他有兩種著作，一是《算術》，大部分保存了下來；另一種是《多角數》，只有少部分留下來．還有兩種書，一是《推論集》 (Porismata)它只是在《算術》中幾次提到，可能是若干數論問題的匯編，獨立成冊，也可能是附屬在《算術》中的失傳部分．此外，伊安布利霍斯(lamblichus，約公元250—約330年)所著《尼科馬霍斯〈算術〉評注》一書的注釋者還提到丟番圖另外一本書《分數算法》(Moriastica)，它記載了分數計算的法則，可惜已失傳． 丟番圖的《算術》是一部劃時代的著作，它在歷史上影響之大可以和歐幾里得《幾何原本》(Elements)一比高下．這書的序中說，全書共分13卷．可是現在見到的希臘文本只有6卷．長期以來，大家都認為其余的7卷早在10世紀以前已經失傳．5世紀時希帕提婭(Hypatia)注釋這部書，只注了6卷，也許這正是其余部分被人忽視終致失傳的原因． 近年來，發現4卷阿拉伯文本，改變了傳統的看法．1973年，G．圖默(Toomer)獲悉在馬什哈德圣地(Mashhad Shrine)圖書館有一本阿拉伯文手抄本，經過研究，確認為《算術》的失傳部分(但還不全)．這是由古斯塔伊本盧加(Qustā ibn Lūqā，活躍于860年前后)譯成阿拉伯文的．后來J．塞夏諾(Sesiano)將它譯成英文并加以詳細注釋(見[6])．經過反復推敲，塞夏諾指出這4卷在《算術》中原來的位置應該是緊接著希臘文本卷1，2，3的卷4，5，6，7，而希臘文的其余部分應是卷8，9，10．下面將按這新的順序編排來介紹它的內容． 原來的6卷希臘文本，最初是J．雷格蒙塔努斯(Regiomontanus，1436—1476)發現的．1464年2月15日，他寫信給L．比安基(Bianchi)，提到他在威尼斯找到了丟番圖的《算術》，從此西方學術界才知道有6卷希臘文手抄本流傳下來．最早的拉丁文譯本是G．克胥蘭德(Xylander，1532—1576)的“Diophanti Alexandrini Rerum arithmeticarum libri sex，et de numeris multangulis liber unus”(《亞歷山大的丟番圖算術6卷，多角數1卷》)．以后又有C．－G．巴歇(Bachet de Méziriac，1581—1638)校訂注釋的希臘-拉丁文對照本“Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex，et de numeris multangulis liber unus”(《亞歷山大的丟番圖算術6卷，多角數1卷》)．關于這個譯本，有一段饒有趣味的歷史．1637年左右，P．de費馬(Fermat，1601—1665)讀到這譯本第2卷第8題：“將一個平方數分為兩個平方數”時，在書頁的空白處寫出了著名的“費馬大定理”． 1670年費馬的兒子S．de費馬(Fermat)將他父親的全部批注插入正文，重新出版巴歇的希-拉對照本近代，不包括新發現4卷的“丟番圖全集”，標準的版本是P．唐內里(Tannery，1843—1904，法國數學史家)編輯、校訂的希-拉對照本“Diophanti Alexandrini opera omnia cum Graecis commentariis”(《亞歷山大的丟番圖全集，包括希臘文注釋》)．最流行的英譯本是T．L．希思(Heath，1861—1940)的“Diophantus of Alexan－dria，A Study in the history of Greek algebra(《亞歷山大的丟番圖，希臘代數學史研究》)．此外，還有德、法、英、俄及現代希臘語等多種譯本． 代數學的特征 希臘時代“算術”(arithmetica)一詞，主要指“數的理論”而言，大致相當于現在的“數論”．而數字的加、減、乘、除等運算則叫做“計算的技巧”(logistica)，和前者有明顯的區別．這種分法從畢達哥拉斯時代開始，一直延續到近代，例如C．F．高斯(Gau－ss)的數論名著就叫做《算術研究》(Disquisitiones Arithmeticae，1801)．