一顆璀璨的珍珠—魅力無窮的完美數(shù)
2014-12-25
imath
發(fā)現(xiàn)完美數(shù)所謂完美數(shù)，就是“除其本身以外全部因數(shù)之和等于本身”的數(shù)。研究數(shù)字的先師畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)6的真因數(shù)1、2、3之和還等于6，他十分感興趣地說：“6象征著完滿的婚姻以及健康和美麗，因為它的部分是完整的，并且其和等于自身。”古希臘哲學家柏拉圖在他的《共和國》一書中提出了完美數(shù)的概念。不過，有人認為或許印度人和希伯來人早就知道完美數(shù)的存在了。有些《圣經(jīng)》注釋家認為6和28是上帝創(chuàng)造世界時所用的基本數(shù)字；他們指出，創(chuàng)造世界花了6天，28天則是月亮繞地球一周的天數(shù)。這使得完美數(shù)充滿了神秘的色彩，所以有些書籍稱之為“上帝之數(shù)”。約公元前300年，幾何大師歐幾里得在他的巨著《幾何原本》第九章最后一個命題首次給出了尋找完美數(shù)的方法，被譽為歐幾里得定理：“如果2n－1是一個素數(shù)，那么自然數(shù)2n-1一定是一個完美數(shù)。”并給出了證明。公元1世紀，畢達哥拉斯學派成員、古希臘著名數(shù)學家尼可馬修斯在他的數(shù)論專著《算術入門》一書中，正確地給出了6、28、496、8128這四個完美數(shù)，并且通俗地復述了歐幾里得尋找完美數(shù)的定理及其證明。他還將自然數(shù)劃分為三類：富裕數(shù)、不足數(shù)和完美數(shù)，其意義分別是小于、大于和等于所有真因數(shù)之和。千年跨一步完美數(shù)在古希臘誕生后，吸引著眾多數(shù)學家和數(shù)學愛好者像淘金般去尋找。可是，一代又一代人付出了無數(shù)的心血，第五個完美數(shù)沒人找到。后來，由于歐洲不斷進行戰(zhàn)爭，希臘、羅馬科學逐漸衰退，一些優(yōu)秀的科學家?guī)е麄兊某晒椭腔奂娂娞油⒗⒂《取⒁獯罄葒瑥拇耍ＥD、羅馬文明一蹶不振。直到1202年才出現(xiàn)一線曙光。意大利的斐波那契，青年時隨父游歷古代文明的希臘、埃及、阿拉伯等地區(qū)，學到了不少數(shù)學知識。他才華橫溢，回國后潛心研究所搜集的數(shù)學，寫出了名著《算盤書》，成為13世紀在歐洲傳播東方文化和系統(tǒng)將東方數(shù)學介紹到西方的第一個人，并且成為西方文藝復興前夜的數(shù)學啟明星。斐波那契沒有放過完美數(shù)的研究，他經(jīng)過推算宣布找到了一個尋找完美數(shù)的有效法則，可惜沒有人共鳴，成為過眼煙云。光陰似箭，1460年，還當人們迷惘之際，有人偶然發(fā)現(xiàn)在一位無名氏的手稿中，竟神秘地給出了第五個完美數(shù)33550336。這比起第四個完美數(shù)8128大了4000多倍。跨度如此之大，在計算落后的古代可想發(fā)現(xiàn)者之艱辛了，但是，手稿里沒有說明他用什么方法得到的，又沒有公布自己的姓名，這更使人迷惑不解了。發(fā)現(xiàn)非一帆風順在無名氏成果鼓勵下，15至19世紀是研究完美數(shù)不平凡的日子，其中17世紀出現(xiàn)了小高潮。16世紀意大利數(shù)學家塔塔利亞小時曾被法國入侵者用刀砍傷舌頭，落下了口吃的疾患，后來靠自學成為一位著名數(shù)學家。他研究發(fā)現(xiàn)：當 n＝ 2和 n= 3至 39的奇數(shù)時，2n-1(2n-1)是完美數(shù)。17世紀“神數(shù)術”大師龐格斯在一本洋洋700頁的巨著《數(shù)的玄學》中，一口氣列出了28個所謂“完美數(shù)”，他是在塔塔利亞給出的20個的基礎上補充了8個。可惜兩人都沒有給出證明和運算過程，后人發(fā)現(xiàn)其中有許多是錯誤的。1603年，數(shù)學家克特迪歷盡艱辛，終于證明了無名氏手稿中第五個完美數(shù)是正確的，同時他還正確地發(fā)現(xiàn)了第六個和第七個完美數(shù)216(217-1)和218(219-1)，但他又錯誤地認為222(223-1)、228（229-1）和236（237-1）也是完美數(shù)。這三個數(shù)后來被大數(shù)學家費爾馬和歐拉否定了。