世界上最美的方程作者: 心蛛
【譯者按】：對于什么是最美的數學方程，在Quora上，目前位居榜首的是獲得3300多票的復分析領域的歐拉方程（后文提到的歐拉方程是在幾何學與代數拓撲學領域的形式）： \begin{equation*} \mathbf{e}^{i\pi} + 1 = 0 \end{equation*} 其次是麥克斯韋方程： \begin{align*} \nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} &= – \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0 \left( \mathbf{J} + \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \end{align*} 簡介數學方程不僅實用，很多還非常優美。許多科學家承認，他們常常喜歡一些特別的公式，不僅僅因為它們功能強大，還因為它們形式簡潔優雅，而且其中所蘊涵著的詩一般的真理。 某些特別著名的方程（比如愛因斯坦的質能方程E=mc2）在公眾面前享譽極盛，而許多公眾不那么熟悉的方程卻在科學家群體中卻大受“擁戴”。LiveScience咨詢了許多物理學家、天文學家和數學家，將他們喜愛的數學公式羅列如下。
廣義相對論
\begin{equation} \label{eq:grel} G_{\mu\nu} = 8 \pi G \left( T_{\mu\nu} + \rho_{\Lambda}g_{\mu\nu} \right) \end{equation} 上面的公式是愛因斯坦于1915年發現的，是具有劃時代意義的廣義相對論中的一部分。該理論讓科學家對引力的認識發生了革命性的轉變，引力在這里是空間與時間結構的一種彎曲。 “讓我驚奇的是，這樣一個方程就揭示了全部的時空本質?！碧胀h鏡科學研究所的天體物理學家馬里奧·利維奧（Mario Livio）如是說，他聲明此方程為自己的最愛?！皭垡蛩固顾械恼嬲奶觳胖幎继N含在這個方程中。” “方程的右側描述了宇宙的能量構成(包括促使宇宙加速膨漲的暗能量)，左側是時空的幾何結構。”利維奧解釋道，“此方程揭示了這樣的事實，在愛因斯坦廣義相對論中，質量和能量決定了幾何，以及伴隨的時空彎曲，它顯示為我們所說的引力?！?/p> “這是個非常優雅的方程，它還揭示了時空、物質和能量之間的關系?！奔~約大學物理學家凱利·克蘭默（Kyle Cranmer）說，“此方程告訴你它們之間是如何關聯的——比如，太陽的存在如何導致了時空彎曲，從而令地球沿著其軌道運轉，等等。它還告訴你宇宙自從大爆炸之后是如何演化的，并且預言了黑洞的存在。”
標準模型
\begin{align} \label{eq:sm} \mathcal{L}_{\text{SM}} &=& \underbrace{ \frac{1}{4} W_{\mu\nu} \cdot W^{\mu\nu} – \frac{1}{4} B_{\mu\nu} B^{\mu\nu} – \frac{1}{4} G^{a}_{\mu\nu} G^{\mu\nu}_{a} }_{\text{規范玻色子的動能和自相互作用}} \\& +& \underbrace{ L\gamma^{\mu} \left( i\partial_{\mu} – \frac{1}{2}g\tau\cdot W_{\mu} – \frac{1}{2} g’ Y B_{\mu} \right) L + R\gamma^{\mu} \left( i\partial_{\mu} – \frac{1}{2} g’ Y B_{\mu} \right) R }_{\text{費米子動能和弱相互作用}} \\& +& \underbrace{ \frac{1}{2} \left| \left( i\partial_{\mu} – \frac{1}{2} g \tau \cdot W_{\mu} – \frac{1}{2} g’ Y B_{\mu} \right) \phi \right|^2 – V(\phi)}_{\text{\(W^{\pm}\), \(Z\), \(\gamma\), 希格斯子質量和耦合過程}} \\& +& \underbrace{ g” \left( \overline{q} \gamma^{\mu} T_a q \right) G^{a}_{\mu} }_{\text{夸克和膠子之間的相互作用}} + \underbrace{ \left(G_1 \overline{L} \phi R + G_2 \overline{L} \phi_c R + h.c. \right) }_{\text{費米子獲得質量及與希格斯子的耦合}} \end{align} 標準模型是物理學中的另一個主流理論，它描述了構成目前宇宙的所有可見的基本粒子。 