高考金鑰匙數學解題技巧大揭秘專題十六 橢圓、雙曲線、拋物線

專題十六　橢圓、雙曲線、拋物線

1．已知雙曲線－＝1的右焦點與拋物線y²＝12x的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.  B．4   C．3  D．5

答案： A　[易求得拋物線y²＝12x的焦點為(3,0)，故雙曲線－＝1的右焦點為(3,0)，即c＝3，故3²＝4＋b²，∴b²＝5，

∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x，∴雙曲線的右焦點到其漸近線的距離為＝.]

2．等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y²＝16x的準線交于A，B兩點，|AB|＝4 ，則C的實軸長為(　　)．

A.  B．2   C．4  D．8

答案：C　[拋物線y²＝16x的準線方程是x＝－4，所以點A(－4，2 )在等軸雙曲線C；x²－y²＝a²(a＞0)上，將點A的坐標代入得a＝2，所以C的實軸長為4.]

3．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為.雙曲線x²－y²＝1的漸近線與橢圓C有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為(　　)．[來源:學|科|網Z|X|X|K]

A.＋＝1                B.＋＝1

C.＋＝1               D.＋＝1

答案：D　[因為橢圓的離心率為，所以e＝＝，c²＝a²，c²＝a²＝a²－b²，所以b²＝a²，即a²＝4b².雙曲線的漸近線方程為y＝±x，代入橢圓方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x²＝b²，x＝±b，y²＝b²，y＝±b，則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點坐標為，所以四邊形的面積為4×b×b＝b²＝16，所以b²＝5，所以橢圓方程為＋＝1.]

4．在直角坐標系xOy中，直線l過拋物線y²＝4x的焦點F，且與該拋物線相交于A，B兩點，其中點A在x軸上方，若直線l的傾斜角為60°，則△OAF的面積為________．

解析　直線l的方程為y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入拋物線方程得y²－y－4＝0，解得y_A＝＝2 (y_B＜0，舍去)，故△OAF的面積為×1×2 ＝.[來源:Zxxk.Com]

答案　

圓錐曲線與方程是高考考查的核心內容之一，在高考中一般有1～2個選擇或者填空題，一個解答題．選擇或者填空題有針對性地考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程和簡單幾何性質及其應用，主要針對圓錐曲線本身，綜合性較小，試題的難度一般不大；解答題主要是以橢圓為基本依托，考查橢圓方程的求解、考查直線與曲線的位置關系．

復習中，一要熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的基礎知識、基本方法，在抓住通性通法的同時，要訓練利用代數方法解決幾何問題的運算技巧．

二要熟悉圓錐曲線的幾何性質，重點掌握直線與圓錐曲線相關問題的基本求解方法與策略，提高運用函數與方程思想，向量與導數的方法來解決問題的能力.

必備知識

橢圓＋＝1(a＞b＞0)，點P(x，y)在橢圓上．

(1)離心率：e＝＝；

(2)過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑，其長度為：.

雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)，點P(x，y)在雙曲線上．

(1)離心率：e＝＝；

(2)過焦點且垂直于實軸的弦叫通徑，其長度為：.

拋物線y²＝2px(p＞0)，點C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)在拋物線上．

(1)焦半徑|CF|＝x₁＋；

(2)過焦點弦長|CD|＝x₁＋＋x₂＋＝x₁＋x₂＋p，|CD|＝(其中α為傾斜角)，＋＝；

(3)x₁x₂＝，y₁y₂＝－p²；

(4)以拋物線上的點為圓心，焦半徑為半徑的圓必與準線相切，以拋物線焦點弦為直徑的圓，必與準線相切．

必備方法

1．求圓錐曲線標準方程常用的方法

(1)定義法

(2)待定系數法

①頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線，可設為y²＝2ax或x²＝2ay(a≠0)，避開對焦點在哪個半軸上的分類討論，此時a不具有p的幾何意義．

②中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，橢圓方程可設為＋＝1(m＞0，n＞0)．

雙曲線方程可設為－＝1(mn＞0)．

這樣可以避免討論和繁瑣的計算．

2．求軌跡方程的常用方法

(1)直接法：將幾何關系直接轉化成代數方程．

(2)定義法：滿足的條件恰適合某已知曲線的定義，用待定系數法求方程．

(3)代入法：把所求動點的坐標與已知動點的坐標建立聯系．

(4)交軌法：寫出兩條動直線的方程直接消參，求得兩條動直線交點的軌跡．

注意：①建系要符合最優化原則；②求軌跡與“求軌跡方程”不同，軌跡通常指的是圖形，而軌跡方程則是代數表達式；③化簡是否同解變形，是否滿足題意，驗證特殊點是否成立等.

