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凱萊 張祖貴 (中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所) 凱萊， A．(Cayley， Arthur)1821年8月 16日生于英國薩里的里士滿； 1895年1月 26日卒于英國劍橋．?dāng)?shù)學(xué)、天文學(xué)． 凱萊的父親亨利·凱萊(Henry Cayley)是一位在俄國圣·彼得堡從事貿(mào)易的英國商人，其母瑪麗亞·安東妮婭·道蒂(Maria Antonia Doughty)據(jù)說有俄羅斯血統(tǒng)．在父母的一次回英國短期探親期間，凱萊降生在英國，他是父母的第二個孩子．不久，凱萊隨父母到了俄羅斯．凱萊主要在俄國度過童年． 1829年，凱萊的父親退休，于是全家回英國定居．凱萊被送到倫敦布里克里什一所小規(guī)模的私立學(xué)校念書，在學(xué)校里，他充分顯示了數(shù)學(xué)天才，尤其是在數(shù)值計算方面有驚人的技巧．14歲時，父親將他送到倫敦國王學(xué)院學(xué)習(xí)，國王學(xué)院的教師們十分欣賞凱萊的數(shù)學(xué)才能，并鼓勵他發(fā)展數(shù)學(xué)能力．開始時父親從商人的眼光出發(fā)強烈反對他將來成為一名數(shù)學(xué)家，但父親最終被校長說服了，同意他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)．17歲那年，凱萊進入著名的劍橋大學(xué)三一學(xué)院就讀，他在數(shù)學(xué)上的成績遠遠超出其他人．他是作為自費生進入劍橋大學(xué)的，1840年成了一位獎學(xué)金獲得者．1842年，21歲的凱萊以劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)榮譽學(xué)位考試一等的身份畢業(yè)，并獲得了更困難的史密斯獎金考試的第一名． 1842年10月，凱萊被選為三一學(xué)院的研究員和助教，在他那個時代乃至整個19世紀(jì)，他是獲得這種殊榮的人中最年輕的一位，為期三年．其職責(zé)是教為數(shù)不多的學(xué)生，工作很輕松，于是他在這一時期的大部分時間內(nèi)從事自己感興趣的研究，他廣泛閱讀C．F．高斯(Gauss)、J．L．拉格朗日(Lagrange)等數(shù)學(xué)大師的著作，并開始進行有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)工作．三年后，由于劍橋大學(xué)要求他出任圣職，于是他離開劍橋大學(xué)進入了法律界． 按照成為一名高級律師的要求，凱萊必須專門攻讀法學(xué)課程，于是他進了英國林肯法律學(xué)院，1849年取得律師資格．值得注意的是，在19世紀(jì)，英國許多一流的大法官、大律師都是像凱萊這樣的劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)榮譽學(xué)位考試一等及格者． 凱萊取得律師資格后，從事律師職業(yè)長達14年之久，主要處理與財產(chǎn)轉(zhuǎn)讓有關(guān)的法律事務(wù)．作為一位名聲與日俱增的大律師，他過著富裕的生活，并且為從事自己喜愛的研究積攢了足夠的錢．然而，在這段作為大律師的時間里，他擠出了許多時間從事數(shù)學(xué)研究，發(fā)表了近300篇數(shù)學(xué)論文，其中許多工作現(xiàn)在看來仍然是第一流的和具有開創(chuàng)性的． 正是在擔(dān)任律師的時期，凱萊與著名的美國數(shù)學(xué)事業(yè)創(chuàng)始人之一J．J．西爾維斯特(Sylvester)開始了長期的友誼與合作．西爾維斯特從1846年起由數(shù)學(xué)界進入法律界，1850年取得律師資格，于是，兩人作為法律界的數(shù)學(xué)家結(jié)識而走到了一起．