丟番圖《算術》也是講數論的，它討論了一次、二次以及個別的三次方程，還有大量的不定方程．現在對于具有整系數的不定方程，如果只考慮其整數解，這類方程就叫做丟番圖方程，它是數論的一個分支．不過丟番圖并不要求解答是整數而只要求是正有理數． 從另一個角度看，《算術》一書也可以歸入代數學的范圍．代數學區別于其他學科的最大特點是引入了未知數，并對未知數加以運算，根據問題的條件列出方程，然后解方程求出未知數．算術也有未知數，這未知數一般就是問題的答案，一切運算只允許對已知數來施行．在代數中既然要對未知數加以運算，就需要用某種符號來表示它．就引入未知數，創設未知數符號以及建立方程的思想(雖然未有現代方程的形式)這幾方面來看，丟番圖《算術》完全可以算得上是代數．當時代數學沒有專門的名稱，algebra是9世紀花拉子米(al－Khowarizmi)以后才出現的名稱，而且直到17世紀還沒被歐洲人普遍接受．丟番圖將這方面的成果冠以算術之名是很自然的．他被后人稱為“代數學之父”也是有一定道理的． 希臘數學自畢達哥拉斯學派以后，興趣中心在幾何，他們認為只有經過幾何論證的命他才是可靠的．為了邏輯的嚴密性，代數也披上了幾何的外衣，一切代數問題，甚至簡單的一次方程的求解，也都納入僵硬的幾何模式之中．直到丟番圖，才把代數解放出來，擺脫了幾何的羈絆．例如，(a＋b)2=a2+2ab＋b2的關系在歐幾里得《幾何原本》中是一條重要的幾何定理(卷Ⅱ命題4)，而在丟番圖《算術》中只是簡單代數運算法則的必然結果． 下面通過一個例子來說明丟番圖解決問題的手法．卷Ⅱ第20題：求兩數，使得任一數的平方加上另一數等于一個平方數．([10]，p．101．)這相當于不定方程 x2+y=m2 y2+x=n2 要求所有的未知數x，y，m，n都是正有理數． 丟番圖只設一個未知數，也只使用一個未知數的符號，這是他的特點之一，今暫記作x．其余的未知數根據問題的具體條件用含x的一個簡單式子表示出來．本例的條件是x2加上另一個未知數等于一個平方數，故可設這個未知數是2x+1，因為x2+ 2x+1正好是一個完全平方．其次，還應該滿足 (2x+1)2+x=平方數． 丟番圖設右端是(2x-2)2，顯然是想使展開后左右兩端相同的4x2項 -2是怎樣來的？不妨先令右端是(2x+a)2=4x2+4ax+a2， 原文很簡單，沒有說明這樣設未知數的理由，更沒有給出一般的法則．他雖然知道問題有多個答案，但常常得到一個答案就已滿足．他認為代數方法(可理解為一種倒推法，先假設未知數存在，列出方程然后求解)比幾何的演繹陳述更適宜于解決問題．解題的過程中顯示出高度的巧思和獨創性，在希臘數學中獨樹一幟．有的數學史家說，如果丟番圖的著作不是用希臘文寫的，人們就不會想到這是希臘人的成果，因為看不出有古典希臘數學的風格，從思想方法到整個科目結構都是全新的．如果沒有丟番圖的工作，也許人們以為希臘人完全不懂代數．有人甚至猜想他是希臘化了的巴比倫人． 代數符號 G．H．F．內塞爾曼(Nesselmann，1811—1881)根據符號使用的情況，將代數學分為三類(見[12]，pp．301—306)：(1)文詞代數(rhetorische algebra)，完全用文字來敘述而不用符號；(2)簡字代數(synkopierte algebra)；(3)符號代數(symbolischealgebra)，除了個別地方，一切全用符號來表示．按照這個分類，丟番圖《算術》應該屬于第二類．符號的使用，在數學史上是一件大事．一套優良的符號，絕不僅僅是起到加快速度、節省時間的作用，它能夠準確、深刻地表達某種概念、方法和邏輯關系．一個較復雜的式子，如果不用符號而日常語言來表述，會十分冗長而含混不清．符號的發明在數學史上是一次飛躍，也是代數的特征之一，其作用是不容低估的．丟番圖創設了一些符號，多半采自相應文字的字頭，而問題的敘述主要仍然是用文字，和現代的符號代數相去甚遠，只可算是較原始的簡字代數． 號來表示它．由于丟番圖本人的原始手稿早已失傳，后人傳抄的手稿上這個符號又不很統一，故很難確知他用的是什么符號．