圓錐曲線的定義是圓錐曲線問題的根本，利用圓錐曲線的定義解題是高考考查圓錐曲線的一個重要命題點，在歷年的高考試題中曾多次出現．需熟練掌握．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例1】? 已知橢圓＋＝1與雙曲線－y²＝1的公共焦點F₁，F₂，點P是兩曲線的一個公共點，則cos∠F₁PF₂的值為(　　)．

A.  B.  C.  D.

[審題視點] 　

　

[聽課記錄]

[審題視點] 結合橢圓、雙曲線的定義及余弦定理可求．

B　[因點P在橢圓上又在雙曲線上，所以|PF₁|＋|PF₂|＝2 ，

|PF₁|－|PF₂|＝2 .

設|PF₁|＞|PF₂|，解得|PF₁|＝＋，|PF₂|＝－，

由余弦定理得cos∠F₁PF₂＝

＝＝.]

 涉及橢圓、雙曲線上的點到兩焦點的距離問題時，要自覺地運用橢圓、雙曲線的定義．涉及拋物線上的點到焦點的距離時，常利用定義轉化到拋物線的準線的距離．

【突破訓練1】 如圖過拋物線y²＝2px(p＞0)的焦點的直線l依次交拋物線及其準線與點A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程是________．

解析　

作BM⊥l，AQ⊥l，垂足分別為M、Q.則由拋物線定義得，|AQ|＝|AF|＝3，|BF|＝|BM|.又|BC|＝2|BF|，所以|BC|＝2|BM|.由BM∥AQ得，|AC|＝2|AQ|＝6，|CF|＝3.∴|NF|＝|CF|＝.

即p＝.拋物線方程為y²＝3x.

答案　y²＝3x

圓錐曲線的簡單幾何性質是圓錐曲線的重點內容，主要考查橢圓與雙曲線的離心率的求解、雙曲線的漸近線方程的求解，難度中檔．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例2】以O為中心，F₁，F₂為兩個焦點的橢圓上存在一點M，滿足||＝2||＝2||，則該橢圓的離心率為(　　)．

A.  B.  C.  D.

[審題視點] 　

　

[聽課記錄]

[審題視點] 作MN⊥x軸，結合勾股定理可求c，利用橢圓定義可求a.

C　[過M作x軸的垂線，交x軸于N點，則N點坐標為，并設||＝2||＝2||＝2t，根據勾股定理可知，||²－||²＝||²－||²，得到c＝t，而a＝，則e＝＝，故選C.]

 離心率的范圍問題其關鍵就是確立一個關于a，b，c的不等式，再根據a，b，c的關系消掉b得到關于a，c的不等式，由這個不等式確定e的范圍．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【突破訓練2】 設拋物線y²＝2px(p＞0)的焦點為F，點A(0,2)．若線段FA的中點B在拋物線上，則B到該拋物線準線的距離為________．

解析　拋物線的焦點F的坐標為，線段FA的中點B的坐標為代入拋物線方程得1＝2p×，解得p＝，故點B的坐標為，故點B到該拋物線準線的距離為＋＝.

答案　

軌跡問題的考查往往與函數、方程、向量、平面幾何等知識相融合，著重考查分析問題、解決問題的能力，對邏輯思維能力、運算能力也有一定的要求．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例3】在平面直角坐標系xOy中，點P(a，b)(a>b>0)為動點，F₁，F₂分別為橢圓＋＝1的左、右焦點．已知△F₁PF₂為等腰三角形．

(1)求橢圓的離心率e；

(2)設直線PF₂與橢圓相交于A，B兩點，M是直線PF₂上的點，滿足A·B＝－2，求點M的軌跡方程．

[審題視點] 　

　

[聽課記錄]

[審題視點] (1)根據|PF₂|＝|F₁F₂|建立關于a與c的方程式．

(2)可解出A、B兩點坐標(用c表示)，利用·＝－2可求解．

解　(1)設F₁(－c,0)，F₂(c,0)(c>0)．

由題意可得|PF₂|＝|F₁F₂|，即＝2c.

整理得2²＋－1＝0，

得＝或＝－1(舍)，所以e＝.

(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得橢圓方程為3x²＋4y²＝12c²，

直線PF₂方程為y＝(x－c)．

A，B兩點的坐標滿足方程組

消去y并整理，得5x²－8cx＝0，解得x₁＝0，x₂＝c，得方程組的解

不妨設A，B.