1851年，兩人開始用書面形式表達對對方給予自己在數(shù)學(xué)方面的幫助的感激之情．在1851年出版的一篇論文中，西爾維斯特寫道：“上面闡明的公理部分是在同凱萊先生的一次談話中提出的……我感激他使我恢復(fù)了享受數(shù)學(xué)生活的樂趣．”1852年，西爾維斯特提到凱萊“慣常講的話都恰如珍珠寶石．”凱萊與西爾維斯特被認(rèn)為共同創(chuàng)立了不變量的代數(shù)理論．E．T．貝爾(Bell)稱他們是“不變量的孿生兄弟”． 凱萊時刻準(zhǔn)備放棄律師職業(yè)，從事他所喜愛的數(shù)學(xué)研究事業(yè)．機會終于來了．1863年，劍橋大學(xué)新設(shè)立了一個薩德勒(Sadler)純粹數(shù)學(xué)教授席位，由于出色的數(shù)學(xué)工作，凱萊被任命為首位薩德勒數(shù)學(xué)教授，他擔(dān)任這一教席直至去世．雖然作為數(shù)學(xué)教授的收入遠比作為一名大律師少，但他卻感到十分高興．他將全部精力投入到數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)之中，高質(zhì)量、高產(chǎn)地奉獻出一個又一個重要的數(shù)學(xué)成果． 在劍橋大學(xué)，凱萊還被委任大學(xué)行政工作，他的辦事經(jīng)驗和風(fēng)格，不受個人情感影響的判斷力，特別是他的法律知識、在法律界的聲譽與其行政管理能力相結(jié)合，使他對劍橋大學(xué)的管理與發(fā)展做出了重要貢獻．由于他的不懈努力，創(chuàng)建于中世紀(jì)的劍橋大學(xué)終于允許婦女注冊入學(xué)了． 1881—1882年，凱萊應(yīng)西爾維斯特之邀前往美國霍普金斯大學(xué)進行為期半年的講學(xué)．1855年，西爾維斯特離開法律界開始任數(shù)學(xué)教授，并于1876年受邀到霍普金斯大學(xué)擔(dān)任數(shù)學(xué)教授，1878年創(chuàng)辦《美國數(shù)學(xué)雜志》(American Journal of Mathematics)．凱萊又與西爾維斯特在一起從事了一段時間的數(shù)學(xué)研究工作． 1883年，凱萊被任命為英國科學(xué)促進協(xié)會主席，為英國科學(xué)的持續(xù)發(fā)展、科學(xué)普及做出了重要貢獻． 由于杰出的學(xué)術(shù)成就，凱萊獲得了大量的學(xué)術(shù)榮譽，其中包括1859年當(dāng)選為皇家學(xué)會會員，獲得英國皇家學(xué)會的皇室勛章，1881年獲得英國皇家學(xué)會的柯普雷勛章．今天，劍橋大學(xué)三一學(xué)院安放著一尊凱萊的半身塑像． 凱萊僅出版了一部專著《橢圓函數(shù)論》(Treatise on ellipticfunctions，1876)，然而他卻發(fā)表了涉及眾多數(shù)學(xué)分支、影響十分深遠的數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)論文達966篇，1889—1898年編輯出版的《凱萊數(shù)學(xué)論文集》 (The collected mathematical papers of arthur ca－yley)排滿整整四開本13大卷，每卷多達600余頁！ 在成為劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)教授的同時，1863年9月，凱萊與格林威治的蘇珊·莫蘭(Susan Moline)結(jié)婚，生有一兒一女，婚姻與家庭幸福美滿．他一生所經(jīng)歷的一切，無論是事業(yè)還是家庭、愛情，無論是作為數(shù)學(xué)家，還是作為律師和行政官員，都是令人羨慕的． 凱萊在數(shù)學(xué)上最早、最重要的工作之一，是創(chuàng)立不變量理論。 