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混沌學簡介
1 引 言 遠古時代，人們對大自然的變幻無常有著神秘莫測的恐懼，幾千年的文明進步使人類逐漸認識到，大自然有規律可循。經典力學的追隨者認為，只要近似知道一個系統的初始條件和理解自然定理，就可計算系統的近似行為。世間事物的行為方式具有一種收斂性，這樣的信念使經典力學在天文學上的預言獲得了輝煌的成就，如海王星的發現。人們研究天王星時發現其軌道存在某些極小的不規則性，這使人們懷疑天王星外還有一顆未知行星。英國亞當斯根據開普勒定理算出了這顆新星何時出現在何方位，德國科學家戈勒進行探索，在與預計位置差1°的地方發現了此星。于是海王星的發現成為經典決定論最成功的例證。經典力學的成功無疑給人們巨大的信心，以致把宇宙看成一架龐大時鐘的機械觀占據了統治地位。偉大的法國數學家Laplace的一段名言把這種決定論的思想發展到了頂峰，他說：“設想某位智者在每一瞬時得知激勵大自然的所有力及組成它的所有物體的相互位置，如果這位智者博大精深能對這樣眾多的數據進行分析，把宇宙間最龐大的物體和最輕微的原子的運動凝聚在一個公式之中，對他來說，沒有什么事物是不確定的，將來就象過去一樣清晰展現在眼前”。牛頓力學在天文上處理最成功的是兩體問題，如地球和太陽的問題，兩個天體在萬有引力作用下圍繞它們共同質心作嚴格的周期運動。正因如此，我們地球上的人類才有安寧舒適的家園。但太陽系不止兩個成員，第三者的存在會否動搖這樣的穩定和諧？Laplace曾用一種所謂的“攝動法”來修正三體運動的軌道，證明三體運動的穩定性。據說拿破侖曾問他此證明中上帝起了什么作用，他回答：“陛下，我不需要這樣的假設”。 Laplace否定了上帝，但他的結論卻是錯的。因為三體運動中存在著混沌。 什么是混沌呢？混沌是決定性動力學系統中出現的一種貌似隨機的運動，其本質是系統的長期行為對初始條件的敏感性。如我們常說“差之毫厘，失之千里”。西方控制論的創造者維納對這種情形作了生動的描述：釘子缺，蹄鐵卸；蹄鐵卸，戰馬蹶；戰馬蹶，騎士絕；騎士絕，戰事折；戰事折，國家滅。 釘子缺這樣一微不足道的小事，經逐級放大竟導致了國家的滅亡。系統對初值的敏感性又如美國氣象學家洛侖茲蝴蝶效應中所說：“一只蝴蝶在巴西煽動翅膀，可能會在德州引起一場龍卷風”，這就是混沌。 環顧四周，我們的生存空間充滿了混沌。混沌涉及的領域――物理、化學、生物、醫學、社會經濟，甚至觸角伸進了藝術領域。混沌學的傳道士宣稱，混沌應屬于二十世紀三大科學之一。相對論排除了絕對時空觀的牛頓幻覺，量子論排除了可控測量過程中的牛頓迷夢，混沌則排除了拉普拉斯可預見性的狂想。混沌理論將開創科學思想上又一次新的革命。混沌學說將用一個不那么可預言的宇宙來取代牛頓、愛因斯坦的有序宇宙，混沌學者認為傳統的時鐘宇宙與真實世界毫不相關。 下面讓我們來看看經典的混沌現象。 2 混沌現象 2.1 湍流(turbulent flow) 湍流是人類尋常慣見的現象。湍流現象普遍存在于行星和地球大氣、海洋與江河、火箭尾流、乃至血液流動等自然現象之中。 1883年英國著名試驗流體力學家雷諾(O.Reynolds)做了一個實驗，演示了湍流的產生。將流體注入一容器，在容器內另有一盛有色液體的細管，如圖1所示，管內的有色液體可由小口A流出，大容器下端B處裝一閥門，可用來控制水的流速。當大容器內的水流較緩時，從細管中流出的有色液體呈一線狀，兩種流體互不混雜(圖a)，我們稱這種流動為層流。加大閥門讓水流速度增大，當流速大到一定程度時，兩種液體開始相互混雜，液體的流動開始呈現渦漩狀結構，而且大渦漩套小渦漩，運動狀態變得極端“紊亂”(圖b)，無法對運動狀態做出任何預測，我們稱這種流動為湍流。
