解決數論中的一些難題

本文譯自：菲爾茲獎座談會 博客
http://blog.fields./symposium/2012/09/05/the-geometric-langlands-program-with-edward-frenkel/

繁星客棧重開，我也發第二個主題貼。是為拋磚引玉

Edward Frenkel教授的主要研究方向是數學與量子物理中的對稱。他現在在做的許多問題都與朗蘭茲綱領有關。他現在是加州大學伯克利分校的數學教授。

在今年的菲爾茲獎座談會上，Frenkel會主講朗蘭茲綱領的概況。他是向公眾普及數學、改善數學映象這一行動的推崇者。

以下他對Richard Cerezo關于朗蘭茲計劃的一些問題的回答。



問：你會把朗蘭茲綱領看作聯系數論與數學分析的數學語言的發展嗎？

答：是的，實際上它更多地描述的是數論的內容。

問：你能夠詳細解釋一下嗎？

答：羅伯特·朗蘭茲在1960年代創造朗蘭茲綱領的動機，主要就是解決數論中的一些難題。

問：什么樣的難題？

假如說我們需要解方程$y^2=x^3+6x+3$,我們需要找解$x,y$,這個解不是實或復的，而是有限域$mathbb{Z}/pmathbb{Z}$中的元素，這里$p$是一個素數。也就是說，你在尋找在整數集合${0,1,cdots,p-1}$中的元素$x,y$，當你將它們帶入時，左邊與右邊只差$p$的一個整數倍——我們稱這個方程在"模$p$"意義下成立。比如，令$p=5$,取$x=1,y=2$,左邊等于$4$,而右邊等于$9$,兩邊的差為$5$.所以$x=1,y=2$是在"模$5$"意義下的解。

在數論中還有很多類似的問題。我們想知道的是，比如說，對于任意的素數$p$,在模$p$意義下有多少不同的解。這實際上是一個很難的問題。

朗蘭茲的深刻的洞察力發現，解的個數其實可以用另外一個數學領域——調和分析來進行認識。

問：什么是調和分析？

它是對于某些種類的函數的研究。比如說，我們都知道的三角函數（變量為$x$）,$sin{x},cos{x}$.我們同樣考慮$sin{(nx)},cos(nx)$，其中$n$為整數。這個思想可以追溯到19世紀傅立葉的時候。傅立葉發現，任意有周期的函數實際上可以寫成這些基本函數的疊加。這是一個了不起的發現！相信我們有一個用函數表達的信號。將它寫成三角函數的疊加實際上是將信號分解成了“基本的諧波”。這就是調和分析所做的事情：找到一些基本諧波，如同$sin(nx),cos(nx)$,但比這個要來的更廣泛。然后找到能把一般函數分解成這些諧波的方法。

這是一個美妙的理論，注意到從這個設定來看，調和分析似乎和數論離得很遠。

但是奇跡發生了：朗蘭茲猜想到這兩個領域：數論以及調和分析是緊密聯系在一起的！更準確的說，他猜測數論中的問題，如尋找模$p$的方程解的個數可以用調和分析來解決。比如說，存在一個調和函數，它“知道”任意$p$,某個方程在模$p$意義下解的個數（或者是對于知道有限個$p$的個數，但這只是一個技術上的問題）

這實在是太難以置信了，就像黑魔法一樣！這也是為什么人們對朗蘭茲綱領如此興奮：首先，它給了我們一個解決難以對付的問題的想法。然后其次，是由于它給出了關于不同數學領域深刻而基礎的聯系。所以我們想知道到底發生了什么？為什么會有這樣的聯系？我們并沒有完全理解。

所以這些是朗蘭茲綱領的起源。但是人們又發現，同樣的事情可以用到不同的數學分支上，比如幾何，甚至是量子物理。我前面曾開玩笑道，朗蘭茲綱領是數學中的大統一理論。我說這話的意思是，朗蘭茲綱領指出了一些普遍的現象，以及在不同領域見這些現象的關系。我相信這能夠幫助理解“數學究竟是什么”。

問：你能夠更深入地說說為什么朗蘭茲綱領是數學的大一統理論？

朗蘭茲綱領是一個很廣闊的問題，有許多專家工作于此。但正如我剛才所說，朗蘭茲綱領的思想已經滲透到許多數學領域中。所以有人鉆研數論，或調和分析，或幾何，或數學物理研究不同的對象，但是發現了相似的現象。對于我來說，就是研究同樣的模式怎么在不同的領域中表現的，從而找到這些領域是怎么聯系起來的。