受拉格朗日、高斯尤其是G．布爾(Boole)有關(guān)二次型論文的啟發(fā)，凱萊在1843年22歲時即開始計算n次型的不變量，即在變換下n次型具有哪些不變量——哪些量經(jīng)變換后只相差某個因子． 1845年，凱萊發(fā)表“線性變換理論”(On the theory of lineartransformation)一文，探討求不變量的方式．開始，他稱不變量為“導(dǎo)出數(shù)”(derivative)，即“從一個給定的函數(shù)按任意方式(即變換)導(dǎo)出的一個函數(shù)”，后來他又稱不變量為“超級行列式”(hyper－determinants)．他在這些文章中給出了如何求n次齊次函數(shù)的不變量的計算方式． 1846年，凱萊發(fā)表“論線性變換”(On linear transformation)一文，引入了“協(xié)變量”(covariance)的概念． 這兩篇文章奠定了凱萊作為不變量創(chuàng)立者的地位．無論是布爾、F．M．G．艾森斯坦(Einsenstein)或拉格朗日、高斯都沒有明確表述出不變量的概念，他們(主要指布爾)都沒有找出求不變量的一般方法．凱萊是第一位表述在一般意義下的代數(shù)不變量問題的數(shù)學(xué)家，他第一個深入研究求不變量的一般方法，發(fā)明了一種處理不變量的符號方法，并且得到了一系列重要結(jié)果． 從1854年開始，凱萊連續(xù)發(fā)表了一系列共10篇論代數(shù)形式的學(xué)術(shù)論文，“代數(shù)形式”(quantics)是他用來指稱2個、3個或多個變量的齊次多項式的名詞，最后一篇這方面的論文發(fā)表于1878年，這一組論文中得到了一系列漂亮、簡捷、富有啟發(fā)性的關(guān)于不變量的結(jié)果．如對于二元四次型 凱萊經(jīng)過精細(xì)的計算，證明了f的黑塞(Hesse)行列式 及f與H的雅可比行列式 都是f的協(xié)變量，并且證明 g2=ac-4bd+3c2， 是f的不變量． 凱萊還深入研究了不變量的完備系問題，他證明了，艾森斯坦所求得的二元三次式，他本人求得的二元四次式的不變量與協(xié)變量，分別是兩種情況下的完備系．凱萊在不變量理論奠基性的創(chuàng)造工作中，還涉及到了眾多其他數(shù)學(xué)分支重要而基本的問題． 受凱萊的影響，西爾維斯特在不定量理論的創(chuàng)立過程中也做了許多杰出而基本的工作，“不變量”(invariant)這個術(shù)語就是西爾維斯特引進的．凱萊對不變量理論傾注了極大的熱情與精力，他的工作開創(chuàng)了19世紀(jì)下半葉研究不變量理論的高潮．P．果爾丹(Gordan)大半生致力于研究不變量，給出了如何計算完備系等重要方法，被稱為“不變量之王”．1885年，D．希爾伯特(Hilbert)完成不變量方面的博士論文，以后又在不變量理論方面做了劃時代的工作．果爾丹的學(xué)生、20世紀(jì)最重要的女?dāng)?shù)學(xué)家E．諾特(Noether)在1907年即以“三元雙二次型的不變量完備系” (On complete systems of invariants for ternary biquad－ratic forms)為其博士論文，并以此為出發(fā)點，進行了一系列卓有成效的工作．更重要的是，在19世紀(jì)70—90年代，數(shù)學(xué)家們利用不變量理論統(tǒng)一了數(shù)學(xué)中的許多領(lǐng)域．凱萊開創(chuàng)的這一數(shù)學(xué)理論顯示出了異乎尋常的意義． 矩陣論是凱萊的另一項重要數(shù)學(xué)工作，他被認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者．他曾指出，從邏輯上來說，矩陣的概念應(yīng)先于行列式的概念，但在歷史上卻正好相反．