湍流是一種典型的混沌現象，湍流的發生機制是物理學中一個歷史悠久的難題。我們都知道流體力學中有一套描述流體運動的基本方程，這些方程是基于光滑和連續概念的決定性偏微分方程，它們無法描述如此復雜，沒有規則的湍流，即使撇開湍流的空間結構不談，決定性的流體力學方程怎么能允許貌似隨機運動的紊亂的時間行為呢？ 在日常生活中我們人人都可以見到湍流現象。圖2所示是一支點燃的香煙，青煙一縷裊裊騰空。開始煙柱是直立的，達到一定高度時，突然變得紊亂起來。這是在熱氣流加速上升的過程中，層流變湍流的絕妙演示。
圖3
木星上的大氣湍流 一個有關宇宙奇跡恰如其分的描述是木星上的大氣湍流。它象一個不運動、不消退的巨形風暴，圖3所示為哈勃太空望遠鏡拍攝的木星大氣湍流，它是太陽系中一個古老的標志。這些圖象揭示了木星的表面是沸騰的湍流，有東西向的水平帶。 2.2 洛侖茲水輪 圖4所示為洛侖茲(E.Lorenz)發現的、精確對應于一種力學裝置的有名的混沌系統――洛侖茲水輪，這種簡單的構造竟也能表現出令人驚訝的復雜行為。
圖4 洛侖茲水輪
水輪頂端有水流恒定地沖下來，注入掛在輪邊緣的水桶中。每只桶底部均有一小孔能恒定地漏水。如果上面的水流沖得很慢，頂部小桶不會裝滿，因而不能克服輪軸摩擦力，水輪也不會轉動。如果水流加快。頂部水桶的重量帶動了水輪，水輪可以用定速連續旋轉，如圖4(a)和圖4(b)所示。一旦水流加快，旋轉便呈混沌態，如圖4(c)所示。傳統的物理學家對于洛侖茲水輪這樣簡單的機械，直覺的印象告訴他們，經運一段長時間，這水輪只要水流沖速恒定，它一定會達到一個穩定狀態。然而事實是，水輪永遠不會停留在某一固定的角速度，而且永運不會以任何可以預測的形式重復。因為水桶是在水流下通過的，它們充滿的程度取決于旋轉的角速度。一旦水輪轉得太快，水桶來不及充滿或來不及漏掉足夠的水，后面的桶比前面的桶重，則轉動變慢，甚至發生逆轉。
2.3 滴水龍頭 大多數人都知道當水龍頭開得較小時，水滴將很有規律地從水龍頭滴下。連續滴水的時間間隔可以非常一致，不少失眠者因老想著下一滴水什么時候滴下而心煩意亂，不能入睡。但當水流速度稍高時，水龍頭的行為就是一般人不大熟悉的了。經觀察發現，在某一速度范圍內雖然水滴仍是一滴滴地分開落下，但其滴嗒方式卻始終不重復，就象一個有無限創造力的鼓手。這種從有規律的滴水方式向似乎是隨機的滴水方式的轉變類似于層流向湍流的轉變。如圖5所示，在水龍頭下放一話筒，記錄水滴敲擊話筒的聲音脈沖，就很容易發現這種無規則的混沌現象。
2.4 布尼莫維奇臺球實驗 如圖6(a)所示，A、B、C是光滑水平桌面上三個完全相同的臺球，B、C兩球并列在一起，作為靜止的靶子，A球沿它們中心聯線的垂直平分線朝它們撞去。設碰撞是完全彈性的，碰撞后三球各自如何運動?若設想因A球瞄得不夠準而與B、C球的碰撞稍分先后，則我們就會得到如圖6(b,c)所示截然不同的結果。如果說A與B、C的碰撞是絕對同時發生的，后果如何？我們就會啞然不知所對。在這樣一個簡單的二維三體問題理，完全決定性的牛頓定律竟然給不出確定的答案！ 2.5 Belousov-Zhabothsky振蕩化學反應 兩種化學藥品相混合，輸入液中反應物濃度保持常量，輸出液中濃度則呈混沌性振動。 