不過幾種手稿都 記數法系統是用字母表數，如α，β，γ，δ，…分別表示1，2，3，4…；ι，κ，λ，μ，…分別表示10，20，30，40，…；ρ，σ，τ，υ，…分別表示100，200，300，400，…等等，24個字母 值得注意的是，在一份大約寫于2世紀的紙草書上，也出現和丟番圖未知數相類似的符號，上面所列的三個算題，解題方法也具有丟番圖的風格．可以想象，丟番圖的工作不是孤立的，他受到強烈的外來影響． 丟番圖所處理的問題大部分是多元的，但他只設一個未知數的符號，相當于現在的x．而和x2，x3，…，x4相當的各次冪，都有專門的名稱和符號： 名稱 符號 符號是名稱的縮寫，注意Δ，Υ，Κ是字母δ，υ，κ的大寫．這些乘冪的倒數也有專名和符號，6次以上的冪不再創設符號．未知數的系數 相乘的法則：“‘缺乏’乘以‘缺乏’得到‘存在’；‘缺乏’乘以‘存在’得到‘缺乏’”，即負乘負得正，負乘正得負， 由于沒有加號，書寫時所有的負項都放在減號的后面，如x3-5x2+8x-1寫成 原意是“屬于部分”，相當于“除以”或分數線/)，接著寫分母．例如卷10(原希臘文本卷6)第19題，將 (2x3＋3x2＋x)/(x2+2x+1) 寫成 這已非常接近現代方程的形式．最后一個符號 表示數字6，是希臘字母表以外的記號，讀作digamma． 丟番圖創用符號是一大進步，美中不足的是只用符號表示一個未知數，遇到多個未知數時仍用同一符號，這使得計算過程越來越晦澀．為了避免混淆，不得不運用高度的技巧，但這常常使方法失去普遍性．8—9世紀以后，阿拉伯人吸取了許多希臘人的成果，然而卻沒有看到符號的優點，花拉子米等人完全回到文詞代數上去，這是歷史上的倒退． 《算術》的典型問題和解答 (一)一、二、三次方程《算術》沒有系統地給出一、二次方程的解法．大概是一元一次方程太簡單，沒有必要單獨論述，實際它已包含在axn=b類型的方程之中．經過移項、消去等手續，有些問題化為這類方程之后，立即得到解答．不管答案有幾個，丟番圖僅滿足于一個答案．他完全排斥負數解答，例如卷9(原希臘文本卷5)第2題最后化為4=4x+20，他認為是荒謬的．無理數的解答也不取。如卷7第31題，最后得3x＋18=5x2，他說這方程是不合理的，還反過來考慮怎樣改變系數，才使得答案“合理”(即為有理數)．對于答案x=0也是棄之而不顧． 關于二次方程，丟番圖在序言中就說過要給出完整的解法，但在現存的各章中均未見到，很可能恰好寫在失傳的部分或別的什么地方．另一種意見認為二次方程的解法早已為巴比倫人所知，可以作為閱讀本書的預備知識，不必另作介紹．([6]，p．76．) 不管怎樣，書中確實出現了若干二次方程或可歸結為二次方程的問題，希思就列舉了十幾個例子，其中包括二次不等式．這些例子足以說明丟番圖熟練掌握了二次方程的求根公式．當然仍然是限于正有理根．有的學者認為他不知道二次方程可能有兩個根，這是很難令人相信的．不過他始終只取一個根，如果有兩個正根，他就取較大的一個． 較簡單的例子如第1卷27題：兩數之和是20，積是96，求這兩數．解法是：設兩數分別是10+x，10-x，于是(10+x)(10-x)=102-x2=96，x2=4．x=2，兩數是12，8． 卷1第28題：兩數之和是20，平方和是208，求這兩數．同樣設兩數是10+x，10-x，則(10+x)2+(10-x)2=208，x=2，兩數是12，8． 較復雜的含一次項的例子如8卷31題，最后得到325x2=3x+18；應有兩根x=6/25，-3/13，只取正根，負根不提． 更復雜一點的例子是卷9第10題，導致不等式 17x2+17＜72x＜19x2+19， 相當于不等式組 正確的答案應該是 β1＜x＜β2，α2＜x＜α1， 其中 是方程17x2-72x＋17=0的兩個根． 是方程19x2-72x+19=0的兩個根． 遇到兩個正根的時候，丟番圖只取較大的，故只取α2＜x＜α1，對于無理數，則取近似值．但要保證x落在區間(α2，α1)內，α2只能取過剩近似，而α1只能取不足的．丟番圖將 分子的小數部分略去，均取不足近似值，給出答案 這里可以看到丟番圖的局限性．用現代的理論，要找出較好的答案是不難的，例如可取 全書唯一的一個三次方程，出現在卷10(原希臘文本卷6)第17題： 求直角三角形的三邊，已知它的面積加上斜邊是一個平方數，而周長是一立方數． 