他第一個將矩陣作為一個獨立的數(shù)學(xué)概念、對象而討論，并且首先發(fā)表了一系列討論矩陣的文章，因此他作為矩陣代數(shù)的創(chuàng)立者是當(dāng)之無愧的．他曾指出：“我決然不是通過四元數(shù)而獲得矩陣概念的；它或是直接從行列式的概念而來，或是作為一個表達方程組 x′=ax＋by， y′=cx+dy 的方便的方法而來的．”可見，凱萊是在研究線性變換下不變量時開始 在1858年的第一篇矩陣文章“矩陣論的研究報告”(A me-moir on the theory of matrices)中，凱萊引進了矩陣的基本概念和運算．給出了零矩陣、單位矩陣的定義．兩個矩陣的和的矩陣定義為，其元素是兩個相加矩陣的對應(yīng)元素之和，他注意到，上述定義不僅適用于n×n矩陣，而且可用于任意的m×n矩陣，他指出，矩陣加法滿足結(jié)合律和交換律．對于一個數(shù)m，凱萊定義mA為這樣的矩陣，其每一個元素都是A的對應(yīng)元素的m倍． 凱萊給出了矩陣乘法的定義，并著重強調(diào)，矩陣乘法是可結(jié)合的，但一般不滿足交換律．他還給出了求矩陣的逆矩陣(如果有的話)的一般方法． 在矩陣論研究中，凱萊給出了矩陣代數(shù)一系列重要而基本的性質(zhì)，如有關(guān)轉(zhuǎn)置矩陣、對稱矩陣、斜對稱矩陣的定義與性質(zhì)． 凱萊引入了方陣(n×n矩陣)的特征方程的概念．對于矩陣M，I是單位矩陣，M的特征方程是(定義為) |M-xI|=0， 此處|M-xI|是矩陣M-xI的行列式，特征方程展開為 xn-A0xn-1+…＋(-1)n|M|=0， 該方程的根是矩陣的特征值(或特征根)．1858年，凱萊發(fā)表文章指出，在上述方程中用M代替x，則得到一個零矩陣，于是，他給出了現(xiàn)在稱為任意方陣的凱萊-哈密頓定理． 值得指出的是，1841年凱萊已經(jīng)引入兩條豎線作為行列式符號，如 隨后，矩陣代數(shù)在19世紀(jì)沿著兩個方向發(fā)展，一個是凱萊與西爾維斯特所擅長的抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)，另一個則是被用于幾何學(xué)上． 凱萊將矩陣論與超復(fù)數(shù)等線性結(jié)合代數(shù)聯(lián)系起來考慮．的確，四元數(shù)是他關(guān)注的一個重要方面，因為四元數(shù)提供了一個不具有乘法交換性的代數(shù)，這使得他在考慮矩陣乘法時有了先例．當(dāng)然，如他所宣稱的那樣，他的矩陣概念不是通過四元數(shù)而獲得的．但是，他本人的確對四元數(shù)以及由此而產(chǎn)生的超復(fù)數(shù)系研究十分感興趣．在1843年W．R．哈密頓(Hamilton)宣告四元數(shù)的發(fā)明之后，凱萊在1847年給出了實四元數(shù)的一個八單元的推廣，這種八單元(可以看作八元數(shù)的特例)的單元是1，e1，e2，…，e7，具有如下性質(zhì) 對三足標(biāo)的每一個集合循環(huán)地進行排列，從上述后7個方程可得到14個方程，如e2e3=e1；e3e1=e2．這種八單元(八元數(shù))也不具有乘法交換律．此外，凱萊還給出了超復(fù)數(shù)代數(shù)．1858年，他提出了將超復(fù)數(shù)當(dāng)作矩陣看待的思想，為研究超復(fù)數(shù)代數(shù)提供了新的工具． 研究線性變換下的代數(shù)不變量不僅使凱萊創(chuàng)立了矩陣論，而且還使他在幾何研究方面做出了杰出貢獻．他以代數(shù)觀點研究幾何在19世紀(jì)上半葉獨樹一幟．在研究不變量問題時，他對代數(shù)形式(齊次多項式型)的幾何解釋很感興趣，如f的一個協(xié)變量代表某一圖形，它不僅相關(guān)于f而且射影相關(guān)于f．為了要證明度量概念能夠用射影語言來表達，凱萊致力于歐氏幾何與射影幾何關(guān)系的研究．