這就像我們有一些來自不同語言的句子，我們知道這些句子說的是一件事。我們把它放在一塊，一一對應這些句子的每個單詞，最后我們能編出一本翻譯不同數學領域的詞典。

用其他的話說，我們不把朗蘭茲綱領看成數學的“領域”，而是看成“超領域”，因為它橫貫整個數學世界。

問：是否有方法更通俗易懂地解釋幾何朗蘭茲綱領？

我嘗試著給出一個讓人都明白的朗蘭茲綱領的解釋。這個解釋是基于綱領的原始想法的。

當人們提到幾何朗蘭茲綱領，他們認為是幾何中一系列類似的想法。在幾何中，除了前面我提到的模$p$代數方程以外，我們還有一些剛開始看上去很不一樣的對象：所謂的“黎曼面”。最簡單的是球，而然后我們有面包圈曲面（曲面有一個洞），然后又有丹麥酥皮餅（兩個洞），等等。為什么這些幾何物體與模$p$的方程有關還需要另外復雜的解釋，我不會在這里提到。我們只說數學家已經知道并已長時間研究的事情，所以我們相信這個類比是對的。

所以自然的問題就是：另外一邊對應的對象是什么？也就是$n$個洞的黎曼曲面對應于調和函數中什么？這個并不顯然，只在很后面，1980年代得知，是幾個偉大數學家的工作：Deligne(德利涅),Drinfeld(德林費爾德),Laumon(洛蒙)，Beilinson等等。

粗略地說，調和函數里的對象被稱為“D-模”。D-模簡要來說，是表達偏微分方程系統的數學對象。所以現在朗蘭茲聯系數論與調和分析的想法變為了連接黎曼面和D-模。這個聯系如同原來的朗蘭茲猜想一樣迷人。

問：在其他類似于菲爾茲獎座談會的會議上，人們討論的中心內容是基本引理嗎？你和你的合作者是否去試著證過這個結果？

讓我先談談基本引理。在給出他綱領的時候，朗蘭茲給出了如果他的綱領成立，那么必須成立的數學式子。他把這個結果稱為“基本引理”。為什么他認為這是引理，而非定理？我猜想他認為這是一個挺簡單的事情，人們可以直接一下子證明出來。但是，不巧的是，實際情況并不是他想象的這樣。許多數學家試圖證明該“引理”，無不以失敗告終，直到越南數學家吳寶珠給出了一個漂亮的解答。他的證明利用了全新的幾何想法（一些是先前由Goresky, Kottwitz, MacPherson以及Laumon引入的，一些是和吳寶珠本人的工作有關）

當然，人們知道基本引理是朗蘭茲計劃的核心內容。人們工作很久，并且召開了許多討論這個引理的會議。但是你必須得了解一些事情。基本引理是在原本的朗蘭茲綱領里的，更準確地說，它是調和分析里的理論。所以研究幾何朗蘭茲綱領的人，比如我，對此并沒有多少關注。但是吳寶珠證明的引人注目的一面是它完全是幾何的——于此同時，它使用了不少幾何朗蘭茲綱領的連接對象。所以吳寶珠的工作（除了證明了一個重要的未解決問題外）是將不同領域的數學家聯系到了一起。

我們菲爾茲獎座談會同樣證明了這點：我們有不同領域的專家來討論各種領域：數論，調和分析，幾何以及物理。這是吳寶珠所作的工作。這在我眼中很重要。

問：現在已經有許多著名的數學家致力于朗蘭茲綱領，它已經吸引了足夠的注意。你能給我們繼續在這個綱領上工作的理由嗎？

我們獲取更多知識，那么我們更了解自己的無知。正如我所說的，朗蘭茲綱領的美妙之處在于它給出了數學不同分支的神秘聯系。在我眼里，最大的問題是，這些聯系為什么會出現，在它們背后的機制是什么。我們仍然不知道，但是我們在為此工作。比如說我最近與朗蘭茲以及吳寶珠的工作，我們想給出所謂“Arthur-Selberg跡公式”的證明思路，用類似吳寶珠的方法以及幾何朗蘭茲綱領的思想。吳寶珠的工作使我們的想法更加成熟。我們現在更加了解拼圖的幾塊是如何拼接起來的，但是我們需要新的思想。我希望來到我們座談會的年輕人，能夠對于這個領域感興趣，他們將給出對于朗蘭茲綱領的一次新的革命。