[轉載]傅立葉變換，時域，頻域一

      也有用時域和頻率聯合起來表示信號的方法。時域、頻域兩種分析方法提供了不同的角度，它們提供的信息都是一樣，只是在不同的時候分析起來哪個方便就用哪個。

 思考：
      原則上時域中只有一個信號波（時域的頻率實際上是開關器件轉動速度或時鐘循環次數，時域中只有周期的概念），而對應頻域（純數學概念）則有多個頻率分量。
      人們很容易認識到自己生活在 時域與空間域 之中（加起來構成了三維空間），所以比較好理解 時域的波形（其參數有：符號周期、時鐘頻率、幅值、相位 ）、空間域的多徑信號也比較好理解。
     但數學告訴我們，自己生活在N維空間之中，頻域就是其中一維。時域的信號在頻域中會被對應到多個頻率中，頻域的每個信號有自己的頻率、幅值、相位、周期（它們取值不同，可以表示不同的符號，所以頻域中每個信號的頻率范圍就構成了一個傳輸信道。

    時域中波形變換速度越快（上升時間越短），對應頻域的頻率點越豐富。
    所以：OFDM中，IFFT把頻域轉時域的原因是：IFFT的輸入是多個頻率抽樣點（即 各子信道的符號），而IFFT之后只有一個波形，其中即OFDM符號，只有一個周期。

     正弦波是頻域中唯一存在的波形，這是頻域中最重要的規則，即正弦波是對頻域的描述，因為時域中的任何波形都可用正弦波合成。這是正弦波的一個非常重要的性質。然而，它并不是正弦波的獨有特性，還有許多其他的波形也有這樣的性質。正弦波有四個性質使它可以有效地描述其他任一波形： 　　（1）時域中的任何波形都可以由正弦波的組合完全且惟一地描述。 　　（2）任何兩個頻率不同的正弦波都是正交的。如果將兩個正弦波相乘并在整個時間軸上求積分，則積分值為零。這說明可以將不同的頻率分量相互分離開。 　　（3）正弦波有精確的數學定義。 　　（4）正弦波及其微分值處處存在，沒有上下邊界。 　　使用正弦波作為頻域中的函數形式有它特別的地方。若使用正弦波，則與互連線的電氣效應相關的一些問題將變得更容易理解和解決。如果變換到頻域并使用正弦波描述，有時會比僅僅在時域中能更快地得到答案。 　　而在實際中，首先建立包含電阻，電感和電容的電路，并輸入任意波形。一般情況下，就會得到一個類似正弦波的波形。而且，用幾個正弦波的組合就能很容易地描述這些波形，如下圖2.2 　　所示： 圖2.2 理想RLC電路相互作用的時域行為

      頻域的圖如下?\

 

      時域與頻域的互相轉換

     按照傅里葉變換理論：任何時域信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的疊加。
  

        初學者一個經常的困惑是：無法理解信號為何會有多個頻率，加上許多書中的描述不夠嚴謹，比如：語音信號的頻率是在4k以下，是3~4千赫正弦波。

        無線通信中傳輸資源包括了時間、頻域、空間等。

        時間比較好理解，就是：時間周期1發送符號1，時間周期2發送符號2.。，時域的波形可以用三角函數多項式表示，函數參數有：時間、幅度、相位。在載波傳輸中，載波信號由振蕩器產生，它的時鐘頻率是固定的，倒數就是 時間周期。

      頻域比較難理解，按傅立葉分析理論，任何時域信號都對應了頻域的若干頻率分量（稱為諧波）的疊加，頻域的頻率與時域的時鐘頻率不同。可以認為：時域不存在頻率，只存在時間周期。信號處理與通信中所指的頻率一般都是指 頻域的頻率分量。而每個頻率分量都可從數學意義上對應時域的一個波形（稱為諧波，基波是一種特殊的諧波，它的頻率與時域波形的時鐘頻率相同）  。     

       因為載波一般都是正弦波，所以定義 信號在1秒內完成一個完整正弦波的次數就是信號的頻率（以Hz為單位)，即1Hz。  時間周期T=1/f。
      載波的功能參見  調制解調 部分內容。這里可以先不理解何為載波，關鍵是時域與頻域的對應關系。
      以這個時域波形為例

          設時域波形（圖中的 合成波）的時間周期=T（如2秒），其時鐘頻率則為f0=1/2 Hz。那么基波的頻率、周期與合成波一樣。每個諧波之間頻率間隔=基波頻率。

         而諧波1的頻率f1=1/2+1/2=1Hz，周期T1=1。

         諧波2的頻率f2=1+1/2=3/2 Hz，周期T2=2/3。。。。

         諧波8的頻率f8=1/2+(1/2)*8=4.5Hz，周期T8=0.2222

          在頻域中，每個頻率分量都有自己的幅度與相位。按諧波的頻率、幅度、相位信息可以得到諧波所對應時域的波形。

 

根據原信號的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別： 

         周期性連續信號  傅立葉級數(Fourier Series)  
         非周期性連續信號  傅立葉變換（Fourier Transform）    
        非周期性離散信號  離散時域傅立葉變換（Discrete Time Fourier Transform）  
        周期性離散信號  離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform)  -DFT

下圖是四種原信號圖例：

                這四種傅立葉變換都是針對正無窮大和負無窮大的信號，即信號的的長度是無窮大的，我們知道這對于計算機處理來說是不可能的，那么有沒有針對長度有限的傅立葉變換呢？沒有。因為正余弦波被定義成從負無窮小到正無窮大，我們無法把一個長度無限的信號組合成長度有限的信號。

            面對這種困難，方法是把長度有限的信號表示成長度無限的信號，可以把信號無限地從左右進行延伸，延伸的部分用零來表示，這樣，這個信號就可以被看成是非周期性離解信號，我們就可以用到離散時域傅立葉變換的方法。

            還有，也可以把信號用復制的方法進行延伸，這樣信號就變成了周期性離解信號，這時我們就可以用離散傅立葉變換方法進行變換。這里我們要學的是離散信號，對于連續信號我們不作討論，因為計算機只能處理離散的數值信號，我們的最終目的是運用計算機來處理信號的。
        但是對于非周期性的信號，我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示，這對于計算機來說是不可能實現的。所以對于離散信號的變換只有離散傅立葉變換（DFT）才能被適用，對于計算機來說只有離散的和有限長度的數據才能被處理，對于其它的變換類型只有在數學演算中才能用到，在計算機面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號目的是為了能夠用數學方法來解決問題，至于考慮周期性信號是從哪里得到或怎樣得到是無意義的。
        每種傅立葉變換都分成實數和復數兩種方法，對于實數方法是最好理解的，但是復數方法就相對復雜許多了，需要懂得有關復數的理論知識，不過，如果理解了實數離散傅立葉變換(real DFT)，再去理解復數傅立葉就更容易了，所以我們先把復數的傅立葉放到一邊去，先來理解實數傅立葉變換，在后面我們會先講講關于復數的基本理論，然后在理解了實數傅立葉變換的基礎上再來理解復數傅立葉變換。
        還有，這里我們所要說的變換(transform)雖然是數學意義上的變換，但跟函數變換是不同的，函數變換是符合一一映射準則的，對于離散數字信號處理（DSP），有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴展了函數變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數據變成另一堆的數據的方法。

 

                傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。 
        和傅立葉變換算法對應的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。

 

    

傅立葉級數的五個公式(周期性函數)

    傅立葉（19世紀的法國人)認為：任何周期函數f(t)總是可以變成下面的傅立葉級數

（傅立葉公式1）