在這方面，他的最好的工作是10篇論代數(shù)形式系列論文中的“關(guān)于代數(shù)形式的第6篇論文”(Sixth memoir upon quan-tics，1859)．在這篇文章中，他給出了一種關(guān)于圖形度量性質(zhì)的新意義．對于二維情形，用任一二次曲線代替虛圓點，在三維時他則引入二次曲面，并將這些圖形稱為絕對形．于是他斷言，圖形所有的度量性質(zhì)，是加上了絕對形或者關(guān)于絕對形的射影性質(zhì)． 凱萊從平面上的點可以用齊次坐標(biāo)表示的事實出發(fā)，定義距離與角度．首先，他引入二次型 與雙線性型 方程F(x，x)=0定義為一條二次曲線，即上述凱萊的絕對形．絕對形的線坐標(biāo)方程則為 其中Aij是F的系數(shù)行列式中aij的余因子． 然后，凱萊定義兩點x=(x1，x2，x3)，y=(y1，y2，y3)間的距離 定義線坐標(biāo)為u=(u1，u2，u3)，v=(v1，v2，v3)的兩直線的夾角φ為 取絕對形二次曲線為無窮遠圓點(1，i，0)及(1，-i，0)，凱萊證明，上述關(guān)于距離與角度的公式可化成普通的歐氏幾何中相應(yīng)的公式．在上述定義中，長度和角度的表達式中包含絕對形的代數(shù)表達式． 凱萊指出，任一歐氏幾何度量性質(zhì)的解析表達式包含著該性質(zhì)與絕對形的關(guān)系式，度量性質(zhì)不是圖性本身的性質(zhì)，而是圖形相關(guān)于絕對形的性質(zhì)，因此一般的射影關(guān)系決定度量性質(zhì)，也就是說，射影關(guān)系更為重要，度量幾何只不過是射影幾何的一部分，是其特例．他的這種思想，深深地影響了德國的F．克萊因(Klein)，克萊因認(rèn)識到，利用凱萊的上述觀點，有可能把非歐幾何、雙重幾何、橢圓幾何(二重)都包括在射影幾何．沿著這一研究方向，克萊因成功地在1872年完成了對當(dāng)時各種幾何學(xué)分支的統(tǒng)一工作． 考慮用代數(shù)方法研究幾何問題，實際上也是凱萊試圖弄清楚當(dāng)時新出現(xiàn)的非歐幾何與其他幾何關(guān)系的重要方面，他非常渴望能將非歐幾何、仿射幾何、歐氏幾何在某種形式下統(tǒng)一起來，尤其是希望能在歐氏幾何中實現(xiàn)非歐幾何．他在非歐幾何的研究方面做了不少工作，可是他只對歐氏幾何的實在性深信不疑，他只接受那種能用新的距離公式在歐氏空間實現(xiàn)的非歐幾何．他在1883年就任英國科學(xué)促進會主席的致詞中，關(guān)于非歐幾何的觀點占了很大的篇幅，他說非歐空間是一個先驗性的錯誤思想，非歐幾何只不過是在歐氏幾何中引進新的距離函數(shù)后所得到的新奇結(jié)果，認(rèn)為“歐氏空間長期以來一直被當(dāng)作是我們經(jīng)驗的物理空間，所以幾何學(xué)的命題不僅僅近似地是真實的，而且還是絕對真實的．”因此，他不承認(rèn)非歐幾何的獨立存在性，認(rèn)為它們只不過是一類特殊的歐氏幾何結(jié)構(gòu)或者是歐氏幾何中表示射影關(guān)系的一種方式．因而他關(guān)于幾何學(xué)各分支統(tǒng)一的觀點是“射影幾何是所有的幾何，反之亦然．”這在19世紀(jì)下半葉是非常具有創(chuàng)見的，盡管他沒有承認(rèn)非歐幾何與歐氏幾何一樣基本，一樣具有實用性和實在性． 在一定程度上，凱萊可以說是n維幾何(高維幾何)、高維抽象空間的創(chuàng)始人之一．他通過將n×m矩陣方面的工作類比于幾何中的概念，從而實現(xiàn)了高維空間的解釋．另一方面，他在幾何研究中也應(yīng)用了高維空間的思想． 歷史上，拉格朗日、J．R．達朗貝爾(d’Alembert)、A．F．麥 般認(rèn)為，H．G．格拉斯曼(Grassmann)在1844年建立了完全一般的n維幾何概念，因而被認(rèn)為是高維幾何的奠基人． 實際上，與格拉斯曼完全獨立，凱萊也進行了用分析方法研究n維幾何的工作．1843年，凱萊在考慮行列式的性質(zhì)時，提出行列式各行(n×n行列式)形成n維空間的坐標(biāo)．