這個理論可濃縮為一個主方程，即標準模型的拉格朗日量。該名字來自于十八世紀法國數學家和天文學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）。加利福尼亞SLAC國家加速器實驗室的蘭斯·迪克遜（Lance Dixon）在他的著名公式中采用了這個方程。 “它成功地描述了迄今所有在實驗室中能夠觀測到的基本粒子和力——除了引力。這當然包括了最新發現的希格斯玻色子，即公式中的?。它與量子力學和狹義相對論完全相容”，迪克遜向LiveScience雜志解釋道。 標準模型理論還沒有與廣義相對論統一起來，所以它還不能描述引力。
微積分
\begin{equation} \label{eq:calculus} \int^a_b f'(x) \, dx = f(b) – f(a) \end{equation} 前兩個方程描述了宇宙的特定形態，而微積分這個令人喜愛的方程則可應用于各種各樣的情況。微積分基礎理論是微積分學數學方法的基石，它將兩個主要思想連接了起來，即積分與求導的概念。 “簡單來講，它表明，平滑連續的量的凈改變，比如經過給定時間區間后的行進距離（也就是說，時間區間端點的量的差值），等于該量的變化率的積分，亦即速度的積分”，美國福德漢姆大學（FordHam University）數學系主任特里維西克（MelkanaBrakalova-Trevithick）如是說，她將此方程選為最愛?！拔⒎e分的基礎理論(FTC)允許我們基于整個區間內的速率變化來測定該區間的凈變化?！?/p> 微積分的萌芽從古代就開始了，但其完善集中在十七世紀并歸功于艾薩克·牛頓，他使用微積分解釋了行星環繞太陽的運動。
畢達哥拉斯定理
\begin{equation} \label{eq:pyth} a^2 + b^2 = c^2 \end{equation} 經久不衰的方程非著名的畢達哥拉斯定理（勾股定理）莫屬，每個幾何初學者都要學習它。這個方程表明，對任意直角三角形，弦（直角三角形的最長邊）的平方等于其余兩邊長的平方和。 “第一個令我驚奇的數學事實就是畢達哥拉斯定理?！笨的螤柎髮W（Cornell University）的數學家丹尼婭·泰敏娜（Daina Taimina）如是說，“當我還是孩子時，它就令我驚奇不已，它不僅在幾何中有用，在數論中也一樣！”
歐拉公式（Euler’s equation）
\begin{equation} \label{eq:euler} V – E + F = 2 \end{equation} 這個簡單的公式蘊含著球體的純粹本質： “如果把一個球切割成面、棱和頂點，令F表示面數，E表示棱數,V表示頂點數，你始終能得到V?E+F=2”，馬薩諸塞州威廉姆斯學院（Williams College）數學家科林·亞當斯（Colin Adams）解釋說。 “比如以四面體為例，它有4個三角形，6根棱和4個頂點。如果你使勁吹一個表面柔軟的四面體，它會脹成一個球。這樣看來，一個球可以切割成4個面、6根棱和4個頂點。我們就有了V?E+F=2。對于金字塔方錐也一樣，它有5個面——4個三角形和1個正方形，8根棱和5個頂點。對于任意其他的面、棱和頂點組合也一樣，”亞當斯說?！斑@是一個非常酷的事實！頂點、棱和面的組合提示了球體的一些非常基本的東西?！?/p>
狹義相對論
\begin{equation*} t’ = t \frac{1}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}} \end{equation*} 愛因斯坦又一次榜上有名，這次是因為他的狹義相對論方程。它表明時間和空間不是絕對概念，而是受觀察者速度影響的相對概念。上面的方程表明，一個人在任意方向運動得越快，時間會愈加膨脹，或者說變得更慢。 “它非常簡潔，任何一名高中畢業生都會用，沒有復雜的求導和線性代數?！睔W洲核子中心日內瓦實驗室的粒子物理學家比爾·莫瑞（Bill Murray）說，“但它表達的是一種全新的觀察世界的方式，一種對待現實和我們與它之間關系的全新態度。突然間，那個剛性的不變的宇宙被掃除干凈了，取而代之的是一個人性的世界，它同你的觀察相關。你從一個身在宇宙之外的觀察者變成了其中的一部分。而這個概念和數學關系可以被任何想學的人掌握?！?/p> 莫瑞說，比起愛因斯坦后續理論中的復雜方程，他更偏愛狹義相對論方程。“我都沒弄懂廣義相對論中的數學”，他補充道。
1 = 0.999999999…
\begin{equation*} 1 = 0.9999999999999\dots \end{equation*} 這是一個簡單的等式，它的意思是，0.999緊跟著無限個小數位的9，其數值與1相等。這是康奈爾大學數學家斯蒂芬·斯托加茲（Steven Strogatz）的最愛。 他說：“我愛它的簡單，任何人都能夠理解其意思——但是它又是多么挑釁??！許多人就不相信這是真的。它也是優美的平衡，左側代表數學的開始，而右側則代表神秘的無限?！?/p>