2.6 生理醫學 伯克利大學Walter教授發現健康受試者的心電圖具有混沌的圖象，而瀕臨死亡受試者的心電圖則是非常規律的振動圖象。 2.7 計算器迭代產生的混沌 一般的計算器上都有x2鍵，取一個介于0和1之間的數，比如0.54321，按x2鍵。再按它，反復按下去，這個過程稱為迭代，觀察結果讀數，你很快會發現，當你第九次按下x2鍵時，得到結果為0，此后02=0，不會有什么其他結果出現了。 如果你用x2-1來迭代，將很快發現，結果在0和-1之間不斷循環，因為道理很簡單： 02-1=-1, (-1)2-1=0 若以迭代次數為橫坐標，每一次的迭代結果為縱坐標，可得如圖7所示的迭代序列圖。
圖7 x2-1的迭代產生規則振蕩，豎直方向是x值，水平方向是迭代次數
最后，我們來試一試迭代2x2-1，我們將得到一個如圖8所示的迭代結果，這結果看上去遠沒有前面那么簡單，事實上，他們看上去是無規的，或說混沌的。一個簡單的，決定性的方程卻產生了完全不能預測的、混沌的結果。
圖8 2x2-1的迭代產生混沌 混沌是非線性動力學系統所特有的一種運動形式，早在20世紀初的1903年，法國數學家龐加萊（J.H.Poincare）從動力系統和拓撲學的全局思想出發指出了可能存在的混沌的特性，1954年，前蘇聯概率論大使柯爾莫哥洛夫指出不僅耗散系統有混沌，保守系統也有混沌，1963年，美國氣象學家洛侖茲 (E.Lorenz) 在《大氣科學》雜志上發表了“決定性的非周期流”一文，指出長期天氣預報不可行的事實，他認為一串事件可能有一個臨界點，在這一點上，小的變化可以放大為大的變化，這就是所謂著名的蝴蝶效應。蝴蝶在巴西煽動翅膀，可能會在德州引起一場龍卷風。混沌學的真正發展是在本世紀70年代后，1977年第一次國際混沌會議在意大利召開，它標志著混沌科學的誕生。1978年美國科學家費根鮑姆在《統計物理學》雜志上發表了關于普適性的論文。此文轟動了世界。從此以后，混沌的研究如星星之火，漸成燎原之勢。
3 混沌學的研究方法
3.1 相空間幾何與吸引子 研究表明，絕大多數描述系統狀態的微分方程是非線性方程，當非線性作用強烈時，以往的近似方法不再適用。為此，法國數學家龐加萊提出了用相空間拓撲學求解非線性微分方程的定性理論。在不求出方程解的情況下，通過直接考查微分方程本身結構去研究其解的性質。該理論的核心是相空間的相圖。相空間由質點速度和位置坐標構成。系統的一個狀態可由相空間的一個點表示，稱為相點。系統相點的軌跡稱為相圖。在相空間中，一個動力學系統最重要的特征是它的長期性態，一般動力學系統，隨時間演變，最終將趨于一終極形態，此稱為相空間中的吸引子。吸引子可以是穩定的平衡點(不動點) 或周期軌跡（極限環），見圖9(a,b)，也可是持續不斷變化沒有規則秩序的許多回轉曲線，這就是所謂奇怪吸引子，如圖9(c)。 例：單擺的相圖，考慮以下三種情況：(1)無阻尼小角度擺動；(2)無阻尼任意角擺動；(3)有阻尼小角度擺動；
解：(1)如圖10所示的理想單擺，忽略一切阻尼，由牛頓第二定律，可得其運動方程為：
其中θ為擺角，g為重力加速度，l為擺長。若令
當θ角很小時，sinθ≈θ，于是(2)式可寫為：
對(3)式積分一次，可得
分別以θ和
(2) 若擺線為剛性輕質桿，則單擺可處于倒立狀態，該單擺可做任意角擺動。單擺運動方程仍為(1)式，對(1)式積分一次可得：