1644年，法國神甫兼大數(shù)學家梅森指出，龐格斯給出的28個“完美數(shù)”中，只有8個是正確的，即當n＝2，3，5，7，13，17， 19， 31時，2n-1(2n-1)是完美數(shù)，同時又增加了 n＝67，127和257。在未證明的情況下他武斷地說：當 n ≤ 257時，只有這 11個完美數(shù)。這就是著名的“梅森猜測”。“梅森猜測”吸引了許多人的研究，哥德巴赫認為是對的；微積分發(fā)現(xiàn)者之一的德國萊布尼茲也認為是對的。他們低估了完美數(shù)的難度。1730年，被稱為世界四大數(shù)學家雄獅之一的歐拉，時年23歲，正值風華茂盛。他出手不凡，給出了一個出色的定理：“每一個偶完美數(shù)都是形如2n-1(2n-1)的自然數(shù)，其中n是素數(shù)，2n-1也是素數(shù)”，并給出了他一直沒有發(fā)表的證明。這是歐幾里得定理的逆定理。有了歐幾里得與歐拉兩個互逆定理，公式2n-1(2n-1)成為判斷一個偶數(shù)是不是完美數(shù)的充要條件了。歐拉研究“梅森猜測”后指出：“我冒險斷言：每一個小于50的素數(shù)，甚至小于100的素數(shù)使2n-1(2n-1)是完美數(shù)的僅有n取2，3，5，7，13，17，19，31，41，47，我從一個優(yōu)美的定理出發(fā)得到了這些結(jié)果，我自信它們具有真實性。”1772年，歐拉因過度拼命研究雙目已經(jīng)失明了，但他仍未停止研究，他在致瑞士數(shù)學家丹尼爾的一封信中說：“我已經(jīng)心算證明n＝31時，230(231-1)是第8個完美數(shù)。”同時，他發(fā)現(xiàn)他過去認為n=41和n＝47時是完美數(shù)是錯誤的。歐拉定理和他發(fā)現(xiàn)的第8個完美數(shù)的方法，使完美數(shù)的研究發(fā)生了深刻變化，可是，人們?nèi)圆荒軓氐捉鉀Q“梅森猜測”。1876年，法國數(shù)學家魯卡斯創(chuàng)立了一種檢驗素數(shù)的新方法，證明n＝127時確實是一個完美數(shù)，這使“梅森猜測”之一變成事實，魯卡斯的新方法給研究完美數(shù)者帶來生機，同時也動搖了“梅森猜測”。因數(shù)學家借助他的方法發(fā)現(xiàn)猜測中n＝67， n＝ 257時不是完美數(shù)。在以后1883——1931年的48年間，數(shù)學家發(fā)現(xiàn)“梅森猜測”中 n≤257范圍內(nèi)漏掉了 n＝ 61， 89， 107時的三個完美數(shù)。至此，人們前仆后繼，不斷另辟新路徑，創(chuàng)造新方法，用筆算紙錄，耗時二千多年，共找到 12個完美數(shù)，即 n＝ 2， 3，5，7，13，17，19，31，61，89，107，127時，2n-1(2n-1)是完美數(shù)。笛卡爾曾公開預言：“能找出完美數(shù)是不會多的，好比人類一樣，要找一個完全人亦非易事。” 歷史證實了他的預言。從1952年開始，人們借助高性能計算機發(fā)現(xiàn)完美數(shù)，至1985年才找到18個，多么可憐！等待揭穿之謎隨著社會的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)黃金分割在自然和社會中有著極其廣泛的應用。迄今為止，發(fā)現(xiàn)的30個完美數(shù)，統(tǒng)統(tǒng)都是偶數(shù)，于是，數(shù)學家提出猜測：存不存在奇數(shù)完美數(shù)。1633年11月，法國數(shù)學家笛卡爾給梅森一封信中，首次開創(chuàng)奇數(shù)完美數(shù)的研究，他認為每一奇完美數(shù)必具有PQ2的形式，其中P是素數(shù)，并聲稱不久他會找到，可不僅直到他死時未能找到，而且至今，沒有任何一個數(shù)學家發(fā)現(xiàn)一個奇完美數(shù)。它成為世界數(shù)論又一大難題。雖然，誰也不知道它們是否存在，但經(jīng)過一代又一代數(shù)學家研究計算，有一點是明確的。那就是如果存在一個奇完美數(shù)的話，那么它一定是非常大的。有多大呢？