1843年，他寫成了“n維解析幾何的幾章”(Chapters in the analytical geometry of n－dimensions)，于1845年發(fā)表在《劍橋數(shù)學(xué)雜志》(Cambridge Mathematical Journal)上．他認(rèn)為，研究n維幾何“無需求助于任何形而上學(xué)的解釋．”在這篇文章中，他給出了關(guān)于n個變量的分析結(jié)果，表明他已完全抓住了n維幾何的概念．這篇文章雖然標(biāo)題是關(guān)于n維解析幾何的，但主要內(nèi)容卻是關(guān)于任意多個變量的齊次線性方程組的非零解的問題，可見，他是通過分析、代數(shù)方法而引入了n維空間． 1846年，在闡述一些特殊的綜合幾何定理時，凱萊已經(jīng)利用了四維空間．不僅如此，凱萊還為高維空間幾何引進了一系列術(shù)語．他曾使用“超行列式”來表示不變量，又曾引入“超橢圓θ函數(shù)” (hyperelliPtic theta functinons)．在1870年的“關(guān)于抽象幾何的學(xué)術(shù)論文”(Memoir on abstract geometry)中，他引入了“超空間”(hyperspace)、“超幾何”(hypergeometr)．他還考慮過由一組關(guān)于超二次曲面共軛的線性方程所確定的(m-n)維空間中的點，其每一點的坐標(biāo)滿足某個由行列式確定的方程，其中這個行列式涉及到超二次曲面的偏微分方程的系數(shù)．1860年，他還推導(dǎo)出了六元齊次坐標(biāo)系統(tǒng)．可見，他不僅引入了n維空間的概念，還對高維空間進行了深入研究． 在高次曲線、曲面的研究方面，凱萊得到了一系列重要結(jié)果，如他1843年得到的“凱萊相交定理” (Cayley’s intersection theo－rem)、關(guān)于高次曲線相交的“凱萊-巴赫拉切定理”(Cayley－Bacha－rach theorem)． 1866年，在“論平面曲線的高度奇異性”(On thehigher singulorities of a plane Curve)一文中，他發(fā)現(xiàn)了大量重要的定理，其中涉及到尖點(cusp)、二重切線、拐切線、結(jié)點的大量性質(zhì)．他還仔細(xì)考查了17，18世紀(jì)I．牛頓(Newton)、J．斯特靈(Stirling)、G．克萊姆(Cramer)所討論的三次曲線的性質(zhì)，以及19世紀(jì)J．普呂克(Plücker)的三次曲線理論，他系統(tǒng)地給出兩個不同的三次曲線研究綱領(lǐng)的關(guān)系．他在1849年發(fā)現(xiàn)，每個三次曲面上恰好存在27條直線(每一條直線代表一類)，其中包括某些虛直線；在一條非奇異的四次平面曲線上，恰好存在28條雙切線．這些重要工作，為后來幾何學(xué)的研究提供了重要線索，不少工作為后來的數(shù)學(xué)家所發(fā)展，如“凱萊-塞蒙定理”(Cayley－salmon theorem)等． 在曲面的代數(shù)幾何中，凱萊不僅由于其不變量理論的創(chuàng)造奠定了直至今天的發(fā)展方向，他還在1869年和1871年的論文中研究了曲面的算術(shù)虧格等問題，得到了一些比較重要的結(jié)果． 凱萊在19世紀(jì)下半葉群論的發(fā)展中起了十分重要的作用．在群論的創(chuàng)造者E．伽羅瓦(Galois)及當(dāng)時相當(dāng)多的數(shù)學(xué)家的群論研究中，置換群居于中心地位，甚至有不少人認(rèn)為群論就是研究置換群．第一個改變這種狀況的是凱萊，他首先認(rèn)識到，置換群的概念可以推廣．在1849年發(fā)表的“關(guān)于置換群的注記”(Note onthe theory of permutations)中，他引進了抽象群的概念，以后在1854，1859年發(fā)表的兩篇文章中更進一步討論了這一問題．