設點M的坐標為(x，y)，則A＝，

B＝(x，y＋c)．由y＝(x－c)，得c＝x－y.

于是A＝，

B＝(x，x)．由題意知A·B＝－2，即

·x＋·x＝－2，

化簡得18x²－16xy－15＝0.

將y＝代入c＝x－y，得c＝>0，

所以x>0.

因此，點M的軌跡方程是18x²－16xy－15＝0(x>0)．

 (1)求軌跡方程時，先看軌跡的形狀能否預知，若能預先知道軌跡為何種圓錐曲線，則可考慮用定義法求解或用待定系數法求解．

(2)討論軌跡方程的解與軌跡上的點是否對應，要注意字母的取值范圍．

【突破訓練3】如圖，動點M與兩定點A(－1,0)、B(2,0)構成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB.設動點M的軌跡為C.

(1)求軌跡C的方程；

(2)設直線y＝－2x＋m與y軸相交于點P，與軌跡C相交于點Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范圍．

解　(1)設M的坐標為(x，y)，顯然有x＞0，且y≠0.

當∠MBA＝90°時，點M的坐標為(2，±3)．

當∠MBA≠90°時，x≠2，且∠MBA＝2∠MAB，

有tan∠MBA＝，即－＝，

化簡可得3x²－y²－3＝0.

而點(2，±3)在曲線3x²－y²－3＝0上，

綜上可知，軌跡C的方程為3x²－y²－3＝0(x＞1)．

(2)由消去y，可得

x²－4mx＋m²＋3＝0.(*)

由題意，方程(*)有兩根且均在(1，＋∞)內．

設f(x)＝x²－4mx＋m²＋3，

所以解得m＞1，且m≠2.

設Q、R的坐標分別為(x_Q，y_Q)，(x_R，y_R)，

由|PQ|＜|PR|有x_R＝2m＋，x_Q＝2m－.

所以＝＝＝

＝－1＋.

由m＞1，且m≠2，有1＜－1＋＜7＋4 ，且－1＋≠7.所以的取值范圍是(1,7)∪(7,7＋4 )．

在高考中，直線與圓錐曲線的位置關系是熱點，通常圍繞弦長、面積、定點(定值)，范圍問題來展開，其中設而不求的思想是處理相交問題的最基本方法，試題難度較大．

【例4】? 已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，過右焦點F的直線l與C相交于A，B兩點．當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為.

(1)求a，b的值；

(2)C上是否存在點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由．

[審題視點] 　

　

[聽課記錄]

[審題視點] (1)由直線l的斜率為1過焦點F，原點O到l的距離為可求解；(2)需分直線l的斜率存在或不存在兩種情況討論．設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由條件＝＋可得P點坐標，結合A、B、P在橢圓上列等式消元求解．

解　(1)設F(c,0)，當l的斜率為1時，其方程為x－y－c＝0，O到l的距離為＝，故＝，c＝1.

由e＝＝，得a＝，b＝＝ .

(2)C上存在點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有＝＋成立．由(1)知C的方程為2x²＋3y²＝6.設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

(i)當l不垂直于x軸時，設l的方程為y＝k(x－1)．

C上的點P使＝＋成立的充要條件是P點的坐標為(x₁＋x₂，y₁＋y₂)，且2(x₁＋x₂)²＋3(y₁＋y₂)²＝6，

整理得2x＋3y＋2x＋3y＋4x₁x₂＋6y₁y₂＝6，

又A、B在橢圓C上，即2x＋3y＝6,2x＋3y＝6，

故2x₁x₂＋3y₁y₂＋3＝0.①

將y＝k(x－1)代入2x²＋3y²＝6，并化簡得

(2＋3k²)x²－6k²x＋3k²－6＝0，

于是x₁＋x₂＝，x₁·x₂＝，

y₁·y₂＝k²(x₁－1)(x₂－1)＝.

代入①解得k²＝2，此時x₁＋x₂＝.

于是y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂－2)＝－，即P.

因此，當k＝－ 時，P，l的方程為x＋y－ ＝0；

當k＝時，P，l的方程為x－y－＝0.

(ⅱ)當l垂直于x軸時，由＋＝(2,0)知，C上不存在點P使＝＋成立．綜上，C上存在點P使＝＋成立，此時l的方程為x±y－＝0.