c2為一與初始條件或總能量有關的積分常數，c2越大，能量越高。同時考慮小擺角和大擺角，可得如圖12所示的相空間軌跡圖。
圖12 一般單擺運動的相圖
圖13 有阻尼小角單擺相圖
由圖可見，在小角度低能情況下，相軌跡呈橢圓形。隨著能量逐漸提高，橢圓軌跡變成左右兩端呈尖角棗核狀，當振幅（擺角）±π時，軌線上出現鞍點G、G’，實際上都對應于倒立擺的狀態，是不穩定的雙曲點。當能量再高時，相軌跡不再閉合，擺將順時針或逆時針轉起來，不再往復擺動。
（3）有阻尼小角度擺動 考慮了阻尼之后，擺角很小時的單擺運動方程為：
其中β=r/2m，為無量綱阻尼系數，r為阻尼系數。由情況（1）可知，單擺能量越小，橢圓相軌跡的長短半軸也越小，c1=0時，橢圓退化為一點，即原點，該點對應于單擺的穩定狀態，對應于不動點吸引子。 3.2 奇異吸引子與蝴蝶效應 我們每天都收聽或收看天氣預報，盡可能準確進行長期天氣預報是人類夢寐以求的愿望。計算機的發明和發展，為人類預報天氣提供了有力的工具。大氣實際上是無數沖來撞去的分子組成的，它們是不連續的，但在經典力學中，通常把大氣當成連續、光滑的理想流體來代替。幾百年前，歐拉和伯努利就寫出了描述這種流體的運動方程。
為了求解運動方程，我們必須用離散的時間來迭代。所謂迭代就是用計算結果做為當前值代入方程求得方程的下一個值。就像我們在前面計算器迭代混沌中所做的那樣，只是現在把那里的迭代次數換成了時間而已。為天氣預報所作的迭代必須以驚人的高速進行，每秒要進行1百萬次以上的運算。我們都相信，你的運算方程越精確，你的預報越準確。而事實上影響大氣運動的因素太多了，不可能把所有的因素都考慮進去。因此，只能抓住主要矛盾，略去次要因素。 洛侖茲是一個氣象學家，在孩提時代就是個氣象迷，反復記錄著他家房子外的小觀測站里溫度計的讀數。他同時也熱愛數學，熱愛數學的純潔性。正是這兩種愛好，使他在混沌研究這個領域做出了開創性的工作。 洛侖茲那時正在用他的"皇家馬克比"計算機，對大氣系統進行模擬，以便尋找進行長期天氣預報的方法。有一次偶然的機會，洛侖茲沒有把一次運算從頭算起，他走了一條捷徑，從中途去啟動，把前面打印出來的結果做為初始條件輸入。這新一輪的計算原本應當重復前一次的計算結果，因為程序并沒有變，然而當他看到打印結果時，卻目瞪口呆，他計算出來的氣候演變曲線與上一輪的計算相去甚遠，根本不是一個類型的氣候，而是完全不同的兩類氣候，如圖14所示。 檢查問題出在他輸入的數據上，計算機內存有6位數，如：0.506127，但打印時為了節省空間，只打出了三位數，即0.506。他本能地認為這千分之一的誤差，不會對結果有什么大的影響，這個小差別仿佛一陣微風吹過，對大范圍的氣候不會有什么影響。事實卻完全相反，氣候的演變對初始條件極為敏感，可謂“差之毫厘，失之千里”，就好象巴西的一只蝴蝶拍拍翅膀，會在德州引起一場暴風雨一樣，因此，洛侖茲稱它為蝴蝶效應。蝴蝶效應實際上是動力學系統行為對初值敏感依賴性的一種通俗說法。 洛侖茲如果停留在蝴蝶效應上，說明氣候變化的不可預見性，或長期天氣預報是不可能的，那么他帶來的不過是個壞消息，但是洛侖茲看到了幾何結構。 洛侖茲把他的方程送進皇家馬克比計算機，它的迭代次數大約每秒1次。圖15顯示了他的變量y的值的前3000次迭代結果。前1500次，y值周期性地搖擺，擺幅平穩增長。而后，它劇烈振蕩，毫無規律。洛侖茲畫出以x,y,z為坐標軸的相空間曲線如圖15所示。由圖可見，相圖是三維的，它由兩片組成，各片各自圍繞著一個不動點。若狀態軌跡經過一段時間之后停在一個不動點上，那么意味著系統進入了一個穩定的狀態，這相軌跡將是一個平庸吸引子。然而，事實上，相軌跡在兩片上“隨機”地跳來跳去，說明系統的狀態演變著有某種規律性，這種相圖不對應任何一種定常狀態，因此，被稱為奇異吸引子，又稱洛侖茲吸引子。