這相當于 其中a，b，c是三邊． a=2，b=x，而c=M2-x，暫設為16-x，于是周長a＋b＋c=16-x＋2＋x=18，但18不是立方數．仍假設它是一個平方數加2，現改變這個平方數，使它加2后成為立方數．即找兩個數M，N，滿足M2＋2=N3．現設M=m＋1，N=m-1，代入得 m2+2m+3=m3-3m2+3m-1 于是有m=4． 他顯然省略了下面的步驟，合并同類項，得 4m2+4=m3+m 約去因子m2+1． 由此知M2=25，N=27．仍設面積為x，而將斜邊改為25-x，a=2，b=x，根據勾股定理 x2-50x+625=x2+4， 即得 在《算術》遺失的章節中是否還有三次方程的專門論述，不得而知． (二)不定方程 例1．卷2第8題：將一個已知的平方數分為兩個平方數．例如將16分成兩個平方數． 設一個平方數是x2，那么另一個是16-x2，現要求16-x2是一平方數．即 16-x2=M2 不妨設M=mx-4，其中m是某一整數，而4是16的平方根．例如令m=2，于是 16-x2=4x2-16x+16， 立刻得到 前面已經提到，費馬對這一命題很感興趣，在旁邊的空白處寫下著名的“費馬大定理”． 例2、卷4(阿拉伯文本)第3題：求兩個平方數，使其和是一個立方數．(見［6］，pp．89，286．) 設較小的平方數是x2，較大的平方數是4x2，其和5x2必須是立方數M3，不妨設M是x的某一倍數，比方說就設它是x，于是5x2=x3，x=5．所求的兩個平方數是25和100，其和等于53=125． 丟番圖照例不說明所作假設的理由，更不給出一般的解答，既然是不定方程，找到一個答案就算完結．本例實際上可作更一般的假設．設 給出一般的解，是極個別的情形．如8卷39題，由方程3x2+12x＋ 6倍增加12，除以數的平方與3的差． 例3．高階不定方程．卷8第18題：求兩數，使得第一數的立方加上第二數是一個立方數，而第二數的平方加第一數是一個平方數．相當于聯立不定方程 設第一數是x，則第二數是一個立數M3減去x3，暫設這個立方數是8，第二數是8-x3，它的平方加上第一數是 64-16x3+x4+x=N2． 可設N是三次式x3+8，因為展開后即將x4及常數64消去．合并同類項后得x=32x3，約去x得x2=1/32．這不是一個平方數(平方根不是有理的)，問題仍未得到解決． 觀察32的來源，它是2·2·8的結果，而8是開頭暫設的立方數M3，設法改變M的值，使4M3=平方數，不妨令這平方數是16M2，于是4M3=16M2，M=4． 仍設第一數為x，重新設第二數為64-x3，它的平方加上第一數 4096-128x3+x4+x=(x3+64)2， 丟番圖的方法 現存的《算術》以問題集的形式收錄了290個題目，其中希臘文本189個，阿拉伯文本101個，此外還有十幾個引理和推論，合起來共三百多個問題．大體上按由易到難排列，但很難看得出是用什么標準來分類的．解題的方法更是五花八門，沒有一定的法則．數學史家H．漢克爾(Hankel，1839—1873)說：“近代數學家研究了丟番圖的100個題后，去解101個題，仍然感到困難．……丟番圖使人眼花繚亂甚于使人欣喜”．(見［15］，p．165；［16］，p．36．)這話稍嫌夸張，卻抓住了問題的要害．丟番圖沒有著力去探求一般性的解法，或去深究豐富多采的解法之間的內在聯系，這是《算術》的最大缺點． 有兩件事自始至終防礙他取得普遍性的方法．首先，他只用一個符號表示未知數，遇到多個未知數時，不得不用“第一個、第二個、第三個、……”或“大的、中的、小的…”等詞句去表達．在多數的情況下令那些未知數取得具體的數值，于是使問題特殊化而得不到普遍的解答．其次，沒有創用符號去表示數(如現在的n，a，b，c，…一樣)，因此所有的解法都是針對具體數字而設的，對一般的數就不一定適合，這樣當然得不到一般的解法． 盡管如此，后人仍然從中摸索出若干常用的方法，下面僅舉幾個簡單的例，以見一斑． (1)利用一些恒等式，如 可使兩數的積與和、差互化．如卷2第11題：求一數，使其加上2是一平方數，加上3也是平方數．