他將一個一般的算子符號θ作用于一組元素x，y，z，…，這樣作用的θ產(chǎn)生關(guān)于x，y，z，…的一個函數(shù)x′，y′，z′，…．凱萊指出，θ可以是一個置換，也可以是其他的運算．抽象群包含許多算子，如θ，φ，…，θφ是兩個算子的復(fù)合作用(乘積)，復(fù)合是可結(jié)合的，但不一定是可交換的，即θφ的復(fù)合結(jié)果不一定等于θφ的復(fù)合結(jié)果．他指出，在抽象群理論中，群的元素的特性并不重要，一個群是完全確定的，如果它的所有元素的可能的乘積是已知的或可確定的．用凱萊自己的話來說就是：“一個符號(算子符號)的集合，1，α，β，…，它們?nèi)幌嗤绻鼈冎腥我鈨蓚€的乘積(不考慮其次序)，或者任一符號的自乘結(jié)果，仍然屬于這個集合，那么就說它組成一個群．”由此出發(fā)，他在論文“關(guān)于群論”(On the theoryof qroups，as depending on the symbolic equationθn=I，1854年，1858年分兩次發(fā)表)中，第一次以乘法群的形式列出了一個群的元素．他舉出矩陣在乘法下，四元數(shù)在加法下構(gòu)成群的實例，來闡述抽象群(不同于置換群)．但凱萊對抽象群概念的引進在18世紀(jì) 50年代沒有引起人們的注意，可見他的理論的確是超越時代的．他發(fā)展的矩陣論、他關(guān)注的四元數(shù)當(dāng)時也是新的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而他已將這些數(shù)學(xué)成就用來作為創(chuàng)造新數(shù)學(xué)理論的素材． 凱萊繼續(xù)研究群論，并在《大英百科全書》(English cyclopaeia)中按他的抽象群概念撰寫“群論”詞條．1878年，他又連續(xù)發(fā)表了四篇有關(guān)抽象群的論文，繼續(xù)強調(diào)一個群可以看作一個普遍的概念，而不必局限于置換群，他指出雖然每個有限群可以表示成一個置換群，但抽象群更為重要．在1878年，凱萊還研究了找出具有給定階的群的全體的問題．這些文章發(fā)表后，很快在數(shù)學(xué)界引起了反響，數(shù)學(xué)家已接受了他的觀念并進行了大量卓有成效的工作． 由于凱萊的數(shù)學(xué)成果十分豐富，所撰寫的論文數(shù)量多且涉及面廣，又有相當(dāng)高的水平，因此在數(shù)學(xué)中的眾多領(lǐng)域都有以凱萊命名的定理、公式．他曾研究微分方程的奇解問題，并在1872年將完整的奇解理論發(fā)展成了現(xiàn)代的形式．在1886年，他撰寫了關(guān)于線性微分算子理論的文章，在多篇論文中討論了與此相關(guān)的問題．凱萊在組合拓?fù)鋵W(xué)方面也進行了一些工作，尤其是在有關(guān)地圖問題的研究方面．1879年，他發(fā)表了研究“四色問題”(four－color－map problem)的論文，這是關(guān)于四色問題的第一篇研究論文，近一百多年來，這一問題引起了數(shù)學(xué)家們廣泛的研究．他對橢圓函數(shù)理論等也做出了特殊貢獻． 凱萊寫了一系列研究天文學(xué)的論文，關(guān)于月球和行星理論中的攝動函數(shù)是其研究重點．與英國天文學(xué)家J．C．亞當(dāng)斯(Adams)完全獨立，凱萊研究了地球運動軌道偏心率的變化，得到了月亮平均運動的特征加速度，不僅如此，他還給出了一種新的、更 加簡單的解決這些問題的方法，其中引入了偏心率的變差．對于亞當(dāng)斯計算出的月亮平均運動的特征加速度的新值，凱萊經(jīng)過另外一種獨立的方法給予了證明．相對來說，他在天文學(xué)方面的工作對當(dāng)時的天文學(xué)家沒有產(chǎn)生太大的影響． 