奇異吸引子的奇異之處在于，相軌跡雖在兩片上跳來跳去，但決不自身相交，即不構成任何周期運動，系統的狀態變化具有隨機的不可預測性，因此奇異吸引子又稱為混沌吸引子。此外，系統狀態演變對初始條件非常敏感，相圖中兩個初始時任意靠近的點，經過足夠長的時間后，在吸引子上被宏觀地分離開來，對應完全不同的狀態。
4 混沌的數學模型 4.1 通向混沌的道路――一維蟲口模型――邏輯斯蒂映射 馬爾薩斯(T.R.Malthas)在其《論人口原理》一書中，在分析了19世紀美洲和歐洲的一些地區的人口增長規律后得出結論：“在不控制的條件下，人口每25年增加一倍，即按幾何級數增長”。不難把“馬爾薩斯人口論”寫成數學形式。為此可把25年做為一代，把第n代的人口記為xn，馬爾薩斯的意思是： xn+1 = 2xn (4.1) 這是簡單的正比例關系，還可以寫得更一般些，即： xn+1 = gxn (4.2) 其中g是比例系數。不難驗證，差分方程的解為： xn = gnx0 (4.3) x0 是開始計算的那一代人口數。只要g>1，xn 很快就趨向無窮大，發生“人口爆炸”。這樣的線性模型，完全不能反應人口的變化規律，但是稍加修正，就可以稱為描述某些沒有世代交疊的昆蟲數目的蟲口方程。 這項修正就是計入限制蟲口增長的負因素。蟲口數目太多時，由于爭奪有限的食物和生存空間發生咬斗，由于接觸傳染而導致疾病蔓延，爭斗使蟲口數目減少的事件，這些事件的數目比例于xn2，于是方程4.2可以修正為： xn+1 = gxn -gxn2
(4.4) 這個看起來很簡單的方程卻可以展現出豐富多彩的動力學行為。其實它并不是一個描述蟲口變化的模型，它同時考慮了鼓勵和抑制兩種因素，反應出“過猶不及”的效應，因而具有更普遍的意義和用途。 方程(4.4)可寫成一個抽象的、標準的蟲口方程： xn+1 = g
xn(1- xn)
(4.5) 如圖16用迭代法考察解的特性，作y=f (x)及y=x的圖，給出任一初值x0，得f
(x0)，將其賦值給x1，得f
(x1)…，如此循環下去。
當0<g<1時，從任一初始值x0開始，代入方程(4.5)，可得x1，再把代入方程(4.5)，得x2，結果如圖17(a)所示，最終迭代結果xn?￥=0，其意義可以認為，由于環境惡劣，蟲口的繁殖能力有限(g太小)，使得種群最終走向滅亡。實際上，g代表了函數的非線性化的程度，g越大，gxn2越大，非線性化程度越高，拋物線的拱型越凸出，這種迭代也稱單峰迭代。 當1<g<3時，迭代結果如圖17(b)所示。比如取g =2, x0=0.9, x1=0.18,…, xn=0.5，它停在那兒不動了。即在xn=0.5處有一個點吸引子，一個穩定定態。若追蹤這個種群，則會發現種群數目隨著時間的演化而保持穩定的數值。
(a) 0<g<1
(b) 1<g<3
(c) g
=3.1
(d) g
=3.58 圖17 不同g參數的蟲口迭代結果