即 (2)兩數和為已知數M，或兩數一大一小，通常設這兩數是M＋x，M-x，然后使其滿足其他條件．如前面舉過的卷1第28題． (3)《算術》除卷1外，其余的幾乎全是不定方程，特別是牽涉到平方數、立方數．常出現一個或多個這種類型的方程： Ax2+Bx+C=M2． 可設M是x的一次式，適當選擇系數使展開后可消去二次項或常數項． (4)使問題特殊化．為了減少未知數的個數，先令某些未知數取滿足一定條件的具體數值，以后不合適時再改變原先的假設． (5)近似法．令未知數取某種類型的數值，且滿足一定條件，這樣先求出近似答案，并在計算過程中發現求得正確答案的途徑． 以卷9第9題為例：將1分為兩部分，使一個已知數加上任何一部分都是平方數． 設這個已知數是6，問題于是轉化為將13分為兩個平方數，使每一個平方數都＞6，即13=M2＋N2，M2＞6，N2＞6． (3-9x)2+(2＋11x)2=13， 丟番圖沒有進一步推廣，實際上，如設 (3-mx)2+(2+nx)2=13， 選擇m，n，使滿足 數和是1，每一個加上6都是平方數．如令m=13，n=16，則得另一組 其他著作 丟番圖的《多角數》只殘存一部分，它證明的方式純粹是幾何的，倒很接近古典希臘的風格，而和《算術》迥然不同．多角數(polygonal number)是形數(figurate number)的一種．用點子表示數，可以構成各種平面或立體圖形，這個數叫做形數．如6個點構成一個三角形，6就是三角數 ．同樣，1，5，12，22，35，…都是五角數，如22個點構成一個正五角形，它的邊是4(每邊有4個點，用n表示這個數)，角數是5(用a表示)．n，a與總的點數P之間有公式聯系起來： 多角數是一個古老的課題，源出于畢達哥拉斯，后經菲利波斯(Philippos，公元前360年前后)、斯皮尤西波斯(Speusippus，公元前340年前后)等人研究．上述公式是許普西克勒斯(公元前175年前后)給出的，丟番圖在《多角數》中加以引用并推廣，還建立了其他的公式． 另一本著作《推論集》載有若干數論的引理及推論，可以看作《算術》的一部分或補充． 來源及影響 從古代埃及、巴比倫的衰亡，到希臘文化的昌盛，這過渡時期沒有留下什么數學典籍，所以現在的了解是不夠的．巴比倫人在代數方面(如二次方程、不定方程)有很高的成就，丟番圖的技巧和他們頗有相似之處．例如S．甘茲(Gandz)指出，《算術》卷2第10題(將已知數分為二個平方數之差)已在巴比倫的泥板上見到．見［17］，pp．13—14．)丟番圖常滿足于問題的解決(得到一個解)而不去追求方程的全部解，《算術》與其說是代數教科書，不如說是一本問題集，這些地方都和巴比倫數學相仿．他的工作有時被說成是“盛開的巴比倫代數的花朵”． 不管丟番圖受到巴比倫人的多少影響，他畢竟大大超越了前人，在數論和代數領域作出了杰出的貢獻，開辟了廣闊的研究道路．如系統地使用了符號，深入討論了抽象的數而不是埃及、巴比倫數學中具體的麥粒數目、田畝的面積或貨幣的單位．這是人類思想上一次不尋常的飛躍，不過這種飛躍在早期希臘數學中已出現．巴比倫人曾致力于將三次方程化為n3+n2=a的形式，以便借助數表去求近似解，而丟番圖的興趣是求精確的有理數解．在多方面顯示出驚人的睿智和獨創性． 8，9世紀以后，丟番圖的著作傳到阿拉伯國家，產生巨大的影響，出現多種翻譯和注釋本．如凱拉吉(al-Karajī或al－Karkhī，活動于1020前后)的代數著作《發赫里》(al-Fakhrī)就直接引用《算術》前3卷的若干題目．在歐洲，L．斐波那契(Fibonacci，約1170—約1250，意大利人)的《算盤書》(Liber abaci，1202)最早載有丟番圖類型的問題，他顯然是通過阿拉伯文本去熟悉丟番圖的．近代數學家如費馬、F．韋達(Vieta)、歐拉、高斯等也都受到丟番圖的許多啟發，各自取得巨大的成就．總而言之，丟番圖的《算術》雖然有許多不足之處，但瑕不掩瑜，它仍不失為一部承前啟后的劃時代著作． |
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