凱萊富有深遠意義的創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)成就，不僅對數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠影響，而且為物理學(xué)的研究準(zhǔn)備了必不可少的工具，這種對物理學(xué)的影響甚至是超越時代的．凱萊開創(chuàng)的不變量理論，不僅在數(shù)學(xué)中成為重要而基本的內(nèi)容，而且在20世紀(jì)通過微分不變量對物理學(xué)的研究產(chǎn)生了直接的影響．他創(chuàng)造的矩陣論，給出了矩陣乘法的特殊規(guī)則以及不滿足交換律的特征．P．G．泰特(Tait)評價矩陣論的創(chuàng)造是“凱萊正在為未來的一代物理學(xué)家鍛造武器．”的確，在凱萊矩陣論的創(chuàng)造性工作六七十年后，1925年，W．海森堡(Heisenberg)發(fā)現(xiàn)，矩陣代數(shù)正是量子力學(xué)中必不可少的重要工具．著名的物理學(xué)家J．C．麥克斯韋(Maxwell)這樣評價凱萊：“他的精神擴展了普通空間，在n維空間中繁榮昌盛．” 作為一位19世紀(jì)受人尊敬的學(xué)者，凱萊有著許多優(yōu)秀的品質(zhì)．他性情溫和，判斷冷靜沉著，總是與人為善，他那律師的氣質(zhì)使他能面對任何武斷而心平氣和地處理各種事宜．對于年輕人和初學(xué)者，他總是給予幫助、鼓勵和正確的忠告．他一生對無數(shù)的學(xué)者給予了無私的幫助，他們中有西爾維斯特、泰特、塞蒙、F．高爾頓(Galton)(優(yōu)生學(xué)創(chuàng)始人)等著名學(xué)者．他為某些學(xué)者的著作撰寫整章的內(nèi)容而不留名，泰特的名著《四元數(shù)》(Quaternions)的第六章就是凱萊寫給他的信件．1885年，功成名就的西爾維斯特在他于71歲高齡就任牛津大學(xué)數(shù)學(xué)教授的演講中，衷心地贊揚道：“凱萊，雖然比我年輕，卻是我精神上的前輩——他第一個打開了我的雙眼，清除了我眼里的雜質(zhì)，從而使它們能看見并接受我們普通數(shù)學(xué)中更高深的奧秘．” 熱愛生活，享受生活，是凱萊這位數(shù)學(xué)家與眾多數(shù)學(xué)大師不一樣的方面之一．他廣泛地閱讀過許多羅曼蒂克式的文學(xué)作品，愛好旅游和領(lǐng)略大自然的美景，徒步旅行使他周游了大半個歐洲與美國．他終生都喜歡創(chuàng)作水彩畫，并顯示出了一定的天才，他對建筑和建筑繪畫也頗有研究．對大自然、對生活的美的享受，決定了他的數(shù)學(xué)觀，他對數(shù)學(xué)所做的下述描述反映了他那富有情趣的生活的影響：“很難給現(xiàn)代數(shù)學(xué)的廣闊范圍一個明確的概念．‘范圍’這個詞不確切．我的意思是指充滿了美妙的細(xì)節(jié)的范圍——不是一個像一馬平川的平原那樣單調(diào)乏味的范圍，而是像一個從遠處突然看到的遼闊美麗的鄉(xiāng)村，它能經(jīng)得起人們在其中漫步，詳細(xì)研究一切山坡、峽谷、小溪、巖石、樹木和花草．但是，正如對一切事物一樣，對一個數(shù)學(xué)理論也如此——美，只能意會不可言傳．” 從1841年20歲開始發(fā)表第一篇數(shù)學(xué)論文，凱萊不停地進行創(chuàng)造性的研究，直至去世的那一周，長期患病的痛苦也不能使他停止．接替凱萊擔(dān)任劍橋大學(xué)薩德勒數(shù)學(xué)教授的A．R．福賽思(Forsyth)寫到，凱萊“不僅僅是一位數(shù)學(xué)家．他懷著唯一的目標(biāo)……直到生命的最后一刻，始終堅持他一生為之奮斗的崇高的理想．他的一生對于那些認(rèn)識他的人有著重大的影響：他們欽佩他的品格，猶如他們敬重他的天才．在他去世時，他們感到，一個偉大的人從這個世界上消失了．” |
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