遠的不說，當代大數(shù)學家奧爾檢查過1018以下自然數(shù)，沒有一個奇完美數(shù)；1967年，塔克曼宣布，如果奇完美數(shù)存在，它必須大于1036，這是一個37位數(shù)；1972年，有人證明它必大于1050；1982年，有人證明，它必須大于10120；……這種難于捉摸的奇完美數(shù)也許可能有，但它實在太大，以至超出了人們能夠用計算機計算的范圍了。對奇完美數(shù)是否存在，產(chǎn)生如此多的估計，也是數(shù)學界的一大奇聞！關于完美數(shù)還有許多待揭之謎，比如：完美數(shù)之間有什么關系？完美數(shù)是有限還是無窮多個？存在不存在奇完美數(shù)？人們還發(fā)現(xiàn)完美數(shù)的一個奇妙現(xiàn)象，把一個完美數(shù)的各位數(shù)字加起來得到一個數(shù)，再把這個數(shù)的各位數(shù)字加起來，又得到一個數(shù)，一直這樣做下去，結(jié)果一定是 1。例如，對于 28，2＋8＝10， 1＋0＝1；對于496有， 4＋9＋6＝19，1+9＝10，1＋0＝1等等。這一現(xiàn)象，對除6外的所有完美數(shù)是否成立？以上這些難題，與其它數(shù)學難題一樣，有待人們?nèi)スタ恕１M管我們現(xiàn)在還看不到完美數(shù)的實際用處，但它反映了自然數(shù)的某些基本規(guī)律。探索自然規(guī)律，揭開科學上的未知之謎，正是科學追求的目標。梅森素數(shù)大搜索在梅森素數(shù)的基礎研究方面，法國數(shù)學家魯卡斯和美國數(shù)學家雷默都做出了重要貢獻；以他們命名的“魯卡斯-雷默方法”是目前已知的檢測梅森素數(shù)素性的最佳方法。此外，中國數(shù)學家和語言學家周海中給出了梅森素數(shù)分布的精確表達式，為人們尋找梅森素數(shù)提供了方便；這一研究成果被國際上命名為“周氏猜測”。為了激勵人們尋找梅森素數(shù)，設在美國的電子新領域基金會(EFF)曾向全世界宣布了為通過一個名為“因特網(wǎng)梅森素數(shù)大搜索”(GIMPS)項目來尋找梅森素數(shù)而設立的獎金。它規(guī)定向第一個找到超過1000萬位數(shù)的個人或機構頒發(fā)10萬美元。后面的獎金依次為：超過1億位數(shù)，15萬美元；超過10億位數(shù)，25萬美元。當然，絕大多數(shù)研究者參與該項目并不是為了金錢，而是出于興趣、榮譽感和探索精神。美國加州大學洛杉磯分校的計算機專家史密斯通過參加GIMPS項目，于2008年8月23日找到了迄今已知的最大梅森素數(shù)2^43112609-1；該數(shù)也是目前已知的最大素數(shù)。這個素數(shù)有12978189位；如果用普通字號(4號)將它連續(xù)打下來，其長度可超過50公里！人類也因此發(fā)現(xiàn)了迄今已知的最大偶完美數(shù)——2^43112608(2^43112609-1)。史密斯的成就被著名的《時代》雜志評為“2008年度50項最佳發(fā)明”之一。前不久，他獲得了EFF頒布的10萬美元大獎。目前，世界上有180多個國家和地區(qū)超過25萬人參加了GIMPS項目，并動用了近50萬臺計算機聯(lián)網(wǎng)來尋找新的梅森素數(shù)。該項目采取網(wǎng)格計算方式，利用大量普通計算機的閑置計算資源來獲得相當于超級計算機的運算能力。著名的《自然》雜志說：GIMPS項目不僅會進一步激發(fā)人們對梅森素數(shù)尋找的熱情，而且會引起人們對網(wǎng)格技術應用研究的高度重視。梅森素數(shù)在當代具有重大的理論意義和豐富的實用價值。它是發(fā)現(xiàn)已知最大偶完美數(shù)的唯一途徑；其探究推動了“數(shù)學皇后”——數(shù)論的研究，促進了計算技術、密碼技術、網(wǎng)格技術、程序設計技術的發(fā)展以及快速傅立葉變換的應用；另外它還可用來測試計算機硬件運算是否正確。由于梅森素數(shù)的探究需要多種學科和技術的支持，所以許多科學家認為：梅森素數(shù)的研究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水平。完美數(shù)這顆數(shù)學寶庫中的璀璨明珠正以其獨特魅力，吸引著更多的有志者去探尋和研究。
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