 本小題主要考查直線、橢圓、分類討論等基礎知識，考查學生綜合運用數學知識進行推理的運算能力和解決問題的能力．此題的第(2)問以向量形式引進條件，利用向量的坐標運算，將“形”、“數”緊密聯系在一起，既發揮了向量的工具性作用，也讓學生明白根與系數的關系是解決直線與圓錐曲線問題的通性通法．

【突破訓練4】 設橢圓E：＋＝1(a，b＞0)過點M(2，)，N(，1)兩點，O為坐標原點．

(1)求橢圓E的方程；

(2)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且⊥？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由．

解　(1)將M，N的坐標代入橢圓E的方程得

解得a²＝8，b²＝4.

所以橢圓E的方程為＋＝1.

(2)假設滿足題意的圓存在，其方程為x²＋y²＝R²，其中0＜R＜2.

設該圓的任意一條切線AB和橢圓E交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)兩點，當直線AB的斜率存在時，令直線AB的方程為y＝kx＋m，①

將其代入橢圓E的方程并整理得(2k²＋1)x²＋4kmx＋2m²－8＝0.

由方程根與系數的關系得

x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝.②

因為⊥，所以x₁x₂＋y₁y₂＝0.③

將①代入③并整理得(1＋k²)x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²＝0.

聯立②得m²＝(1＋k²)．④

因為直線AB和圓相切，因此R＝.

由④得R＝，所以存在圓x²＋y²＝滿足題意．

當切線AB的斜率不存在時，易得x＝x＝，

由橢圓E的方程得y＝y＝，顯然⊥.

綜上所述，存在圓x²＋y²＝滿足題意．

講講離心率的故事

橢圓、雙曲線的離心率是一個重要的基本量，在橢圓中或在雙曲線中都有著極其特殊的應用，也是高考常考的問題，通常有兩類：一是求橢圓和雙曲線的離心率的值；二是求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍．

一、以離心率為“中介”

【示例1】? (2012·湖北)如圖，雙曲線－＝1(a，b＞0)的兩頂點為A₁，A₂，虛軸兩端點為B₁，B₂，兩焦點為F₁，F₂.若以A₁A₂為直徑的圓內切于菱形F₁B₁F₂B₂，切點分別為A，B，C，D.則

(1)雙曲線的離心率e＝________；

(2)菱形F₁B₁F₂B₂的面積S₁與矩形ABCD的面積S₂的比值＝________.

解析　(1)由題意可得a ＝bc，∴a⁴－3a²c²＋c⁴＝0，∴e⁴－3e²＋1＝0，∴e²＝，∴e＝.

(2)設sin θ＝，cos θ＝，＝＝＝＝e²－＝.

答案　(1)　(2)

老師叮嚀：離心率是“溝通”a，b，c的重要中介之一，本題在產生關于a，b，c的關系式后，再將關系式轉化為關于離心率e的方程，通過方程產生結論.

【試一試1】A，B是雙曲線C的兩個頂點，直線l與雙曲線C交于不同的兩點P，Q，且與實軸垂直，若·＝0，則雙曲線C的離心率e＝________.

解析　不妨設雙曲線C的方程－＝1(a＞0，b＞0)，則A(－a,0)，B(a,0)．設P(x，y)，Q(x，－y)，

所以＝(a－x，－y)，＝(x＋a，－y)，

由·＝0，得a²－x²＋y²＝0.

又－＝1，所以－＝1，

即y²＝0恒成立，所以－＝0.[來源:學科網]

即a²＝b²，所以2a²＝c².從而e＝.

答案　[來源:學科網]

二、離心率的“外交術”

【示例2】已知c是橢圓＋＝1(a ＞b＞0)的半焦距，則的取值范圍是(　　)．

A．(1，＋∞)             B．(，＋∞)[來源:學,科,網]

C．(1，)                D．(1， ]

解析　由＝＝＋e，又0＜e＜1，設f(x)＝＋x,0＜x＜1，則f′(x)＝1－＝.令y′＝0，得x＝，則f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，∴f(x)_max＝＋＝，f(0)＝1，f(1)＝1.∴1＜f(x)≤，故1＜≤.

答案　D

老師叮嚀：離心率“外交”在于它可以較好地與其他知識交匯，本題中，如何求\f(b＋c,a)的取值范圍？結合離心率及關系式a²＝b²＋c²，將待求式子轉化為關于e的函數關系式，借助函數的定義域(即e的范圍)產生函數的值域，從而完成求解.

【試一試2】 (2012·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線－＝1的離心率為，則m的值為________．

解析　由題意得m＞0，∴a＝，b＝.

∴c＝，由e＝＝，得＝5，解得m＝2.

答案　2