歐拉－拉格朗日方程及諾特定理
\begin{equation*} \fracddthvnjxjdt{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) = \frac{\partial L}{\partial q} \end{equation*} “這非常抽象，但令人驚奇地強大。”紐約大學的克蘭默說，“更酷的是，這種物理學思想在經歷了許多場物理學大革命（比如量子力學、相對論的出現等等）之后仍然屹立不倒?！?/p> 在這里，L表示拉格朗日量，它代表一個物理系統的能量量度，比如彈簧、杠桿或基本粒子?！扒蠼膺@個方程會讓你明白系統會如何隨時間演化，”克蘭默解釋說。 拉格朗日方程的一個副產品是諾特定理，以二十世紀德國數學家埃米·諾特（Emmy Noether）命名?！霸摱ɡ韺τ谖锢韺W和對稱論來說非?；A。簡單地講，該理論是說如果你的系統有一個 對稱性，則必伴隨一個守恒量。比如，今天的物理基本定律與明天的是一樣的（時間對稱性），這意味著能量是守恒的；物理定律在這兒在外太空是相同的，則意味著動量守恒。對稱性在基礎物理中是起推進作用的概念，這主要得益于諾特的貢獻”，克蘭默補充道。
卡蘭 -西曼齊克方程（Callan-Symanzik Equation）
\begin{equation*} \left[ M \frac{\partial}{\partial M} + \beta(g) \frac{\partial}{\partial g} + n \gamma \right] G^n \left( x_1, x_2, \dots, x_n; M, g \right) = 0 \end{equation*} “從 1970 年起，卡蘭-西曼齊克方程就是非常重要的第一原則性方程，尤其是用于描述樸素的預測在量子世界中會如何失敗”，羅格斯大學（Rutgers University）的理論物理學家馬特·斯特拉斯（Matt Strassler）說。 此方程有很多應用，包括物理學家用它來預測質子與中子的質量及大小。質子和中子是構成原子核的基本粒子。 基礎物理告訴我們，兩個物體之間的引力和電磁力與它們之間的距離成平方反比關系。簡單來講，這也適用于強核子力。該力把質子和中子捆綁起來構成了原子核，也是它將夸克捆綁起來構成了質子和中子。但是，微小的量子漲落會影響力與距離的依賴關系，這對強核力帶來的影響是巨大的。 “這阻礙了此力在長距離處的衰減，結果導致對夸克的囚禁，迫使它們形成了質子和中子，從而構造了我們的世界，”斯特拉斯解釋說。“卡蘭 -西曼齊克方程的作用與這個巨大的難以計算的效應相關聯，當距離與質子的尺寸相當時它很重要，當距離比質子的尺寸小很多時它更加敏感，更容易計算其效應。”
極小曲面方程
$\mathcal{A}(u) = \int_{\Omega} \left( 1 + \left| \nabla_u \right|^2 \right)^{1/2} dx_1 \dots dx_n$ “極小曲面方程以某種方式形成了美麗的肥皂薄膜。你把金屬框伸進肥皂水中泡一下再拿出來，就能做成這樣的一張膜。”威廉姆斯學院的數學家弗蘭克·摩根（Frank Morgan）說，“此方程是非線性的，涉及到導數的冪和乘積，其中暗含的數學表現在肥皂薄膜的奇怪反應上。它的非線性與大家熟悉的線性偏微分方程，比如熱傳導方程，波動方程，以及量子力學中的薛定諤方程很不一樣。”
歐拉線（The Euler line）
紐約數學博物館（Museum of Math）的奠基人格倫·惠特尼（Glen Whiteney）選擇了另一個幾何定理——它與歐拉線有關，以十八世紀瑞士數學家和物理學萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）命名。 惠特尼這樣解釋：“選擇任一三角形，畫出此三角形的外接圓，并找到其圓心（譯者注：該圓心稱為三角形的外心）；找到三角形的重心（譯者注：三角形的重心為其三條中線的交點）——如果把三角形從紙上切下來，用針頂著重心可令它保持平衡；畫出三角形的三條垂線，找到它們交匯的點（譯者注：該點成為三角形的垂心）。這個定理是說，三角形的外心、重心和垂心始終位于一條直線上，這條線就叫三角形的歐拉線?！?/p> 這條定理蘊含了數學的美與強大，數學經常會用簡潔、熟悉的形狀展示出令人驚訝的模式。 作者|Clara Moskowitz 來源|livescience |
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