二十世紀的數學在19世紀變革與積累的基礎上，20世紀數學呈現出指數式的飛速發展。現代數學不再僅僅是代數、幾何、分析等經典學科的集合，而已成為分支眾多的、龐大的知識體系,并且仍在繼續急劇地變化發展之中。 大體說來，數學核心領域（即核心數學，也稱純粹數學）的擴張，數學的空前廣泛的應用，以及計算機與數學的相互影響,形成了現代數學研究活動的三大方面。 純粹數學的主要趨勢;應用數學的發展和計算機的影響，最后在選講一些有代表性的成就來進一步說明20 世紀數學的特征。 純粹數學是19世紀的遺產,在20世紀得到了巨大的發展。20 世紀純粹數學的前沿不斷挺進，產生出令人驚異的成就。 與19 世紀相比，20世紀純粹數學的發展表現出如下主要的特征或趨勢: ① 更高的抽象性; ② 更強的統一性; ③ 更深入的基礎探討。 20世紀的序幕 1900年8月，德國數學家希爾伯特在巴黎國際數學家大會上作了題為《數學問題》的著名講演。他的講演是這樣開始的：“我們當中有誰不想揭開未來的帷幕，看一看今后的世紀里我們這門科學發展的前景和奧秘呢?我們下一代的主要數學思潮將追求什么樣的特殊目標?在廣闊而豐富的數學思想領域，新世紀將會帶來什么樣的新方法和新成果?” 希爾伯特在講演的前言和結束語中，對各類數學問題的意義、源泉及研究方法發表了許多精辟的見解，而整個演說的主體，則是他根據19世紀數學研究的成果和發展趨勢而提出的23個數學問題，這些問題涉及現代數學的許多重要領域。一個世紀以來，這些問題一直激發著數學家們濃厚的研究興趣。 但一位科學家如此自覺、如此集中地提出一整批問題，并如此持久地影響了一門科學的發展，這在科學史上是不多見的。當然任何科學家都會受到當時科學發展的水平及其個人的科學素養、研究興趣和思想方法等限制。希爾伯特問題未能包括拓撲學、微分幾何等在20 世紀成為前沿學科的領域中的數學問題，除數學物理外很少涉及應用數學，等等。20 世紀數學的發展，遠遠超出了希爾伯特問題所預示的范圍 。 Ⅰ純粹數學的主要趨勢 更高的抽象化是20 世紀純粹數學的主要趨勢或特征之一。這種趨勢最初主要是受到了兩大因素的推動，即集合論觀點的滲透和公理化方法的運用。 （1）集合論觀點 19 世紀末由康托爾創立的集合論，最初遭到許多數學家（包括克羅內克、克萊因和龐加萊等）的反對，但到20世紀初，這一新的理論在數學中的作用越來越明顯，集合概念本身被抽象化了。在弗雷歇等人的著作(如《關于泛函演算若干問題》，1906)中集合已不必是數集或點集，而可以是任意性質的元素集合，如函數的集合，曲線的集合等等。這就使集合論能夠作為一種普遍的語言而進入數學的不同領域，同時引起了數學中基本概念（如積分、函數、空間等等）的深刻變革。 （2）公理化方法 外爾曾說過：“20 世紀數學的一個十分突出的方面是公理化方法所起的作用極度增長，以前公理方法僅僅用來闡明我們所建立的理論的基礎，而現在它卻成為具體數學研究的工具。” 現代公理化方法的奠基人是希爾伯特。我們已經知道，雖然歐幾里得已用公理化方法總結了古代的幾何知識 ，但他的公理系統是不完備的。希爾伯特在1899 年發表的《幾何基礎》中則提出第一個完備的公理系統。與以往相比，希爾伯特公理化方法具有兩個本質的飛躍。首先是希爾伯特在幾何對象上達到了更深刻的抽象。歐幾里得幾何對所討論的幾何對象（點、線、面等）都給以描述性定義，而希爾伯特發現點、線、面的具體定義本身在數學上并不重要，它們之所以成為討論的中心，僅僅是由于它們與所選擇的公理的關系。因此希爾伯特的公理體系雖然也是從“點、線、面”這些術語開始，但它們都是純粹抽象的對象，沒有特定的具體內容。 希爾伯特考察了各公理間的相互關系，明確提出了對公理系統的基本邏輯要求，即：① 相容性，② 獨立性，③ 完備性。由于上述的特點，希爾伯特的公理化方法不僅使幾何學具備了嚴密的邏輯基礎，而且逐步滲透到數學的其他領域，成為組織、綜合數學知識并推動具體數學研究的強有力的工具。 集合論觀點與公理化方法在20 世紀逐漸成為數學抽象的范式，它們相互結合將數學的發展引向了高度抽象的道路。這方面的發展，導致了20 世紀上半葉實變函數論、泛函分析、拓撲學和抽象代數等具有標志性的四大抽象分支的崛興。這四大分支所創造的抽象語言、結構及方法，又滲透到數論、微分方程論、微分幾何、代數幾何、復變函數論及概率論等經典學科，推動它們在抽象的基礎上革新提高、演化發展先以概率論為典型例子說明這種發展。 從觀念上來說，泛函分析的建立體現了20 世紀在集合論影響下空間和函數這兩個基本概念的進一步變革。“空間”現在被理解為某類元素的集合，這些元素按習慣被稱作“點”它們之間受到某種關系的約束，這些關系被稱之為空間的結構。簡言之，“空間”僅僅是具有某種結構的集合，而“函數”的概念則被推廣為兩個空間（包括一個空間到它自身）之間的元素對應（映射）關系。其中將函數映為實數（或復數）的對應關系就是通常所稱的“泛函”。 弗雷歇在將普通的微積分演算推廣到函數空間方面做了大量先驅性工作，因此弗雷歇是本世紀抽象泛函分析理論的奠基人之一。 抽象空間理論與泛函分析在20 世紀上半葉有了巨大的發展，1922年波蘭數學家巴拿赫提出了比希爾伯特空間更一般的賦范空間(后稱巴拿赫空間)概念，用與角度概念無關的“范數”替代內積而定義距離及收斂性，極大地拓廣了泛函分析的疆域。 1945年，法國數學家施瓦茨（L.Schwartz）將這些函數解釋為函數空間上的連續線性泛函即廣義函數，使它們有了嚴格的數學基礎。廣義函數標志著函數概念發展史上的一個新階段。蓋爾范德對廣義函數論的發展也有重大貢獻。 泛函分析有力地推動了其他分析分支的發展，使整個分析領域的面貌發生了巨大變化。泛函分析的觀點與方法還廣泛滲透到其他科學與工程技術領域。 抽象代數 在20 世紀公理化方法向各個數學領域滲透的過程中，代數的形成與發展占有特殊的地位。在19 世紀，代數學的對象已突破了數（包括用符號表示的數）的范疇，這種突破是由伽羅瓦群的概念開始的。在伽羅瓦之后，群的概念本身進一步發展，除了有限的、離散的群，又出現了無限群、連續群等。代數對象的擴張，在19 世紀還沿著其他途徑進行，先后產生了許多其他的代數系統，例如，我們已提到過的四元數與超復數、域 、 理想等。 |
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