當g =3.1時，經過一定的步驟，迭代結果會穩定在兩個值x1n與x2n之間跳來跳去地振蕩，如圖17(c)所示。這個漂亮的振蕩稱為周期2循環，即若跟蹤種群，會發現種群數目每隔一年，數目重復循環一次，就象有些果樹有大年小年一樣，x1n和x2n也是定點吸引子。 當g=3.53時，迭代結果將在4個值之間振蕩，即振蕩周期增加了一倍，稱為周期4循環。繼續增加g值，還可得周期8循環，周期16循環等等。每一次解的周期都增加一倍。當g 達到某一臨界值時，比如g =3.58附近，迭代結果再也不循環了，而是瘋狂地振蕩，永遠也不會穩定下來，我們稱為混沌態，如圖17(d)所示。 若以g 為橫坐標，迭代結果為縱坐標，可得如圖18所示的分岔圖。從臨界值g =g￥開始，邏輯斯蒂映射進入了混沌區，在這種情況下，種群的數目就完全不能預測了。這種吸
圖18
蟲口模型分岔圖
圖19
分岔圖的自相似精細結構 引子是不同于不動點和周期解的一種奇異吸引子。若追蹤種群，你會認為種群的數目變化完全是隨機的。然而仔細觀察圖18會發現，在復雜的混沌區，會發現一些具有周期解的窗口，如3，6，12，…或7，14，28…，窗口內的分岔現象與整體有著相似的結構，即這種迭代分岔圖有著無窮嵌套自相似的精細結構，如圖19所示。一系列的倍周期分岔意味著混沌狀態的到來。這是通過倍周期分岔進入混沌的典型模式。 混沌系統的重要特征是：改變某一參量，分岔一個接一個。終極形態由不動點向周期2?周期4?周期8等轉化，實現一系列周期倍化分岔，最終走向混沌。
4.2 混沌效應的幾何特性――貝諾勒拉伸折疊變換 混沌系統長期行為對初值的敏感依賴性，相空間軌跡精致復雜的結構，無窮層次嵌套的自相似性這一切如何從簡單的確定性系統中產生出來的呢？理解這些驚奇現象的關鍵是要認識混沌的幾何特性，即系統演化過程中由于內在非線性相互作用所造成的伸縮與折疊變換。 貝諾勒變換如下：
給出三個相差很小的初始條件，在迭代至千次后所得結果相差甚遠，即系統出現混沌，這樣的變換過程，可認為：第一步，均勻伸長間隔[0,1]為原來的二倍，第二步將伸長的間隔折斷，再折疊成原間隔。這種機制的一個通俗例子是所謂面包師變換。 所謂面包師變換，是受廚師揉面團的操作過程的啟發而進行數學抽象出來的。圖20示意了面包師變換的基本操作手續。第一種操作是拉伸變換；第二種變換為折疊變換。設面團最初為一單位正方形a，使面團在一個方向壓扁成長方形b，然后拉長了的面團兩端對齊折疊(或從中間切開后疊置)起來，成為一個新的正方形c，其中陰影區和非陰影區被分成四個隔開的區域，而不是a中所示的兩個隔開的區域。假定在操作過程開始前，面包師先在面團上滴一滴紅著色劑，那么，在揉面團過程中液滴同時被拉長、變薄，再折疊起來。隨著面包師的操作不斷重復進行，液滴被不斷伸縮和折疊。經過足夠長時間反復操作，就會發現面團中很多紅色和白色交替出現的層次，原來相鄰的兩個著色劑微粒越來越相互分離，原來不相鄰的兩個微粒可能越來越靠近。據估計，這樣反復操作只需進行20次，最初的著色劑滴長度就會被拉長到100萬倍以上，其厚度則減小到分子水平。這是著色劑與面粉已經充分混合均勻了。 從上面的分析可見，用面包師變換來比擬動力學系統相空間的狀態變化過程還是很貼切的。而且很容易想象混沌軌道幾何圖像的復雜性是如何形成的了。伸縮變化使相鄰狀態不斷分離，這是造成軌道發散所必須的內部作用。實際上系統不允許無限延伸，而被限制在有限區域之內。因此，系統本身還須有折疊變換機制。折疊是一種最強烈的非線性作用，能造成許多奇異特性。僅有伸縮還不足以造成復雜性，不足以攪亂相空間軌道，只有伸縮與折疊同時進行，并且不斷反復，才可能產生軌道的指數分離、匯聚，形成對初始條件的敏感依賴性、像揉面團那樣有限次的伸縮和折疊變換是不夠的。在系統周期內，有限次變換后，系統就進入穩定的周期態，以確定的方式運行。而在混沌區內，相空間中的伸縮和折疊變換永不停止，而且以不同的方式進行，永不重復。其結果必然造成軌道永無休止地時而分離，時而聚匯，盤旋纏繞，但并不自交。于是，軌道被攪亂了，指數分離和敏感依賴性產生了。這種操作的每一步都是確定的、可預言的，但反復不斷進行下去，長期行為卻變得不確定、不可預測了。
