關(guān)于立體幾何解答題一題多解與多題一解的探索

摘　要:縱觀近年高考數(shù)學(xué)試題，可以看出，立體幾何解答題是歷年高考的必考題型。分值一般12分，難度屬容易或中檔題。學(xué)生得分率較高，但失分率也高。本文就2011年高考數(shù)學(xué)真題為例，對立體幾何解答題作一些歸類。關(guān)于立體幾何解答題可以歸類為一題多解與多題一解，即一類題有多種解法，多種題型可以用一種解法完成。

關(guān)鍵詞：一題多解；多題一解；立體幾何

一、一題多解

例1?。ò不绽?span>17）如圖，為多面體，平面與平面垂直，點(diǎn)在線段上，△OAB，,△，△，△都是正三角形。

（Ⅰ）證明直線∥；

（II）求棱錐F—OBED的體積。

分析：本題考查空間直線與直線，直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，空間直線平行的證明，多面體體積的計(jì)算等基本知識，考查空間想象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力.通常解法是傳統(tǒng)法和向量法。

（I）解法一（傳統(tǒng)法）：  證明：設(shè)G是線段DA與EB延長線的交點(diǎn). 由于△OAB與△ODE都是正三角形，所以

    ∥，OG=OD=2，

    同理，設(shè)是線段DA與線段FC延長線的交點(diǎn)，有

    又由于G和都在線段DA的延長線上，所以G與重合.

在△GED和△GFD中，由∥和OC∥，可知B和C分別是GE和GF的中點(diǎn)，所以BC是△GEF的中位線，故BC∥EF.

    解法二（向量法）：過點(diǎn)F作，交AD于點(diǎn)Q，連QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，為y軸正向，為z軸正向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

    由條件知

    則有

    所以即得BC∥EF.

（II）略

評注：向量法和傳統(tǒng)法有時(shí)可以轉(zhuǎn)換著使用，主要工具是利用三線垂定理及逆定理和面面垂直、線面垂直、線線垂直找出兩輛相互垂直的三條直線，進(jìn)而建立直角坐標(biāo)系。

例2　（湖北理18）如圖，已知正三棱柱的各棱長都是4，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在側(cè)棱上，且不與點(diǎn)重合．

（Ⅰ）當(dāng)=1時(shí)，求證：⊥；

（Ⅱ）設(shè)二面角的大小為，求的最小值．

本小題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系和二面角等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。（滿分12分）

解法1：過E作于N，連結(jié)EF。

   （I）如圖1，連結(jié)NF、AC1，由直棱柱的性質(zhì)知，

    底面ABC側(cè)面A1C。

    又度面側(cè)面A，C=AC，且底面ABC，

    所以側(cè)面A1C，NF為EF在側(cè)面A1C內(nèi)的射影，

在中，=1，

則由，得NF//AC1，

又故。

由三垂線定理知

（II）如圖2，連結(jié)AF，過N作于M，連結(jié)ME。

由（I）知側(cè)面A1C，根據(jù)三垂線定理得

所以是二面角C—AF—E的平面角，即，

設(shè)

在中，

在

故

又

故當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值；

，此時(shí)F與C₁重合。

解法2：（I）建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得

于是

則

故

（II）設(shè)，

平面AEF的一個(gè)法向量為，

則由（I）得F（0，4，）

，于是由可得

取

    又由直三棱柱的性質(zhì)可取側(cè)面AC1的一個(gè)法向量為，

    于是由為銳角可得，

    所以，

    由，得，即

故當(dāng)，即點(diǎn)F與點(diǎn)C1重合時(shí)，取得最小值

從上述兩個(gè)例子可以看出，立體幾何某一類解答題解法有多種，通常需要平時(shí)多總結(jié)，并比較何種方法更簡捷才能在考試時(shí)得心應(yīng)手。一般而言，向量法解決問題時(shí)，容易著手，但寫坐標(biāo)時(shí)必須細(xì)心謹(jǐn)慎。而傳統(tǒng)解法要求我們要學(xué)會(huì)作輔助線以及對線面垂直、面面垂直、線線垂直、三垂線定理等要非常有研究。不論如何，高考立體幾何一般都可以傳統(tǒng)法和向量法兩種方式來解決。

二、多題一解

高考很大一部分題都可以用向量法或轉(zhuǎn)化后用向量法來解決。

１.直接用向量法

對于三條直線已經(jīng)兩兩相互垂直的立體幾何大題，我們可以直接用向量法進(jìn)行解決。

例3?。ê侠?span>19）

如圖5，在圓錐中，已知=，⊙O的直徑,是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：平面平面;

（Ⅱ）求二面角的余弦值。

分析; OB、OC、OP所在直線相互垂直，可以直接建系

解：（向量法）（I）如圖所示，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC、OP所在直線分別為x軸、y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

，

設(shè)是平面POD的一個(gè)法向量，

則由，得

所以

設(shè)是平面PAC的一個(gè)法向量，

則由，

得

所以

得。

因?yàn)?span>

所以從而平面平面PAC。

（II）略

２.需要轉(zhuǎn)化后才能建系

如果沒有兩兩相互垂直的三直線，我們可以想辦法找出后再解決相關(guān)題目。主要是利用三線垂定理及逆定理和面面垂直、線面垂直、線線垂直找出兩兩相互垂直的三條直線，然后才建立直角坐標(biāo)系。

例4?。◤V東理18）如圖5．在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長為1的棱形，

且∠DAB=60，,PB=2,

E,F分別是BC,PC的中點(diǎn)．

（1） 證明：AD 平面DEF;

（2） 求二面角P-AD-B的余弦值．

分析：本題需要利用線面垂直進(jìn)行轉(zhuǎn)換，才好建系。

解：（1）取AD中點(diǎn)為G，因?yàn)?span>

又為等邊三角形，因此，，

從而平面PBG。

延長BG到O且使得PO OB，又平面PBG，PO AD，

所以PO 平面ABCD。

以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形的邊長為單位長度，直線OB，OP分別為軸，z軸，平行于AD的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。

設(shè)

    由于

     得

    平面DEF。

   （2）

    取平面ABD的法向量

    設(shè)平面PAD的法向量

    由

    取

例5　全國大綱理19）

如圖，四棱錐中， ,，側(cè)面為等邊三角形，．

（Ⅰ）證明：;

（Ⅱ）求與平面所成角的大小

分析：本題直接建系不能把S的坐標(biāo)寫出，故需一定的轉(zhuǎn)換。

解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CD為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C—xyz。

設(shè)D（1，0，0），則A（2，2，0）、B（0，2，0）。

又設(shè)

   （I），，

由得

故x=1。

由

又由

即

于是，

故

所以平面SAB。

（II）設(shè)平面SBC的法向量，

則

又

故

取p=2得。

故AB與平面SBC所成的角為

從上面可以看出，立體幾何多數(shù)題型都可轉(zhuǎn)化為用一種方法求解。

綜上所述，在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，我們應(yīng)該學(xué)會(huì)一題多解，把思維發(fā)散。同時(shí)要學(xué)會(huì)多題一解把無數(shù)的題歸類，走出題海的怪圈。只有這樣，我們的學(xué)習(xí)才會(huì)輕松快樂。

參考文獻(xiàn)：

①2011年高考數(shù)學(xué)試題立體幾何分類匯編

②劉福亮 《向量法在立體幾何解題中的妙用》--《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究》2009年13期

③張繼海.《高考立體幾何試題傳統(tǒng)證法的轉(zhuǎn)化思路》試題與研究·高考數(shù)學(xué) 2009年第1期