5 混沌的應用進展 我們處在一個混沌的世界中，混沌原理在我們生活中有著各種應用。 天文學方面：先輩們認清了火星、木星間小行星帶的Kirkwood間隙起源問題，這些間隙相應于小行星混沌的運行軌道。Laskar給出了行星內部的混沌運動圖像，推翻了太陽系穩定的觀點。太陽系中地球混沌的特征時間大約是5百萬年。 氣象學：Massachusetts理工學院的Edward Lorenz 1963年混沌行為的實驗證明使今天的氣象學家承認大氣的混沌使超過三兩周到未來的精確的天氣預報成為不可能。但是一些人希望混沌模型最終可使它有可能預報長期的天氣趨勢。 生理學：Berkeley的California的Walter Freeman說腦子利用混沌作為等待狀態，他說：人類腦電圖（EFG）的研究表明，當一位受試者在接受或處理信息時，腦電波圖會變得有序，其余的腦研究者正在通過分析混沌的腦電圖的圖形尋找預報癲癇發作的方法。 國際政治學：Wayne州立大學為敵對的兩個國家之間的軍備競賽編制了一個模型，一個兩國都有反導彈防御系統模型實驗表明，局勢是混沌和不穩定的，最終將導致戰爭。 運輸：混沌理論最現實應用的獎賞應歸于美國一交通工程師小組，他們在1988年華盛頓會議期間把混沌與錯綜復雜的交通圖形聯系了起來，下次你被停停走走堵塞在高峰超速公路上，那你就把責任推給混沌。 藝術上：科學對藝術來說通常沒有多大關系，但關于混沌，則卻有著某種內在的吸引人的特質，美kaos藝術公司的董事長Kevin說，他支持“藝術或科學上的古怪或不同尋常的努力”。Kaos公司在95年主辦了混沌芝家哥藝術節。藝術家和建筑師的反響是熱烈的，他們說混沌理論把意義和內容帶回到了裝飾術中。混沌將有序無序巧妙地結合了起來。95年紐約當代藝術博物館在紐約舉辦的“奇怪吸引子：混沌的符號”，在芝家哥舉辦的“奇怪吸引子：混沌的奇觀”轟動美國。圖21是混沌藝術的生動展現。
圖21 混沌展現的藝術
6 混沌的哲學思考 6.1
認識混沌 關于混沌，我們已經形成了下列一些認識: (1)我們在此討論的混沌一般是從有序態演化進入混沌態，因此稱為非平衡混沌。 (2)混沌是決定論系統的內在隨機性，這種隨機性與我們過去所了解的隨機性現象，比如擲色子，拋硬幣等有很大的區別:具有混沌現象的系統，其短期行為是可以知道的，只有經過長期演化，其結果才是不確定的。 (3)混沌對初值的敏感依賴性。在線性系統中，小擾動只產生結果的小偏差，但對混沌系統，則是"失之毫厘，差之千里"。 (4)混沌不是簡單的無序，也不是通常意義下的有序。首先，混沌運動是一種典型的非周期運動，是周期運動對稱性的破缺，而對稱性破缺實質上意味著有序程度的提高，所以混沌運動是另一種類型的有序;混沌區的系統行為并非真的一團亂麻，混沌譜本身還具有無窮的內部結構，其中嵌套著各種周期窗口，非周期與周期難分難解地交叉、纏繞在一起，表明混沌行為是一種非平庸的有序性;混沌內部的無窮嵌套結構具有標度變換的不變性，局部放大后其結構與整體相似，這種自相似性也是某種意義上的對稱性，因此，混沌可以看成具有更高層次上的對稱特征的有序態。其次，非平衡混沌遵循著某些共同的規律:奇異吸引子行為。吸引子是描述力學系統狀態在相空間的狀態點的集合，這些點或點的集合對系統相空間的運動軌線有吸引作用;而有些點，則是狀態達不到的點，稱為排斥子。從相空間中任一點出發的運動軌線，總是愈來愈趨近于一定的吸引子，而遠離排斥子。混沌吸引子與一般系統的吸引子不同，處于混沌態的系統其相軌跡進人吸引子后，兩條相距非常近的軌線將發生指數分離。一方面，狀態的演化最終要進入吸引子，另一方面，初值敏感依賴性又使系統呈現隨機特點，形成了一個矛盾的統一體。 混沌絕不是一堆有趣的數學現象，混沌是比有序更為普遍的現象，它使我們對物質世界有了更深一層次的認識，為我們研究自然的復雜性開辟了一條道路，同時也引出了關于物質世界認識論上的一些哲學思考。 6.2
哲學思考 1 混沌理論提供了使人們領悟這個世界除有序和穩定以外，還有更多的東西。用《哈姆雷特》中的一句話即“在天國和地球上有比你哲理所想象的更多的東西”，混沌讓人領悟了自然界圓滿的描述必須包括復雜的行為。 2 混沌理論強迫我們正視我們的局限性，通常我們對世界的感性認識受制于我們對自然界的了解。混沌的概念將改變我們的世界觀，將我們從鐘樣宇宙中解放出來，特別是在決定與隨機、必然與偶然、有序與無序、穩定與非穩定，簡單與復雜，局部與整體等矛盾關系和辯證轉化條件與機制方面，給人們以新的啟迪。 (1)決定論與非決定論 物理學中有兩種人們普遍接受的認識自然的觀點，一個是由牛頓經典力學建立起來的因果決定論觀點，另一個是由統計力學和量子力學發展起來的概率論觀點，這兩種規律實驗于不同的對象。 混沌的奇特之處在于，它把表現的無序與內在的決定性機制巧妙地融為一體，混沌是內在隨機性的代名詞。“決定性混沌”說明決定性與隨機性之間存在著由此及彼的橋梁，這大大豐富了我們對偶然性和必然性這對辯證法基本范疇的認識。首先，混沌現象繼量子力學不確定原理之后，又一次暗示，偶然性在科學上并非是無足輕重的東西。其次，混沌意味著，對某些決定性方程，我們對未來的預測能力受到某種新的根本限制，初始測量的不確定性會擴展于整個吸引子上。混沌將決定性和隨機性集于一身，同時既是偶然性又是必然性的東西。它證明在表觀的有序背后隱藏著一種奇異的無序，而在無序深處又隱藏著更奇異的秩序。 (2) 穩定性與不穩定性 混沌無論怎樣雜亂無章，但既然可用吸引子描述，而吸引子又是有限大小的，因此使得無規無序的運動只能占據有限測度的空間。混沌吸引子的兩條軌道既要指數分離，互相排斥、對立，又要保持在有限測度空間中，即被吸引子限制住，因而形成了完美的吸引與排斥的對立統一。系統內所有在吸引子處的狀態都向吸引子靠攏，反應了系統運動“穩定性”的一面，而一旦到達吸引子處，其運動又相互排斥，這對應了“不穩定”的一面，“穩定”與不穩定形成了一個矛盾的統一體。 3 混沌理論讓我們更貼近現實 自然界是統一的整體，在自然科學中有確定論及概率論兩套描述體系，牛頓以來的科學傳統比較推崇確定論體系，而統計力學著重于概率描述。但完全的決定論和純粹的概率論都是抽象的極限情形，真正的自然界介于二者之間。對混沌的研究幫助我們從更為實際的角度認識世界，使我們從確定論和概率論的根深蒂固的人為對立中解脫出來，人們對偶然性和必然性這些哲學范疇的認識也會隨之深化。
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